INTRODUZIONE ALL ANALII DEI ITEMI Universià
isemi dinamici Il conceo di sisema u Un sisema è un enià caraerizzaa da alcune grandezze inerne, suppose osservabili, la cui evoluzione è regolaa da alcune grandezze eserne u mediane una equazione differenziale del ipo: d d f, u Modello Dinamico
Modelli maemaici Modelli dinamici in grado di descrivere il comporameno degli oggei o dei fenomeni considerai anche quando le variabili in gioco non sono ue cosani nel empo R n d d variabili di sao f, u u n R m variabili di ingresso ordine del sisema
isemi del I ordine esempi
erbaoio a efflusso forzao q i h q o h = livello = area della sezione cosane q i = poraa volumerica d ingresso imposa q o = poraa volumerica d uscia imposa Equazione di bilancio di massa dh d q i q o
erbaoio a efflusso libero q i Equazione di Bernulli h q o Pamb v Poiché p v p Pamb gh si oiene vo v o gh Da cui q o k gh k = area sezione efflusso
erbaoio a efflusso libero h q i h = livello = area della sezione cosane q i = poraa volumerica d ingresso k = area sezione efflusso q o Dall equazione di Bernoulli q o k gh Equazione di bilancio di massa dh d q i q o
erbaoio a efflusso libero h q i h = livello = area della sezione cosane q i = poraa volumerica d ingresso k = area sezione efflusso q o Dall equazione di Bernoulli q o k gh Equazione di bilancio di massa dh d q i k gh
Circuio elerico Cv v R c i Ri Equazione del condensaore Equazione della resisenza Legge di Kirchoff s alla maglia v g v c Ri v vc RC c RCv c v v g c RC v g R C vr v c
Economia nazionale un modello keynesiano - I iano: Y = prodoo nazionale lordo C = consumi delle famiglie I = invesimeni delle imprese, della pubblica amminisrazione, al neo delle impose, le esporazioni al neo delle imporazioni Risula Y = C + I
Economia nazionale un modello keynesiano - II I consumi delle famiglie aumenano all aumenare del prodoo nazionale lordo dc d ac by b a C bi a e b sono opporuni coefficieni posiivi. Aumenando gli invesimeni aumenano anche i consumi e cresce il prodoo nazionale lordo. e le famiglie consumano molo, enderanno a diminuire il consumo in fuuro con un coefficiene opporuno a. Fu la ricea per uscire dalla grande depressione dopo il 9. Infai, secondo le eorie keynesiane,il livello di occupazione è deao dal prodoo nazionale lordo
Modelli di crescia delle popolazioni Modello di Malhus 798 - crescia esponenziale d bd b d e d = numero degli individui concenrazione b = asso di nascia d = asso di moralià Modello di Verhuls 848 - logisic growh - crescia limiaa d b d K K = capacià della popolazione dovua a limii nella disponibilià di alimeno subsrao, a limii di spazio, ad alri faori che impediscono la crescia
Modelli di crescia delle popolazioni Modello - crescia esponenziale d bd b d e d Modello più semplice: soluzione esplicia ma non realisica Modello - crescia limiaa d b d K Modello più complesso: soluzione più difficile da calcolare ma maggior precisione Qual è il migliore? Dipende dalle necessià
Logisic growh.8.6 Inserire figura.4. /K b=.8.6.4. 3 4 5 6 7 8 9
isemi del II ordine esempi
M F Carrello Carrello collegao a una molla e un pisone con coefficieni k ed h rispeivamene Enrambi creano delle forze d ario al moo Ma F risulane La forza di ario dovua alla molla è proporzionale alla posizione, menre quella dovua al pisone è proporzionale alla velocià F molla k F pisone h
Carrello M F upponendo che ci sia una forza di ario proporzionale alla posizione e una proporzionale alla velocià risula M k h F Poso,, u F, il modello è k h u M
