GONIOMETRIA E TRIGONOMETRIA

Dispensa di Matematica per la classe 4. C Anno scolastico 017-018 GONIOMETRIA E TRIGONOMETRIA Nome e Cognome:

CIRCONFERENZA GONIOMETRICA In un triangolo rettangolo con ipotenusa 1 e angolo α i due cateti sono sin α e cos α. In una circonferenza di raggio 1 disegniamo un angolo α. La lunghezza della circonferenza è π. La lunghezza dell arco di circonferenza è l angolo α in radianti. La circonferenza goniometrica è una circonferenza di raggio 1 e centro nell origine del piano xoy. 1) la distanza tra P e O è sempre 1 OP = 1 ) il punto P ha coordinate P(cos α ; sin α) ) la parte verde è il coseno di alfa 4) la parte blu è il seno di alfa ) la parte rossa è la tangente di alfa GUARDA SU INTERNET IL FILE SIN COS TAN La tangente di un angolo è tan α = sin α cos α. Il significato grafico è il segmento ET: tan α = ET 1) OP = OE = 1 OD = cos α DP = sin α ) Nel triangolo ODP: tan α = ) Nel triangolo OET: tan α = 4) I risultati sono uguali: ET = lato opposto lato vicino lato opposto lato vicino sin α cos α sin α = cos α = ET 1 = ET

Angolo 0, 0 radianti oppure 60, π CIRCONFERENZA GONIOMETRICA 0, π 6 radianti 4, π 4 radianti 60, π radianti APO è equilatero APCO è un quadrato come 0 ma in piedi P(1,0) sin 0 = 0 cos 0 = 1 tan 0 = 0 P (, 1 ) cos π = 6 sin π 6 = 1 tan π 6 = P (, ) cos π = 4 sin π 4 = tan π 4 = 1 P ( 1, ) cos π = 1 sin π = tan π = 90, π radianti 10, π radianti 1, π 4 radianti 10, π 6 radianti P(0,1) sin π = 1 cos π = 0 tan π = P ( 1, ) cos π = 1 sin π = tan π = P (, ) cos π = 4 sin π 4 = tan π 4 = 1 P (, 1 ) cos π = 6 sin π 6 = 1 tan π 6 = 180, π radianti 10, 7π 6 radianti, π 4 radianti 40, 4π radianti P( 1,0) sin π = 0 cos π = 1 tan π = 0 P (, 1 ) cos 7π = 6 sin 7π 6 = 1 tan π = P (, ) cos π = 4 sin π 4 = tan π 4 = 1 P ( 1, ) cos 4π = 1 sin 4π = tan 4π = 70, π radianti 00, π radianti 1, 7π 4 radianti 0, 11π 6 radianti P(0, 1) cos π = 0 sin π = 1 tan π = P ( 1, ) cos π = 1 sin π = tan π = P (, ) cos 7π = 4 sin 7π 4 = tan 7π 4 = 1 P (, 1 11π ) cos = 6 sin 11π 6 = 1 tan 11π 6 =

FUNZIONE y = sin x Il disegno della funzione si chiama sinusoide. Caratteristiche: 1) periodica di periodo π, cioè sin x = sin(x + kπ) ) il campo di esistenza della x è ( ; + ) ) il codominio della y è [ 1 ; +1] 4) non ci sono asintoti ) incontra gli assi in infiniti punti: O(0 ; 0), (π; 0), (π; 0), (π; 0) (kπ; 0) 6) è dispari, cioè simmetrica rispetto al centro, cioè sin( x) = sin x 7) sin x > 0 per x (0; π) 8) sin x < 0 per x (π; π) La funzione del seno descrive le onde sonore, le onde luminose, le onde... marine. Molte cose assomigliano alla sinusoide: la variazione del tempo durante l anno, il nostro umore, i risultati a scuola... Alle nostre orecchie e ai nostri occhi arriva un suono o una luce che ha questa forma, e il nostro cervello è capace di trasformare questa forma in una sensazione, in un suono, in un colore. È incredibile! Siamo meglio di un computer... 4

