8 marzo 3 Eseritazione di Controll Digitale n a.a. /3 =. Si onsideri il segnale x( t) sin ( π t) + sin( 4π t) Si valuti la frequenza minima del ampionatore he permette la riostruibilità del segnale, e si proeda alle opportune verifihe utilizzando le funzionalità di Fast Fourier Transform di MATLAB-Simulink. Si verifihi, mediante Simulink, l andamento della risposta impulsiva di un sistema avente ome funzione di trasferimento disreta la Z-trasformata del segnale x(t).
Soluzione eseritazione n di Controllo Digitale 8 marzo 3 La frequenza massima, f s, del segnale x(t) è pari a Hz. Pertanto, in base al teorema di Channon la frequenza di ampionamento minima è f f s = 4 Hz T. 5 s Possiamo segliere T = ms, a ui orrisponde f = 5 Hz. Il segnale x(t) ed il segnale ampionato x*(t) può essere ottenuto mediante un semplie shema Simulink Hz Sum Hz Sope Pulse Generator f=5 Hz duty ile=6% Produt Sope Si ottiene il seguente diagramma on il segnale originario e quello ampionato» plot(sopedata(:,),sopedata(:,)), legend( x(t), x*(t) ),xlabel( Tempo [s] ).5 x(t) x*(t) - - -.5.5 Tempo [s]
Soluzione eseritazione n di Controllo Digitale 8 marzo 3 Lo spettro dei due segnali può essere ottenuto utilizando il omando fft di MATLAB-Simulink seondo la seguente routine % Funzione per il alolo normalizzato dello spettro di un segnale % funtion spettro(t,x) lose all % % alolo del vettore delle frequenze % f=:/t(size(t,)):/t(); f=f'; % % alolo della Fast Fourier Transform % Y=fft(x); % % alolo dello densità spettrale di potenza normalizzato % he permette di ottenere un'ampiezza unitaria dello spettro % per una sinusoidale di ampiezza unitaria % P=*abs(Y)/length(Y); plot(f(:eil(length(f)/)),p(:eil(length(p)/))) xlabel('') ylabel( X(j \pi f ) title('') Lo spettro del segnale originario si può alolare on» spettro(sopedata(:,),sopedata(:,)), axis([.5]).5 X(jπ f) 5 5
Soluzione eseritazione n di Controllo Digitale 8 marzo 3 mentre quello del segnale ampionato è» spettro(sopedata(:,),sopedata(:,3)). Spettro di potenza X*(jπ f).9.8.7.6.5.4.3.. 3 4 5 Si noti ome le ampiezza delle replihe sono modulate dai oeffiienti dello sviluppo in serie di Fourier della funzione ampionatrie, he, non essendo un treno di impulsi, non sono unitari ma valutabili ome n = T T s ( t) e π jn t T dt he, se se s(t) fosse quella ideale del generatore nominale, sarebbe n γ = e T π jn t T γ dt = T γ sen nω e γ nω jnω in ui γ = 6%T è la durata dell impulso ampionatore. γ Le seguenti figure evidenziano ome la funzione ampionatrie utilizzata sia una approssimazione di quella ideale» plot(sopedata(:,),sopedata(:,))» axis([..5])
Soluzione eseritazione n di Controllo Digitale 8 marzo 3.5 Funzione ampionatrie approssimata..4.6.8. e on uno zoom si evidenzia l ampiezza di ogni onda utilizzata per ampionare, he è di almeno due passi di integrazione (*e-3).5 Funzione ampionatrie approssimata.5..5..5.3 Poihé, invee la funzione ampionatrie è approssimata numeriamente i moduli dei oeffiienti n possono essere alolati mediante» spettro(sopedata(:,),sopedata(:,))
Soluzione eseritazione n di Controllo Digitale 8 marzo 3. X(j π f).8.6.4...8.6.4. 3 4 5 Tali oeffiienti tengono onto dell area reale di ogni impulso di ampionamento pari a ira.. Quindi, volendo approssimare ompensare tale fatto riportandosi nelle ondizioni di impulso di area unitaria è neessario moltipliare lo spettro per /γ = l/. = 5, he rappresenta anhe la frequenza a ui la funzione γ sen nω γ nω passa per lo zero. Si ottiene il seguente diagramma he approssima, in bassa frequenza, quello del segnale ampionato ideale (on ampionamento impulsivo). 5 45 4 35 3 X*(j π f) 5 5 5 4 6 8 in ui si evidenziano le replihe entrate ai multipli della frequenza di ampionamento, on gli spettri immagine ben evidenti.
