Fase lineare Reti a tepo discreto ultio aggiornaento 55 La più iportante proprietà per un filtro FIR éche i suoi coefficienti sono facilente vincolaili per ottenere una risposta di fase lineare. Il vincolo consiste sepliceente nell iporre la condiione che la risposta all'ipulso di durata finita, presenti sietria coniugata pari intorno al loro punto edio oppure dispari intorno al loro punto edio.. Usai Circuiti digitali 5_
Per diostrare che questo vincolo garantisce una fase lineare, si consideri la funione di trasferiento tipica per un filtro causale FIR: * δ se h n n con ± e essa sarà : * jφ H, ± e 5.3.8 jφ cioè H è un polinoio in - di grado. H e j e j. Usai Circuiti digitali 5_
* jφ H, ± e 5.3.8 La risposta in frequena He j è il polinoio trigonoetrico: H e j j Quindi H ha: eri che possono essere disposti ovunque in una regione finita del piano e poli che giacciono tutti nel punto. e. Usai Circuiti digitali 5_ 3
. Usai Circuiti digitali 5_ 4
Se è pari, il coefficiente è reale e corrisponde al centro di sietria di hn, entre se è dispari, non è presente un coefficiente centrale. Questi quattro casi possiili sono illustrati in fig. 5. per reale dove si ha: ± -. Si noti che: i filtri di tipo I e II hanno sietria pari rispetto al loro punto di eo, entre i filtri di tipo III e IV hanno sietria dispari rispetto al loro punto di eo. I tipi I e III sono filtri di ordine pari entre i tipi II e IV sono filtri di ordine dispari.. Usai Circuiti digitali 5_ 5
Considerando la convoluione di queste risposte ipulsive a valore reale hn con una funione ipulsiva input costante dc o con la sequena alla frequena di Nyquist - n, si osserva che la sietria dispari iplica output nulli per tutti gli input costanti dc, e quindi H deve avere uno ero per per i filtri di tipo III e IV. Cioè: hn H per i tipi III e IV n Inoltre i tipi II e III avranno output nulli per input di frequena di Nyquist perché: n n hn H e quindi H ha uno ero in -. per tipi II e III. Usai Circuiti digitali 5_ 6
Si diostra facilente che poichè: yn xkhn-k se xk δ k e n - xk hn-k presenta sietria pari hnhn-, hn-k si ha: per n < non si hanno interseioni n per n si può avere una interseione hn-k e facendo la soa di convoluione si ottiene in generale una yn, a se i filtri sono di tipo III e IV: n hn -h-n e i terini della soa di convoluione saranno a due a due uguali e di segno opposto per cui yn H per, ossia essendo e j, per, ossia in d.c.. Usai Circuiti digitali 5_ 7 k k k
xk k xk k 3 - - Analogaente se xn - n, ossia è la sequena di Nyquist frequena di Nyquist π si diostra che: yn xkhn - k - n - n - n hn - k e quindi H ha uno ero in -, per i filtri che presentano una sietria del tipo II e III essendo i terini della soatoria a due a due uguali e opposti di segno.. Usai Circuiti digitali 5_ 8
Gli eri vincolati ± per i filtri a valore reale e fasi reali FIR sono riportati e indicati con frecce sui corrispondenti piani in fig. 5.. Un altro effetto sul vincolo della fase lineare sugli eri di H si vede notando che dalla 5.3.8: H * ± 5.3.8 H ± H** 5.3.9 per la sietria assunta in. L'equaione 5.3.9 iplica che gli eri di H devono essere anche eri di H**, che significa che se è uno ero di H, allora lo è anche *. e jφ. Usai Circuiti digitali 5_ 9
Ciò può essere diostrato, infatti essendo: * H, ± e jφ j -j e e * e e e -j j j * * risulta che: *. Usai Circuiti digitali 5_
Quindi se é reale: H e se ècoplesso: * * * * * H* ± ± * * ± ± H infatti essendo: δ e ± δ in in H. Usai Circuiti digitali 5_
Fig. 5. Disposiioni tipiche degli eri per i filtri a fase lineare di tipo I, II, II e IV relativi alla figura 5., che ostrano gli eri richiesti in ±. Usai Circuiti digitali 5_
Quindi, gli eri di un filtro a fase lineare devono giacere sul cerchio unitario o devono presentarsi in coppie con i oduli reciproci. Per reale, gli eri devono anche essere coplessi coniugati; e quindi in quel caso, quelli che non giacciono sul cerchio unitario o sugli assi reali, saranno presenti in quadruple, coe illustrato in fig.5.. Si diostra facilente che se la risposta all ipulso soddisfa la condiione: hnh-n allora il filtro ha fase lineare.. Usai Circuiti digitali 5_ 3
. Usai Circuiti digitali 5_ 4 Infatti, coe è diostrato nelle due slide successive: per dispari cos per pari cos j j j h e h h e e H La condiione hnh-n coporta uno sfasaento lineare corrispondente ad un ritardo di. Precisaente: se è dispari, lo sfasaento corrisponde a un ritardo di un nuero intero di capioni, entre se è pari il ritardo è un nuero intero più un eo.