FUNZIONE y = cos x Caratteristiche: 1) periodica di periodo π, cioè cos x = cos(x + kπ) ) il campo di esistenza della x è ( ; + ) ) il codominio della y è [ 1 ; +1] 4) non ci sono asintoti ) incontra gli assi in infiniti punti: O(0 ; 1), ( π ; 0), ( π; 0), ( π; 0) (k+1 6) è pari, cioè simmetrica rispetto all asse y, cioè cos( x) = cos x π; 0) 7) cos x > 0 per x ( π ; π ) 8) sin x < 0 per x ( π ; π ) La funzione del coseno è uguale a quella del seno, ma spostata a sinistra (o a destra?)

FUNZIONE y = tan x Caratteristiche: 1) periodica di periodo π, cioè tan x = tan(x + π) ) campo di esistenza x π + kπ, ) ha infiniti asintoti, le rette x = π + kπ 4) codominio y ( ; + ) ) è dispari, cioè simmetrica rispetto al centro, cioè tan( x) = tan x 6) incontra gli assi nei punti: O(0 ; 0), (π; 0), (π; 0), (π; 0) (kπ; 0) 7) tan x < 0 quando x (0; π ) 8) tan x > 0 quando x ( π ; π) Ci sono dei punti in cui la funzione non esiste, gli asintoti sono disegnati in giallo. 6

EQUAZIONI GONIOMETRICHE 1. x è un ANGOLO, invece seno, coseno, tangente sono NUMERI. Le soluzioni sono ANGOLI!. Le equazioni sin x = qualcosa hanno di solito soluzioni in [0; π): x 1 = α x = π α Con la calcolatrice trovo solo la prima soluzione. Le equazioni cos x = qualcosa hanno di solito soluzioni in [0; π): x 1 = α x = π α Con la calcolatrice trovo solo la prima soluzione 4. sin x e cos x hanno periodo kπ, cioè le soluzioni sono x 1 + kπ x + kπ. Le equazioni sin x = 1,, sin x = 1,, cos x = 1, cos x = 1 hanno UNA soluzione in [0; π). 6. Fuori da [ 1; 1] l equazione con seno e coseno è SENZA soluzioni: sin x =, cos x = 7. Le equazioni tan x = qualcosa hanno SEMPRE soluzioni in [0; π): x 1 = α x = π + α Con la calcolatrice trovo solo la prima soluzione 8. tan x ha periodo kπ, cioè le soluzioni sono x 1 + kπ sin x ha periodo kπ, sin x periodo kπ, sin 4x periodo kπ kπ, sin x periodo sin x ha periodo 4kπ, sin x ha periodo 6kπ La stessa cosa vale per il coseno. La tangente ha sempre periodo metà di seno e coseno. 7

Fondamentali: cos x + sin x = 1 tan x = sin x cos x FORMULE: cot x = cos x sin x cos x significa (cos x) mentre cos x significa cos(x ) Periodicità: cos x = cos(x + π) sin x = sin(x + π) tan x = tan(x + π) Simmetrie: cos( x) = cos x sin( x) = sin x tan( x) = tan x cos ( π x) = sin x sin (π x) = cos x tan (π x) = cot x cos(π x) = cos x sin(π x) = sin x tan(π x) = tan x Somma, differenza, duplicazione: cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y cos(x y) = cos x cos y + sin x sin y sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x sin(x y) = sin x cos y sin y cos x cos x = cos x sin x (= cos x 1 = 1 sin x) sin x = sin x cos x Teorema dei seni: Teorema del coseno: Formule area triangolo: sin α a sin β sin γ = = b c a = b + c bc cos α Area = base altezza oppure b = a + c ac cos β A = a+b+c a+b+c a b+c a+b c a = b = c sin α sin β sin γ c = a + b ab cos γ A = a b sin γ = b c sin α = c a sin β 8

