Il Piano Fondamentale e il k-space

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1 Il Piano Fondamentale e il k-space Corso Astrofisica Generale Mod.B - A.A Alessandro Pizzella Dipartimento di Astronomia Università di Padova v Dicembre

2 Contents 1 Il Piano Fondamentale Lo spazio delle Galassie Piano Fondamentale delle ellittiche Lo spazio k Evoluzione con z e D n σ evoluzione con z Distanze con il FP ovvero D n σ

3 Chapter 1 Il Piano Fondamentale Il concetto di Piano Fondamentale (FP) venne introdotto per la prima volta da Djorgovsky e Davis (1987) per le galassie ellittiche. Essi mostrarono come questi oggetti, se si rappresentano in uno spazio a tre dimensioni in base alla loro luminositá L, dispersione di velocitá stellare σ 0 e brillanza superficiale I e (definita come la brillanza superficiale media entro il raggio effettivo r e, cioé I e = L e /πr 2 e) non si distribuiscono su tutto il volume ma definiscono un piano detto appunto Piano Fondamentale. Il Piano Fondamentale é importante perché fornisce un collegamento diretto tra i parametri fisici fondamentali delle galassie. Facendo un parallelismo, questo piano assume per le galassie la stessa importanza del diagramma di Hertzsprung-Russel (HR) per le stelle. Infatti, l esistenza di tale piano non puó che essere collegata a fenomeni fisici che regolano la nascita e l evoluzione delle strutture galattiche e, in questo senso, diviene uno strumento potente per l indagine e l interpretazione di tali processi. Nei paragrafi successivi, analizzeremo come si é arrivati alla deduzione del Piano Fondamentale per le galassie ellittiche e come Burnstein et al. (1997) siano riusciti ad estendere tale risultato anche a galassie di altri tipi morfologici. 1.1 Lo spazio delle Galassie Si consideri il G-spazio a tre dimensioni (spazio delle galassie, Brosche (1973)), i cui gli assi rappresentano una misura della dimensione della galassia (massa, o luminositá o raggio), della densitá (o brillanza superficiale) e della temperatura cinetica delle stelle (energia cinetica per unitá di massa, se domina la velocitá ordinata o dispersione di velocitá nel caso contrario). Sui piani coordinati di questo G-spazio si possono ritrovare alcuni dei diagrammi familiari nell astronomia extragalattica ed in cosmologia: la relazione di Tully-Fisher (TF) o la relazione Faber-Jackson (FJ) sul piano definito dalla luminositá vs. l energia cinetica per unitá di massa, il cooling diagram sul piano densitá proiettata vs.temperatura cinetica, o la relazione di Kormendy sul piano raggio vs. brillanza superficiale o massa vs. densitá. Le galassie dei diversi tipi morfologici (spirali, ellittiche;...) si dispongono su superfici 2-D nello spazio G, generalmente inclinate rispetto agli assi. Come le stelle della sequenza principale descrivono una sequenza di massa unidimensionale su di un piano definito dalla luminositá e temperatura (diagramma HR), cosí le galassie formano sequenze 2-D nel G-spazio. I parametri globali delle galassie ellittiche che descrivono la loro struttura dinamica e tutte le loro proprietá generali sono unificati in un piano che é il piano fondamentale. 3

4 Figure 1.1: Piano fondamentale per le galassie ellittiche dell ammasso di Coma (Jorgensen et al. 2006). I punti indicano le misure. La linea indica la relazione prevista dal teorema del viriale per sistemi omologhi e quindi con coefficienti A = 2, B = l. Vi é una chiara discordanza tra i dati e le previsioni del teorema del viriale. 1.2 Piano Fondamentale delle ellittiche Dal teorema del viriale scalare in condizioni stazionarie l energia cinetica T di una galassia e l energia potenziale Ω sono legate dalla relazione: Segue che: 2T = Ω (1.1) G M R = V 2 (1.2) dove G é la costante gravitazionale, M la massa, V 2 viene intesa come la velocitá quadratica media pesata sulla massa ed R il raggio gravitazionale caratteristico della struttura, pure pesato sulla distribuzione di massa. Sia r e una dimensione radiale definita osservativamente tramite profili teorici di luminositá superficiale, allora: r e = k R R (1.3) dove il parametro k R contiene le informazioni sull andamento del profilo della densitá all interno della galassia, informazioni che non si possono ottenere esclusivamente sulla base della determinazione di r e. Analogamente, consideriamo una quantitá che misuri il supporto delle strutture: nel caso delle galassie ellittiche, strutture essenzialmente sostenute dalla dispersione di velocitá delle stelle, la determinazione piú adatta é la dispersione centrale di velocitá σ 0. Si avrá: σ 2 0 = k V V 2 (1.4) 4

