Cors d Laurea Igegera Meccaca Trasmssoe del calore co applcazo umerche: formatca applcata a.a. 15/16 Teora Parte III Ig. Ncola Forgoe Dpartmeto d Igegera Cvle e Idustrale E-mal: cola.forgoe@g.up.t; tel. 05018057
Iterpolazoe e curve fttg Geeraltà I molt problem d gegera s ha a che fare co ua fuzoe d forma scooscuta d cu s possede solo ua sequeza d valor assut dalla fuzoe u seme fto d put (spesso s tratta d msurazo spermetal) e s desdera avere ua stma del valore della fuzoe stessa uo o pù put termed rspetto a quell dspobl. Ad esempo, dat valor che ua fuzoe assume u seme d put così come mostrato ella tabella e ella fgura rportate el seguto, può essere ecessaro approssmare tale fuzoe put termed. 50 f() 0 3 00 1.5 4.15 7 3 1 150 3.4 30.744 4 51 100 4.3 64.017 5 103 50 5.3 13.787 6 183 0 6.5 35.375 f() 0 1 3 4 5 6 7 f()
Iterpolazoe e curve fttg Geeraltà Quado s è cert dell esattezza de dat, l approcco geerale cosste el rcercare ua fuzoe, faclmete calcolable (come ad es. ua fuzoe polomale), che pass esattamete per og sgolo puto. I questo caso s parla d terpolazoe. Quado dat soo affett da u errore (certezza) s cerca vece d rcavare ua fuzoe che meglo approssma l adameto geerale de dat seza pretedere che la fuzoe stessa pass ecessaramete per put ot. U approcco d questo tpo vee detto regressoe o curve fttg. Nel seguto descrveremo solo alcue semplc tecche d terpolazoe e la regressoe a mm quadrat. f() terpolazoe f() regressoe leare (,f ) (,f )
Iterpolazoe Iterpolazoe polomale Dato u seme d coppe d valor della coordata e della fuzoe f, (, f ) =1,, ( cu gl sao a due a due dstt), esste uo ed u solo polomo d grado -1 che pass per tal put: per = s ha ua retta; per = 3 s ha ua parabola; per = 4 s ha ua cubca, ecc.. Per determare coeffcet d tale polomo è possble rsolvere u sstema leare d equazo: 1 ao a1 1 a 11 f1 f 1 1 ao a1 a 1 f f cu le cogte soo gl coeffcet a 0, a 1,, a -1. L utlzzazoe d questo procedmeto è però geeralmete scosglable, perché quado l umero d put a dsposzoe dveta elevato esso rsulta troppo laboroso ed ache mprecso per problem d malcodzoameto del sstema.
Iterpolazoe Iterpolazoe polomale d Lagrage Ua valda alteratva per la costruzoe del polomo d terpolazoe è costtuta dall utlzzazoe della sua forma lagragaa: I forma pù compatta, s può scrvere: cu gl polom d orde -1, L, soo deft come: Estrapolazoe f f f f 3 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 1 L f L f 1 Il procedmeto che tede a stmare u valore d f(), co estero rspetto all tervallo che cotee dat 1,,,, vee detto estrapolazoe. j j 1 j j
Iterpolazoe Iterpolazoe medate fuzo sple Questo procedmeto d terpolazoe prede l ome dalla tecca, adottata u tempo el dsego, d utlzzare delle pccole strsce d materale flessble ( sples ) per traccare curve tra put prestablt: la rgdezza flessoale della sple asscura che l terpolazoe avvega mateedo la desderata cotutà delle dervate della curva. Ad esempo, l dea alla base dell uso d sple cubche per terpolare è quella d mateere la cotutà delle dervate prme e secode ell terpolazoe d tutta la tabella d put (, f ). I partcolare, el caso d sple cubche, cosderato l tervallo [, +1 ], la cubca che s scegle per terpolare la fuzoe tale tervallo è: 3 ( ) f a b c d dove coeffcet a, b, c e d soo dvers og tervallo ed è d = f. Il valore de coeffcet a, b, c s determao mpoedo che f () ( +1 )= f +1 ed mpoedo la cotutà delle dervate prme e delle dervate secode agl estrem d og tervallo co ua opportua procedura d calcolo (v. Ghelardo- Marzull, ETS 1979).