ESERCIZI BASE DI TRIGONOMETRIA Risolvere un triangolo significa trovare tutti gli angoli, tutti i lati, perimetro e area usando i teoremi dei seni e del coseno. Di seguito alcuni esempi: 1. Conosco tre lati a = 7 cm, b = cm, c = cm. Uso uno dei teoremi del coseno, ad esempio il secondo: = 7 + 7 cos β cos β = 6 = 1 70 14 β = 1,79 Uso di nuovo il teorema del coseno: 7 = + cos α α = 10 Il terzo angolo è γ = 180 β α γ = 8,1. Conosco due lati e l angolo tra i lati a = 8 cm, b = cm, γ = 60. Uso il teorema del coseno c = 8 + 8 cos 60 c = 7 cm Poi continuo come l esempio 1 α = 81,79 β = 8,1. Conosco un lato e due angoli b = 10 cm, α = 40, β = 7. Trovo subito γ = 180 α β γ = 6 Uso il teorema dei seni Uso il teorema dei seni 10 sin 7 = 10 sin 7 = a sin 40 c sin 6 a = 6,6 cm c = 9,8 cm 4. Conosco lati e l angolo non compreso b = 7 cm, c = cm, γ = 40 Uso il teorema dei seni = 7 sin 40 sin β Due possibili soluzioni β = 64,1 β = 11,8 Trovo il terzo angolo α = 180 β γ α = 7,8 α = 4,1 Uso il teorema del coseno a = 7 + 7 cos α a = 7,4 cm a =,18 cm Usa sempre la formula con una sola incognita Dai precedenza al teorema del coseno Se si usa il teorema del seno per trovare un angolo possono esserci soluzioni! 9

ESERCIZI: 1) Il perimetro di una circonferenza di raggio 1 è π. Trova la lunghezza della parte rossa: ) Scrivi una regola per passare da gradi a radianti. ) Scrivi una regola per passare da radianti a gradi. Scrivi in radianti l angolo che formano le lancette dell orologio alle ore: 4) 6:00 ) 9:00 6) :00 7) 1:00 8) :00 9) 11:00 10) 1:00 11) 4:00 1) 8:00 1) 7:00 14) :00 1) 10:00 16) 4:0 17) 7:0 18) 10:0 19) 1:0 Trasforma da gradi in radianti: 0) 0 7) 70 1) 4 8) ) 90 9) 0 ) 60 0) 40 4) 10 1) 0 ) 10 ) 4 6) 10 ) 1 4) 60 ) 180 6) 00 7) 100 8) 10 9) 1 40) 18 41) 1 4) 1 4) 6 44) 70 4) 1080 46) 40 47) Trasforma da radianti a gradi: 48) 49) π 4 π 0) π 1) ) 4 π π ) 4) π 7 4 π ) π 6) 7) π π 6 8) 9) 6 π 11 6 π 60) π 61) 6) 7 6 π π 6) 64) 4 π π 6) 4π 66) 67) π 9 4 π 10

Trasforma questi angoli in angolo compresi tra [0; 60) oppure tra [0; π): 68) 400 = 7) 40 = 8) 100 = 89) 4 = 69) 70 = 76) 90 = 8) 1440 = 90) 60 = 70) 1000 = 77) 180 = 84) 700 = 91) 0 = 71) 600 = 78) 00 = 8) 40 = 9) 60 = 7) π = 79) 7 π = 86) π 4 = 9) π = 7) 7π = 80) π = 87) 4π = 94) π = 74) 10 π = 81) 17 6 π = 88) 11 π = 9) π = Trova SENZA CALCOLATRICE il risultato: 96) cos 0 = 97) sin 60 = 98) tan 4 = 99) sin 0 = 108) cos 00 = 109) tan 70 = 110) cos 1 = 111) sin 0 = 119) tan 7 6 π = 10) cos 11 6 π = 11) sin π = 18) cos π = 19) tan π = 10) sin 7 4 π = 100) cos 4 = 11) tan 180 = 1) tan 4 π = 11) tan π 4 = 101) tan 90 = 10) sin 0 = 10) cos 90 = 104) tan 0 = 11) cos 60 = 114) sin = 11) tan 1 = 116) cos π = 1) cos π = 14) sin π = 1) tan 7 4 π = 1) cos 9 π = 1) cos π = 14) sin 7 π = 10) tan 60 = 106) cos 1 = 107) sin 70 = 117) tan π = 118) sin π = 4 16) cos 7 4 π = 17) sin 6 π = 1) tan 4 π = 16) sin 600 = 17) Disegna le funzioni y = sin x e y = cos x. x y 0 π 6 π 4 π π π π 6 π 7π 6 π 6 11