5 Il parametro k V riflette la struttura cinematica della galassia, cioé, il profilo della dispersione di velocitá, eventuali anisotropie, e la possibile influenza della velocitá di rotazione sulla cinematica della galassia. Sostituendo (1.3) e (1.4) nella (1.2) si ottiene: dove il parametro c 2 viene definito come: Ci serviamo della (1.5) e dell identitá M = c 2 σ 2 0 r e (1.5) c 2 = (Gk R k V ) 1 (1.6) L = c 1 I e r 2 e (1.7) in cui si é definito I e = L B (r e )/2πre 2, detta brillanza superficiale media efficace. Una volta assunto per tutte le galassie lo stesso profilo di luminositá (cioé assumendo che esse siano, da questo punto di vista, una famiglia omologa), nel caso specifico quello di de Vaucouleurs, e per come é stata definita I e, c 1 risulta costante per tutte le galassie; c 2, invece, dipende dalla massa e dalla dispersione di velocitá all interno della galassia, ed é costante solo se assumiamo che la famiglia delle galassie considerate sia omologa. Si ottiene cosí la relazione: ( ) M 1 r e = (c 2 c 1 1 ) σ0 2 L I 1 e (1.8) A priori, all interno dello spazio tridimensionale (r e - σ 0 - I e ) l equazione (1.8) non definisce immediatamente un luogo geometrico preciso. In ogni punto di tale spazio, i valori assunti da c 2 ed M/L potrebbero variare di molto da galassia a galassia, in tal caso la distribuzione delle galassie potrebbe riempire tutto lo spazio in modo omogeneo. Se, invece, tutte le strutture galattiche fossero rigorosamente omologhe e, inoltre, il rapporto M/L fosse costante al variare della massa (e della luminositá), cosa che uno si aspetta come conseguenza della omologia, allora una relazione del tipo: r e σ A 0 I B e (1.9) con A = 2, B = l, definirebbe univocamente le condizioni fisiche della galassia. Le galassie si disporrebbero perció sul piano definito dal teorema del viriale in forma scalare con gli esponenti suddetti. I valori osservati dei coefficienti A e B sono lontani invece piú di 3σ dai valori attesi. Djorgovski e Davis (1987) determinarono per la prima volta i coefficienti del Piano Fondamentale ottenendo, in banda B A = 1.39 ± 0.15 e B = 0.9 ± 0.1, che differiscono dai valori previsti dalla semplice applicazione del teorema del viriale avendo assunto l omologia. Questo implica la presenza di un piano preferenziale all interno del G-spazio, perció il prodotto c 2 (M/L) 1 deve potersi esprimere tramite una legge di potenza in funzione delle variabili r e, σ 0 o I e. Gli autori ottennero una nuova relazione di scala che é l equazione di una superficie: M(r e ) = 8.62(log σ µ ) 6.71 (1.10) log r e = 1.39(log σ µ ) 6.71 (1.11) dove µ é la brillanza superficiale espressa in unitá di mag arcsec 2. Il fatto che i valori di A e di B osservati si discostano dai valori A = 2, B = l previsti dal teorema del viriale viene anche indicato con il termine tilt del piano fondamentale. In figura 1.1 mostriamo come i valori misurati di r e, σ 0 e I e sono legati tra loro. Lungo l asse x viene mostrato log r e, lungo l asse y la combinazione lineare 2 log σ 0 1 log I e. Se vale l eq. (1.9) e con i coefficienti sono effettivamente A = 2, B = l allora i punti dovrebbero disporsi su di una 5

