Esercizio Un proiettile di massa m =8gèlanciatocontrounloccodimassaM =2.5 kg,inizialmenteariposoal ordo di un tavolo liscio ad altezza h =mdalsuolo. Ilproiettilesiconficcanelloccoe,dopol urto, cade a distanza d =2m,lungol asseorizzontale,dalfondodeltavolo. Determinarelavelocitàinizialedel proiettile. Di che tipo di urto si tratta? (Motivare la risposta). Rispondiamo innanzi tutto all ultima domanda. Dal momento che il proiettile si conficca nel locchetto, l urto è di tipo anelastico. L energia cinetica non si conserva a causa della deformazione plastica dei corpi coinvolti nell urto. Durante l urto, però, si conserva la quantità di moto: d p dt = p in = p f mv =(M + m) v = M + m m E istruttivo osservare che a questa equazione si possa pervenire anche se si considera che il centro di massa del sistema permane nel suo stato di moto (la cosa non ci sorprende, questa èsolounaformulazionediversa del principio di conservazione della quantità dimoto!).inpraticapossiamodire: = v cm = mv v = M + m M tot m In ogni caso, doiamo determinare la velocità delsistemaappenadopol urto( )perpoterricavare v!usiamoidatidellacadutadelcorpoperricavarelavelocità. Otteniamo dunque: d = t t = d h = 2 gt2 h = 2 g d2 v 2 f v = M + m g m d 388 m/s 2h = d g 2h Verifichiamo la perdita di energia cinetica del sistema a causa dell urto: E k = E kf E ki = 2 (M + m)v2 f 2 mv2 7.66 kj Questa èunaprovadirettadellanaturaanelasticadell urto. Aquestorisultatosipuòarrivare(inmodopiùmacchinosoinquestocaso!) ancheattraversoilteoremadi König per l energia cinetica. Esprimiamo l energia cinetica totale del sistema prima dell urto secondo König: E ki = E k,cm + E k = 2 (M + m)v2 cm + 2 m(v v cm ) 2 Dopo l urto, esprimiamo ancora l energia cinetica totale del sistema secondo König: E kf = E k,cm += 2 (M + m)v2 cm Pertanto: E k = E kf E ki = 2 m(v v cm ) 2 = ( 2 m m ) 2 v 2 = ( ) M 2 M + m 2 m v 2 7.66 kj M + m Esercizio 2 Un cannone èrigidamenteattaccatoaduncarrochepuòmuoversilungouninarioorizzontale. Ilcarroèa sua volta vincolato al muro per mezzo di una molla, inizialmente a riposo e con costante elastica k =2 4 N/m. Il cannone spara un proiettile di massa m =2kgadunavelocità v =25m/s,conunalzoθ =45 rispetto all orizzontale. Sapendo che la massa del carro con il cannone è M =5kg,sicalcolilavelocità di rinculo del cannone. Si determini inoltre la massima estensione della molla e la massima forza che la molla esercita sul carro.
Dal momento che lo sparo del cannone èuneventocheavvienesuunascaladitempomoltoreve,sipuò considerare che durante lo sparo il sistema sia isolato e si conservi la quantità di moto. Tuttavia,il carro che trasporta il cannone non è liero di muoversi dopo lo sparo,ma è vincolato a correre solo lungo la direzione orizzontale! Pertanto, la conservazione della quantità di moto del sistema appena dopo l urto avviene solo lungo la direzione in cui il carro è liero di muoversi(asse ˆ)! Il terrenno assorirà la componente verticale della quantità dimotoacquisitadalsistemacarro+cannoneaseguitodellosparo. dp dt = =mv cos θ Mv c v c = m M v cos θ 3.54 m/s Appena dopo che il carro si èmessoinmoto,iniziaadagirelaforzaelastica (forza conservativa!) della molla, che ne frena il moto di rinculo. Impostiamo la conservazione dell energia meccanica dopo lo sparo per ricavare la massima elongazione della molla. Alla massima elongazione corrisponde anche la forza massima esercitata dalla molla sul sistema carro+cannone: 2 Mv2 c = 2 k 2 = F ma = k û =35.4 kn M k v c.77 m Esercizio 3 Considerare un triangolo rettangolo sottile di densità superficialedimassauniforme.seitrelatisonoa, e c elamassatotaleè M, determinarelecoordinate cm e cm del centro di massa. a dm c d d a 2
Se la densità superficialedimassaσ èuniforme,alloraavremoσ = M S = 2M. Conseguentemente, un a elemento infinitesimo di massa dm, comequellomostratoinfigura,saràdatoda: Per trovare la coordinata cm,doiamocalcolare: cm = dm = M M dm = σds = σd = 2M a d 2M a d = 2 a Per procedere, isogna scrivere la funzione (), cioè come varia l altezza dell elemento dm spostandosi da ada lungo. L ipotenusa del triangolo rettangolo è, di fatto, una retta di pendenza /a che passa per l origine, cioè: Sostituendo nell equazione di cm troviamo: cm = 2 a d = 2 a () = a d a 2 d = 2 a 3 a 2 3 = 2 3 a Per quanto riguarda la coordinata cm,doiamoripeterelostessotipodiragionamento. Inaltreparole: cm = M dm = M 2M a (a )d = 2 a (a )d Per procedere, isogna ora scrivere la funzione (), cioè come varia la ase del nuovo elemento dm spostandosi da ad lungo. L ipotenusadeltriangolorettangoloè, di fatto, una retta di pendenza a/ che passa per l origine, cioè: () = a Sostituendo nell equazione di cm troviamo: cm = 2 a (a )d = 2 a (a a )d = 2 a a 2 2 2 a 3 a 3 = 2 3 = 3 Avremo dunque la seguente coppia di coordinate per il centro di massa del triangolo: ( 2 r cm = 3 aˆ + ) 3 ŷ Esercizio 4 Due carrelli di massa m =kgem =2kgsonoinizialmenteagganciatiefermisuunarotaiaorizzontale. In un certo istante viene disposto uno sgancio automatico che avviene in τ =.2 secheimprimealcarrello m una velocità v = 2 m/s. Calcolare: (a)lavelocitàdientramiicarrellidopolosgancio;()laforza sviluppata fra i carrelli durante lo sgancio; (c) il lavoro fatto dal dispositivo di sgancio. 3
