La trasformata zeta in cucina Riccardo Bernardini 5 marzo 20 Introduction Può la trasformata zeta essere utile anche in cucina? Per quanto la cosa possa sembrare bizzarra, sì. In queste brevi note, infatti, studieremo il comportamento delle pentole usando la trasformata zeta. Più precisamente, cercheremo di capire se è vero che una pentola di rame distribuisce il calore in maniera più uniforme e come tale uniformità sia legata al conducibilità termica della pentola. È ovvio che lo scopo principale di questi appunti non è quello di formare degli esperti in pentolame, ma di offrire allo studente la possibilità di fare un po di esercizio sulla trasformata zeta. Per questo motivo, dopo ogni quesito, subito prima della soluzione, verrà inserita una linea del tipo ****************************************** immediatamente seguita da un cambio di pagina. Lo studente potrà quindi provare a risolvere il problema per conto proprio e confrontare la sua soluzione con quella riportata nel testo. 2 Un modello per la pentola Dato che il nostro scopo è di studiare come varia la distribuzione della temperatura sul fondo di una pentola al variare del materiale della pentola stessa, abbiamo bisogno di un modello matematico che rappresenti, con buona fedeltà, la propagazione del calore nel sistema. Tale modello può essere ottenuto con l aiuto della Figura che mostra una sezione del fondo di una pentola. Nella Figura il fondo della pentola è stato diviso in piccoli blocchetti, numerati con numeri interi consecutivi, che si supporranno abbastanza piccoli da poter considerare uniforme la temperatura in ogni blocchetto. Supporremo che il cibo abbia una capacità termica abbastanza elevata da non variare apprezzabilmente la sua temperatura una volta che il sistema sia andato a regime. Inoltre, dato che i flussi di calore dipendono solo dalle differenze di temperature, è chiaro che possiamo scegliere in maniera arbitraria lo zero della temperatura. Onde semplificare i calcoli, decidiamo di scegliere la temperatura del cibo come zero. Il blocchetto numero zero è scaldato da una fiamma. Se il flusso di gas che alimenta la fiamma è costante nel tempo, anche la quantità di calore prodotta nell unità tempo sarà costante. Possiamo quindi pensare che la fiamma inietti nel blocchetto zero un flusso di calore costante che supporremo, senza perdita di generalità, unitario. Più in generale, possiamo pensare di mettere sotto ogni blocchetto una fiammella che inietti un flusso di calore costante nel sistema. Indicheremo con q(n) il flusso calore iniettato nel blocchetto numero n.
000 000000 000000000 00000000 000000000000 0000000000000000000000000 00000000000000000000000000 000000000000000000000000000 0 0 0 Cibo a T=0 000000000000000000000000000 00000000000000000000000000 00000000000000 0000000 0000... 3 2 0 2 3... Q cal/s Figura : Ora studiamo più da vicino cosa accade al blocchetto numero n: detto blocchetto scambia calore con i soui due vicini (n e n+), col cibo ed, eventualmente, con la fiamma posta sotto al blocchetto stesso. I flussi di calore in gioco sono mostrati in Figura 2. Se T(n) indica la temperatura del blocchetto n e è la conduttanza termica tra blocchetti adiacenti, la quantità di calore che va dal blocco n al blocco n+ è Q(n n+) = (T(n) T(n+)). () In maniera analoga, ricordando che abbiamo scelto la temperatura del cibo come zero delle temperature, il calore che esce dal blocchetto e va nel cibo C può essere scritto come Q(n C ) = g bc T(n). (2) dove g bc indica la conduttanza termica presente tra il blocchetto ed il cibo. Se supponiamo che il sistema sia a regime, la quantità di calore che entra nel blocchetto numero n deve essere uguale alla quantità di calore che esce dallo stesso blocchetto. L equazione di bilancio termico diventa 0 = Calore che resta nel blocchetto q(n) Calore iniettato dalla fiamma + (T(n ) T(n)) Calore che arriva da n + (T(n+) T(n)) Calore che arriva da n+ g bc T(n) Calore che va al cibo 2
verso il cibo al blocco n blocco n T(n) al blocco n+ q(n) Figura 2: Flussi di calore relativi all n-simo blocchetto. 3
