Le Galassie. Lezione 6

Le Galassie Lezione 6

Il Teorema del Viriale Consideriamo un sistema di N particelle in interazione gravitazionale con masse mα (α=1,2,...,n) alle posizioni x α Per ogni stella α d dt (m α v α ) = β α α d dt (m α v α ) x α = Gm α m β x α x β 3 ( x α x β ) + F α ext = m α φ( x α ) α,β α Forza esterna, esempio interazione con materia oscura, gas Faccio il prodotto scalare membro a membro con x α e sommo su α: Gm α m β x α x β 3 ( x α x β ) x α + α F α ext x α Analogamente per la stella β β d dt (m β v β ) x β = β,α β Gm β m α x β x α 3 ( x β x α ) x β + β F β ext x β 2

Il Teorema del Viriale Sommando membro a membro e dividendo per 2: α d dt (m α v α ) x α = 1 2 α,β α Gm α m β x α x β + α F α ext x α Notando che d dt (m α v α ) x α = 1 2 d 2 dt 2 (m α x α x α ) m α v α v α I = α m α x α x α Momento di inerzia del sistema K = 1 2 si ottiene α m α v 2 α α Energia cinetica totale d dt (m α v α ) x α = 1 2 d 2 I dt 2 2K 3

Il Teorema del Viriale Energia potenziale del sistema: φ( x α ) = β α Gm β x α x β W = 1 2 da cui V ρ( x)φ( x)d x 3 = 1 2 W = 1 2 α,β α α m α φ( x α ) Gm α m β x α x β Si ottiene infine 1 2 d 2 I dt 2 2K = W + α F α ext x α Mediando membro a membro sul tempo τ, per τ si ottiene (di/dτ è finito) 1 2τ [ di dt ] di (τ) dt (0) = 2 K + W + α F α ext x α 2 K + W + α F α ext x α = 0 4

Il Teorema del Viriale Consideriamo un sistema di particelle in interazione gravitazionale legato ed in equilibrio per cui si possono trascurare le forze esterne. Per esso vale il teorema del Viriale: < W > + 2 < K >=0 < W > è l energia gravitazionale media totale del sistema; < K > è l energia cinetica totale media. < W > e < K > sono valori medi su tempi lunghi rispetto ai tempio scala del sistema. Indichiamoli per semplicità con W e K. K>0 per definizione di energia cinetica (< K > = < Σi 1/2 mi vi 2 >) da cui necessariamente risulta < W > < 0 (è un sistema legato...). Definendo l energia totale del sistema E = W+K il teorema del viriale si può riscrivere come E = 1/2 W oppure E = -K 5

La Massa degli Sferoidi Uno sferoide è caratterizzato da moti caotici per cui la curva di rotazione quando non è completamente piatta non dice molto sulla massa totale come per i dischi delle spirali. Consideriamo un sistema di N stelle, il teorema del viriale si può esprimere come: consideriamo per semplicità un ammasso sferico di raggio R, con N stelle di massa m per cui M = m N ma 1 N N i=1 v 2 i 2 N M N i=1 1 2 m iv 2 i N i=1 con l assunzione di un sistema isotropo in cui, per l equipartizione, la dispersione di velocità osservata lungo la linea di vista σr è 1/ 3 del totale. v 2 i = W = W = v 2 = v 2 r + v 2 θ + v 2 φ 3 v 2 r = 3σ 2 r 6

La Massa degli Sferoidi Consideriamo una sfera di densità uniforme, di massa M e raggio R, allora W = 1 2 R 0 ρ(r)φ(r)4πr 2 dr = 3 GM 2 5 R applicando il teorema del viriale: Cappellari et al. 2006 3Mσ 2 r = 3 5 GM 2 R M virial = 5Rσ2 r G questa è la cosiddetta massa viriale. In generale: M virial = f Rσ2 r G Si può usare per calcolare il rapporto M/L del sistema. La figura mostra che Mvir è un ottima approssimazione rispetto a misure di M da modelli dinamici completi galassie non sono troppo complicate! best fit rel. 1:1 7

Teorema del viriale tensoriale E se il sistema avesse una distribuzione di velocità anisotropa o semplicemente una componente di rotazione ordinata, buttiamo via tutto? Ovviamente no. Consideriamo l equazione di partenza (F=ma per stella α, senza forze esterne): d dt (m α v α ) = β α 1 d 2 I zz 2 dt 2 = 2K zz + W zz I zz = con m α zα 2 α K zz = 1 2 m α v z 2 α W zz = 1 3 Gm α m β (z α z β ) 2 2 x α x β α Gm α m β x α x β 3 ( x α x β ) α,β α z α = z α k Ripetiamo la dimostrazione del teorema del viriale ma usando invece di x α = x α i + y α j + z α k ovvero considerando una sola direzione spaziale. Si ottiene: 8

Teorema del viriale tensoriale ovvero, facendo la media sul tempo τ 2 K zz + W zz = 0 Teorema del Viriale Tensoriale: come il teorema del viriale ma per la sola componente z. Relazioni analoghe valgono per x e y. Se una galassia è schiacciata in xy ed è assi-simmetrica rispetto a z allora W zz > W xx = W yy segno > perché W è negativa. Allora la galassia deve essere anisotropa : 1 2 σ2 z < 1 2 σ2 x = 1 2 σ2 y Se ho una componente di rotazione ordinata V sul piano xy (la stessa in media lungo x e lungo y) allora posso scrivere: 1 2 σ2 z < 1 2 σ2 x + 1 2 V 2 = 1 2 σ2 y + 1 2 V 2 In questo caso posso mantenere l isotropia σz 2 = σx 2 = σy 2 e lo schiacciamento è supportato dalla rotazione ordinata. 9

