Meccanica quantistica (3)
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- Benvenuto Colucci
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1 Meccanica quanisica 3 03/11/13 1-MQ-3.oc 0
2 03/11/13 1-MQ-3.oc 1 Equazione i Scröinger La funzione 'ona Ψ, per le paricelle quanisice è soluzione all'equazione i Scröinger: i V m,,, Ψ Ψ + Ψ Se si pone:, ϕ Ψ E si iviono per ϕ enrambi i membri: i V m 1 1 ϕ ϕ + L uguaglianzaè possibile solo quano i ue membri sono cosani i cos V m 1 1 ϕ ϕ + Si possono allora scrivere ue equazioni separae separazione elle variabili cose, a le imesioni i un energia E V m + 1 E i 1 ϕ ϕ
3 Equazione nel empo 1 ϕ i ϕ a soluzione: E ϕ e ie Ψ, e ie La soluzione è una funzione perioica nel empo i frequenza E 03/11/13 1-MQ-3.oc
4 Per escrivere le proprieà i aomi e molecole ineressano gli sai sazionari Sao sazionario: sao inamico in cui l'energia oale non ipene al empo Per uno sao sazionario si consiera la ipenenza alla posizione e l'equazione a la forma: m + V E V poenziale a cui è soggea la paricella: ipene solo alla posizione m massa ella paricella E energia oale ella paricella cineica + poenziale Ψ, e ie La funzione ona oale è perioica nel empo 03/11/13 1-MQ-3.oc 3
5 L'equazione: + V E m è una funzione el ipo: Funzionale i Funzione incognia Cosane Funzione incognia La soluzione ell'equazione consise nel rovare la cosane e la funzione incognia in maemaica: la cosane è ea auovalore la funzione è ea auofunzione in genere il problema ammee più soluzioni nel caso ell'equazione i Scröinger ogni soluzione è uno sao el sisema 03/11/13 1-MQ-3.oc 4
6 Equazione i Scröinger è una funzione i sao: efinisce compleamene lo sao inamico ella paricella Tue le proprieà ello sao ella paricella sono ricavabili alla Se V 0, ovvero se la paricella è soggea a un poenziale sao legao: l'equazione ammee soluzioni fisicamene acceabili solo per valori iscrei i E ovvero non è possibile passare in maniera coninua a un valore i E a un alro. Ricorarsi ella legge i Plank 03/11/13 1-MQ-3.oc 5
7 Paricella libera Per una paricella i massa m non soggea a un poenziale V 0 sao non legao L'energia è solo cineica 1 p m E p mv l'equazione i Scröinger è: m E E si può verificare ce una soluzione è p sin ricorano la relazione i e Broglie: π sin λ p λ 03/11/13 1-MQ-3.oc 6
8 Paricella libera V 0 La paricella può avere qualsiasi lungezza ona e quini qualsiasi velocià La velocià è perfeamene eerminaa la posizione è compleamene ineerminaa 03/11/13 1-MQ-3.oc 7
9 Operaori L equazione i Scröinger per uno sao sazionario + V E m può essere scria nella forma: Hˆ E ove ˆ H + V m Ĥ è un oggeo maemaico eo operaore Un operaore Ô rasforma una funzione in un alra funzione: O ˆf g Sono ei lineari gli operaori per cui: Ô af + bg a Ô f + b Ô g Ô + Pˆ f Ôf + Pˆ f 03/11/13 1-MQ-3.oc 8
10 Operaore Hamiloniano E eviene ce ˆ H + V m è la somma i ue operaori lineari fare la erivaa a e moliplicare per m m V moliplicare per V e quini è lineare percé somma i operaori lineari. Hˆ Tˆ + Vˆ ˆ T m V ˆ V 03/11/13 1-MQ-3.oc 9
11 Auovalori e Auofunzioni L equazione i Scröinger è un equazione el ipo Operaore Funzione incognia Cosane Funzione incognia Aˆ α aα La soluzione ell'equazione consise nel rovare la cosane a e la funzione incognia α in maemaica: la cosane è ea auovalore la funzione è ea auofunzione L equazione è ea equazione agli auovalori in genere il problema ammee più soluzioni cioè più coppie auovalori auofunzioni NB: l equazione è vericaa moliplicano qualsiasi cosane K Aˆ Kα ak α Quini ance Kα è una soluzione α per una 03/11/13 1-MQ-3.oc 10
