Richiami di Algebra Lineare

Appendice A Richiami di Algebra Lineare In questo capitolo sono presentati alcuni concetti di algebra lineare L algebra lineare è quella branca della matematica che si occupa dello studio di vettori, spazi vettoriali(ospazilineari),trasformazioni lineari e sistemi di equazioni lineari Questi concetti sono difondamentaleimportantenellateoria dei Sistemi in quanto sono alla base della rappresentazione di un sistemadinamicoinspaziodistato e risultano essere fondamentali A1 Spazi Vettoriali Definizione A1 Sia G un insieme e sia operazione binaria su G ( : G G G) Si dice che (G, ) è u n g r u p p o s e : (a) vale proprietà associativa: a, b, c G si ha (a b) c = a (b c); (b) esiste elemento neutro: e G tale che x G si ha x e = e x = x; (c) esiste inverso/opposto: x G y G tale che x y = y x = e Se a, b G vale a b = b a, allorag si dice gruppo commutativo Estendendo tale concetto a due operazioni si costruisce un campo Definizione A2 Sia K un insieme con due operazioni binarie + e Si dice che (K, +, ) è u n campo se: (a) (K, +) è un gruppo commutativo ( con elemento neutro 0 ) ; (b) (K\{0}, ) è un gruppo commutativo (con elemento neutro 1 ) ; (c) vale proprietà distributiva: a, b, c K si ha (a + b) c = a c + b c; Aquestopuntosipuòintrodurreilconcettodispaziovettoriale come segue 89

Definizione A3 Sia V un insieme e sia K un campo (ad esempio il campo dei reali R) Si dice che l insieme V è sostegno di uno spazio vettoriale (lineare ) sul campo K se in V è definita un operazione binaria interna (+) per la quale (V,+) è u n g r u p p o c o m m u t a t i v o ( o s s i a u n g r u p p o a b e l i a n o ) e d è inoltre definita una legge di composizione esterna ( ) : moltiplicazione per uno scalare) per la quale valgono le seguenti proprietà: K V V (detta prodotto esterno o (a) (α + β) v = α v + β v (Distributività del prodotto esterno rispetto all addizione di scalari); (b) α (v + u) =α v + α u (Distributività del prodotto esterno rispetto all addizione di vettori); (c) (α β) v = α (β v) (Associatività del prodotto esterno); (d) 1 v = v (Neutralità di 1 rispetto al prodotto esterno) In questo corso verranno considerati spazi vettoriali Euclidei n-dimensionali (V elementi sono vettori colonna di numeri reali: x R n x = x 1 x n R n ), i cui x =[x 1,,x n ] T (A1) Definizione A4 Dato uno spazio vettoriale V R n,sidefiniscecombinazionelinearedim vettori {x 1,,x m } V,laseguentequantità: m α i x i = α 1 x 1 + + α m x m (A2) i=1 Definizione A5 Dati m vettori {x 1,,x m } V R n,questisidefinisconolinearmenteindipendenti se la loro combinazione lineare si annulla solo nel caso incuituttiicoefficientisononulli(caso triviale), ovvero: m α i x i =0 α 1 = = α m =0 (A3) i=1 Definizione A6 Sia V un spazio vettoriale in R n, dato un insieme S V si dice che S è u n sottospazio di V se risulta essere chiuso rispetto ad addizione e moltiplicazione scalare: x, y S αx+ βy S α, β R (A4) Definizione A7 Dato uno spazio vettoriale V,uninsiemeB V si dice base di V se ogni elemento u V si scrive in modo unico come combinazione lineare di elementi dib Si noti che la scrittura risulta essere unica solo nel caso in cui gli elementi di B sono linearmente indipendenti Rev 01 Complementi per il corso di Teoria dei Sistemi e del Controllo 90 di 109

Definizione A8 Dato uno spazio vettoriale V,uninsiemeB c V si dice base canonica di V se questa è costituita da n vettori linearmente indipendenti {e 1,,e n } del tipo: e i =[0,, }{{} 1, 0,,0] (A5) i Definizione A9 Una norma su uno spazio vettoriale lineare (reale o complesso) X è una funzione : X [0, ) (A6) che verifica le seguenti condizioni: x 0 x X e x =0 x =0,(definitapositività), αx = α x, (omogeneità), x + y x + y, (disuguaglianzatriangolare) Definizione A10 Si definisce norma euclidea, quella particolare norma dove la funzione è definita come: x = x 2 1 + + x2 n (A7) Definizione A11 Sia V uno spazio vettoriale definito in R n Si definisce prodotto scalare <, > una funzione: <, > : V V R, < x, y >, (A8) definita come: <x,y>= x T y = n x i y i (A9) i=1 che verifica le seguenti condizioni: <x,y>= <y,x> x, y V (simmetria), < (αx+ y),z>= α<x,z>+ <y,z>(bilinearità), <x,x>= x 2 > 0 x 0(definita positività), <x,y> x + y (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz) dove con il simbolo si indica una opportuna norma Definizione A12 Dati due vettori x, y R n,sidicechequestisonoortogonaliseesoloseilloro prodotto scalare è nullo, ovvero: x y <x,y>= 0 (A10) Rev 01 Complementi per il corso di Teoria dei Sistemi e del Controllo 91 di 109

