Misura del periodo di oscillazione e della costante elastica della molla di un oscillatore armonico semplice Gruppo 6: Favitta, Ferrara, Morvillo, Tortorici, Vitale Svolta il 19/12/17 e il 21/12/17 Parte I Introduzione Fra le tante esperienze che uno studente deve affrontare nel corso di laurea in Scienze Fisiche, indispensabile è la pratica in laboratorio nella quale si affronta l aspetto che più distingue la Fisica da, per esempio, una scienza astratta quale la Matematica, ovvero l aspetto sperimentale, l applicazione rigorosa del metodo scientifico. Questa esperienza ci ha visti coinvolti nella pratica della misurazione di grandezze fisiche, dell analisi degli errori, dell analisi dei dati sperimentali per fare un passo in più rispetto alle altre esperienze:abbiamo affrontato i problemi derivanti dagli errori casuali,quindi errori che non sono eliminabili e che in questo caso dipendono molto dall operatore,e abbiamo verificato relazioni funzionali non lineari,riconducendole con due diversi metodi a relazioni lineari. Abbiamo utilizzato uno strumento digitale, ovvero un cronometro. Per la schematizzazione dei dati e la loro tabellizzazione abbiamo usato un foglio di calcolo di Libre Office Calc, oltre ad esserci muniti di una controparte manoscitta; per l analisi e il rendimento grafico dei dati SciDavis. Il modus operandi è stato determinato dalla scheda prelevata dal sito del professore, Aurelio Agliolo Gallitto, secondo le disposizioni gentilmente indicateci dal medesimo. 1
Part II Introduzione teorica Tra i più interessanti e affascinanti modelli fisici vi è di certo l oscillatore armonico, forse per la sua carica fascinosa dovuta al suo ripetersi incessante.esso nella sua semplicità è un modello importante la cui utilità spazia in molti ambiti della Fisica,dalla Fisica classica e addirittura fino alla Meccanica quantistica. Perciò diventa molto interessante la verifica sperimentale di questo modello(come scritto prima, la Fisica è una scienza sperimentale) e sicuramente è fondamentale la conoscenza teorica del modello,in particolare le relazioni funzionali che ci aspettiamo tra frequenza angolare e massa,periodo e massa.inoltre,è stata utile per l esperienza l applicazione di ciò che abbiamo imparato a lezione su come affrontare nell analisi dei dati gli errori casuali oltre ad una buona conoscenza della teoria della propagazione degli errori con le misure indirette. Parte III Prima volta in laboratorio per l esperienza Giunti in laboratorio i componenti del gruppo si sono disposti intorno a un tavolo sotto la supervisione del prof. Aurelio A. Gallitto, dal quale derivano le dispense e gli appunti che i ragazzi avevano in mano, nei quali era presente tutto il sapere necessario, di metodo e teorico. Dopo una breve lettura della scheda dell esperienza, o almeno di quella che sarà la prima parte dell esperienza, si procede con rigore. 0.1 Consegna degli strumenti al gruppo Sono stati consegnati gli strumenti necessari all esperienza: Una molla (dotata di un anello a uno dei suoi estremi tramite il quale è possibile agganciare l oggetto); Un supporto metallico con braccio per appendere la molla; Delle masse-campione,sui cui valori di massa abbiamo quindi considerato gli errori trascurabili; Un gancio ; Il cronometro digitale. 2