12 Noare ce con i segueni passaggi Aˆ α aα α * Aˆ α α * aα α * Aˆ α aα * α L auovalore a è la granezza osservabile associaa all operaore Â, vale: α * Aˆ α α * α a Se  è un operaore ce corrispone a un osservabile l auovalore eve essere reale Se a è reale, si può imosrare ce per ogni coppia i auofunzioni isine i  vale la relazione α * β Si ice ce α e β sono orogonali ra loro 0 Si ricori ce: α * a α 1 03/11/13 1-MQ-3.oc 11
13 Operaori Hamiloniano nel caso ell'equazione i Scröinger ogni soluzione è uno sao el sisema E auovolore i Ĥ energia el sisema auofunzione i Ĥ corrisponene all energia E In meccanica quanisica a ogni osservabile è associao un operaore A esempio all osservabile energia è associao l operaore Ĥ eo operaore Hamiloniano E auovalore energia el sisema auofunzione corrisponene all energia E Esseno Ĥ l operaore energia sarà: Hˆ Tˆ + Vˆ Cioè la somma ell operaore energia cineica e i quello energia poenziale 03/11/13 1-MQ-3.oc 1
14 Operaore momeno cineico Se Tˆ m 1 p m E cin p mv Quini Tˆ m pˆ pˆ m pˆ m E l operaore momeno cineico è: pˆ i 03/11/13 1-MQ-3.oc 13
15 paricella libera Per una paricella libera l Hamiloniano è ˆ H m Ovvero: H ˆ T ˆ Gli auovalori sono E 1 p m E le auofunzioni sono Ma lo sono ance p sin p cos Ci sono soluzioni sin e cos con la sessa energia cineica! 03/11/13 1-MQ-3.oc 14
16 paricella libera Si può verificare ce ance è una soluzione p p sin ± cos Ricorano le formule i Eulero: e iα iα e + e cos α ; sin α i Ance le: e e p ± i iα iα sono soluzioni ell eq. i Scroeinger Si vee ce le soluzioni in forma rigonomerica e quelle in forma esponenziale sono equivaleni In realà qualsiasi combinazione lineare è soluzione con energia E Ae p i + Be p i 03/11/13 1-MQ-3.oc 15
17 Momeno cineico Le funzioni pˆ i e p ± i sono ance auofunzioni i con auovalore ±p Le ue auofunzioni corrisponono a auovalori isini +p e p: il segno sabilisce la irezione el moo. Le ue soluzioni corrisponono allo sesso auovalore E percé l energia è inipenene alla irezione. 03/11/13 1-MQ-3.oc 16
18 Valore meio i un osservabile O * Oˆ O valore aeso: è il valore meio, ovvero il più probabile, i una misura i O quano si fanno mole misure su un sisema o su una collezione i sisemi ce non sono in uno sao puro Quano il sisema è in uno sao puro Oˆ a è un auofunzione iô ovviamene O coincie con un auovalore i Ô 03/11/13 1-MQ-3.oc 17
19 Combinazione i auofunzioni siano α e β soluzioni i Ô Oˆ α aα ; Oˆ β bβ La combinazione lineare i ue soluzioni O * Oˆ + A Aα + Bβ [ A α + Bβ ]* Oˆ [ Aα + Bβ ] AB α * Oˆ α + B α * Oˆ β + BA β * Oˆ β + β * Oˆ α eneno cono ce α e β sono auofunzioni i Ô O A + a α * α + B ABb b α * β + BAa β * β + β * α per l orogonalià i α e β gli inegrali el 3 e 4 ermine sono nulli e per la normalizzazione i primi ue sono 1 O A a + B b La probabilià i misurare un valore a è aa al quarao el coefficiene ella combinazione lineare A Ovviamene si può esenere il proceimeno alla combinazione lineare i un numero qualsiasi i ermini 03/11/13 1-MQ-3.oc 18
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