6 retta con coefficiente angolare pare ad 1 ed indicata dalla linea nella figura. Questo invece non avviene. A questo proposito é importante notare come questo tipi di lavoro si applichi spesso ad ammassi di galassie. Uno dei motivi principali risiede nel fatto che le galassie di ammasso sono tutte alla stessa distanza. Questo permette di evitare un maggiore scarto dei punti dovuto ad errori nel calcolo delle distante. Di nuovo é valido qui il parallelo con il diagramma HR che spesso viene applicato ad ammassi aperti o chiusi in modo da non avere problemi nel calcolo delle distanze. L esistenza del tilt significa che nell applicazione del viriale qualche ipotesi non é effettivamente valida. Essenzialmente l ipotesi che non é valida é la costanza del rapporto M/L che varia al variare della massa della galassia. 1.3 Lo spazio k Bender et al. (1992) hanno introdotto un sistema di coordinate ortogonali, chiamato sistema k, in grado di descrivere il Piano Fondamentale in maniera piú significativa. Le variabili introdotte sono costruite solo con gli osservabili senza l introduzione di alcuna ipotesi di carattere teorico. Il k-space ha inoltre il vantaggio di fornire una vista di taglio e quasi frontale del Piano Fondamentale delle galassie cosiddetto dynamically hot (DHGs), ovvero sostenute dalla pressione macroscopica dovuta ai moti caotici delle stelle. Gli assi dello spazio k, sono (Bender et al., 1992): k 1 log(m/c 2 ), proporzionale al logaritmo della massa della galassia; k 2 log(c l /c 2 )(M/L)I 3 e, proporzionale al logaritmo del prodotto (M/L)I 3 e ; k 3 log(c l /c 2 )(M/L), proporzionale al logaritmo del rapporto (M/L). Piú precisamente le coordinate nello spazio k, per quanto riguarda le DHGs sono definite da: k 1 (log σ log r e )/ 2 (1.12) k 2 (log σ log I e log r e )/ 6 (1.13) k 3 (log σ 2 0 log I e log r e )/ 3 (1.14) Solitamente si definiscono i parametri fotometrici dei sistemi stellari autogravitanti, in equilibrio, usando la banda B, essendoci una gran quantitá di dati disponibili nella fotometria in B. Si utilizzano i dati fotometrici per ottenere una misura del raggio effettivo r e, contenente metá della luminosità e misurato in kpc e la brillanza superficiale media I e entro il raggio effettivo, misurata in L pc 2. La dispersione di velocitá centrale σ 0 in Km/s é invece ottenuta dallo studio spettroscopico. Burstein et al. (1997) hanno evidenziato come ogni tipo di sistema stellare popoli il proprio Piano Fondamentale nello spazio k, ed indicano con il termine di cosmic metaplane l insieme di questi piani fondamentali collegati tra loro che coprono l intero range di strutture autogravitanti dagli ammassi globulari agli ammassi di galassie, vale a dire un range di circa dieci ordini di grandezza in massa. Nella Fig.1.2 viene mostrato un esempio di come le galassie si dispongono nello spazio k. Nella proiezione k 1 k 3 (M/L vs. M) si possono visualizzare tutti i piani di taglio dove si nota come il rapporto M/L aumenti con la massa. Nella proiezione k 1 k 2 i piano fondamentali sono visti quasi frontalmente. Mentre k 2 k 3 mostra le proiezioni delle pendenze leggermente diverse per i diversi piani (anche se non sono particolarmente significative). Per le galassie a spirale ed irregolari (Fig. 1.3), i parametri k calcolati da Burstein et al. (1997) sono 6

7 Figure 1.2: Piano Fondamentale nello spazio k per le galassie ellittiche di Coma e Vergine, mostrato lungo le tre orientazioni (vedi testo). k 1 (log V 2 rot + log r e )/ (1.15) k 2 (log V 2 rot + 2 log I e log r e )/ (1.16) k 3 (log V 2 rot log I e log r e )/ (1.17) dove V 2 rot é la velocitá di rotazione massima osservata. Nella figura 1.3 sono riportati i parametri k per alcune galassie a spirale nell ammasso della Vergine ed alcune ellittiche nell ammasso della Vergine e Coma. Il FP definito da queste galassie ellittiche é dato dalla retta sul piano k 1 k 3 (dove il FP é visto di taglio). La sua equazione é: ovvero, in unitá solari: k 3 = 0.15k (1.18) log(m e /L e ) = log M e 1.25 (1.19) Quest ultima equazione definisce convenzionalmente il Piano Fondamentale per le DHGs in termini di rapporto M/L: M e /L e Me Le galassie a spirale in tale spazio hanno una distribuzione molto simile a quella delle galassie ellittiche anche se non esattamente coincidente. Infatti come si puó vedere, le spirali della Vergine definiscono un secondo Piano Fondamentale che é quasi parallelo a quello definito 7