. Usai Circuiti digitali 5_ 5 DIOSTRAZIONE PER PARI Essendo: hnh-n o n -n per pari si ha: cos due con uguale odulo e fase uguale e opposta due a risultano a essi più esterni, verso quelli escluso, capione centrale sino al più esterni capioni partire dai due a due a a capioni i considerando j j j j j j e e e e e e H
. Usai Circuiti digitali 5_ 6 DIOSTRAZIONE PER DISPARI Essendo: hnh-n o n -n per dispari si ha: cos con lo stessso odulo e fase uguale e opposta due due a risultano a essi inclusi, e centrali due capioni sino ai più esterni quelli partire da due a due a a capioni considerando i j j j j j j e e e e e e H
. Usai Circuiti digitali 5_ 7 Tipo I Coe prio caso si consideri il Tipo I di una sietria pari coniugata e pari, si può riscrivere la 5.3.8 coe: Sostituendo e j e ettendo in conto che * -n, noi troviao che la risposta in frequena è data da: 5.3. H 5.3. cos ' φ R e e H j j
dove R è puraente reale. Se R è di segno costante per tutte le, allora R ± H' e infatti aiao la risposta lineare di fase: H ' c dove c o π Se quindi ci sono variaioni di segno in R, ci sono corrispondenti variaioni di fase di 8 in H', e H' è lineare solo a tratti. E' pratica coune far riferiento sepliceente a filtri a fase lineare.. Usai Circuiti digitali 5_ 8
Questa terinologia è ragionevole, poiché si cerca di iporre che sia costante il ritardo di gruppo D del filtro. Il ritardo del gruppo rappresenta il tepo richiesto dal segnale per passare attraverso il sistea LTI discreto e si deterina coe: D d d si ha D H ' 5.3. fatta ecceione per quelle frequene dove R caia segno. a per le frequene dove R caia segno, R H', e quindi non ci sono contriuti di output. Perciò il ritardo di gruppo group delay è sepliceente il ritardo riferito al punto di eo idpoint di hn vedi fig. 5... Usai Circuiti digitali 5_ 9
Un ritardo di gruppo costante iplica che tutte le coponenti di frequena di una sequena di input, siano ritardati nello stesso odo nella sequena di output. Quindi la sietria pari o dispari di una sequena di ipulsi di input, per esepio, è conservata nella sequena di output se la risposta ipulsiva hn ha sietria pari. Il ritardo tra i corrispondenti centri di sietria è proprio il ritardo di gruppo e corrisponde al ritardo in hn in corrispondena del suo centro di sietria. Per il caso precedente di pari, il ritardo di gruppo è uguale ad un nuero intero di periodi capionati e ciò facilita i calcoli in un processo di sottosequene di dati.. Usai Circuiti digitali 5_
Tipo II Il caso del Tipo II di dispari, conduce a espressioni siili per a quelle trovate per Il Tipo I e l'equaione 5.3. antiene ancora in questo caso di ritardo del gruppo. Quindi poiché questo ritardo non è più grande di un nuero intero di periodi di capionaento per dispari, può essere più difficile tenerne conto a eno che non si voglia interpolare tra i capioni.. Usai Circuiti digitali 5_
Interpolaione filtro di tipo II Un odo grossolano per interpolare tra capioni adiacenti un segnale xn, consiste sepliceente nel fare la edia tra coppia di valori adiacenti, cioè, yn[xnxn-] che corrisponde al filtro causale di prio ordine di tipo II: hn [δnδn-]. La funione di trasferiento è quindi: H[ - ] che ha un singolo ero a - per sietria dispari e dispari. La risposta in frequena è: H ' [ j ] j [ j j ] j e e e e e cos. Usai Circuiti digitali 5_
Quindi il filtro è sicuraente lineare in fase con ritardo di gruppo di. La funione reale R è sepliceente una risposta passaasso: Rcos che diinuisce onotonicaente a ero. In generale i filtri di interpolaione sono funioni passaasso. Tipi III e IV La sietria coniugata dispari in una risposta ipulsiva di un filtro FIR è anche associata a una iportante classe di filtri a tepo discreto. Questi filtri forniscono un ritardo di fase di 9 a tutte le frequene, in aggiunta ad un ritardo di gruppo costante.. Usai Circuiti digitali 5_ 3
. Usai Circuiti digitali 5_ 4 5.3.3 sin ' φ R je j e H j j Ciò si vede valutando 5.3. per e -j e - - * per ottenere poiché je jπ iplica un ritardo di fase di π. R è di nuovo reale perché: è anche puraente iaginario nel caso generale o nel caso di valore reale per soddisfare la condiione di sietria.