Definizione A13 Dati due vettori x, y R n,sidicechequestisonoortonormalisesonoortogonali tra loro ed hanno norma unitaria, ovvero: x = y =1, x y Definizione A14 Si definisce spazio vettoriale euclideo V R n,quelparticolarespaziovettoriale per cui è definito un prodotto scalare Euclideo (ovvero definito rispetto alla norma Euclidea) <, > Definizione A15 Si definisce un vettore funzione del tempo, quel particolare vettore x(t) R n dove ogni componente è funzione del tempo, ovvero: x(t) = x 1 (t) x n (t) (A11) Definizione A16 Si definisce derivata di un vettore funzione del tempo x(t) R n,quelparticolare vettore ẋ(t) R n dove ogni componente è la derivata della corrispettiva componente del vettore x(t), ovvero: A2 Matrici ẋ(t) = d dt x(t) = ẋ 1 (t) ẋ n (t) (A12) Definizione A17 Si definisce matrice A di dimensioni m n uno schieramento di elementi organizzati in m righe (orizzontali) ed n colonne (verticali) Una generica matrice di numeri reali A R m n è descritta solitamente nel modo seguente : M = a 11 a 12 a 1n 1 a 1n a 21 a 22 a 2n 1 a 2n a m 11 a m 12 a m 1n 1 a m 1n a m1 a m2 a mn 1 a mn (A13) Definizione A18 Sia data una matrice A R n m Si definisce polinomio caratteristico p A ( ) associato alla matrice A il polinomio definito nel modo seguente: p A (λ) =det(a λi) (A14) Inoltre, si definisce equazione caratteristica la seguente espressione: p A (λ) =0 (A15) Rev 01 Complementi per il corso di Teoria dei Sistemi e del Controllo 92 di 109

Definizione A19 Sia data una matrice A R n m,sidefiniscenormaeuclidea(indotta) la quantità: A =max{ Ax e : x R m, x e 1} (A16) dove e è l a n o r m a e u c l i d e a p e r v e t t o r i Definizione A20 Una matrice A R n n si definisce invertibile se esiste una matrice A 1 R n n tale che: A A 1 = A 1 A = I (A17) dove I R n n è l a m a t r i c e i d e n t i t à d i d i m e n s i o n e n n Definizione A21 Siano A, B R n n due matrici quadrate n n Esse si definiscono simili se esiste una matrice invertibile P tale che: A = P 1 B P (A18) Definizione A22 Sia M(n) R n n lo spazio vettoriale delle matrici quadrate n n avaloriinun campo K (ad esempio, il campo dei numeri reali o complessi), si definisce determinante di una matrice A M(n), unaapplicazionelinearedefinitacomesegue: det : M(n) K Inoltre data una generica matrice A M(n) definita come segue: a 11 a 12 a 1n A = a n1 a n2 a nn si ha che il determinante det(a) si può indicare come: a 11 a 12 a 1n det(a) = a n1 a n2 a nn epuòesserecalcolato attraversolosviluppo dilaplacescegliendo la i-esima riga come segue: n det(a) = a ij c ij dove c ij =( 1) i+j det(a ij ) è i l c o m p l e m e n t o a l g e b r i c o d e l l a c o p p i a (i, j) j=1 (A19) (A20) (A21) (A22) Rev 01 Complementi per il corso di Teoria dei Sistemi e del Controllo 93 di 109

Teorema A1 Sia A inv (n) R n n lo spazio vettoriale delle matrici quadrate invertibili n n avalori in un campo K Allora A, B M(n) e k K valgono le seguenti proprietà per il determinante: det(ab)=det(a) det(b) det(a 1 )= 1 det(a) det(ka)=k n det(a) det(a T )=det(a) det(diag(a 1,,a n )) = n i a i Teorema A2 (Invertibilità di una matrice) Una matrice A R n m è i n v e r t i b i l e s e e s o l o s e i l s u o determinante è diverso da zero, ovvero: A R n n A 1 R n n det(a) 0 (A23) Inoltre se A è i n v e r t i b i l e a l l o r a l a s u a m a t r i c e i n v e r s a A 1 si può calcolare come segue: A 1 = 1 det(a) CofT (A) dove Cof(A) è l a m a t r i c e d e i c o f a t t o r i, c h e s i p u ò c a l c o l a r e c o m e s e g u e : (A24) c 11 c 12 c 1n Cof(A) =, c ij =( 1) i+j det(a ij ) (A25) c n1 c n2 c nn dove A ij è l a m a t r i c e n 1 n 1 ottenuta eliminando dalla matrice A la i-esima riga e la j-esima colonna Definizione A23 Sia data una matrice A R n n, si definisce traccia tr(a) della matrice A la somma di tutti gli elementi sulla diagonale principale, ovvero: n tr(a) = a ii, dove m ii rappresenta l elemento sulla i-esima e i-esima colonna della matrice A i=1 (A26) Rev 01 Complementi per il corso di Teoria dei Sistemi e del Controllo 94 di 109