8 Figure 1.3: Come al figura 1.3 ma per galassie di diverso tipo morfologico e stato dinamico. dalle DHGs, ma spostato nella direzione di rapporti M/L piú bassi di circa un fattore 2 per la massa fissata. La linea diagonale tratteggiata nel piano k 1 k 2 di figura 1.3 delinea la zona di esclusione ZOE (Zone Of Exclusion) per le galassie DHG, espressa dalla disequazione: k 1 + k 2 8 (1.20) Si puó notare come nessun sistema stellare entri nella ZOE. In termini fisici, questo significa che la massima densitá di luminositá globale dei sistemi stellari varia come Me 4/3. Infatti, definendo una densitá di volume effettiva: j e L e (4/3πr 3 e) 1 (1.21) che nel sistema di unitá adottato é I e /r e L pc 3, si puó riscrivere l equazione 1.20 nella forma: log M e log j e (1.22) ovvero, approssimativamente: j e const M 4/3 e (1.23) Le galassie Sa-Sb si trovano piú lontano dalla ZOE rispetto alle E, mentre le Sm e le Irr ancora di piú. In generale le galassie a spirale piú early sono distribuite in modo simile alle 8

9 galassie ellittiche ma leggermente spostate in ciascuna proiezione dello spazio k. In conclusione, ciascun tipo di sistema stellare popola il proprio Piano Fondamentale nello spazio k. Ció che é notevole é che i coefficienti che definiscono ogni piano (A, B) sono molto simili cosí come il tilt misurato da α, mentre ció che cambia é il punto zero del piano dovuto al diverso rapporto M L per gli oggetti considerati. Prendendo come riferimento il Piano Fondamentale per le DHGs, si puó concludere dicendo: le spirali Sa-Sc occupano un piano quasi parallelo ma leggermente spostato a valori piú bassi di M/L; le Scd-Irr occupano un piano con tilt di poco differente e punto zero simile alle Sa-Sc. Tutti i tipi di galassie mostrano perció una mutua dipendenza dall entitá del supporto che le caratterizza, dalla brillanza superficiale effettiva e dal raggio effettivo, che caratterizza il FP, trovato e definito per la prima volta per le galassie ellittiche, e mostrato poi empiricamente essere il denominatore comune per le galassie di tutti i tipi morfologici. 1.4 Evoluzione con z e D n σ Pur non essendo completamente chiari i processi fisici che contribuiscono a formare il piano fondamentale, questo non impedisce di utilizzarlo come strumento per nuove conoscenze. Le applicazioni principali che menzioniamo sono due. Una riguarda la determinazione delle distanze e l evoluzione delle galassie ellittiche con z evoluzione con z I diagrammi magnitudine colore (piú pratici ma che forniscono la stessa informazione del diagramma HR) vengono utilizzati per stabilire l etá degli ammassi globulari o aperti ovvero per stabilire il loro stato evolutivo. In maniera analoga (anche se in questo caso l analogia é piú debole che in altri casi precedentemente visti) il FP puó essere utilizzato per ottenere informazioni circa l evoluzione di un ammasso di galassie. L equazione (1.9) passando ai logaritmi, puó essere riscritta nella forma log r e α log σ 0 + βi e + γ (1.24) Variazioni delle pendenze α e β e dell intercetta γ possono essere interpretate come evoluzione della popolazione stellare. Se definiamo come massa dinamica della galassia la quantitá M 5σ2 0r e G e immaginiamo che σ 0 e r e non evolvono per l i-esima galassia di un ammasso allora (1.25) γ i log r i e α log σ 0i βi i e (1.26) Un discostamento dal FP (cioé un γ i γ i γ 0) é legato ad una differenza del rapporto M/L ( ) M i log = γi (1.27) L 2.5β Lo scarto intrinseco del FP, che i dati della SDSS indicano essere dell ordine di 0.1 in log r e, é una misura della omogeneitá della popolazione stellare. 9