Così i filtri FIR sono usati, per esepio, per approssiare la risposta di un differeniatore ideale: H D j -π < < π. 5.3.4 Coe indicato pria il, fattore j in H D è realiato esattaente tra le condiioni di sietria, e noi progettiao i coefficienti così che R approssii : R -π < < π. 5.3.5 C è, naturalente un fattore addiionale di fase lineare in 5.3.3, che può essere eliinato per pari, se il filtro è realiato non causale ed è centrato in n.. Usai Circuiti digitali 5_ 5
. Usai Circuiti digitali 5_ 6 Un altro esepio è la trasforata di Hilert: in questo caso i coefficienti sono progettati per dare: c è, naturalente, un ritardo di. 5.3.6, -,, ' < < < < π π j j H 5.3.7, -,, < < < < π π R
Differeniatore filtro di tipo IV L approssiaione più seplice discreta nel tepo di un differeniatore continuo nel tepo è l operaione firstdifference: yn xn-xn- che corrisponde a un filtro causale di prio ordine di tipo IV: hn δn- δ n-.. Usai Circuiti digitali 5_ 7
La funione di trasferiento è quindi: H - -, che ha un solo ero per, coe ci si aspetta per la sietria coniugata dispari. La risposta in frequena è: H' e j e sin j e [ j j e e ] j e jπ je j essendo j e sin jπ Il filtro ha una risposta di fase lineare più 9, coe atteso, con un ritardo di gruppo di.. Usai Circuiti digitali 5_ 8
La funione reale R è: R sin che approssia ene la risposta desiderata in 5.3.5 per <π3, a non per valori aggiori di questo valore. Infine per le reti reali FIR con sietria dispari e pari nei coefficienti del filtro, si nota che queste reti possono essere ipleentate con solo [] int oltiplicatori. Ciò risulta scrivendo H coe: H ± ±... per dispari e allo stesso odo per pari sena l ultio terine.. Usai Circuiti digitali 5_ 9
La rete corrispondente alla fora diretta è ostrata in figura 5.3. Fig. 5.3 Struttura trasversale con circa età dei oltiplicatori con filtri a fase lineare FIR. Usai Circuiti digitali 5_ 3
In particolare vale sepre che per i filtri : Tipo eri II con si. pari dispari - III con si. dispari pari - e IV con si. dispari dispari se hn è reale, gli eri sono a coppie coplesse coniugate. Nelle ipleentaioni i filtri di tipo I e III si possono realiare a fase ero sepliceente per pari, ossia: hn con - n che equivale a dire che hn è centrato sull'origine degli assi, ossia il idpoint giace sull'origine degli assi. Usai Circuiti digitali 5_ 3
5.4 Reti speciali a tepo discreto. Oltre ai filtri lineari di fase, ci sono olte altre reti speciali a tepo discreto con interessanti proprietà e capi di applicaione. Quelli che studiereo sono: filtri passatutto; filtri a pettine e a dente filtri copleentari.. Usai Circuiti digitali 5_ 3
Filtri passatutto Un filtro passatutto ha una riposta in apiea che è unitaria per tutte le frequene, cioè: H per tutte le. 5.4. Tali filtri sono utiliati per l equaliaione di fase dei odelli IIR e per le ipleentaioni degli IIR a assa sensitività, ed essi giocano anche un ruolo centrale nelle trasforaioni spettrali a tepo discreto vedi paragrafo 8.4.. Usai Circuiti digitali 5_ 33
. Usai Circuiti digitali 5_ 34 La funione di trasferiento di un filtro passatutto è nella fora : dove tutti i coefficienti sono reali e inoltre i coefficienti del nueratore e denoinatore sono gli stessi a il loro ordine è invertito sia nella fora in cascata che nella fora diretta. 5.4....... L i i i i i N N N N N N K k N k k N a a a a a a H α α α α
. Usai Circuiti digitali 5_ 35 Per verificare che la 5.4. iplica la 5.4. si riscrive la 5.4. coe: segue iediataente che: perché D è una funione pari se D ha coefficienti reali. Dalla 5.4.3 si nota anche che: gli eri di H sono i reciproci dei suoi poli. 5.4.3 D D a a H N N k k k N k k k N ' ' ' D D H