1 La prima parte dell esperienza ha inizio Così è stato montato il materiale: infilando l anello della molla al braccio metallico, in seguito si ci pone davanti le masse campioni per discutere su quale valore iniziare e misurare e si consegna il cronometro a un membro del gruppo affinché sia pronto per partire mentre gli altri si attrezzano con carta e penna per segnare i risultati ottenuti. 1.1 La scelta del valore campione di massa iniziale La scelta del valore della massa da usare per misurare era a discrezione del gruppo stesso: in tal modo secondo il gusto dei 4 membri (il quinto arriverà in seguito e assisterà pur non misurando per via dell organizzazione minuziosa presa previamente) si è decretata una massa iniziale usabile di 70g si decise poi di effettuare la misurazione su 10 oscillazioni della molla. Fatto ciò, disposto tutto per iniziare, si iniziò: il primo prese il cronometro in mano, pronto per essere il più accurato possibile. 1.2 Il cronometro digitale Nonostante la tecnologia sembri indurci all idea dell assottigliamento quasi totale dei valori di errore, il cronometro digitale, come qualsiasi altro strumento digitale non è privo di errori, dovuti in questo caso non solo allo strumento ma soprattutto a chi e quando lo aziona. Dobbiamo mettere in luce dunque che il cronometro da noi usato ha una risoluzione di 0.01 secondi, quindi un errore di lettura determinato dalla LSD di 0.005 secondi ma ciò è ininfluente perché il cronometro non pecca che nella lettura: la misurazione viene falsata dal momento in cui viene pigiato il pulsante, dato che l uomo ha un tempo di reazione medio agli stimoli visivi che varia tra i 0.15s e i 0.3s: un tempo tanto grande se si pensa alle caratteristiche dello strumento! Una mano inserì la massa all estremità inferiore della molla e sollevò quest ultima quel poco che basta per distoglierla dal suo riposo. Quando iniziò a oscillare la molla iniziò pure il conteggio del cronometro. 1.3 La molla La molla ha forma perfettamente a spirale, essa ha la peculiare caratteristica di essere un organo meccanico suscettibile di deformazione elastica non permanente in seguito a sollecitazione prevalente. Se a essa si aggiunge una massa alla sua estremità e la si lascia libera essa inizierà a oscillare in maniera armonica. Quest ultima è la più influente caratteristica della molla in questo esperimento. Bisognava fare 100 misurazioni così poi da facilitare e rendere più gradevoli i calcoli in seguito. La molla dunque iniziò a oscillare e quando ognuno finiva le sue 25 misurazioni a testa si continuava con un altro che misurava. 3
2 L analisi dei dati ottenuti Fuori fisicamente dal laboratorio i 5 membri si sono posti attorno a un tavolo per una parte meno manualistica e affascinante e più tecnica ma di certo non meno profonda in quanto anima della precedente. Si è usato un foglio di calcolo elettronico per trovare Media e Deviazione Standard analiticamente. Riportiamo qui di seguito una tabella con i dati del tempo misurato in secondi, corrispondente ai tempi di 10 oscillazioni della molla. Tabella 1 I II III IV 10T(s) 10T(s) 10T(s) 10T(s) 7.13 7.12 7.10 7.04 7.00 7.05 6.96 7.13 7.06 6.81 7.03 7.00 7.06 7.00 7.00 7.10 6.93 7.08 7.10 6.97 7.06 7.00 6.96 7.12 7.06 6.91 7.03 6.97 7.09 7.13 7.00 7.07 7.19 6.97 7.13 7.03 7.10 7.21 7.19 7.09 7.00 7.03 7.07 7.00 6.98 7.06 7.09 7.12 7.00 7.19 7.15 7.09 7.06 7.06 6.96 7.07 7.13 7.09 7.12 7.13 7.30 7.09 7.10 6.94 7.03 7.10 7.10 7.06 7.16 7.12 7.19 7.10 7.16 7.15 6.94 7.13 7.16 7.09 7.13 6.93 7.10 6.93 7.00 7.06 7.10 7.03 7.16 7.06 7.10 7.13 7.16 7.03 7.09 7.10 7.15 7.03 7.16 6.97 7.09 7.03 Si sa a questo punto che questi sono i tempi misurati in cui la molla compie 10 oscillazioni, quindi ad ognuno di questi dati viene ora associata una stima del