Problemi di Meccanica Quantistica. Capitolo VIII. Campo Elettromagnetico

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1 Problemi i Meccanica Quantistica Capitolo VIII Campo Elettromagnetico a cura i Feele Lizzi, Gennaro Miele e Francesco Nicoemi

2 Un sistema escritto all Hamiltoniana Problema VIII.1 H = g L B, (VIII.1.1) ove L è il momento angolare, si trova in un campo uniforme B iretto lungo l asse z. Inizialmente il sistema si trova in un autostato i L e i L x. Sapeno che l = e che ( L z ) = (5/) h, si eterminino i possibili valori i una misura i L z e le rispettive probabilità opo 1 sec, nonchè gli anamenti temporali i L x, L y e L z. Soluzione el Problema Sia lo stato iniziale ψ 0 un generico autostato i L x, i autovalore m x e con l = ψ 0 =, m x, (VIII.1.) con m x =, 1, 0, 1,. Dato che per L x, gli operatori a graino L x ± i efiniscono come L x ± = L y ± il z, possiamo riscrivere L z = i ( L x L x +). (VIII.1.3) Applicano la preceente relazione è facile veere che a cui ψ 0 L z ψ 0 = 0, (VIII.1.4) ( L z ) = ψ 0 L z ψ 0 = h ψ0 L x 4 +L x + L x L x + ψ 0 = h ( ) 6 m x. (VIII.1.5) Da ciò oveno essere ( L z ) = (5/) h segue m x = ±1 e quini ψ 0 =, ±1 x. Per valutare i possibili risultati i una misura i L z su questo stato, occorre ecomporre lo stato in autostati i L z. Facciamolo per lo stato con m x = 1, 1 x = A, z + A 1, 1 z + A 0, 0 z + A 1, 1 z + A, z. (VIII.1.6) Richieeno allora che sia autostato i L x = (L z + + L z )/ otteniamo A = A 1, 3 A 1 = A + A 0, 3 A 0 = (A 1 + A 1 ), 3 A 1 = A + A 0, A = A 1, (VIII.1.7) Pg 1

3 che ha come soluzione Analogamente, 1 x = 1, z 1, 1 z + 1, 1 z + 1, z. (VIII.1.8), 1 x = 1, z + 1, 1 z 1, 1 z + 1, z. (VIII.1.9) Quini in entrambi i casi i valori possibili i una misura i L z sono ± h, ± h, tutti con probabilità 1/4. Per quanto riguara L z, esso che è nullo all istante iniziale, rimane poi nullo in tutti gli istanti seguenti ato che H = gbl z e quini commuta con lo stesso L z. Per calcolare l anamento invece i L x e L y applichiamo il teorema i Ehrenfest, secono il quale t L x = ī h [H, L x] = gb L y, t L y = ī h [H, L y] = gb L x. (VIII.1.10) La soluzione el sistema i equazioni ifferenziali con la conizione iniziale i avere lo stato coinciente con l autostato i L x i autovalore ± h è L x = ± h cos (gbt), L y = ± h sin (gbt). (VIII.1.11) Problema VIII. L Hamiltoniana i una particella con momento angolare uguale a uno in un campo magnetico B costante e uniforme sia H = e mc BL z All istante t = 0 lo stato el sistema sia escritto al vettore 1 v = 0 0 (VIII..1) (VIII..) nella base in cui le componenti L x e L y el momento angolare sono L x = i h L y = i h (VIII..3) Pg