Leggi Scala delle Galassie Si mettono in relazione i vari parametri strutturali ottenibili per una galassia per cercare di capire le proprietà fisiche. Attenzione però a non abusare delle correlazioni! observable universe Kennicutt 1989 Venus Yellowstone Park forest fire Jeep Cherokee running in a garage burning cigar Kennicutt, 1989 10

Leggi Scala nelle Spirali Le curve di rotazione delle galassie a spirale sono piatte a grandi raggi (misure HI) quindi VC è una caratteristica della galassia (si può usare la larghezza della riga HI indicata con W o ΔVC). Vc correlata con la luminosità della galassia Relazione Tully-Fisher: L ~ VC α Qual è il significato fisico? Indicatore di Luminosità! Massa della galassia: M = VC 2 R / G Rapporto M/L: M = L (M/L) = L Υ Brillanza superficiale μ: L = μ πr 2 Si può quindi scrivere: L VC 4 / ( μ Υ 2 ) μ Υ 2 ~ cost. stretto legame tra stelle (L) e materia oscura (M). 11

Leggi Scala nelle Ellittiche Le ellittiche più luminose sono più grandi ed hanno una surface brightness minore ovvero la loro densità di luminosità sul piano del cielo è minore rispetto alle galassie meno luminose. Le galassie de e dsph hanno un comportamento completamente diverso dalle Ellittiche e dai Bulge delle spirali! log Re = γmb +δ Re LB -2.5γ μb = αmb +β Re LB (1-α)/2 µ B = 2.5 log ( FB πr 2 e ) + ZP B M B = 2.5 log L B + M B Le due relazioni sono equivalenti! 12

Leggi Scala nelle Ellittiche Kormendy relation Ellittiche Faber-Jackson relation Σ(Re) [V mag arcsec -2 ] log Re [kpc] Ellittiche Bulges log σe = αmb +β σe LB -2.5α LB σe 4 Queste relazioni hanno una dispersione più grande di quanto ci si aspetterebbe dagli errori di misura (χ 2 >1). La dispersione intrinseca è la dispersione dei residui (σres) del fit dopo aver tolto gli errori Δ: σint 2 = σres 2 -Δ 2 13

Il Piano Fondamentale La dispersione delle correlazioni L-σ, L-R, μ-σ è grande e comunque queste relazioni sono legate tra loro. Consideriamo i 3 parametri indipendenti, μ, σ, R (oppure L, σ, R): esiste una relazione fondamentale? La relazione fondamentale è un piano nello spazio dei tre parametri: log Re = α log σe +β log μe detto piano fondamentale. E equivalente a Re σe 1.4 μe -0.85 Le altre relazioni sono proiezioni del piano fondamentale e hanno quindi dispersione maggiore! 14

Il Piano Fondamentale Re σe 1.4 μe -0.85 Qual è il suo significato fisico? Non è altro che una relazione tra rapporto M/L (caratteristico di una popolazione stellare, della sua storia di formazione ed evoluzione) e luminosità L della galassia. Teorema del Viriale: M = ξ σe 2 Re / G Definizione di μ: L = 2μe π Re 2 Re σe α μe -β σe α Re 2β-1 L β σe 1.4 Re 0.7 L 0.85 (σe 2 Re) 0.7 L 0.85 M 0.7 L 0.85 M/L L 0.21 ovvero M/L dipende debolmente dalla Luminosità. Le galassie più massicce sono quelle con M/L più elevato quindi hanno popolazioni stellari più vecchie. La dipendenza di M/L da L derivata dal piano fondamentale che implica una variazione di popolazioni stellari e struttura delle galassie è nota come TILT del piano fondamentale. 15

Funzione di Luminosità delle galassie La funzione di luminosità delle galassie ϕ(l) è definita da dn = ϕ(l) dl dn è il numero di galassie per unità di volume con luminosità tra L e L+dL. ϕ(l) si misura di solito in h -3 Mpc -2 ; h -3 serve per togliere la dipendenza dalla costante di Hubble H0 = 100 h km/s/mpc (h=0.72). La forma funzionale che meglio descrive la funzione di luminosità è la cosiddetta funzione di Schechter: Φ(L) dl ( ) α L L = Φ L exp( L/L ) dl L L ~ L -α L ~ exp(-l/l ) ϕ normalizzazione, α pendenza a basse L e L luminosità caratteristica (L>0.1 L bright galaxy). La densità totale di galassie è: n T ot = Φ(L)dL = Φ Γ(α + 1) La densità di luminosità totale è: ρ L = LΦ(L)dL = L Φ Γ(α + 2) log Lϕ(L) [ Mpc -3 ] ϕ log L [L ] L 16

Funzione di Luminosità delle galassie ϕ(l) ρ(l) ~L ϕ(l) ϕ(l) globale è caratterizzata da: L 9 10 9 h -2 L corrispondente a M(BJ)=-19.7+5 log h h=0.7 L 2 10 10 L (circa come Milky Way); ϕ 0.02 h 3 Mpc -3 ; α = 0.46. ρl(bj) 2 10 8 h L Mpc -3 e ρl(k) 6 10 8 h L Mpc -3 17