Sul sistema considerato nel suo complesso, non agiscono forze esterne, pertanto la quantità dimotototale del sistema si conserva nel processo di sgancio, pertanto: mv + Mv 2 = v 2 = m M v =m/s Un altro modo, perfettamente equivalente di vedere la cosa è osservare che l assenza di forze esterne garantisce che il centro di massa del sistema rimanga nel suo stato originario di moto, cioè inquiete! v cm,i = v cm,f = mv + Mv 2 M + m v 2 = m M v =m/s La variazione di quantità dimotochesperimentaciascunodeiduecarrellièdovutaall azionedelsistema di sgancio che èresponsailetramitelaforzaimpulsivacheesercitaneltempoτ di trasferire quantità di moto in modulo uguali, ma in versi opposti ai due carrelli. Applicando il teorema dell impulso a ciascuno dei due carrelli, presi singolarmente, avremo: F τ = p ; F2 τ = F τ = p 2 Per esempio, usando la prima relazione, si ottiene F = m v = ˆ N. Ovviamente la forza esercitata dal meccanismo di slocco sul secondo corpo èesattamenteparia F =ˆ N. Per il calcolo del lavoro compiuto dal meccanismo di slocco, possiamo rifarci al sempre utile e pratico teorema dell energia cinetica: W = E k = 2 mv2 + 2 Mv2 2 =3J Un altro modo equivalente per valutare la variazione di energia cinetica è invocare il teorema di König per l energia cinetica. L energia cinetica del sistema può essere vista come: E k = E k,cm + E k dove il termine E k,cm èl enerigacineticadelcentrodimassa,mentree k rappresenta l energia cinetica delle parti che compongono il sistema misurata rispetto al centro di massa. Nel nostro caso, E k,cm =sempre,e k i =,mentree f k = 2 mv2 + 2 Mv2 2.Pertanto: ( ) E k = E f k Ei k = E f k,cm + E f k ( Ek,cm i + ) E i k = 2 mv2 + 2 Mv2 2 =3J Esercizio 5 Un auto di massa m a =.5 tonnellateurtafrontalmenteunfurgonedimassam =4tonnellatecheprocede in direzione opposta. L auto viaggiava inizialmente con velocità doppia rispetto al furgone. I due veicoli restano attaccati e si muovono lungo la direzione comune di moto per una distanza d =5mprimadi arrestarsi. Se il coefficiente di attrito dinamico tra i rottami e l asfalto è µ k =., determinare la velocità dei veicoli prima dell urto. Essendo l urto di tipo anelastico applico la conservazione della quantità dimotoassumendocomepositivo il verso di moto del furgone ( ) ma + m m v m a 2v =(m a + m ) v = m 2m a Dopo l urto, l energia cinetica iniziale è tutta dissipata se la forza di attrito agisce per un tratto lungo d, pertanto: 2 (m a + m )v 2 f µ k(m a + m )gd = = 2µ k gd 3.2 m/s Ne segue che il furgone si muove a velocità v 7.5 m/sel autoconvelocità 2v = 35ˆ m/s. 4
Esercizio 6 Un pendolo semplice di lunghezza l =3cmemassam =3gvienelasciatolierodaun altezzainizialeh rispetto al suolo. Sulla verticale urta in modo non elastico un punto materiale di massa m 2 =5gpostosu un piano. Sapendo che il corpo di massa m 2 parte con velocità v 2 =2m/sechel angolomassimoformato dal pendolo con la verticale dopo l urto è θ =3,determinare:lavelocità v del pendolo immediatamente dopo l urto; l altezza iniziale h del pendolo; l energia E dissipata nell urto. Durante l urto, che avviene parallelamente al piano orizzontale, si avrà conservazione della quantità di moto, mentre dopo l urto, per quanto riguarda il pendolo, ci saràconservazionedell energiameccanica. Impostiamo la conservazione della quantità di moto durante l urto: m v = m v + m 2 v 2 In questa equazione sono incognite sia v che v,tuttaviaèpossiilericavarev imponendo la conservazione dell energia meccanica dopo l urto per il pendolo: 2 m v 2 = m g(l l cos θ) v =.89 m/s Sostituendo nella prima equazione, ricaviamo la velocità v posseduta dal pendolo appena prima dell urto: v = v + m 2 m v 2 =.89 m/s Possiamo ora imporre la conservazione dell energia meccanica prima dell urto per determinare la quota di partenza della massa m : L energia dissipata sarà: m gh = 2 m v 2 h = v2 2g 8.2 cm E = E m,f E m,i = 2 m v 2 + 2 m 2v 2 2 m gh 6.3 mj 5