10 Figure 1.4: Visione di taglio del FP per intervalli di redshift. La linea continua mostra il FP per l ammasso di Coma. Figure 1.5: Discostamento del FP a diversi z in termini di massa dinamica (eq. 1.25). Si vede come vi sia una maggiore evoluzione a piccole masse. Le righe tratteggiate indicano gli andamenti aspettati per popolazioni stellari che si sono formate da un singolo episodio di formazione stellare a diverse epoche (z f ). I diversi simboli si riferiscono a galassie di diversa massa secondo la legenda posta nella parte inferiore della figura. Nella figura 1.4 viene mostrato il discostamento dal FP definito dall ammasso della Coma. Per diversi redshift il discostamento del FP a z = 0 (quello di Coma) aumenta, e di conseguenza anche il valore di γ Trasformando il γ in M/L secondo l eq,(1.27) e trasformando il tutto in masse dinamiche (eq otteniamo il risultato mostrato in figura 1.4. Nella figura sono anche mostrate le traccie evolutive previste per popolazioni stellari formatesi in un unico episodio di formazione stellare a diversi redshift (z f = 1, 2, 5). I sistemi piú massicci sembrano seguire una evoluzione passiva con una epoca di formazione ad alti z. I sistemi con masse piú piccole sono sistematicamente piú giovani e mostrano una dispersione maggiore, implicando una epoca piú recente di formazione o episodi secondari di formazione stellare che ne ha ringiovanito la popolazione. É possibile verificare che episodi di formazione stellare recenti sono responsabili per il trend evidenziato nella figura 1.5 confrontando il valore di M/L con modelli diagnostici indipendenti come ad 10

11 esempio il colore (rest-frame ovviamente) Distanze con il FP ovvero D n σ Come la relazione di Tully-Fisher é utilizzata per derivarne la distanza. delle galassie a spirale, cosí il piano fondamentale é utilizzato per derivare la distanza della galassie ellittiche. Infatti le relazioni coinvolgono quantitá dipendenti dalla distanza (luminositá e dimensione) con quantitá indipendenti dalla distanza (dispersione di velocitá σ o velocitá di rotazione del gas). Una volta definito il FP (o la relazione TF) posso determinare la distanza di una galassia come quella distanza per cui una galassia di una certa luminositá apparente ed un certo raggio nel piano del cielo si posiziona nel piano fondamentale in accordo con la sua σ. Vi sono peró delle differenze tra FP e TF. Come abbiamo visto dall equazione (1.2) derivata dal teorema del viriale M/R V 2 (1.28) si assume che le galassie abbiano tutte lo stesso rapporto M/L e che abbiano tutte la stessa brillanza superficiale Σ con Σ = L/R 2. Si puó peró facilmente vedere che con queste condizioni L V 4 (1.29) dove V é il moto delle particelle nella galassia. Nel caso delle galassie a spirale V é la velocitá di rotazione del gas nel disco e la (1.29) non é altro che la relazione TF. Nel caso delle galassie ellittiche la (1.29) é chiamata Faber-Jackson (FJ) e V é la dispersione di velocitá delle stelle σ nel centro. Chiaramente peró le galassie NON hanno tutte la stessa brillanza superficiale. Se prendiamo la relazione Σ = L/R 2 e la sostituiamo nell equazione (1.28) (mantenendo l assunzione che il rapporto M/L sia costante) otteniamo una relazione del tipo L V 4 Σ 1 (1.30) che é una relazione tra luminositá L, brillanza superficiale Σ e dispersione di velocitá σ. Le osservazioni di galassie ellittiche mostrano che se come L viene utilizzata la luminositá totale in banda B, viene considerata la dispersione di velocitá stellare centrale σ come V e Σ viene assunta come la brillanza superficiale media misurata entro il raggio di metá luce r e, gli esponenti nella equazione (1.30) non sono 4 e -1 ma 2.7 e Questo é il piano fondamentale visto nel paragrafo 1.2. Abbiamo giá accennato a come il FP abbia delle analogie al diagramma HR delle stelle. Cosí come le stelle non occupano tutto il piano temperatura-luminositá ma si dispongono lungo la sequenza principale (monodimensionale), cosí le galassie non occupano tutto il volume L B σ µ(r e ) ma si dispongono come su di un piano. Si puó spingere il paragone un po piú in lá. Quando si studiano le stelle Cefeidi, é possibile aggiungere sostituire nel diagramma HR un asse con il periodo di pulsazione. Allo stesso modo il FP ha proiezioni aggiuntive. Esiste una relazione tra la luminositá di una galassia e la sua metallicitá media (galassie piú luminose sono piú metalliche). L intensitá della riga di assorbimento del magnesio Mg 2 puó quindi sostituire uno degli assi. Oppure, dato che la metallicitá é legata al colore, si puó sostituire quest asse con il colore di una galassia. L equazione (1.30) non viene applicata sempre in maniera diretta. Ad esempio, la quantitá L/Σ ha le dimensioni di una supeficie. É possibile allora prendere la radice di L/Σ in modo da ottenere una quantitá D n con le dimensioni di un diametro che rappresenta la dimensione caratteristica di una galassia. Le relazione effettiva misurata per le galassie dal gruppo detto Sette Samurai (Burstein, Davies, Dressler, Faber, Lynden-Bell, Terlevich, e Wegner) che hanno introdotto questa tecnica é D n σ 1.2 (1.31) 11