18) I dati si riferiscono al triangolo rettangolo in figura. Completa CON LA CALCOLATRICE la tabella (le misure sono in centimetri): Triangolo AC BC AB β cos β sin β tan β 1 1 10 1 0 1 0 4 1 40 1 0 6 1 60 7 1 70 8 1 80 AC BC cos β + sin β 19) Usa goniometro e righello. In tutti questi triangoli usiamo le lettere come nella figura a destra. Tutte le misure sono in centimetri. Completa la tabella e disegna tutti i triangoli SENZA CALCOLATRICE: BC AC AB α β γ sin α cos α sin β cos β 1 70 90 0 90 4 0 90 4 6 4 90 0 90 6 8 70 90 7 4 4 90 8 6 90 9 4 90 10 8 4 90 11 7 0 90 1 7 70 90 1 90 AC AB BC AB 1

140) Completa la tabella SENZA calcolatrice: angolo gradi coseno seno 0 0 1 0 π 6 π 4 π π 0 π 1 1 4 π 6 π π 1 7 6 π 1 4 4 π π π 7 4 π 11 6 π π π 141) Per quali angoli il coseno è positivo? 14) Per quali angoli il coseno è negativo? 14) Per quali angoli il seno è positivo? 144) Per quali angoli il seno è negativo? 14) Per quali angoli la tangente è positiva? 146) Per quali angoli la tangente è negativa? 9 4 π 40 7 π π π 9 π π 4 147) Disegna 0 e 1 in alto. Trova seno e coseno. 148) Quali angoli hanno seno e coseno uguali? 149) Trova tutte le soluzioni di sin α = 10) Trova tutte le soluzioni di cos α = 0, 1

11) Completa la tabella senza calcolatrice, ma con l aiuto del disegno: α cos α sin α tan α 0,6 0,6 0,4 0,4 1 Risolvi queste equazioni e disequazioni SENZA CALCOLATRICE nell intervallo [0; π): 1) sin x = 1 1) cos x = 14) tan x = 1) cos x = 0 16) sin x = 17) cos x = 1 18) tan x = 19) cos x = 160) sin x = 161) tan x = 1 16) cos x = 16) sin x > 164) cos x = 16) sin x = 1 166) sin x 1 167) sin x 1 168) tan x > 1 169) cos x < 1 170) sin x 1 171) tan x = 17) sin x = 0 17) cos x = 174) sin x 1 = 0 17) cos x = 0 176) sin x + = 0 177) tan x 0 178) tan x + 0 179) cos x + = 0 180) sin x 0 181) cos x > 197) Risolvi gli esercizi 160-170 nell intervallo ( ; + ). 18) sin x cos x = 1 18) sin x = sin 7 4 π 184) sin x cos x 0 18) cos x = sin x 186) cos x = cos π 187) sin x + cos x = 0 188) cos x < 189) sin x > 190) cos x 1 191) sin x = sin π 4 19) sin x + 0 19) sin(π + x) = 1 194) cos ( π + x) = 19) tan(π + x) = 1 196) sin (x + π ) = 167) x [0; 4 π] [7 4 π; π) 169) x 0 170) x [0; π) 18) x = π 4 e 4 π 18) x = 7 π e π 184) x 4 4 (π ; π] ( π; π] 18) x = π e 4 π 190) x = π 14