periodo dell oscillatore che ha come valore best un decimo del tempo delle 10 oscillazioni e un errore di lettura che è un decimo di quello di partenza. Con questo abbiamo quindi trovato stime del periodo migliori di quelle che si sarebbero ottenute misurando il tempo di un oscillazione, inoltre il numero 10 ci permette di trovare con un semplice calcolo mentale il periodo associato. Per ognuno di questi 4 set di dati, più il set finale comprendente tutte le 100 misurazioni, si è perciò calcolato media e scarto quadratico medio. 4
Tabella 2 Campione Media ( 10 1 s) Dev. Stand. ( 10 1 s) I 7.0884 0.0783517709 II 7.0568 0.0907707736 III 7.0764 0.0769133712 IV 7.052 0.0592311855 FINALE 7.0684 0.0773907833 2.1 L analisi degli istogrammi Per ognuno dei 4 set di misure si ha la costruzione dell istogramma (partendo dal ben diverso diagramma a barre): dopo la scelta di appropriate grandezze del bin (nel nostro caso 0.010s tranne negli istogrammi 3 e 4 dove è stato preferito un intervallo di bin di rispettivamente 0.008s e 0.005s ) si ricava, per ogni bin, la Frequenza assoluta n i (il numero n di volte che si sono ottenute misure comprese nell intervallo i ), la Frequenza Relativa F i (il rapporto tra frequenza assoluta n i e il numero totale n di misure) e la Densità di Frequenza f i (= F i / i dove i è la grandezza del bin ). Si considera dopo ciò la densità di frequenza per ottenere finalmente l istogramma. Tabella istogramma 1 Intervallo Frequenza assoluta Frequenza relativa Densità di frequenza 0.690s T < 0.700s 2 0.08 0.8 0.700s T < 0.710s 11 0.44 4.4 0.710s T < 0.720s 11 0.44 4.4 0.720s T < 0.730s 0 0 0 0.730s T < 0.740s 1 0.04 0.4 Tabella istogramma 2 Intervallo Frequenza assoluta Frequenza relativa Densità di frequenza 0.690s T < 0.700s 5 0.2 2 0.700s T < 0.710s 11 0.44 4.4 0.710s T < 0.720s 8 0.32 3.2 0.720s T < 0.730s 1 0.04 0.4 0.730s T < 0.740s 0 0 0 Tabella istogramma 3 Intervallo Frequenza assoluta Frequenza relativa Densità di frequenza 0.690s T < 0.698s 4 0.16 2 0.698s T < 0.706s 5 0.2 2.5 0.706s T < 0.714s 10 0.4 5 0.714s T < 0.722s 6 0.24 3 Tabella istogramma 4 Intervallo Frequenza assoluta Frequenza relativa Densità di frequenza 0.693s T < 0.698s 4 0.16 3.2 0.698s T < 0.703s 2 0.08 1.6 0.703s T < 0.708s 11 0.44 8.8 0.708s T < 0.713s 8 0.32 6.4 5
Tabella istogramma finale Intervallo Frequenza assoluta Frequenza relativa Densità di frequenza 0.690s T < 0.700s 15 0.15 1.5 0.700s T < 0.710s 43 0.43 4.3 0.710s T < 0.720s 40 0.4 4 0.720s T < 0.730s 1 0.01 0.1 0.730s T < 0.740s 1 0.01 0.1 Una volta ottenuto ogni istogramma, e avendo controllato che - rispettando la definizione stessa di istogramma - la somma delle sue aree dei rettangoli fosse 1, si considera la larghezza dell istogramma a metà altezza per verificare se si avvicina al doppio della deviazione standard calcolata analiticamente,avendone un buon riscontro con la Tabella 3: 6
Tabella 3 Campione Deviazione standard(s) Metà larghezza dell istogramma(s) I 0.00783517709 0.010 II 0.00907707736 0.010 III 0.00769133712 0.011 IV 0.00592311855 0.008 TOTALE 0.00773907833 0.010 2.2 Conclusioni prime Avvicinandoci alla conclusione dell analisi dati, i membri hanno ripetuto il procedimento per il campione totale composto dalle 100 misure, trovando un quinto istogramma. 7
