Argomento 7 - Studi di funzioni Soluzioni Esercizi Sol. E. 7. f() = log + 4 Insieme di definizione : Limiti : 4 log + = + 0 + (confronto tra infiniti in cui prevale la potenza) 4 log + = log = + + + Notiamo che f() log per +, quindi f non ha asintoti obliqui. f () = = > 0 { > > 4 Quindi la funzione è decrescente in (0, 4) e crescente in (4, + ). In = 4 presenta un punto di minimo (assoluto). f () = ( ) = + > 0 { > 0 < < 9 Quindi la funzione è convessa in (0, 9) e concava in (9, + ). In = 9 presenta un flesso. Grafico di f() = log + 4 5 0 5 0 Figura : E.7.
Sol. E 7. f() = e 4 Insieme di definizione: 4 0 0 o 4 e 4 = +, e 4 = 0, 0 Notiamo che f() e + e 4 = + e 4 = 0 4 + per e per +, quindi f non ha asintoti obliqui. f () = e 4 4 4 = e 4 4 f () > 0 { > < 0 o > 4 > 4 Quindi la funzione è crescente in (4, + ), decrescente in (, 0). In = 0 e in = 4 presenta punti di minimo (assoluto). Grafico di f() = e 4 0 0 - - 0 4 5 6 Figura : E.7. Sol. E 7. f() = Insieme di definizione : + 8 { + 8 0 0 { 0 0 + 8 = 0 + + 8 = +
+ + 8 = + = + Notiamo che per +, f() e quindi f non ha asintoti obliqui. f () = +8 + 8 = 6 + 8 = 6 + 8 f () > 0 { 6 > 0 > con 0 { > > con 0 > Quindi la funzione è crescente in (, + ), decrescente in (, 0), (0, ). In =, presenta un punto di minimo (relativo) e in = uno di massimo (relativo). + 8 Grafico di f() = 5 0 5 0 5-5 Figura : E.7. Poiché f 6 () = + + + 8 =, la tangente richiesta ha equazione =. Sol. E. 7.4 f() = e 6 Insieme di definizione : 6 < 0 o > 6 Limiti : e 6 = 0 0 e 6 = + 6 + e 6 = + e = + (confronto tra, in cui prevale l esponenziale, il che ha anche come + 6 conseguenza che f non ha asintoti obliqui)
f () = e 6 e f () > 0 6 6 6 { 7 + > 0 < 0 e > 6 = e ( 7 + ) 6 ( 6) { < 7 7 e > 7+ 7 < 0 e > 6 < 0 e > 7+ 7 Quindi la funzione è crescente in (, 0) ed in ( 7+ 7, + ), decrescente in (6, 7+ 7 ). In = 7+ 7, presenta un punto di minimo (relativo). Grafico di f() = e 6 4 0 Figura 4: E.7.4 Sol. E. 7.5 f() = log( + ) arctan log { { + > 0 > Insieme di definizione : 0 0 0 Limiti : log( + ) arctan log = 0 0 + log( + ) arctan log = log( + ) = + + + Notiamo che f() log( + ) per + e quindi non ha asintoti obliqui. f () = + + = ( ) + = ( ) + { > 0 f () > 0 Quindi la funzione è crescente in { > > 4 ( ) ( 4, + e decrescente in 0, ). 4 4
In =, presenta un punto di minimo (assoluto) e in = 0 un punto di massimo (relativo). 4 ( f () = ( + ) ) + ( + ) 4 = 4 + + 4 ( + ) { 4 + + > 0 f () > 0 { + > 4 { ( + ) > 6 { ( )(6 + 7 + ) < 0 0 < < Quindi la funzione è convessa in (0, ) e concava in (, + ). In = c è un punto di flesso. ( ) Poiché f () = 0 + 0 + + =, la retta tangente nell origine ha equazione = 0. Grafico di f() = log( + ) arctan log Figura 5: E.7.5 Sol. E. 7.6 f() = log ( + ) Insieme di definizione: + ( + ) > 0 < o log ( + ) = = +, log ( + ) = 0 + log ( + ) = log + ( + ) = = (confronto tra infiniti, in cui prevale la potenza). + Notiamo che f() per e per +, quindi potrebbe avere asintoti obliqui. Necessita dunque calcolare: f() + = log ± ± ( + ) = + 5
Si conclude quindi che f non ha asintoti obliqui. f () = + + = + + + > 0 { + > 0 < o 5 < < + 5 < o 0 < < + 5 Quindi la funzione è crescente in (0, + 5 ), decrescente in (, ) ed ( + 5, + ). = + 5 è un punto di massimo (relativo). Grafico di f() = log ( + ) 6 4-4 - 0 4 6 - Figura 6: E.7.6 Sol. E. 7.7 f() = + Insieme di definizione :. Intersezioni con l asse : f() = + = 0 + = 0 = + =, 4. Limiti : + = + 0 + + = = + + + Si ha dunque che f() per + e quindi non ha asintoti obliqui. f () = = { > 0 > Quindi la funzione è decrescente in (0, ) e crescente in (, + ). In =, presenta un punto di minimo (assoluto). 6