Un tipico diagraa polieri di un filtro passatutto è illustrato in figura 5.4. Fig. 5.4 Tipico diagraa polieri che ostra le copie reciproche polieri. Usai Circuiti digitali 5_ 36
Una parte del passatutto a cascata, avente tre oltiplicatori è ostrato in figura 5.5. Fig. 5.5 Settore del filtro passa tutto nella fora in cascata. Usai Circuiti digitali 5_ 37
Inoltre può essere generata una rete a cascata con solo due oltiplicatori per seione. Si noti che la struttura di figura 5.5 soddisfa la condiione passatutto della relaione 5.4. anche per i coefficienti di quantiaione. olte altre strutture inclusa la struttura lattice sono passatutto. Così le strutture passatutto vengono chiaate: strutturalente sena perdite structurally lossless o strutturalente passive structurally passive.. Usai Circuiti digitali 5_ 38
Filtri a pettine Data una funione di trasferiento H si consideri la risposta di un filtro coe la funione di trasferiento: H k. Poiché H è periodica con periodo π, H k deve essere periodica con periodo πk. Quindi la risposta in frequena corrisponde a H k é periodica all interno dell intervallo di Nyquist ; <π.. Usai Circuiti digitali 5_ 39
Così i filtri sono chiaati filtri a dente notch filter e hanno varie applicaioni, copresa: la soppressione di clutter confused unwanted echoes on radar display da oiettivi fissi nei radar in oving target-indicator TI; la soppressione di interferene nella velocità di attraversaento cross-rate in sistei di navigaione Loran, e individuaione del tono nei codificatori di linguaggio parlato. Il filtro a pettine è anche un concetto utile per analiare certi algoriti così coe la Trasforata di Fourier Aritetica AFT [94].. Usai Circuiti digitali 5_ 4
. Usai Circuiti digitali 5_ 4 Coe esepio di filtri a pettine trasforiao la funione di trasferiento passa alto: in un filtro a dente ultinotch sostituendo k a. La funione di trasferiento H k per un filtro a pettine è quindi: che ha il diagraa polieri ostrato in figure 5.6 per K8 H8 periodica con periodo π8. H α k k k k H H α
Fig. 5.6 Diagraa tipico per un filtro a pettine co filter La risposta in frequena corrispondente è riportata in figura 5.7 e si vede coe per eo di questo filtro, la frequena πk e tutte le sue aroniche saranno filtrate così coe le frequene per o c.c... Usai Circuiti digitali 5_ 4
Una ipleentaione di questo filtro è diagraata in figura 5.8. Fig. 5.7 e 5 8 Risposta in apiea e ipleentaione per un filtro a pettine. Usai Circuiti digitali 5_ 43
Nel caso particolare in cui la funione di trasferiento presenta coefficienti al nueratori di - ; β, diversi da ero tali che β < α con la seguente espressione : k k β H k H k α Si ha un filtro a dente notch filter. Se si sostituisce nella funione di trasferiento k a. Facendo una analisi analoga anche per la funione di trasferiento del filtro a pettine si può verificare che: un filtro a pettine co filter attenua o taglia le frequene ultiple di πk un filtro a dente notch filter aplifica le frequene ultiple di πk e quindi è copleentare al filtro a pettine. La selettività dei filtri può essere odificata agendo sul valore dei coefficienti α,β e sull ordine del filtro K.. Usai Circuiti digitali 5_ 44
I filtri copleentari Una coppia di filtri H e H FIR o IIR si definisce copleentare di potena power-copleentary se: H' H' per tutti gli. 5.4.4 Per i filtri con coefficienti a valore reale, ciò equivale al seguente requisito della trasforata : H H - H H - 5.4.5. Usai Circuiti digitali 5_ 45