Gli istogrammi così ottenuti sono dei grafici fatti con le Vertical Steps di SciDAVis dove l asse orizzontale ha i valori del Periodo T e quello delle y rappresenta, come specificato prima, la Densità di Frequenza f i. Si nota bene che l ultimo istogramma è quello che sembra più avvicinarsi ad una ideale distribuzione limite, la curva di Gauss, cui ci aspettiamo avvicinare l istogramma all aumentare del numero di misure e al diminuire della grandezza del bin. In seguito all analisi complessiva dei 100 dati, si può ricavare il periodo di oscillazione del sistema massa-molla e la corrispondente indeterminazione considerando la media delle 100 misure, ragionevolmente, il valore best e la somma tra l errore di lettura e l errore statistico come l errore assoluto associato. L errore statistico che associamo non è altro che la deviazione standard della media σ T che è uguale a: σ T = σ N = 0.00773907833s 100 = 0.000773907833s 0.0008s L errore di lettura associato, come già accennato, vale: δ = 0.005s 10 = 0.0005s Possiamo inoltre fare una stima del numero di misure per cui ci aspetteremmo un errore statistico confrontabilissimo con l errore di lettura: σ N 0.0005s N = 225 Troviamo infine: T = T best ± (σ T + δ) (707 ± 1) 10 3 s 8
Parte IV La seconda volta in laboratorio per l esperienza 3 Un ricominciare 3.1 La riconsegna degli strumenti Tutto avvenne come la scorsa volta, nelle modalità almeno: vennero consegnati al gruppo la stessa molla e la stessa barra e braccio d acciaio dell altra volta, precedentemente conservati a parte; un cronometro digitale dello stesso tipo utilizzato la scorsa volta e le masse campione. Non si vuole qui annoiare il lettore ripetendo ciò di cui si è già scritto e si rimanda ai paragrafi precedenti per una più lunga trattazione. 3.2 Una «nuova» consegna Questa seconda parte dell esperienza ricalca la prima: la differenza è nel numero di campioni presi in considerazione: se nella prima parte fu una sola massa applicata alla molla, ora saranno quattro. I risultati inoltre da confrontare con i primi, per meglio intendere. 3.3 La scelte delle masse applicabili Si era nella situazione proposta la giornata passata: seduti bisognava concordare quali masse applicare alla molla per l oscillazione. Così si passò alla proposta di utilizzare masse con valori che oscillassero intorno a quelli della prima parte dell esperienza, questa fu accettata e messa in pratica da tutti. Si aveva già tra le mani un valore di 70g, a questo fu pensato di aggiungere e togliere 10g con uno step intermedio tra il valore centrale e gli estremi, cioè si procedette aggiungendo o togliendo 5g a volta in modo tale da avere nel range 60-80g di massa campione 5 misurazioni da 60-65-75-80g, avendola già svolta con 70g.Questo anche per evitare masse troppo piccole,quindi per evitare oscillazioni troppo rapide, e masse troppo grandi,quindi per evitare oscillazioni troppo lente, al fine di non far stancare troppo i misuranti,di conseguenza attenuare gli errori casuali. 3.4 Il misurare Di oscillazione in oscillazione si proseguì ad ottenere 100 misure (stavolta divise in 5 gruppi da 20 misure prese da ogni membro) per ogni massa. Inutile ridire che queste si svolsero nella stessa maniera tutte quante avendo a modello la misurazione svolta qualche giorno prima. Osservato per intero il fenomeno, abbiamo trascritto i valori temporali ottenuti, sempre su supporto contemporaneamente cartaceo e digitale. Quei numeri scritti, incolonnati, sono numeri 9
