Esame scritto di Elettromagnetismo del 17 Giugno 014 - a.a. 013-014 proff. F. Lacava, F. icci, D. Trevese Elettromagnetismo 10 o 1 crediti: esercizi 1,,3 tempo 3 h e 30 min; ecupero di un esonero: esercizi corrispondenti 1,,3, tempo 1h e 0 min. Esercizio 1 Due barrette sottili di lunghezza l = 5.00 cm sono allineate come in figura e sono cariche uniformemente rispettivamente con carica totale q a = 10.0 nc e q b = q a. I centri delle barrette sono distanti tra loro a = 10.0 cm. Si calcoli l intensità, la direzione e il verso del campo elettrico generato dal sistema: nel punto C intermedio tra le due barrette, b) nel punto P, posto lungo la retta su cui giacciono le due barrette, distante d = 10a dal centro C e disposto dal lato della barretta carica positivamente. c) Si confronti quest ultimo risultato con quello ottenuto approssimando il sistema delle due barrette con un dipolo equivalente posto in C. Esercizio Un cilindro conduttore infinitamente lungo di raggio = 8. cm e permeabilità magnetica relativa µ r = 1 ha una sezione, mostrata in figura, che presenta una cavità cilindrica infinitamente lunga. La cavità è centrata a distanza / dall asse ed ha raggio /. Nel conduttore scorre, parallelamente all asse con verso uscente dal piano del foglio, una corrente uniformemente distribuita I = 1 A. Calcolare la densità di corrente che scorre nel conduttore. b) Si dimostri che il campo di induzione magnetica all interno della cavità è uniforme e se ne deduca il modulo, la direzione e il verso. Successivamente viene posta una spira di raggio s =.5 cm, centrata nel punto P 1 (3 cm, 0 cm), con asse parallelo all asse del cilindro, in cui scorre in verso orario una corrente di 1.0 A. c) Si determini il momento meccanico che agisce sulla spira. Esercizio 3 Una spira quadrata di lato l = 90 cm e massa m = 80 g, è inizialmente ferma, con i lati paralleli agli assi x e y, in un campo magnetico B(x) = (B 0 + βx)ẑ con β =.5 T/m. Nella spira di resistenza = 8 Ω è inserita una batteria di forza elettromotrice f = V e un interruttore (vedi figur. Chiudendo l interruttore nel circuito passa corrente e la spira inizia a muoversi. Trascurando l autoinduzione della spira, si determini: l equazione del moto della spira; b) l andamento nel tempo della velocità della spira e se ne calcoli il valore asintotico; c) l andamento nel tempo della corrente; d) il lavoro totale della batteria e lo si confronti con l energia cinetica finale della spira..
Soluzioni Esercizio 1 a/+l/ a/-l/ -a/+l/ -a/-l/ x Sia C l origine del nostro sistema di riferimento ed indichiamo con x l ascissa, con orientazione positiva nel verso che va da C a P. Per ovvie ragioni di simmetria, nei punti dell asse x l unica componente del campo elettrico diversa da zero è la componente E x. Indicando con = q/l la densità, le barrette hanno rispettivamente densità lineare di carica ± e ll contributo al campo nel punto C, dovuto barretta con carica negativa è: Ex (x = 0) = 1 a/+l/ 4πɛ 0 a/ l/ x = 1 [ 1x ] a/+l/ 4πɛ = [ 1 0 a/ l/ πɛ 0 a l 1 ] a + l In C l altra barretta genera campo della stessa intensità E x + (x = 0) = Ex (x = 0), quindi in totale avremo : E x (x = 0) = [ 1 πɛ 0 a l 1 ] q = a + l πɛ o (a l 95.9 kv/m ) b) In un punto generico dell asse delle x con x > a/ + l/, la barretta con carica negativa genera un campo: Posto y = x x, si ottiene: Ex (x) = 1 a/+l/ 4πɛ 0 a/ l/ (x x) Ex (x) = 1 x a/+l/ dy 4πɛ 0 x a/ l/ y = 1 [ 1 ] x a/+l/ 4πɛ 0 y x a/ l/ che per x = 10 a ci porta alla conclusione: Ex (10 = 1 [ ] 1 4πɛ 0 10a a/ + l/ 1 10a a/ l/ Procedendo in modo analogo con l altra sbarretta: da cui: che calcolata in x = 10 a E + x (x) = 1 a/+l/ 4πɛ 0 a/ l/ (x x) = 81.59 V/m E x + (x) = 1 x+a/+l/ dy 4πɛ 0 x+a/ l/ y = 1 [ 1 ] x+a/+l/ = 4πɛ 0 y x+a/ l/ E + x (x)(10 = 1 4πɛ 0 [ ] 1 10a + a/ l/ 1 10a + a/ + l/ = 99.68 V/m In totale quindi: E x (x = 10 = E x (10 + E + x (10 = 18.09V/m
c) Approssimando il sistema delle barrette come un dipolo equivalente di modulo pari a p = q a il campo in x = 10 a è: E x (dip) = qa = 17.98 V/m πɛ 0 (10 3 Differisce quindi dal valore precedentemente calcolato E x E x (dip) E x = 0.6%
Esercizio La corrente è I = J ) (π π = Jπ 3 4 4 da cui J = 4 I = 0.76 ka/m 3 π b) Usando il principio di sovrapposizione, il campo di un cavo in cui scorre una densità di corrente J si può ricavare dal teorema di Ampère: da cui Per la parte cava quindi πrb 1 = µ 0 Jπr B 1 = µ 0J ẑ r B = µ 0J ẑ (r r 0) B = µ 0J ẑ r 0 nel tratto cavo il campo di induzione magnetica è uniforme, diretto sull asse y e vale B = µ 0J = 1.95 10 5 T Si può arrivare allo stesso risultato calcolando e sommando le componenti dei campi B 1 e B. Infatti le componenti x e y di B 1 sono: B1 x = µ 0Jr sin θ = µ 0Jr y r = µ 0Jy B y 1 = µ 0Jr cos θ = µ 0Jr x r = µ 0Jx essendo θ l angolo al centro. Analogamente si calcolano le componenti per B : B x = µ 0Jy B y = µ 0J(x 0 x) essendo x 0 la distanza tra i centri dei due cilindri. Sommando le componenti, si ottiene: B x T = 0 B y T = µ 0Jx 0 = µ 0J 4 c) Il momento magnetico della spira è In campo uniforme si ha il cui valore è M = 3.8 10 8 N m in direzione x. m = I s π s M = m B
Esercizio 3 Alla chiusura dell interruttore nella spira passa corrente e sui lati paralleli all asse y sono presenti due forze uguali ed opposte: m dv dt = ilb(x + l) ilb(x) = il [(B 0 + β(x + l)) (B 0 + βx)] = βl i b) Il flusso di B concatenato con la spira è: che produce una f.e.m. indotta: l equazione del circuito è: Si ha quindi il sistema di equazioni: Φ B (x) = x+l x (B 0 + βx)l dx = B 0 l + 1 βl3 + βl x f i = dφ dt = βl v f + f i = i f βl v = i { m dv dt = βl i f βl v = i icavando la corrente dalla seconda equazione e sostituendo nella prima si trova l equazione del moto: che integrata dà l espressione della velocità: v(t) = f ( ) βl 1 e t τ con m dv dt = f βl βl v τ = m β l 4 e velocità asintotica v( ) = f = 0.99 m/s. βl c) Ne segue che la corrente varia secondo l espressione: i(t) = f e t τ d) L energia cinetica finale della spira è: Il lavoro totale fatto dalla batteria è: K = 1 mv = 1 ( ) f m βl = 39 mj. L G = 0 fi dt = f 0 e t f ( ) f τ dt = τ = m βl = 78 mj. L energia fornita dal generatore è il doppio dell energia cinetica, la differenza, pari a quest ultima, è dissipata in effetto Joule nella resistenza come è facile verificare dal calcolo diretto.