Esercizi vari: 198) cos x sin x = 0 199) sin x = 0 00) (cos x 1)(sin x + 1) = 0 01) (cos x + tan π ) (cos x 1) = 0 4 0) (tan x + 1)( sin x 1) = 0 0) (tan x ) (cos x ) = 0 04) (tan x + log 10)(cos x ) = 0 0) (sin x log 4 )( cos x + ) = 0 Trova TUTTE le soluzioni di queste equazioni nell intervallo [0; π): 06) sin x = 1 1) tan 4x = 1 18) cos 4x = 1 07) sin x = 1 08) sin 4x = 1 09) tan x = 10) cos x = 1 11) cos x = 1 1) sin x = 14) tan x = 1 1) cos 4x = 1 16) tan 4x = 17) sin x = 1 19) cos x = 0) sin x = 1) cos( x) = ) sin( x) = 0 ) tan( x) = 1 Risolvi queste equazioni nell intervallo ( ; + ) con la sostituzione a = cos x: 4) cos x 1 = 0 9) 4 cos x = 1 ) cos x + 1 = 0 0) 4 cos x = 6) cos x + cos x + 1 = 0 1) (cos x 1)( cos x 1) = 0 7) cos x + 1 = cos x ) cos x + cos x = 0 8) cos x = 1 ) cos x + cos x = 0 Risolvi queste equazioni nell intervallo [0; π) con la sostituzione a = sin x: 4) sin x 1 = 0 9) 4 sin x = 1 ) sin x + 1 = 0 40) 4 sin x = 6) sin x + sin x + 1 = 0 41) (sin x 1)( sin x 1) = 0 7) sin x + 1 = sin x 4) sin x + sin x = 0 8) sin x = 1 4) sin x + sin x = 0 Risolvi queste equazioni nell intervallo ( ; + ) con la sostituzione a = tan x: 44) tan x 1 = 0 4) tan x = 46) tan x + = 0 47) tan x + 1 tan x = 0 1 48) tan x + tan x = 0 49) tan x = tan x 0) tan x = 1 1) tan x = 1 tan x

Risolvi questi esercizi usando le formule di pagina 8: ) sin x + cos x = 0 ) sin x cos x = 0 4) sin x = cos x ) cos x sin x = 0 6) sin x cos x = 0 7) sin x sin x cos x = 0 8) sin x + cos x 1 = 0 9) cos x sin x cos x + sin x = 0 60) cos x + sin x cos x + sin x = 0 61) cos x + sin x = 0 6) sin x + cos x = 4 6) cos x = cos x 64) cos x = sin x 6) cos x + sin x = 66) + sin x = cos x 67) cos x = sin x 68) sin x + cos x = 0 69) sin x cos x = 0 70) sin x + sin x = 0 71) sin x = tan x 7) sin x cos x = 1 7) sin x sin x = 0 74) sin 4 x cos 4 x = 0 7) sin 4 x cos 4 x + cos x sin x = 0 76) sin x + sin( x) = 1 77) cos (x + π ) + cos (x π ) + 1 = 0 78) sin (x + π 6 ) sin (x π 6 ) = 0 79) sin (x + π ) + sin (x π ) = 1 80) sin x = cos x 81) cos x sin x = sin x 8) cos(x + π) + cos x = 1 8) sin(x + π) + sin x = 84) cos x + cos( x) = 1 8) sin x + sin(x π) = 1 86) cos x + cos(x π) = 1 87) cos x + sin x = 1 88) cos x + sin x = 1 Calcola questi valori senza calcolatrice usando le formule di somma e differenza di angoli: 89) cos 1 = 91) sin π = 90) sin 7 1 π = 1 9) cos 16 = 9) cos 7 = 94) sin 1 1 π = Problemi SENZA calcolatrice: 9) Se cos x = 0,8, quanto vale sin x? 96) Se sin x = 8, quanto vale cos x? 17 97) Se tan x =, quanto valgono sin x e cos x? 4 98) Se tan x = 1, quanto valgono sin x e cos x? 8) SEMPRE 74) Diventa (sin x + cos x)(sin x cos x) 76) 77) Diventa cos x cos π sin x sin π + cos x cos π + sin x sin π + 1 = 0 e quindi cos x + 1 = 0 81) cos x sin x cos x sin x e si divide tutto per cos x 88) Si fa come l esercizio 87 16