u l M C Pendolo Il pendolo è soggeo a una coppia morice u e a una coppia d ario proporzionale alla velocià angolare che si oppone al moo. Ma F o F braccio Il momeno del pendolo viene eguagliao alla coppia oale conribuo della forza peso + coppie F C peso ario Mg sen k C lmg sen F
Pendolo u C o lmg sen k u l l Ma C o M s l s l a l Ml lmg sen k u Ml lmg sen k u
Pendolo u l upponendo che ci siano una coppia morice u e una coppia di ario proporzionale alla velocià angolare, risula M Ml glmsin k u Poso, il modello è g l sin k Ml Ml u
Cineica baerica dinamica delle colonie baeriche alghe, lievii, baeri, proozoi uilizzae per la produzione di enzimi Reaore a volume cosane d biomassa d subsrao = concenrazione della biomassa = concenrazione del subsrao d = poraa specifica alimenazione subsrao
Cineica baerica dinamica delle colonie baeriche alghe, lievii, baeri, proozoi uilizzae per la produzione di enzimi Reaore a volume cosane d biomassa d subsrao Nel subsrao l alimeno viene rasformao con una velocià nel prodoo. Il asso con cui viene rasformao dipende dalla concenrazione. In ingresso e in uscia abbiamo un quaniaivo proporzionale a d ed evenualmene a una definia. i k
R/mo Modello di Monod 94 o di Michaelis-Menen Il asso di crescia R dipende dalla concenrazione dell alimeno subsrao K R R K Valore limie di R per Cos. uguale a per cui R=.5 curva di Monod.9.8.7.6.5.4.3.. 3 4 5 6 7 8 9 /Ks
Cineica baerica modello maemaico d d d d K k K d d i i k concenrazione dell alimenazione del subsrao faore di resa
Modello preda-predaore Loka - Volerra In un ecosisema si hanno due specie: prede e predaori. Il asso di crescia delle prede segue il modello di Verhuls viso per la popolazione, inolre vengono immesse prede nell ecosisema secondo l andameno di una variabile u. Il asso di decrescia dei predaori è invece proporzionale al numero di predaori preseni. L inerazione preda predaore è di ipo non lineare, con coefficieni e.
Modello preda-predaore Loka - Volerra In un ecosisema a due specie, siano = numero di prede al empo = numero di predaori al empo u = immissione di prede al empo e = asso di crescia delle prede e = asso di decrescia dei predaori k = capacià della popolazione delle prede = coefficiene = coefficiene e u k e
isemi dinamici e modelli maemaici serbaoio a efflusso forzao serbaoio a efflusso libero circuio elerico economia nazionale, modello keynesiano crescia delle popolazioni carrello pendolo cineica baerica preda-predaore
Uilià dei modelli dinamici Comprensione dei fenomeni Analisi imulazione Progeo e oimizzazione Diagnosica dei malfunzionameni Progeo del conrollore Addesrameno operaore Prooipazione rapida...
isemi dinamici Il conceo di sao u d d f, u Il veore raccoglie quelle grandezze che, nel modello adoao, descrivono compleamene la siuazione inerna dell enià consideraa. Una configurazione = può essere raggiuna a seguio di diverse forme di ingresso per i empi <. Lo sao memorizza in qualche modo la soria del sisema
isemi dinamici classificazione isemi monovariabili, o mulivariabili IO: una sola variabile di ingresso, una sola variabile di uscia MIMO: più variabili di ingresso, più variabili di uscia isemi propri e sreamene propri ia y g la rasformazione di uscia equazione algebrica., u Il sisema si dice sreamene proprio puramene dinamico se y g e l uscia dipende anche dall ingresso il sisema è deo proprio
isemi non dinamico isemi dinamici classificazione y g isemi invariani e variani nel empo Un sisema è deo variane nel empo se f e/o g dipendono espliciamene dal empo d f, u, d y g, u, u e sia f che g non dipendono espliciamene da il sisema è deo empo invariane o sazionario
Esempio sisema variane M F M k h F k k o e o i suppone che la cosane elasica diminuisca esponenzialmene nel empo.