Per esepio: se H è passa asso, allora H passa alto coe illustrato in fig.5.9; se H è andstop allora H è passaanda. Fig. 5.9 Risposte dei filtri ellitici copleetari del tero ordine passa asso e passa alto. Usai Circuiti digitali 5_ 46
Notare che poiché H e H soddisfano la 5.4.4 e 5.4.5, devono essere ounded real cioè: H' i 5.4.6 Dato il filtro di ordine N ounded-real H PD 5.4.7 è sepre possiile trovare il corrispondente copleento di potena perché dalla 5.4.5 H QD 5.4.8 perché dalla 5.4.5 PP - QQ - DD - 5.4.9 e quindi Q può essere ottenuta nota H PD coe fattore spettrale di: QQ - DD - -PP - 5.4.. Usai Circuiti digitali 5_ 47
Cioè, deterinando le radici del polinoio di fase ero di ordine N: QQ -, si possono separare gli eri in coppie reciproche k e - k K,.,N e quindi seleionare i { k } per Q, lasciando { - k } per Q -. Naturalente se i filtri sono FIR, allora D. Nel caso dei filtri IIR Butterworth, Cheyshev e ellitici - vedi cap.8, P e Q hanno tutti i loro eri sul cerchio unitario. Dunque, P e Q sono polinoi a fase lineare, con sietria pari e dispari.. Usai Circuiti digitali 5_ 48
In particolare: per un filtro H passa-asso o attenua-anda, si ha H e quindi P ha sietria pari e se H, allora il filtro copleentare H passa-alto o passa-anda, deve soddisfare H e Q ha aleno uno ero per, se N è pari, il nuero di eri di Q per è dispari, e Q ha sietria dispari.. Usai Circuiti digitali 5_ 49
. Usai Circuiti digitali 5_ 5 Quindi per H e N dispari, P è tipo II e Q è tipo IV. In questo caso speciale, può essere ostrato che H e H possono essere realiati coe coinaioni parallele di due filtri staili passatutto A e A con coefficienti a valore reale coe ostrato in fig.5.. [ ] [ ] 5.4. A A H A A H
. Usai Circuiti digitali 5_ 5 dalla quale si vede che i filtri richiesti passatutto sono sepliceente : Poichè H H è uguale al filtro passatutto A si dice che H e H sono copleentari rispetto a A, e quindi sono anche copleentari di potena, si dice che forano una coppia a doppia copleentarità douly-copleentary. 5.4. H H A H H A
Fig. 5. Realiaione del filtro passatutto di copie di filtri a doppia copleentarietà Se le ipleentaioni A e A sono strutturalente a perdite inori, cioè vincolati ad essere passatutto pari con coefficienti di quantiaione, allora H e H devono essere ounded real, in questo caso l'ipleentaione delle fig. 5. è strutturalente ounded. Ciò iplica una sensitività olto assa al coefficiente di quantiaione nei passaanda.. Usai Circuiti digitali 5_ 5
. Usai Circuiti digitali 5_ 53 I filtri passatutto A e A hanno ordini N e N rispettivaente con N N N. Cioè da 5.4. con DD D. 5.4.3 D D D Q P A D D D Q P A N N
In particolare: gli N eri di PQ annullano N poli di D per produrre A ; entre N eri di P-Q cancellano gli altri N poli di D per produrre A. Se l'ordine del filtro N è pari, Q ha sietria dispari e l'ipleentaione seplice di fig. 5. non è applicaile. Quindi una ipleentaione strettaente connessa asata su un filtro passa-alto è stata sviluppata [97].. Usai Circuiti digitali 5_ 54
Esepio. L'unico filtro passa-asso del prio ordine IIR che soddisfa i requisiti. H e H - e H P D a a 5.4.4 e nello stesso odo, per H e H - aiao il filtro passa-alto: H Q D a a 5.4.5. Usai Circuiti digitali 5_ 55
Si può facilente verificare che H e H sono copleentari di potena. Quindi poiché: e P Q P Q a a D H e H si possono realiare nella fora in fig. 5. con i filtri passa-tutto : e A A a a.. Usai Circuiti digitali 5_ 56