4 1. Trovare gli autovettori ell Hamiltoniana.. Discutere l evoluzione temporale el sistema; in particolare ire in quale istante t 1 una misura i L y arebbe risulato nullo con certezza uno. 3. Calcolare valore meio e scarto quaratico meio i L negli istanti t = 0 e t = t 1. Soluzione el Problema Siano inicati con ψ i i vettori ella base naturale in cui sono scritte le matrici L x e L y. Dalle loro efinizioni, sapeno che [L x, L y ] = i hl z, otteniamo la forma i L z L z = i h (VIII..4) In termini ella (VIII..4), l Hamiltoniana risulta H = i eb h mc (VIII..5) Diagonalizzare la matrice (VIII..5) è equivalente a iagonalizzare la (VIII..4). Inicano con φ 1, φ 0 e φ 1 i tre autovettori corrisponenti agli autovalori h, 0 e h, otteniamo E 1 = eb h φ 1 = 1 ψ 1 i ψ, (VIII..6) mc E 0 = 0 φ 0 = ψ 3, (VIII..7) E 1 = + eb h φ 1 = 1 ψ 1 + i ψ, (VIII..8) mc Osservano che v = ψ 1 = 1 (φ 1 + φ 1 ), (VIII..9) segue che lo stato all istante generico t è ato a ψ t = 1 { (exp i ebt } { φ 1 + exp i ebt } ) φ 1 mc mc. (VIII..10) Voleno riscrivere la preceente equazioni in termini i autostati i L y, è utile osservare che essi inicati con ξ 1, ξ 0 e ξ 1 (ove il peice inica il corrisponente autovalore i L y ) risultano ξ 1 = 1 ψ 1 i ψ 3, (VIII..11) ξ 0 = ψ, (VIII..1) ξ 1 = 1 ψ 1 + i ψ 3. (VIII..13) Pg 3

5 Quini le autofunzioni i L z in termini i quelle i L y risultano φ 1 = 1 ξ 1 i ξ ξ 1, (VIII..14) φ 0 = i ξ ξ 1, (VIII..15) φ 1 = 1 ξ 1 + i ξ ξ 1. (VIII..16). Usano le equazioni (VIII..14)-(VIII..16) e sostituenole nella (VIII..10) otteniamo ψ t = 1 cos ( ) ebt (ξ 1 + ξ 1 ) + sin mc ( ) ebt ξ 0. (VIII..17) mc Da cui si osserva che la probabilità i misurare L y trovano valore nullo con probabilità 1 si verifica per t 1 = (n + 1)πmc/(eB), con n intero positivo o nullo. 3. Per quanto riguara L, basta osservare che esso commuta con l Hamiltoniana e che lo stato iniziale è autostato i L i autovalore h, quini il valore meio i L rimarrà pari a h per tutti gli istanti successivi. Il relativo scarto quaratico si annullerà. Problema VIII.3 Un sistema con momento magnetico µ = gl, ove L è il momento angolare, immerso in un campo magnetico B uniforme e iretto lungo l asse z, si trova inizialmente in uno stato con l = e l x =. Determinare l anamento temporale ello stato e ei valori mei L x, L y e L z. Problema VIII.4 Un fascio i particelle viene fatto passare attraverso un campo magnetico. Quano quest ultimo è iretto lungo l asse z il fascio originario si ivie in ue fascetti, con eflessioni opposte, uno ei quali ha intensità tripla ell altro. Quano il campo è iretto lungo l asse x i ue fascetti hanno intensità uguale. Discutere se in base a tali ati è possibile eterminare lo stato i spin in cui si trovano le particelle prima i attraversare il campo magnetico, e in caso affermativo esprimere lo stato in una base a scelta. Pg 4