isemi liberi, o auonomi isemi dinamici classificazione d d L evoluzione dello sao dipende solo dalle condizioni iniziali, alrimeni il sisema si dice forzao. isemi lineari d d f A Bu La dipendenza dallo sao e dall ingresso è lineare ramie le marici n, n n, m dei coefficieni A R, B R
Classificazione dei sisemi dinamici - esempi
erbaoio a efflusso forzao Poso = h livello u = q i poraa d ingresso u = q o poraa d uscia E un sisema lineare e forzao u u U B X A X u u
erbaoio a efflusso libero Poso = h livello u = q i poraa d ingresso u k g E un sisema non lineare e forzao
Circuio elerico Poso = ensione sul condensaore u = ensione del generaore A u RC RC isema lineare e forzao B RC RC
Economia nazionale Poso = C consumi delle famiglie u = I invesimeni ba bu isema lineare e forzao
Modelli di crescia della popolazione b d R R K isema lineare e libero isema non lineare e libero
Pendolo g l sin k Ml Ml u isema non lineare e forzao
Cineica baerica isema non lineare e forzao Poso = concenrazione biomassa = concenrazione subsrao u = d poraa specifica alimenazione subsrao u = i concenrazione alimenazione subsrao u d K k u K
Movimeno dello sao Dao l isane iniziale, la funzione d ingresso u,, lo sao iniziale, la soluzione del sisema di equazioni differenziali d d f, u è il movimeno dello sao.,,, u,.
Traieoria dello sao Definisco raieoria dello sao la proiezione del movimeno sullo spazio di sao.
Movimeno dello sao sisemi lineari Nei sisemi lineari il movimeno è dao dalla formula di Lagrange e A A e Bu Movimeno Movimeno libero forzao d Nei sisemi lineari il movimeno dello sao è deerminao dalla composizione somma del movimeno libero sao iniziale con quello forzao ingresso lungo uo l inervallo emporale. Nel calcolo del movimeno i due conribui possono essere calcolai in maniera indipendene sovrapposizione degli effei
Principio di sovrapposizione degli effei d ' A' Bu',, ' ' d d '' A'' Bu'',, '' '' d i consideri ora il caso in cui l ingresso e lo sao iniziale siano cosiuii dalla sessa combinazione lineare degli ingressi e degli sai iniziali precedeni u' '' u' u'' ''' ' '' Allora ' '' ' '',
isemi dinamici equilibrio Dao un ingresso cosane si definiscono sai di equilibrio quegli sai per cui u u f, u Gli sai di equilibrio sono quindi sai in cui il sisema, soggeo all ingresso cosane corrispondene, permane indefiniamene.
Per i sisemi lineari poso u isemi lineari d d equilibrio A Bu, l origine è un puno di equilibrio. Per un generico ingresso equilibrio è u A, se A è inveribile lo sao di Bu
Economia nazionale equilibrio ac by b a C b I Y C I i noi che all equilibrio b/a = consumi/prodoo nazionale lordo Inolre all equilibrio risula prodoonazionalelordo invesimeni a a b k k è il moliplicaore di Keynes
Carrello puni di equilibrio M k h u La forza elasica k u equilibra la forza eserna imposa
Cineica baerica puni di equilibrio K s d k d i K s i d dk s i d k s k
Cineica baerica puni di equilibrio k s.4, k.35, d., i.4...95.333
Pendolo puni di equilibrio g l sin k Ml Ml u u Equilibrio sabile k Come formalizzare il conceo di sabilià dell equilibrio? Equilibrio insabile
isemi dinamici sabilià dell equilibrio - I Uno sao di equilibrio è asinoicamene sabile se ui i movimeni perurbai generai da sai iniziali sufficienemene prossimi a rimangono in vicinanza di e endono asinoicamene a. Quindi, e, ale che, per ui gli sai iniziali che soddisfano la relazione risula e e, lim
isemi dinamici sabilià dell equilibrio - II Uno sao di equilibrio è semplicemene sabile se ui i movimeni perurbai generai da sai iniziali sufficienemene prossimi a rimangono in vicinanza di. Uno sao di equilibrio è insabile se non è sabile