Regressoe Regressoe a mm quadrat I questo caso o s rchede che la curva d best-ft (polomale o meo) pass per tutt put, ma basta rprodurre l adameto geerale de put. 1.40 1.0 y = -3.1385E-14 4 + 3.188E-10 3-1.1577E-06 + 1.806E-03-1.1748E-01 1.00 0.80 f() 0.60 0.40 0.0 0.00 0 500 1000 1500 000 500 3000 3500
Regressoe Regressoe a mm quadrat E prma d tutto ecessaro sceglere la fuzoe d regressoe che s rtee adeguata per rappresetare dat: fuzoe polomale d grado opportuo; fuzoe espoezale; legge d poteza, ecc.. A ttolo d esempo s poga: 3 f a b c d e s cosder la somma degl scart quadratc tra valor della fuzoe ot e var put e quell approssmat tramte la f(). S ha: N d 3,,, ( ) E a b c d f f a b c d f 1 1 cu N d è l umero d put avet coordate (, f ) a dsposzoe. N d
Regressoe Regressoe a mm quadrat Mmzzare la somma degl scart quadratc al varare de coeffcet del polomo sgfca mporre le codzo E a 1 E b 1 E c 1 Nd E 3 a b c d f 0 d Nd 3 3 a b c d f 0 Nd 3 a b c d f 0 Nd 3 a b c d f 0 che rappreseta u sstema leare elle cogte a, b, c, d: 1 a b c d f 1 1 1 1 1 a b c d f 1 1 1 1 1 a b c d f 1 1 1 1 1 Nd Nd Nd N d 3 a b c Ndd f 1 1 1 1 Nd Nd Nd Nd Nd 6 5 4 3 3 Nd Nd Nd Nd Nd 5 4 3 Nd Nd Nd Nd Nd 4 3 La soluzoe d questo sstema d 4 equazo lear permette d rcavare le 4 cogte a, b, c, d e d otteere qud l approssmazoe polomale a mm quadrat cercata.
Regressoe Regressoe a mm quadrat E molto frequete l caso cu le fuzo da sceglere per l best-ft o sao polom, ma legg d poteza o espoezal. Ad esempo, ella regressoe d dat d scambo termco covezoe forzata s usao relazo del tpo: Nu a Re b ( ) I questo caso, la determazoe de coeffcet a e b a mm quadrat rchederebbe la soluzoe d u sstema d equazo o lear (ad es., co Newto- Raphso). U alteratva cosste ell esegure l logartmo d ambo membr della ( ) otteedo: log Nu log a b log Re Percò, poedo f log Nu, log Re, c log a c s rcoduce ad ua fuzoe polomale d prmo grado del tpo: f ( ) b c alla quale può essere applcata l metodo de mm quadrat precedetemete vsto. I questo caso, però, ad essere mmzzat o soo gl scart quadratc su Nu, ma quell su log Nu, cosa che corrspode alla mmzzazoe dello scarto percetuale.
Regressoe Regressoe a mm quadrat (geeralzzazoe) I geerale, s vogla otteere l best-ft d u seme d N d put (, f ). S cosder ua fuzoe polomale d grado (N d > +1) Bsoga sceglere coeffcet c real per qual la fuzoe E assume valore mmo dove: T c,,, c0 c1 c T f,,, f1 f f N d ( ) 0 1 j0 c c c c Nd j T 0 1 j E( c, c,..., c ) c f Ac - f Ac - f Ac - f 1 j0 Vettore delle cogte a N j j1, j ( 1,,..., d ) e ( 1,,..., 1) La E è ua fuzoe cotua d +1 varabl, per cu l puto d mmo assoluto (se esste) è da rcercars tra put per qual soo ulle tutte le dervate parzal della E rspetto a c 0, c 1,, c. Nd E j s c j f j 0, ( s 0,1,,..., ) cs 1 j0 j j
Regressoe Regressoe a mm quadrat (geeralzzazoe) Quest ultmo sstema d +1 equazo lear algebrche elle +1 cogte c può essere scrtto ella forma: T T T T A A c - A f 0 A A c A f Questo sstema ha soluzoe, quato s può dmostrare che rago(a T A) = rago(a T A A T f). Ua volta determate le cogte c, è possble calcolare la devazoe stadard del polomo d regressoe o errore stadard medate la formula: s E Ac - f N N 1 1 U altro parametro che s cotra molto spesso per la valutazoe della botà della curva d best ft trovata è l coeffcete d correlazoe R l cu quadrato è calcolato medate: Nel caso d approssmazoe deale (terpolazoe) R = 1. d Nd Nd S E 1,, S N 1 d 1 R S f f f f d
Esempo d regressoe polomale Regressoe S utlzz u polomo del secodo orde per approssmare dat delle prme due coloe della tabella. La fuzoe polomale che soddsfa l crtero de mm quadrat è: Il coeffcete d correlazoe è: f f f (f c 0 -c 1 -c ) 1.1 544.44 0.1433 7.7 314.47 1.0086 3 13.6 140.03 1.08158 4 7. 3.1 0.80491 5 40.9 39. 0.61951 6 61.1 17.11 0.09439 S 15.6 S = 513.39 E = 3.74657 513.39 3.74657 R 0.99954 513.39 La fuzoe quadratca rappreseta qud u ottma approssmazoe de dat. L errore stadard vale: ( ).47857.3599 1.86071 s 3.74657 6 3 1.1 f 70 60 50 40 30 0 10 0 y = 1.86071 +.3599 +.47857 R = 0.99851 0 1 3 4 5