da cui q(n) = ( T(n )+ T(n+) (2 + g bc )T(n)) (3) L equazione (3) è un equazione alle differenze che lega il calore fornito dalla fiamma e la distribuzione delle temperature. Passando alle trasformate zeta la (3) diventa, dopo alcuni passaggi, T(z) = z / z 2 (2+g bc / )z Q(z) = H(z)Q(z) (4) + L equazione (4) è già interessante poiché mostra come la distribuzione delle temperature possa essere ottenuta filtrando la distribuzione del calore iniettato con il filtro avente la funzione di trasferimento mostrata in (4). È anche interessante osservare che il comportamento qualitativo del filtro dipende dalle conduttanze g bc e solo attraverso il loro rapporto ρ := g bc / (la conduttanza che appare a numeratore introduce solo un fattore di scala, ma non cambia il comportamento qualitativo). Per determinare la risposta impulsiva di tale filtro è sufficiente calcolare l antitrasformata di H(z)... ****************************************** 4
Per poter calcolare l antitrasformata di H(z) dobbiamo scomporla in fratti semplici ed a tale scopo ci servono gli zeri (p e ) del denominatore di H(z). Dall equazione ( p z )( z ) = z 2 (2+ρ)z + (5) si vede che p = e p + = 2 + ρ. Dalla prima relazione segue che p e sono l uno l inverso dell altro e reali. Infatti, se p e fossero complessi, dovrebbero essere tra loro coniugati (oltre che reciproci) e ciò implicherebbe p = =, ma questo è impossibile dato che p + p + = 2+ρ = 2+ρ > 2. Per semplificare i ragionamenti che faremo in seguito conveniamo di scegliere, senza perdita di generalità, > > p. Dall equazione per la scomposizione in fratti semplici z / z 2 (2+g bc / )z + = A p z + A 2 z = A + A 2 (A + A 2 p )z ( p z )( z ) (6) si ottiene Dalla (7a) si ottiene A = A 2 che sostituita nella (7b) porge A + A 2 = 0 (7a) A + A 2 p = / (7b) Possiamo quindi scrivere H(z) = A = ( p ) ( ) ( p ) p z z (8) (9) Ricordando che /( az ) è la trasformata zeta di u(n)a n, si ottiene che la trasformata inversa di (9) è ( p ) u(n)(pn p n 2). (0) Hmmm... qualcosa non va. Cosa? ****************************************** 5
Il problema è che p = implica che uno dei due poli ha modulo maggiore di uno e questo a sua volta implica che uno dei due addendi in (0) esplode con n. Come se non bastasse, la soluzione (0) è nulla per n < 0 e questo è abbastanza strano da un punto di vista fisico: pongo la fiamma nel centro della pentola e si scalda solo un lato. No, decisamente c è un baco da qualche parte. Dove? ****************************************** 6
Il problema nasce dal fatto che la trasformata inversa della funzione in z (9) dipende dal dominio della funzione stessa. Nel calcolare l antitrasformata (0) abbiamo implicitamente scelto come dominio la regione del piano complesso che include l infinito. Come noto, tale regione corrisponde ad un antitrasformata puramente causale, da cui la soluzione fisicamente inaccettabile, sia per la sua asimmetria, sia per la sua instabilità. Dobbiamo quindi scegliere il dominio di (9) in modo tale da avere un antitrasformata fisicamente accettabile che non diverga per n ±. Come noto, l unico dominio a cui corrisponde un antitrasformata stabile è quello che comprende il cerchio di raggio unitario. Se scegliamo tale regione, al polo p < corrisponde una risposta causale R (n) = u(n)p n () mentre al polo = /p > corrisponde una risposta anticausale Ricordando la scomposizione in fratti semplici (9), otteniamo T(n) = R 2 (n) = u(n )p n 2 = u( n )p n (2) ( p ) (R (n) R 2 (n)) = ( p ) (u(n)pn + u( n )p n ) (3) che può essere scritta in maniera compatta come T(n) = ( p ) p n. (4) La (4) è una soluzione fisicamente ragionevole: va a zero per n ± (dato che p < ) ed è simmetrica rispetto all origine. 3 Commenti La (4) mostra che la temperatura decade più lentamente (ossia, è più uniforme) quando p è grande. È facile vedere, magari con l aiuto della Figura 3, che p grande (vicino a uno) corrisponde a ρ = g bc / piccolo (vicino a zero) e questo accade quando la conduttanza blocco-blocco è grande rispetto alla conduttanza blocco-cibo g bc, ossia quando il calore si propaga più facilmente verso i blocchetti adiacenti che non verso il cibo. In altri termini, se il materiale della pentola è un buon conduttore, ρ risulta piccolo e la distribuzione delle temperature più uniforme. 7
ρ grande ρ piccolo p = p p + = 2+ρ Figura 3: Risoluzione grafica del sistema p =, p + = 2+ρ. 8