Grafico di f() = + 0 5 0 5 Figura 7: E.7.7 Sol. E. 7.8 Insieme di definizione: f() = + log 4 { + 0 4 { + log 4 = + 0 + + log 4 = + = + (confronto tra infiniti in cui prevale la potenza). + + Notiamo che f() + per +, quindi f non ha asintoti obliqui. f () = + = + + { > + > 0 { > + { < o > + > + Quindi la funzione è decrescente in (0, + ) e crescente in ( +, + ). = + è un punto di minimo (assoluto). 7
Grafico di f() = + log 4 0 0 0 0 Figura 8: E.7.8 Sol. E. 7.9 f() = ( ) ( + + ) Insieme di definizione: + o 0 con 0 + 0 con 0 ( ) ( + + ) =, 0 + ( ) ( + + ) = Notiamo che per, f() f () = ( ) ln ( + Quindi la funzione è decrescente in (relativo). Grafico di f() = ( ) = +, + ( ) ( + + ) = + ( ), quindi f non ha asintoti obliqui. ) ( ) ( + + ) < 0 E(f). ( ) ( + + ) = (, ) ed in (0, + ). Quindi = è un punto di minimo 8
6 4-0 Figura 9: E.7.9 Sol. E. 7.0 f() = i) f è pari, in quanto log(4 ) log(4 ) = log(4 ( ) ) ii) Insieme di definizione: { 4 > 0 log(4 ) 0 { < < 4 { < < ± (poiché f è pari, la studiamo solo nella parte positiva dell insieme di definizione). + log(4 ) = +, + + log(4 ) =, log(4 ) = 0 f () = log (4 ) (4 ) = (4 ) log (4 ) f () > 0 (4 ) log (4 ) > 0 e + Quindi f è crescente in (0, + ), (+, ), decrescente in (, ), (, 0) e ed ha un punto di minimo (relativo) in = 0. Grafico di f() = log(4 ) 5 - - 0-5 Figura 0: E.7.0 9
Sol. E. 7. f() = + log Insieme di definizione: + log 0 + + log + f () = =, = 0 ( prevale su log per + ) ( + log ) 4 ( ( + log )) = 4 = + log f () > 0 + log { + log < 0 < 0 { log < 0 < < e Quindi la funzione è crescente in (0, e ), decrescente in (e, + ) ed ha un punto di massimo (assoluto) in = e. Grafico di f() = + log 0 4 - -4-6 Figura : E.7. Sol. E. 7. f() = + Insieme di definizione :. + + = + = 0 + + = + = + 0
( + ) ( ) ( ) ( ) f () = ( + ) = + ( ) ( ) ( ) ( + ) = ( ) ( ) ( + ) f () > 0 ( ) < 0 < con ±. Quindi f è crescente in (, ) ed in (, ), decrescente in (, + ). = è un punto di massimo (relativo). Il punto di ascissa = è a tangente verticale, in quanto ( + ( )) ( + ) = ( ( )) ( + ) = +. Grafico di f() = + Figura : E.7. Sol. E. 7. f() = e+ + Insieme di definizione: + e + + = +, (confronto tra infiniti, in cui prevale l esponenziale, da cui si deduce anche che f non ha asintoti obliqui per +.) e + + = 0, e + + + = + e + + =. f () = e + ( + ) e + ( + ) = e+ ( + ) > 0
Quindi f () risulta essere crescente in (0, + ) e decrescente in (, ), (, 0). Avrà quindi un punto di minimo (relativo) in = 0. Grafico di f() = e+ + 0-0 -0 Figura : E.7. Sol. E. 7.4 ( ) f() = log + Insieme di definizione: > con 0 log + ( ) + = ( ) log 0 + + =, log = +, + ( ) log + + = + ( ) log 0 + = + Notiamo che f() log per +, quindi f non ha asintoti obliqui. f () = + ( + ) ( + ) + = + 4 ( + ) + = + 5 + ( + ) { f () > 0 + 5 + > 0 > con 0 5 + 7 < < 0 o Quindi f () risulta essere crescente in ( 5+ 7, 0) ed in (0, + ) e decrescente in (, 5+ 7). In = 5+ 7 presenta un punto di minimo (relativo). ( ) Grafico di f() = log +