vuoti se non applicati nel senso totale dell esperienza, che troveremo nell analisi finale dei dati. 4 L analisi dei dati 4.1 L analisi delle misure e la teoria Sull intero campione di 500 misure del tempo di 10 oscillazioni effettuate (comprendendo anche le prime 100 prese durante la prima parte dell esperienza) con 5 masse diverse, si sono calcolate la Media e la Deviazione Standard grazie ad un foglio di calcolo elettronico. Come già fatto nella prima esperienza si consideri trascurabile l indeterminazione sui valori delle masse. Si riportano qui di seguito i dati ottenuti: Campione Massa Media 10T (s) Dev. Standard σ 10T (s) I 60g 6,549 0,0556413479 II 65g 6,8462 0,0693808112 III 70g 7.0684 0.0773907833 IV 75g 7,3431 0,0575369008 V 80g 7,5755 0,0616011118 Ripetendo l esatto procedimento compiuto nella seconda sezione della prima parte dell esperienza, per ogni massa si ricava il periodo T con conseguente indeterminazione, usando: T = T best ± (σ T + δ) Perciò, per ognuna delle 5 masse, in seguito all analisi dei 100 dati, si può misurare indirettamente il periodo di oscillazione del sistema massa-molla con la corrispondente indeterminazione considerando un decimo della media delle 100 misure come il valore best e un decimo della somma tra l errore di lettura e l errore statistico come errore assoluto associato (questo perché in tutti i casi le deviazioni standard della media non sono notevolmente più grandi dell errore di lettura). L errore statistico che si associa è sempre la deviazione standard della media. Si riporta di seguito una tabella con il periodo ottenuto per ogni corrispondente massa: Campione Massa T best (s) δ T (s) I 60g 0.655 0.011 II 65g 0.685 0.012 III 70g 0.707 0.013 IV 75g 0.734 0.011 V 80g 0.758 0.011 Si è quindi sfruttato quanto già fatto in modo da poter verificare la validità di una relazione funzionale dell oscillatore armonico semplice. Si sa infatti che in un oscillatore armonico semplice vale la seguente relazione: 10
ω 2 = k m ω = k m (1) In cui ω è la pulsazione dell oscillatore, k è la costante elastica della molla ed m è la massa che viene fatta oscillare. Equivalente alla (1) è la seguente: 4π 2 T 2 = k m m = kt 2 4π 2 (2) Dove T è il periodo dell oscillatore. La (1) e la (2) ci forniscono le relazioni funzionali che ci aspettiamo tra massa e frequenza angolare, e più in dettaglio tra massa e periodo, che ormai conosciamo. Purtroppo queste relazioni non danno luogo a funzioni lineari, dato che non si presentano nella forma y=mx+q, tuttavia si hanno due modi per linearizzare una funzione apparentemente più complessa: il grafico su scala logaritmica, e la sostituzione di variabile. 4.2 Il grafico su scala logaritmica Si è prima verificata la (1) relazione funzionale tra frequenza angolare e massa sfruttando il grafico log-log. Dalla (1) è facile verificare che : 2log 10 ω = log 10 k log 10 m log 10 ω = log 10 k 1 2 log 10m Ponendo Y = log 10 ω, X = log 10 m ed il termine noto q = log 10 k risulta evidente la nuova relazione lineare (3) che ci aspettiamo nel grafico log-log: Y = 1 2 X + q (3) Sfruttando le formule di propagazione dell errore troviamo dai periodi i valori best della frequenza angolare ω best con gli errori assoluti associati δ ω. Campione massa(g) ω best ( rad /s) δ ω ( rad /s) I 60 9.594 0.016 II 65 9.178 0.016 III 70 8.890 0.016 IV 75 8.557 0.013 V 80 8.294 0.012 Usando SciDAVis si è allora fatto il grafico e si è disegnato una retta con coefficiente angolare - 1 2. È importante ricordare che in un grafico log-log le lunghezze dei segmenti sugli assi sono proporzionali ai logaritmi in base 10 dei valori rappresentati,quindi dati nel grafico log-log due generici punti A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ) il coefficiente angolare m della retta passante da questi punti è uguale a: m = log 10y 2 log 10 y 1 log 10 x 2 log 10 x 1 = log 10(y 2 /y 1 ) log 10 (x 2 x 1 ) 11