99) Disegna su Geogebra le funzioni y = sin x e y = sin x e descrivi le differenze. 00) Disegna su Geogebra le funzioni y = cos x e y = cos x e descrivi le differenze. 01) Trova con la calcolatrice questi risultati: arctan = arcsin 0,4 = arccos( 0,9) = arcsin( 1,1) = 78,69,8 14,16 sin α sin β 0) Dimostra la formula = usando la figura a destra. a b Usa il lato CD e la definizione di seno 0) Dimostra che a = b + c bc cos α usando la figura a destra. Usa DB = c b cos α Risolvi matematicamente i seguenti triangoli e disegnali (le misure sono in centimetri e in gradi): 04) a = b = 6 c = 7 α = 44,4 ; β = 7,1 ; γ = 78,46 ; A = 14,7 0) a = b = c = 4 α = 90 ; β = 6,87; γ =,1 ; A = 6 06) a = 6 β = 4 γ = 60 b = 4,9; c =,8; A = 11,41 07) b = 7 α = β = 70 a = 4,7; c = 7,; A = 14,44 08) b = c = α = 0 a = 4,; β = 6 ; γ = 6 ; A = 9,8 09) a = 4 c = 6 β = 60 b =,9; α = 40,9 ; γ = 79,1 ; A = 10,9 10) a = b = γ = 4 c =,8; α = 11,48 ; β = 1, ; A =,4 11) c = 8 α = 0 γ = 100 a =,78: b = 7,04; A = 9,6 1) a = 7 b = c = 6 α = 78,46 ; β = 44,4 ; γ = 7,1 ; A = 14,7 1) a = b = 1 γ = 67,8 c = 1; α =,6 ; β = 90 ; A = 0 14) b = 7, c = 8, α = 8,07 a = 4; β = 61,9 ; γ = 90 ; A = 1 1) a = 6 b = c = 1 16) a = 4 b = 7 α = 0 c = 8; β = 61,04 ; γ = 88,96 ; A = 14 c = 4,1; β = 118,96 ; γ = 1,04 ; A = 7, 17) a = 7 c = 4 α = 80 b = 6,48; β = 6,76 ; γ = 4, ; A = 1,77 18) b = 6 c = 8 β = 6,87 a = 10; α = 90 ; γ =,1 ; A = 4 a =,8; α = 16,6 ; γ = 16,87 ; A = 6,7 19) a = b = 6 β = 40 c = 8,9; α =,9 ; γ = 107,61 ; A = 14, 0) a = 8 c = 4 γ = 0 b = 6,9; α = 90 ; β = 60 ; A = 1,86 1) b = 11 c = 11 γ = 60 a = 11; α = 60 ; β = 60 ; A =,9 ) b = 4 c = 1 γ = 60 a = 1; α = 8,1 ; β = 81,79 ; A = 1,88 a = 9; α = 1,79 ; β = 98,1; A = 9, 17

) Risolvi i seguenti esercizi: 4) Nel lancio del disco uno strumento nel punto A misura distanze e angoli. La distanza AB è 10 metri. Il raggio della pedana è metri. Il primo atleta lancia il disco, lo strumento misura AC = 7m, α = 77. Il secondo atlet lancia il disco, lo strumento misura AC = 77m, α = 60,. Chi ha vinto? Con quale misura? ) Un triangolo iscritto in una semicirconferenza è sempre rettangolo. In una circonferenza l angolo al centro è sempre il doppio dell angolo sulla circonferenza. Il punto D è il centro della semicirconferenza. AD = DC = DB = 1 Dimostra che sin α cos α = sin α. Usa il teorema del coseno in BCD per trovare BC Usa il triangolo ABC per trovare BC 6) L ombra è lunga 19,7 m. Calcola l altezza della piramide. 18