6 Problema VIII.5 Dimostrare che la traiettoria seguita al centro el pacchetto one che escrive una particella carica è la stessa che nel caso classico in presenza sia i campo elettrico costante che i campo magnetico costante. Mostrare inoltre che nel primo caso lo slargamento el pacchetto one ha la stessa ipenenza temporale che per una particella libera. Soluzione el Problema Consieriamo un campo elettrico costante iretto lungo l asse z, E = Eˆk z e un analogo campo magnetico B = Bˆk z. Come è ben noto, il potenziale scalare e quello vettore associati ai ue campi saranno rispettivamente φ = Ez e A = Bxˆk y (ove quest ultimo è relativo a una opportuna gauge). In termini i φ e A, le relative Hamiltoniane H E e H B saranno H E = p eez, (VIII.5.1) m H B = p x m + p z m + (p y ebx). (VIII.5.) m Classicamente, le traiettorie nello spazio elle fasi sono ottenute risolveno le equazioni i Hamilton. Nel caso i campo elettrico costante saranno: r = H E p = p m, (VIII.5.3) p x = p y = 0, (VIII.5.4) p z = H E z mentre per il campo magnetico costante ẋ = H E p x ẏ = H E p y = ee, (VIII.5.5) = p x m, (VIII.5.6) = (p y ebx) m, (VIII.5.7) ż = H E = p z p z m, (VIII.5.8) p y = p z = 0, (VIII.5.9) p x = H E x = ee m (p y ebx). (VIII.5.10) Quantisticamente invece, la posizione nello spazio elle fasi el pacchetto ona è grosso moo ottenuta calcolano sullo stato quantico al tempo generico, i valori mei r e p. La loro evoluzione temporale è ata al terorema i Ehrenfest t r = ī δh h [H, r] =, (VIII.5.11) δ p t p = ī δh h [H, p] =. (VIII.5.1) δ r Pg 5

7 Applicano le equazioni (VIII.5.11) e (VIII.5.1) all Hamiltoniana (VIII.5.1) otteniamo t r = 1 p, (VIII.5.13) m t p x = t p y = 0, (VIII.5.14) t p z = ee. (VIII.5.15) Come si può osservare paragonano le (VIII.5.13)-(VIII.5.15) con le respettive relazioni classiche (VIII.5.3)-(VIII.5.5), esse sono completamente ientiche. Quini la inamica classica e quella quantistica per il centro el pacchetto ona sono le stesse. Allo stesso moo, applicano equazioni (VIII.5.11) e (VIII.5.1) all Hamiltoniana (VIII.5.) otteniamo t x = 1 m p x, (VIII.5.16) t y = 1 m ( p y eb x ), (VIII.5.17) t z = 1 m p z, (VIII.5.18) t p y = t p z = 0, (VIII.5.19) t p x = = ee m ( p y eb x ). (VIII.5.0) Anche in questo caso, la inamica classica è ientica a quella quantistica. Per risponere all ultimo quesito, basta osservare che per H E in virtù el teorema i Ehrenfest, la variazione nel tempo elle quantità r, p x e p y è inipenente a E e quini el tutto ientica al caso ella particella libera E = 0. Per quanto riguara invece p z, in virtù ello stesso teorema si ha t ( p z) = p z p z t t p z = ee p z ee p z = 0 (VIII.5.1) risultato questo che esseno ancora inipenente a E, coincie con il caso ella particella libera (E = 0). Problema VIII.6 Una particella i massa m e carica q si muove in un campo elettrico e magnetico perpenicolari fra loro, costanti, e uniformi. Determinare gli autostati e gli autovalori ell energia. Pg 6