Asinoica sabilià definisce la regione di arazione e e è l inero spazio, il puno di equilibrio è globalmene asinoicamene sabile può anche essere molo piccolo
d abilià dell equilibrio Puno di equilibrio B Comunque perurbi il sisema mi allonano dall equilibrio Equilibrio Insabile d d d d Puni di equilibrio A e C crescene decrescene Equilibrio abile
Pendolo sabilià dell equilibrio
piano di fase M=g=l= equilibrio as. sabile equilibrio insabile u=
Cineica baerica sabilià dell equilibrio
piano di fase equilibrio insabile equilibrio as. sabile k s.4, k.35, i., d.,.4
abilià dell equilibrio sisemi lineari Movimeno di equilibrio e Movimeno perurbao A e A Bu d A A e e Bu d La sabilià asinoica dipende dalla marice A ed è una proprieà del sisema A e
/ isemi lineari del I ordine sabilià d a d La marice A = a coincide con il suo auovalore 3.5.5 a> a > sisema insabile a = sisema sabile.5 a= a< a < sisema asinoicamene sabile...3.4.5.6.7.8.9
Economia nazionale un modello keynesiano dc d ac by b Y C I a C b I La sabilià asinoica si ha per b < a cioè se all equilibrio i consumi sono inferiori al prodoo nazionale lordo
isemi lineari del II ordine sabilià A e Come valuare il movimeno dello sao e la sabilià quando il sisema non è di primo ordine?
isemi lineari del II ordine sabilià Ipoesi La marice A ha auovalori reali o complessi coniugai ma disini de I A Le n soluzioni i dell equazione caraerisica si dicono auovalori di A.
isemi lineari del II ordine sabilià Agli auovalori a e a corrispondono gli auoveori v e v poso T AT ~ Av i T risula: a, a d d ~ a A TAT ~ ~ d d a N.B. La corrispondenza ra ed ~ è biunivoca. a i v i, i, T v v
isemi lineari del II ordine sabilià ~ ~ T e e T e e T T a a a a Il movimeno libero dello sao è combinazione lineare di ermini esponenziali dei modi. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ e a d d e a d d a a
isemi lineari del II ordine sabilià Condizione necessaria e sufficiene perché il sisema sia asinoicamene sabile è che Rea < e Rea <
isemi lineari sabilià I risulai precedeni possono essere esesi anche al caso di sisemi del secondo ordine con auovalori coincideni o a sisemi di ordine più elevao Condizione necessaria e sufficiene affinché un sisema lineare sia asinoicamene sabile è che ui i suoi auovalori abbiano pare reale minore di zero Condizione sufficiene affinché un sisema lineare sia insabile è che almeno un auovalore abbia pare reale maggiore di zero e ui gli auovalori hanno pare reale minore o uguale a zero, il sisema può essere sabile o insabile, ma non asinoicamene sabile
Carrello sabilià u M M h M k 4, M k M h M h a Rea, < per h,k> asinoica sabilià
isemi non lineari linearizzazione - I Dao il sisema d d f, u e l equilibrio,u f, u si ponga u u u
isemi non lineari linearizzazione - II viluppando il sisema in serie di Taylor aorno a e arresando lo sviluppo al I ermine si oiene f d d, u d d,u f, u f, u d, u f, u du, u u cioè, poso A f, u f, B d, u, u du, u
isemi non lineari linearizzazione - II con che è chiamao sisema linearizzao,,,,, u du u f d u f u f d d u u u u du u f B d u f A,,,,, u B A d d
isemi non lineari sabilià dell equilibrio Lo sao di equilibrio,u è asinoicamene sabile se ui gli auovalori del sisema linearizzao corrispondene hanno pare reale minore di zero Lo sao di equilibrio,u è insabile se almeno uno degli auovalori del sisema linearizzao corrispondene ha pare reale maggiore di zero i osservi che per la sabilià asinoica si ha in queso caso solo una condizione sufficiene, per cui nel caso di auovalori con pare reale minore o uguale a zero non si può concludere nulla. ono necessarie alre ecniche di analisi