ASTRONOMIA (LE PRIME MISURE DEGLI ASTRI) 7) Eratostene nel 00 a.c. misurò il raggio della Terra conoscendo la distanza Siene Alessandria di 787 Km. A mezzogiorno il sole è verticale a Siene e forma un angolo di 7 ad Alessandria. Trova il raggio della Terra. 8) Il tempo tra il sorgere della luna e il suo essere verticale alla terra è h6m17s, cioè 89,07. Se il raggio della Terra è 60 Km, quanto è la distanza Terra Luna? 9) La distanza Terra Luna è circa 8.000 Km. Quando c è mezzaluna, forma un angolo di 90 con il sole. Se l angolo S T L è 89,8, quanto è la distanza Terra Sole? 0) Se si tiene una moneta da 1 centesimo (diametro 16, mm) a 1,8 m di distanza, la moneta copre perfettamente la luna piena. Se la distanza Terra Luna è 8.000 Km, quanto è il diametro della luna? 1) La luna appare grande esattamente quanto il sole. Se la luna ha diametro 00 Km, e sappiamo che la distanza Terra Luna è 8.000 Km e la distanza Terra Sole 10.000.000 Km, quanto è il diametro del sole? 19

Esercizi di goniometria, trigonometria della maturità: ) sin x cos x = 1 (anno 017) ) sin(x) + sin(x) = 0 (anno 016) 4) cos(x) + sin(x) = 1 (anno 01) ) Risolvere il triangolo in cui α = β = 4γ e c = 8 cm. Trova tutte le soluzioni. (anno 014) 6) cos(4x) + sin(x) = 1 (anno 01) 7) Risolvere il triangolo in cui α = 0, a = 4, c = 4 cm. Trova tutte le soluzioni. (anno 01) RIPASSO POTENZE E LOGARITMI Esercizi su logaritmi e potenze alla maturità: 8) Risolvi log 0, (x ) 0 (anno 017) 9) Scrivi quando y = log(x + ) + log(6 x) è positiva, negativa, uguale a 0 (anno 016) 40) Risolvere l equazione x x = 4 nell insieme dei numeri reali. (anno 016) 41) Scrivi quando y = 4) Scrivi quando y = 10 log x x è positiva, negativa, uguale a 0 (anno 01) 10 log x+10 x è positiva, negativa, uguale a 0 (anno 01) 4) Scrivi quando y = (x 1) x è positiva, negativa, uguale a 0 (anno 014) 44) Risolvi log( x) + log(x + 4) = log( x) (anno 014) 4) Scrivi quando y = (x + ) x è positiva, negativa, uguale a 0 (anno 01) 46) Risolvi ( 1 )x > 1 16 (anno 01) 47) Scrivi quando y = x ln x è positiva, negativa, uguale a 0 (anno 01) 48) Risolvi 01 ( 1 )x > 0 (anno 01) Risolvi queste equazioni e disequazioni: 49) x 1 0 0) x 1 < 0 1) x 1 > 0 ) 4 x + 1 0 ) ( 1 )x 1 > 0 16 4) ( )x 0 ) log x + 1 0 6) log(x + 1) 0 7) log x > 0 8) log 16 x = 9) x = 1 60) 8 x = 1 61) log x = 4 6) log(x ) = 0 6) log x log(x + 1) = 1 64) log1 4 x = 1 6) log x + log(x + 1) = 1 66) log(x + x) = Trova il risultato SENZA calcolatrice: 67) 4 = 68) ( 1 9 ) = 69) log 1 = 70) log1 = 0 71) 100 0,1 10000 = 7) log 1000 0,001 0,01 =