8 Soluzione el Problema Consieriamo un campo elettrico costante iretto lungo l asse x, E = Eˆk x e un analogo campo magnetico B = Bˆk z. I potenziali scalare e quello vettore saranno rispettivamente φ = Ex e A = Bxˆk y con un oppertuna scelta i gauge. L Hamiltoniana el sistema sarà allora H = p x m + p z m + (p y qbx) qex. (VIII.6.1) m Come si può facilmente osservare il contributo relativo alla coorinata z è separato agli altri e corrispone a una particella libera. Possiamo allora fattorizzare per il generico autostato la ipenenza a z che sarà exp{ ip z z/ h} e consierare perciò il solo fattore ipenente a x, y, che inicheremo con φ ɛ (x, y) [ ˆp x m + (ˆp y qbx) ] qex φ ɛ (x, y) = ɛφ ɛ (x, y) m. (VIII.6.) L Hamiltoniana preceente commuta con l operatore ˆp y, possiamo allora riscrivere φ ɛ (x, y) = exp{ ip y y/ h}χ ɛ,py (x). In questo caso la funzione χ ɛ,py (x) obbeirà all equazione ove [ ˆp x m + 1 ] mω (x x 0 ) + E 0 χ ɛ,py (x) = ɛχ ɛ,py (x), (VIII.6.3) I valori ell energia el sistema saranno allora ω = qb/m, (VIII.6.4) ( py x 0 = qb + me ) qb, (VIII.6.5) E 0 = p y m 1 mω x 0. (VIII.6.6) p y m + p z m 1 ( mω x 0 + hω n + 1 ), (VIII.6.7) con n = 0, 1,... Gli autostati ovviamente ottenuti al prootto elle ue one piane lungo z e y e agli stati n > lungo x. Problema VIII.7 Una particella i massa µ e carica e è soggetta a una forza armonica isotropa e a un campo magnetico uniforme lungo l asse z. Nella gauge A = ( By/, Bx/, 0) essa si trova nello stato: ψ(x, y, z) = xyψ 0 ( r) (VIII.7.1) ove ψ 0 ( r) è la funzione ona ello stato fonamentale ell Hamiltoniana totale. Pg 7

9 1. Determinare i possibili valori ell energia e i l z in tale stato.. Quale funzione ona escrive lo stato nella gauge A = (0, Bx, 0)? Soluzione el Problema L Hamiltoniana el sistema escritto è ata a H = 1 ( p x + eb ) µ y + 1 ( p y eb ) µ x + p z µ + 1 Kr = (p x + p y) + 1 ( K + e B ) (x + y ) + p z µ 4µ µ + 1 Kz eb µ l z (VIII.7.) Un insieme completo i osservabili è fornito agli operatori N +, N e N z, efiniti come N + = A +A + ove A + (a x ia y ) (VIII.7.3) N + = A A ove A (a x + ia y ) (VIII.7.4) Defineno N z = A za z ove A z a z (VIII.7.5) ω = K µ e ω = 1 µ ( K + e B 4µ ) (VIII.7.6) L Hamiltoniana (VIII.7.) si può riscrivere come ( H = h ω (N + + N + 1) + hω N z + 1 ) eb h µ (N + N ) (VIII.7.7) La base che iagonalizza l Hamiltoniana è allora quella eterminata agli stati ( ( ( n +, n, n z = ) A n+ + n+! ) A n n! A z ) nz nz! 0 (VIII.7.8) Possiamo quini risponere alle omane poste: 1. Lo stato assegnato si può imostrare essere la combinazione 1 x, 1 y, 0 z 1 ( +, 0, 0 0,, 0 ) (VIII.7.9) e quini è combinazione equiprobabile egli autostati ell energia i autovalori E 1 = 3 h ω + hω eb h µ E = 3 h ω + hω + eb h µ a cui corrisponono anche gli autovalori i l z h e h. Pg 8 (VIII.7.10) (VIII.7.11)

10 . Il nuovo potenziale vettore saraà ovviamente collegato a A all aggiunta i un graiente (ovvero a una trasformazione i gauge): A = (0, Bx, 0) = A + λ, (VIII.7.1) risolveno per λ si ottiene λ = Bxy/. Quini il corrisponente stato iniziale gauge trasformato è ato a { } ieb ψ (x, y, z) = exp h xy xyψ 0 ( r). (VIII.7.13) Problema VIII.8 Si consieri una particella in un campo elettromagnetico escritto al potenziale A. Si trovi l operatore quantistico che corrispone alla velocità e si iscutano le regole i commutazione elle varie componenti i quest ultimo fra i loro e con la posizione e il momento. Problema VIII.9 Si consieri il moto i una carica q nel piano ortogonale a un campo magnetico uniforme B iretto lungo z e l operatore quantistico corrisponente alla componente M z el momento ella quantità i moto M = r (m v), ove v è la velocità ella particella. 1. Ricorano che in seguito a una trasformazione i gauge A A + f, la funzione ona ψ che rappresenta uno stato fisico iventa ψ = e iqf/ h ψ, si iscuta se M z ipene al gauge.. Se nel gauge A i = ɛ ij x j B/, (i, j = 1, ) lo stato è escritto alla funzione ona ψ(x, y) = x e (x +y )/l (VIII.9.1) ove l è una opportuna lunghezza, quali sono in tale stato i possibili risultati i una misura i M z e le relative ensità i probabilità? 3. La quanità M z è una costante el moto? Pg 9