Soluzione eseritazione n di Controllo Digitale 8 marzo 3 Il segnale originario può essere riostruito utilizzando un filtro passa-basso on frequenza di taglio di ira 4 Hz 6 F( jω) =.5 jω +.55jω +» bode(6,[.5.55 ]) ( ) Bode Diagrams 4 Phase (deg); Magnitude (db) - -4-5 - -5 oppure on un riostruttore ZOH - 3 Frequeny (rad/se) Hz Sum Hz Pulse Generator f=5 Hz Produt Filtro passa-basso 6.5s +.55s+ Sope duty ile=6% ZOH» plot(sopedata(:,),sopedata(:,:5)), legend('x(t)','x*(t)','x_{r_f}(t)','x_{r_{zoh}}(t)')» xlabel('tempo [s]'), axis([ -.5.5])
Soluzione eseritazione n di Controllo Digitale 8 marzo 3.5 x(t) x*(t) x rf (t) x rzoh (t) - - -.5.5 Tempo [s] in ui si vede hiaramente ome il filtro passa-basso introdua uno sfasamento in ritardo del segnale riostruito, il ui spettro è» spettro(sopedata(:,),sopedata(:,4))» axis([ 6.5]).5 X(j π f) 3 4 5 6 mentre lo spettro del segnale riostruito on lo ZOH è» spettro(sopedata(:,),sopedata(:,5))» axis([ 6.5])
Soluzione eseritazione n di Controllo Digitale 8 marzo 3.5 X(j π f) 3 4 5 6 Si può osservare ome il ampionatore realizzato on il bloo Pulse Generator introdue degli errori evidenziati dal fatto he in aluni istanti di ampionamento il riostruttore ZOH restituise un segnale nullo. Si può pensare di evitare l errore di tipo numerio utilizzando un Disrete Pulse Generator on periodo di ampionamento pari al passo di integrazione del solutore numerio, periodo orrispondente ai 5 Hz, e on durata pari ad un ampione Hz Sum Hz Produt Filtro passa-basso.5s +.55s+ Sope Disrete Pulse Generator ZOH Sope» plot(sopedata(:,),sopedata(:,:5))» axis([ -.5.5])» legend('x(t)','x*(t)','x_{r_f}(t)','x_{r_{zoh}}(t)')
Soluzione eseritazione n di Controllo Digitale 8 marzo 3.5 x(t) x*(t) x rf (t) x rzoh (t) - - -.5.5 Si noti ome è neessario modifiare il guadagno del filtro a ausa del differente ampionatore. Lo spettro del segnale ampionatore è infatti adesso» spettro(sopedata(:,),sopedata(:,))...8 X(j π f).6.4. 3 4 5 in quanto la durata dell impulso ampionatore è pari ad un passo di integrazione (e-3), mentre quello del segnale ampionato è» spettro(sopedata(:,),sopedata(:,3))
Soluzione eseritazione n di Controllo Digitale 8 marzo 3.6.5.4 X(j π f).3.. 3 4 5 da ui si evidenzia il differente effetto del ampionatore disreto. Moltipliando per =/e-3 si otterrebbe lo spettro del ampionatore on impulsi di area unitaria. Gli spettri dei segnali riostruiti sono» spettro(sopedata(:,),sopedata(:,4))» axis([ 6.5]).5 X(j π f) 3 4 5 6» spettro(sopedata(:,),sopedata(:,5))» axis([ 6.5])
Soluzione eseritazione n di Controllo Digitale 8 marzo 3.5 X(j π f) 3 4 5 6 Si noti ome, in questo aso, lo spettro del segnale riostruito on lo ZOH abbia uno spettro più prossimo a quello del segnale originario, on delle omponenti di piola ampiezza in orrispondenza delle frequenze multiplo della frequenza di ampionamento. La funzione di trasferimento disreta di un sistema on risposta impulsiva pari al segnale x(t) è X { } ( z) = Ζ L ( sen( πt ) + sen( 4πt) ) z sen( πt ) + z z os( πt ) + z T = z sen z os ( 4πT ) ( 4πT ) +» T=.;» num=[sin(*pi*t)*[ -*os(4*pi*t) ]+*sin(4*pi*t)*[ -*os(*pi*t) ] ] num =.497 -.4895.497» den=onv([ -*os(4*pi*t) ],[ -*os(*pi*t) ] ) den =. -3.94 5.8438-3.94.
Soluzione eseritazione n di Controllo Digitale 8 marzo 3 Hz Sum Hz Produt Filtro passa-basso.5s +.55s+ Sope Disrete Pulse Generator ZOH Sope Step num(z) den(z) Sope Step -, T Sum Disrete Transfer Fn» plot(sopedata(:,),sopedata(:,:3)),axis([ 3 -.5.5]),legend('x(t)','X(z) _{ZOH}')
Soluzione eseritazione n di Controllo Digitale 8 marzo 3.5 x(t) X(z) ZOH - - -.5.5.5 3 Si noti l efetto di riostruzione ZOH del bloo Disrete Transfer Fn di Simulink.