5-0 4 6-5 Figura 4: E.7.4 Sol. E. 7.5 f() = ( + 8 ) arctan( 4 ) Insieme di definizione: R. La funzione è pari. ( + + 8 ) arctan( 4 ) = ( + 8 ) arctan( 4 ) = + Notiamo che f() π 8 per e che f() π 8 per +, quindi f non ha asintoti obliqui. f () = 8 7 arctan 4 + ( + 8 ) 4 + 8 = 4 ( 4 arctan 4 + ) > 0 4 > 0 Quindi f è crescente in (0, + ) e decrescente in (, 0). In = 0 ha un punto di minimo (assoluto). f () = 56 6 arctan 4 + 8 7 ( 4 + 8 Quindi la funzione risulta convessa su tutto l asse reale. Grafico di f() = ( + 8 ) arctan( 4 ) ) + = 4 (4 4 arctan 4 + 88 + 8 + ) > 0 R 0 0 - - 0 Figura 5: E.7.5
Sol. E. 7.6 f() = e + e log Insieme di definizione: ( e + e log ) = + (e log ) = (in quanto 0 + ( log ) = 0) 0 + 0 + + ( e + e log ) = + e ( log ) = + Notiamo che f ha ordine di infinito superiore a e per +. Di conseguenza non ha asintoti obliqui. f () = e + e log + e (log + ) = e (log ) ( + ) > 0 { log > Quindi f è decrescente in (0, ) e crescente in (, + ). In = ha un punto di minimo (assoluto). Grafico di f() = e + e log 0 0 0 4 Figura 6: E.7.6 Sol. E. 7.7 f() = 5 9 Insieme di definizione: { 5 9 0 9 0 { 5 0 ( 9) > 0 { { 5 0 5 ( 9) < 0 < o > { 5 < < < < o 5 quindi E(f) = (, ) [5, + ). + 5 9 = + 5 9 = +, 5 + 5 9 = f(5) = 0 4
+ 5 9 = + = 0 f () = 9 ( 5) 5 ( 9) = 9 5 9 ( 0 + 9) ( 9) f () > 0 { 0 + 9 < 0 < < > 5 { < < 9 < < > 5 < < 5 < < 9 5 9 f () + + f() Quindi f è decrescente in (, ) ed in (9, + ) e crescente in (, ) ed in (5, 9). In =, presenta un punto di minimo, in = 5 un altro punto di minimo ed in = 9 un punto di massimo (relativo). Per stabilire se sono minimi relativi o assoluti, facciamo il confronto dei valori di minimo: f() = 5 = e f(5) = 0. 9 L unico punto di minimo assoluto è quindi = 5. 5 Grafico di f() = 9.5 0.5-0 4 6 8 0 4 6 8 0 Figura 7: E.7.7 Sol. E. 7.8 f() = e + Insieme di definizione: { 0 + > 0 { > <. 5
+ e = +, + e = f() = + f () = e e + < 0, (, ) ( + ) Quindi f risulta decrescente sul suo dominio. In = ha un punto di minimo (assoluto). Grafico di f() = e + 5 0 5 - - 0 Figura 8: E.7.8 Sol. E. 7.9 f() = e + + Insieme di definizione: > + e + + = +, e + + + = + (l esponenziale prevale sulla potenza) Notiamo che f è un infinito di ordine superiore a per +, quindi non ha asintoti obliqui. f () = + e + + e + ( + ) = e + + ( + ) f () > 0 { + > > { + > 4 > > Quindi f è decrescente in (, ) e crescente in (, + ). In = ha un punto di minimo (assoluto). 6
Grafico di f() = e + + 4 0 5 0 5 Figura 9: E.7.9 Sol. E. 7.0 f() = log( + ) arctan Insieme di definizione: + > log( + ) arctan =, + log( + ) arctan = log( + ) = + + + Notiamo che f() log( + ) per + e di conseguenza f non ha asintoti obliqui. f () = + + = 0 ( + ) ( + ) 0 f () > 0 ( + ) ( + ) > 0 { 0 > 0 > > < < 5 e > 6 Quindi f è crescente in (, 5) ed in (6, + ), decrescente in ( 5, 6). In = 5 ha un punto di massimo (relativo) ed in = 6 un punto di minimo (relativo). Grafico di f() = log( + ) arctan 4-0 0 0 40 60 80 - Figura 0: E.7.0 7
Sol. E. 7. f() = log Insieme di definizione: + + > 0 log 0 + + = +, + log + = log = log = + + + Notiamo che f() log per +, quindi f non ha asintoti obliqui. + Prima di calcolare la derivata, notiamo che f() = log f () = ( ) 4 () ( + ) = + ( + ) f () > 0 ( + ) > 0 { > 0 < = log + : = ( + ) e > > Quindi f è decrescente in (0, ), crescente in (, + ). In = ha un punto di minimo (assoluto). Grafico di f() = log +.5 0.5 0 4 6 8 Figura : E.7. Sol. E. 7. f() = ( + ) e + Insieme di definizione: + 0 + > 0 > +( + ) e e t + = t + t = + (l esponenziale prevale sulla potenza) 8