Pendolo sisema linearizzao cos u Ml Ml k l g,, equilibri 4, l g Ml k Ml k a 4, l g Ml k Ml k a Rea, < eq. as. sab. Rea <, Rea > eq. insab. k k k
Cineica baerica sisema linearizzao equilibrio insabile equilibrio asinoicamene sabile equilibri..563, j a d d k k k k k k k d k d d d d i i d dk k k d s i.33,. a a
y piano di fase ' = mu y/ks + y - d y ' = - k mu y/ks + y + d. - y mu =.4 ks =.4 d =. k =.35.3.5 equilibrio insabile..5. equilibrio as. sabile.5.5..5..5.3
Il problema del conrollo Dao il sisema d d f, u il problema del conrollo consise nell agire sulla variabile di ingresso o di conrollo u in modo da far assumere alle variabili di sao, o a loro combinazioni dee variabili di uscia un dao andameno nel empo o un dao valore cosane
Dao il sisema isemi del I ordine conrollo in anello apero - I d d a bu supponendo a< sisema asinoicamene sabile, per far assumere a un dao valore almeno a ransiorio esaurio si può porre u u b a Legge di conrollo che corrisponde al valore di regime di u compaibile con l equilibrio richieso u Regolaore b a u d d isema a bu
isemi del I ordine conrollo in anello apero - II osiuendo l equazione del regolaore in quella del sisema si oiene d d a bb a e a e a d a a a a e e a e, poiché e a per per
isemi del I ordine conrollo in anello apero - III nel caso di sisemi non asinoicamene sabili a la legge di conrollo precedene non può essere uilizzaa se il sisema vero è errore di modello d bu d,, e si uilizza la legge di conrollo si oiene u u b a a per Errore a ransiorio esaurio a
Dao il sisema isemi del I ordine conrollo in anello chiuso - I d d a bu, a si consideri il seguene schema di conrollo in anello chiuso e Regolaore proporzionale u isema d a bu u k pe d in cui la legge di conrollo è u k e k k p p p
isemi del I ordine conrollo in anello chiuso - II Uilizzando l equazione del regolaore in quella del sisema si oiene d a bkp bkp d E sempre possibile scegliere k p in modo da rendere asinoicamene sabile il sisema in anello chiuso a bk p Il movimeno dello sao del sisema reroazionao è abk abk p p e e bk d p
isemi del I ordine conrollo in anello chiuso - III Per l asinoica sabilià del sisema reroazionao cioè p avere l asinoica sabilià Tuavia, per e abk fisicamene poco realisico k p per p k bk a bk u k p p bk p a bk p p per abk bk con il segno opporuno per p e a bk p p
isemi del I ordine conrollo in anello chiuso - IV i consideri il regolaore più complesso e Regolaore proporzionale k p e u isema d a bu d Regolaore inegrale k i e d Equazioni del regolaore dv e d u k e p k v i
isemi del I ordine conrollo in anello chiuso - V isema in anello chiuso d dv d d a bk p bk i v bk p condizione di sabilià asinoica: auovalori della marice A con pare reale minore di zero bk bk i p a
isemi del I ordine conrollo in anello chiuso - VI Movimeno dello sao v A p e v e, per la asinoica sabilià A bk A e A bk p v A bk p a bki per errore a ransiorio esaurio nullo il conrollo si assesa auomaicamene sul valore richieso
Conrollo in anello chiuso presazioni a= sisema insabile, b=.8.6.4..8.6 k k k p p p k k k i i i 4 8 blu rosso verde.4. 3 4 5 6 7 8 9
Il problema del conrollo conclusioni se il sisema in anello apero è asinoicamene sabile e perfeamene noo, il conrollo in anello apero consene di oenere le presazioni desiderae in conrollo in anello chiuso consene di sabilizzare sisemi insabili, di oenere sabilià, errore a ransiorio esaurio nullo, e le presazioni dinamiche desiderae esise una eoria generale che consena di raare in modo sisemaico sisemi di ordine superiore al primo