12 dove quindi D n é il diametro definito da una apertura circolare centrata sulla galassia che racchiude una brillanza superficiale media di 20.75mag/arcsec 2. Questa relazione é detta relazione D n σ e rappresenta il piano fondamentale proiettato lungo la direzione per cui il piano L Σ é visto di taglio. Figure 1.6: Relazione D n σ per diversi ammassi di galassie piú o meno ricchi di galassie ellittiche Con la relazione D n σ é possibile determinare la distanza degli ammassi di galassie. É fondamentale notare infatti che il valore di D n dipende dalla distanza. Una volta calibrata su ammassi vicini (Virgo, Coma) la cui distanza é nota anche in base ad altri indicatori, é sufficiente plottare il grafico D n σ per un certo numero di galassie ellittiche dell ammasso e determinare la distanza a cui l ammasso va messo in modo da ritrovare la D n σ giá calibrata. In questo senso la relazione D n σ ha un grande vantaggio rispetto alla TF. Le galassie ellittiche sono infatti molto numerose negli ammassi. la determinazione della distanza di un ammasso ricco migliora come N dove N é il numero di galassie per cui si hanno misure. Da un punto di vista pratico, si fanno le seguenti considerazioni. Il termine r e, normalmente espresso in kpc, puó essere espresso come r e = θ e d ang (1.32) 12

13 dove d ang indica la distanza angolare (=d comovente /(1 + z)) e θ e r e proiettato in cielo. Infatti quello che viene effettivamente misurato é θ e. Il piano fondamentale puó allora essere scritto, seguendo la forma dell eq (1.24), come log r e = log(θ e d ang ) = α log σ 0 + βi e + γ (1.33) Nel momento in cui consideriamo note le costanti α, beta e γ in quanto calibrate con ammassi di distanza nota, possiamo ricavare il termine log d ang. Ovviamente d ang viene considerata costante per ogni ammasso dato che consideriamo le galassie dell ammasso tutte equidistanti da noi. Per mettere in evidenza la presenza di velocitá peculiari, possiamo disegnare un grafico simile a quello presentato in Fig.1.6, ma con la variabile d n cz in asse Y. d n é definita come θ n /(H ) dove θ n é il valore di D n misurato in cielo. Per capire cioé che stiamo facendo, scriviamo esplicitamente il valore della velocitá di un ammasso come cz = V pec + DH 0 (1.34) dove z é il redshift misurato per l ammasso, V pec la velocitá peculiare (da determinare) e D la distanza (da determinare)). Possiamo quindi dire che il (vero) valore di D n é D n = θ n D = d n(cz V pec ) (1.35) Se V pec = 0 allora D n = d n cz ed i grafici nelle Fig. 1.6 e 1.7 coincidono. Se invece V pec 0 allora avremo uno spostamento lungo l asse Y pari a d n V pec. Il valore di V pec é allora determinato dallo spostamento che é necessario applicare alla relazione d n cz σ affinché si sovrapponga alla relazione D n σ. A onor del vero la prima figura ad essere derivabile dai dati é la Fig.1.7. La Fig. 1.6 viene derivata da questa una volta determinata V pec (e quindi gli spostamenti verticali). 13

14 Figure 1.7: Relazione d n cz σ per diversi ammassi di galassie piú o meno ricchi di galassie ellittiche. Confrontando questa figura con la Fig.1.6 si puó notare che le relazioni differiscono dalla D n σ media indicata dalla linea continua. Ciascun ammasso ha infatti la sua velocitá peculiare. 14