Iterpolazoe e regressoe (replogo) Approssmazoe d dat e fuzo INTERPOLAZIONE REGRESSIONE a mm quadrat Polomale d Lagrage Polomale a tratt: fuzo sple (cubche) Errore stadard e coeffcete d correlazoe
Itegrazoe umerca Quado ua fuzoe f() sa assegata tramte +1 put, (, f ), ( = 0, 1, ) e se e vogla approssmare l tegrale su d u tervallo assegato [a, b] è possble rcorrere a formule d tegrazoe umerca (o d quadratura ) la cu forma geerale è del tpo: ( ) I f a f ( ) co a opportu coeffcet. Queste stesse formule possoo essere ovvamete applcate quado la forma della fuzoe sa ota el cotuo, ma rsult dffcle da tegrare aaltcamete. L errore d trocameto permette d defre l orde d accuratezza della formula d quadratura, relazoe alla sua capactà d tegrare esattamete polom d grado pù o meo elevato. Ifatt, se ua formula d quadratura può tegrare esattamete polom fo al grado m-esmo, coè se s dce che la formula d quadratura ha grado d precsoe m. ( ) b I f f ( ) d a 0 E f I f I f m m 1 E 1 E E E 0, E 0
Itegrazoe umerca S può dmostrare che, fssat gl +1 put (, f ), (=0, 1,, ), esste ua sola formula d quadratura del tpo assegato che ha grado d precsoe almeo uguale ad. Ifatt, tale formula d quadratura verfca le relazo: a b a 0 1 a b a 0 1 a b a 1 0 per cu coeffcet a soo soluzoe d u sstema leare l cu determate, detto d Vadermode è certamete dverso da zero per dstt. 1 1 1 1 1 1 1
Itegrazoe umerca La procedura umerca adottata per rcavare le formule d quadratura, può dervare dalle tecche vste per l terpolazoe. Ifatt, facedo potes crca l adameto della curva tra due o pù put è possble otteere dverse formule d quadratura d tpo terpolatoro che vegoo dcate come formule d Newto-Cotes quado subtervall cu è dvso l tervallo [a, b] soo ugual. Alcue delle pù frequet formule d quadratura che s basao su questa tecca soo rchamate el seguto.
Formula de trapez Itegrazoe umerca I questo caso, s fa l potes che og sub-tervallo [ -1, ] l adameto della fuzoe f() sa d tpo leare; co tale potes s ha: 1 f d Cò equvale a sostture l area sotto la curva che rappreseta l adameto effettvo della fuzoe co quella d trapez. 1 f f 1 Per esegure l tegrazoe umerca sull tero tervallo [a, b] s ha duque: a b f d 1 1 f f 1 f() Nel caso cu sub-tervall [ -1, ] abbao ampezza costate, D, s ha a b 1 D f d f 0 f f 1-1 +1 La formula de trapez ha orde d precsoe 1 (tegra perfettamete ua fuzoe leare)
Formula de trapez Itegrazoe umerca L errore d trocameto che s commette co questa formula verfca la relazoe cu s è usata la otazoe: Formule d Smpso Nell potes che sub-tervall [ -1, ] abbao ampezza costate, D, è possble utlzzare la regola 1/3 d Smpso che derva dall approssmazoe per mezzo d u polomo d Lagrage del secodo orde dell adameto della fuzoe. Per l sgolo sub-tervallo s ha: 1 1 1 1 M 1 E b a D M k sup a, b k d f d k 1 1 1 1 f d f 1 f f 1 d 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 D D f d f 1 4 f f 1 3
Formule d Smpso Itegrazoe umerca Sull tero tervallo [a, b], vece, rsulta: a b D f d f 0 4 f 1 f 4 f 3 f 3 a b / /1 D f d f f f f 3 1 1 4 0 1 L applcazoe d questa formula (d Cavaler-Smpso) rchede u umero dspar d put, coè u umero par d tervall. Ua maggorazoe dell errore che s commette co questa formula è: M 4 4 E b a D 180 La formula d Smpso ha grado d precsoe 3. Essa può essere applcata ache co tervall o equspazat, correggedo opportuamete coeffcet. Esste ache ua regola 3/8 d Smpso, basata sull approssmazoe per mezzo d u polomo cubco e che rchede u umero par d put per essere applcata. La sua accuratezza, però, o è d molto superore alla pù semplce regola 1/3.
Itegrazoe umerca (replogo) Formule d quadratura Errore d trocameto Grado d precsoe Formula de trapez Grado d precsoe 1 Formule d Smpso Grado d precsoe 3