Nel qui riportato caso si è prima presa la retta passante per (10,1) e (1,100) e,traslandola, si è verificato che i punti sperimentali rispettano la (3). Si è inoltre usato il metodo delle rette parallele per avere una minore indeterminazione associata a k. Qui di seguito si riporta il grafico così ottenuto tramite SciDAVis: 12
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Qui invece un ingrandimento per rendere più chiara la lettura del grafico: 14
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Si può osservare che l intercetta massima Q max e quella minima Q min sono rispettivamente 74.70 rad /s e 74.04 rad /scui corrispondono di conseguenza i valori : kmax = 74.70 g s. kmin = 74.04 g s. Da questi,approssimando adeguatamente,si può calcolare k con valore best uguale alla loro semisomma e l errore assoluto associato uguale alla semidispersione: k = kbest ± δ k = kmax + k min 2 ± kmax k min 2 g (74.4 ± 0.3) s. Applicando la propagazione dell errore con il quadrato si trova la prima stima della costante elastica: k = k best ± δk = [ (74.4) 2 ± 2 74.4 0.3 ] 10 3 N/m (5.54 ± 0.04) N /m 4.3 Il grafico linearizzato e le nostre conclusioni Si verifica dunque la relazione (2) sfruttando la procedura di linearizzazione ponendo: T 2 = Z K = k 4π 2 Ottenendo la seguente relazione lineare: m = K Z Quest ultima fornisce anche un informazione importante: la retta passa per l origine. Si arriva quindi al grafico linearizzato ricavando il valore best di Z e il suo errore assoluto associato δ Z attraverso la già citata e usata formula della propagazione dell errore con il quadrato. Campione massa(g) Z best ( 10 2 s 2 ) δ Z ( 10 2 s 2 ) I 60 42.89 0.14 II 65 46.87 0.16 III 70 49.96 0.18 IV 75 53.92 0.16 V 80 57.92 0.17 A questo punto si utilizza il metodo di massima e minima pendenza, imponendo anche il passaggio per l origine come sopra. 16
Si riporta di seguito il grafico così ottenuto: 17
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Si riporta inoltre anche un ingrandimento sui punti sperimentali di quest ultimo per facilitare la lettura: 19
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Le due rette, quella di minima pendenza e quella di massima pendenza, hanno rispettivamente un coefficiente angolare pari a K min = 69.5 500 N /m = 0.139 N /m e K max = 70.5 500 N /m = 0.141 N /m. Si calcola l errore assoluto δ K come la semidispersione di questi due valori: δ Kbest = K max K min 2 = 0.001 N /m Si calcola dunque il valore K best come semisomma delle due pendenze: K best = K max + K min 2 = 0.140 N /m Si trova quindi la seconda stima di k con la formula di propagazione dell errore nel prodotto con un numero esatto: k = k best ± δ k = 4π 2 (K best ± δ K ) (5.53 ± 0.04) N /m Si osserva che le due stime della costante elastica sono estremamente confrontabili. Infatti hanno una discrepanza che è un quarto dell errore assoluto (hanno anche lo stesso errore assoluto), quindi non significativa, inoltre hanno praticamente lo stesso errore relativo. L errore relativo percentuale ε %1 associato alla prima stima è: ε %1 = δk k best1 100 0.7% E l errore relativo percentuale ε %2 associato alla seconda stima è: ε %2 = δk k best2 100 0.7% Concludiamo quindi che ciò mostra la bontà di entrambi i metodi, ma osserviamo che il grafico log-log ha l indiscutibile vantaggio di permettere di verificare la relazione funzionale, anche senza conoscerla a priori come è, invece, necessario con il grafico linearizzato. 21