ESERCIZI SVOLTI SULL IPERBOLE 1. Tracciare il grafico dell iperbole di equazione 2. Tracciare il grafico dell iperbole di equazione 4 y2 25 = 1 4 y2 25 = 1 3. Tracciare il grafico dell iperbole di equazione 9y 2 = 1 4. Tracciare il grafico dell iperbole di equazione 9y 2 = 4 5. Scrivere l equazione dell iperbole avente come asse trasverso l asse x, un vertice in A(2,0) e eccentricità e = 5 3. 6. Scrivere l equazione dell iperbole avente l asse x come asse trasverso, passante per il punto P(4, 7 3 ) e avente semidistanza focale 10. 7. Scrivere l equazione dell iperbole avente l asse y come asse trasverso, un asintoto di equazione y = 6 x e semiasse non trasverso 4. 5 8. Scrivere l equazione dell iperbole avente l asse x come asse trasverso, passante per il punto P(1,-2) e avente semiasse non trasverso 3. 9. Scrivere l equazione della tangente all iperbole 9y 2 = 1 nel suo punto di ascissa 2 e ordinata positiva. 10. Determinare l equazione del luogo geometrico dei punti del piano per i quali è 6 il valore assoluto della differenza delle distanze dai due punti C(-7,0), D(7,0). 11. Determinare la posizione della retta y=2x-1 rispetto all iperbole di equazione 4 y2 25 = 1 12. Scrivere l equazione delle tangenti all iperbole di equazione y2 2 = 1
condotte dal punto P(1,1). 13. Determinare per quali valori di k l equazione k 1 y2 2k + 1 = 1 rappresenta una iperbole, per quali valori di k un iperbole avente l asse x come asse trasverso e per quali valori di k un iperbole avente 10 come distanza focale. SOLUZIONI 1. a. Per tracciare i grafici, osservare se l asse trasverso è l asse x o l asse y. b. Individuare i semiassi e il rettangolo che ha i vertici dell iperbole come vertici c. Tracciare gli asintoti, che passano per i vertici del rettangolo d. Disegnare l iperbole che, a partire dai vertici sull asse trasverso, abbia i rami che si avvicinino sempre di più agli asintoti. 2. 3.
4. 5. Se l iperbole ha come asse trasverso l asse x, e come vertice A(2,0), significa che il semiasse trasverso è a=2. Se l eccentricità è 5/3, significa che c/a=5/3, o anche che c2 = 25 a 2 9, ma poiché a 2 = 4, se ne deduce che c 2 = 25 9 a2 = 25 9 4 = 100 9. D altra parte è c2 = a 2 + b 2, dunque 100 9 = 4 + b2, da cui b 2 = 100 9 4=64 9. Quindi l equazione è 4 9y2 64 = 1 6. Si sostituiscono le coordinate del punto P nell equazione generale dell iperbole e si impone la condizione che c 2 = a 2 + b 2 = 10 (*) 16 7 a 2 9b2 = 1. (**) Dall equazione (*) si ricava a 2 = 10 b 2. Sostituendo nella (**) e svolgendo i calcoli si arriva all equazione 9b 4 +61b 2 + 70 = 0, da cui l unica soluzione accettabile (l altra è negativa) b 2 = 1, per cui l equazione dell iperbole è 9 y2 = 1 7. b a = 5 6 e a=4, quindi b=20 = 10 6 3 ; poiché l asse y è l asse trasverso l equazione dell iperbole è 16 9y2 100 = 1 8. Nell equazione generale dell iperbole x2 y2 = 1 a 2 b 2 sostituiamo le coordinate del punto assegnato e b=3, in modo da ricavare a: 1 a 2 4 9 = 1
da cui 9-4a 2 =9a 2, quindi 13a 2 =9, cioè a 2 =9/13, e l equazione dell iperbole diventa 13 9 y2 9 = 1 9. Cominciamo a determinare l ordinata del punto richiesto, sostituendo l ascissa x= 2 nell equazione dell iperbole: 9y 2 = 1 Si ottiene 2 9y 2 = 1, cioè y 2 = 1/9 Quindi y= 1/3 e ( 2, 1/3) è il punto richiesto. Ora si applica la formula di sdoppiamento: xx 0-9yy 0=1 dove sostituiamo le coordinate del punto: x 2 9 y = 1, ed infine x 2 3y = 1 è l equazione richiesta. 3 10. Assunti C e D come fuochi dell iperbole, si ha che c=7, quindi c 2 =49. Poiché, per definizione, 2a=6, cioè a=3 e a 2 =9, e c 2 =a 2 +b 2, si ha b 2 =40, quindi l iperbole ha equazione: 9 y2 40 = 1 11. Si risolve il sistema costituito dalle due equazioni. Se il discriminante è positivo la retta è secante, se è nullo è tangente, se è minore di zero è esterna: y = 2x 1 { y2 = 1; 4 25 (2x 1)2 = 1 4 25 da cui 25-4(4 +1-4x)=-100, 9 +16x+96=0. Il delta quarti è 64-9 96<0, quindi la retta è esterna. 12. Si deve risolvere il sistema che ha come equazioni quella dell iperbole assegnata e quella di una retta generica passante per il punto dato: y 1 = m(x 1) { y2 = 1 ; si ricava y dalla prima equazione e si sostituisce nella seconda, ottenendo 2 una equazione di secondo grado. La condizione di tangenza si ha imponendo delta=0:
(2 m 2 ) + 2mx(m 1) m 2 + 2m 3 = 0. (*) Calcoliamo delta quarti e lo imponiamo uguale a zero: m 2 (m 1) 2 (2 m 2 )( m 2 + 2m 3) = 0, m 4 + m 2 2m 3 + 2m 2 4m + 6 m 4 + 2m 3 3m 2 = 0, dalla quale otteniamo -4m+6=0, quindi m=3/2. Quindi la prima tangente ha equazione y = 3 2 x 1 2. Poiché un vertice dell iperbole è (1,0), la seconda tangente è parallela all asse y ed ha equazione x=1. 13. Conviene innanzitutto riscrivere l iperbole nell equazione canonica, moltiplicando per -1 tutti i suoi termini: (k 1) y 2 (2k + 1) = 1 Ora, affinché sia un iperbole, occorre che i denominatori siano concordi, cioè che il loro prodotto sia positivo: (k 1)( (2k + 1)) > 0, cioè (k 1)(2k + 1) > 0, quindi k<-1/2 oppure k>1. (*) Affinché sia un iperbole avente asse trasverso l asse x è necessario che i due denominatori siano entrambi positivi, quindi (k 1) > 0 { (2k + 1) > 0, da cui { (k 1) < 0 (2k + 1) < 0, ovvero { k < 1 k < 1 2, quindi k < 1 2. Se 10 deve essere la distanza focale, deve essere c=5, quindi c 2 =25. D altra parte c 2 =a 2 +b 2, quindi:
-(k-1)-(2k+1)=25, cioè k+1-2k-1=25, quindi -3k=25, da cui k=-25/3. A questo punto bisogna controllare che il valore di k trovato sia ammissibile, cioè che rientri nell intervallo di valori che avevamo trovato perché l equazione rappresentasse quella di un iperbole, cioè che rientri nei valori dell intervallo (*). Poiché -25/3<-1/2, k=-25/3 è la soluzione richiesta.