Definizione A24 Sia data una matrice quadrata A R n n,essasidefiniscenilpotenteseesisteun intero positivo k tale che: A k =0 (A27) Inoltre, si definisce ordine di nilpotenza il più piccolo k per cui tale condizione è verificata Definizione A25 Si definisce matrice funzione del tempo, quella particolare matrice A(t) R n m dove ogni componente è funzione del tempo, ovvero: A(t) = a 11 (t) a 12 (t) a 1n 1 (t) a 1n (t) a 21 (t) a 22 (t) a 2n 1 (t) a 2n (t) a m 11 (t) a m 12 (t) a m 1n 1 (t) a m 1n (t) a m1 (t) a m2 (t) a mn 1 (t) a mn (t) (A28) Definizione A26 Si definisce derivata di una matrice funzione del tempo A(t) R n m, quella particolare matrice matrice A(t), ovvero: Ṁ(t) R n m dove ogni elemento è la derivata del corrispettivo elemento della Ȧ(t) = A3 Trasformazioni Lineari ȧ 11 (t) ȧ 12 (t) ȧ 1n 1 (t) ȧ 1n (t) ȧ 21 (t) ȧ 22 (t) ȧ 2n 1 (t) ȧ 2n (t) ȧ m 11 (t) ȧ m 12 (t) ȧ m 1n 1 (t) ȧ m 1n (t) ȧ m1 (t) ȧ m2 (t) ȧ mn 1 (t) ȧ mn (t) (A29) Definizione A27 Siano V e W due spazi vettoriali definiti sullo stesso campo K Una funzione f : V W è una trasformazione lineare (applicazione lineare ) se soddisfa le seguenti proprietà: f(x + y) =f(x)+f(y) (linearità), f(αx)=αf(x) (omogeneità di grado 1), per ogni coppia di vettori x, y V eperogniscalareα K Definizione A28 Siano V e W due spazi vettoriali definiti sullo stesso campo K, ef : V W una applicazione lineare Siano inoltre B V = {v 1,,v n } e B w = {w 1,,w m } due basi rispettivamente per V e W LamatriceA associata a f nelle basi B V e B W : A BV,B W : V W, (A30) è l a m a t r i c e m n avente nella i-esima colonna le coordinate del vettore f(v i ) rispetto alla base B W Rev 01 Complementi per il corso di Teoria dei Sistemi e del Controllo 95 di 109

Definizione A29 Siano V R n e W R m due spazi vettoriali definiti sullo stesso campo K, e f : V W una applicazione lineare Sia inoltre A la matrice associata a f Sidefinisceimmagine di A, quelparticolaresottospaziodiw tale che: R(A) ={y W : y = Ax per qualche x} (A31) Definizione A30 Siano V R n e W R m due spazi vettoriali definiti sullo stesso campo K, e f : V W una applicazione lineare Sia inoltre A la matrice associata a f Si definisce rango di A, ladimensionedell immaginedia,ovvero: rank(a) = dim R(A) (A32) Definizione A31 Siano V R n e W R m due spazi vettoriali definiti sullo stesso campo K, e f : V W una applicazione lineare Sia inoltre A la matrice associata a f SidefiniscenullodiA, quel particolare sottospazio di V tale che: N(A) ={x V : Ax=0} (A33) Definizione A32 Siano V R n e W R m due spazi vettoriali definiti sullo stesso campo K, e f : V W una applicazione lineare Sia inoltre A la matrice associata a f Si definisce nullità di A, ladimensionedelnullodia,ovvero: nullity(a) = dim N(A) (A34) Teorema A3 (Teorema fondamentale dell algebra lineare) Siano R n e R m due spazi vettoriali definiti sullo stesso campo K Siaf : R n R m una applicazione lineare con A la matrice ad essa associata Sia inoltre f 1 : R m R n l applicazione lineare inversa ed A T la matrice ad essa associata Allora per le due applicazioni f e f 1 valgono le seguenti relazioni sugli spazi immagine e spazi nulli: ed inoltre valgono la seguente relazione sulle dimensioni: R(A) = N(A T ) (A35) R(A T ) = N(A) (A36) dove rank(a) =rank(a T ) dim R n = rank(a)+nullity(a) (A37) dim R m = rank(a T )+nullity(a T ) (A38) Rev 01 Complementi per il corso di Teoria dei Sistemi e del Controllo 96 di 109

Figura A1: Decomposizione della matrice A associata all trasformata lineare f Rev 01 Complementi per il corso di Teoria dei Sistemi e del Controllo 97 di 109