( + ) e + = +, con f stesso ordine di infinito di per +. Potrebbe quindi + avere asintoti obliqui: ( + ) e + + + + + e + = +. Quindi f non ha asintoti obliqui. f + () = e + ( + ) f () > 0 e + { ( + ) > 0 > =, ( + ) e + = (e + ) + e + = + + + ( ) + ( ) + e + = e + + > 0 + { + > 4 > > 4 Quindi f è decrescente in (, ), crescente in (, + ). In = 4 4 4 (assoluto). ha un punto di minimo Grafico di f() = ( + ) e + 4 - -0.5 0 0.5 Figura : E.7. Sol. E. 7. f() = 6 + Insieme di definizione: 6 + + = +, 6 + = 5 = 6 + =. + 6 + = + 5 = +. 9
Notiamo che f() 5 per e per +, quindi f non ha asintoti obliqui. f () = 5 5 + 6 { (5 + 6) > 0 ( + ) > 0 { < 6 5 e < 6 5 e Quindi f è crescente in (, 6) ed in (0, + ), decrescente in ( 6, ), (, 0). 5 5 In = 6 ha un punto di massimo (relativo) ed in = 0 un punto di minimo (relativo). 5 Grafico di f() = 6 + 0 - - 0-0 Figura : E.7. Sol. E. 7.4 i) Dobbiamo determinare il numero delle soluzioni dell equazione: e =. Poiché non è un equazione di tipo elementare, per determinare il numero delle radici possiamo dapprima studiare la funzione f() = e e poi intersecare il suo grafico con la retta di equazione y =, per vedere quante sono le eventuali soluzioni dell equazione. Insieme di definizione: 0 + e = +, + e = + f () = e { > 0 ( ) > 0 (l esponenziale prevale sulla potenza) { > > Quindi f è decrescente in (0, ) e crescente in (, + ). In = vi è un punto di minimo (assoluto) di valore f ( ) = e = e. In questo caso è necessario confrontare tale valore minimo di f con, in quanto vogliamo intersecare il grafico della funzione con la retta y = : 0
e <, in quanto ( e ) = e < = 6 < = 9. Quindi la retta y = interseca il grafico di f e lo interseca in punti: ii) Dobbiamo ora discutere, al variare di k reale, il numero delle radici dell equazione: e = k. Poiché la funzione al I membro dell equazione è la stessa di prima, dobbiamo solo confrontare il grafico già determinato con la famiglia di rette y = k, con k variabile reale. Abbiamo già visto nel punto precedente che f ha un minimo assoluto di valore e. Di conseguenza avremo i seguenti possibili casi: Per k < e, nessuna soluzione (retta al di sotto del grafico). Per k = e, sola soluzione (retta tangente al grafico). Per k > e, soluzioni (retta intersecante il grafico in punti). Figura 4: E.7.4 Sol. E. 7.5 Dobbiamo discutere il numero e il segno delle soluzioni dell equazione e = k, al variare di k reale, in modo del tutto analogo al precedente E. 7.4 ii). Occorre quindi dapprima studiare la funzione: f() = e.
Insieme di definizione: R. e = (nel confronto e prevale e che tende a 0, nel confronto tra potenze, prevale ) + e = + (nel confronto prevale e ) f () = e + e > 0 e ( + ) ( + ) > 0 (e ) ( + ) > 0 { e > 0 + { e < 0 + < 0 { e > > { e < < { > { < 0 < < o Quindi f è crescente in (, ) e in (0, + ), decrescente in (, 0). Ha quindi un massimo (relativo) in = di valore M = f( ) = e + = e > 0 ed un minimo (relativo) in = 0 e di valore m = f(0) = 0. Abbiamo allora i seguenti possibili casi : k < 0 : una soluzione negativa k = 0 : due soluzioni, una negativa ed una nulla; 0 < k < e e k = e e k > e e : tre soluzioni, due negative ed una positiva; : due soluzioni, una negativa ed una positiva; : una soluzione positiva. 0. - - 0-0. Figura 5: E.7.5
Sol. E. 7.6 f() = + + Sol. E. 7.7 f() = log( ) Sol. E. 7.8 f() = e +
Sol. E. 7.9 f() = + + log(4 ) Sol. E. 7.0 f() = + log( ) Sol. E. 7. f() = 6 4
Sol. E. 7. f() = log Sol. E. 7. f() = e Sol. E. 7.4 f() = + 5