11 A partire alla relazione relativistica Problema VIII.10 (E W ) = m c 4 + c p (VIII.10.1) ove E è l energia totale e W quella potenziale, si calcolino i valori i E quantisticamente possibili per un elettrone (mc = ev ) in un campo Coulombiano. Confrontare con i valori ottenuti attraverso una trattazione non relativistica, teneno presente che α = e /( hc) = 1/137. Discutere la egenerazione ei livelli nei ue casi Soluzione el Problema Denotiamo con ψ E ( r) il generico autostato ell energia. l equazione [ + 1 h c ( E + e Z r ) Tale stato ovrà soisfare m c ] h ψ E ( r) = 0. (VIII.10.) Riscriveno lo stato ψ E ( r) = φ E,l (r)χ m l (θ, ϕ), l equazione (VIII.10.) iventa [ ρ + ρ ρ l(l + 1) ρ + αzɛ ρ + α Z ] ρ + (ɛ 1) φ ɛ,l (ρ) (VIII.10.3) ove ɛ E/(mc ) e ρ mcr/ h. Se lo stato ψ E ( r) è uno stato legato allora 0 ɛ < 1, quini poneno con k = 1 ɛ, si ottiene φ ɛ,l (ρ) = R ɛ,l (ρ) exp { kρ}, (VIII.10.4) ( ) [ 1 R ɛ,l(ρ) + ρ k R ɛ,l(ρ) + ρ (αɛz k) + 1 ] ρ (α Z l(l + 1)) R ɛ,l (ρ) = 0. Poneno R ɛ,l (ρ) = n=0 a n ρ n+β otteniamo la relazione ricorsiva n= 1 [ ] (n + β + 1)(n + β + ) + α Z l(l + 1) a n+1 ρ n+β 1 = Dalla (VIII.10.6) per n = 1 otteniamo (VIII.10.5) [k(n + β + 1) αɛz] a n ρ n+β 1. (VIII.10.6) n=0 β(β + 1) = l(l + 1) α Z, (VIII.10.7) a cui β = 1 ( ) 1 + (l + 1) 4α Z. (VIII.10.8) Pg 10

12 La relazione ricorsiva contenuta nella (VIII.10.6) eve essere troncata perché in caso contrario il comportamento egli a n è tale a renere non a quarato sommabile lo stato corrisponente. A tale scopo, eve esistere un intero N tale che Risolveno l equazione preceente per ɛ si ha ɛ = k(n + β + 1) = αɛz. (VIII.10.9) (N + β + 1) α Z + (N + β + 1). (VIII.10.10) Come si vee, gli autovalori possibili per l energia ipenono in maniera complicata a N e a l. Quini la egenerazione è solo per m una volta fissati N e l. Il fatto che α 1/137 permette i sviluppare le relazioni (VIII.10.8) e (VIII.10.10) in funzione i α, arrestanosi ai primi termini β ( l α Z ) (l + 1) e quini sostitueno nella (VIII.10.10) otteniamo ɛ 1, (VIII.10.11) α Z (N + l + 1) (VIII.10.1) che come è facile osservare ribattezzano n = N + l + 1 ha la egenerazione in 0 l n oltre che in m. Problema VIII.11 Una particella i massa m e carica q è limitata a una barriera infinita a muoversi in un piano, all interno el cerchio i raggio R, e in tale regione è soggetta a un campo elettrico uniforme. Lo stato el sistema è escritto a un certo istante alla funzione ona ( ) πr ψ(x, y) = N xy sin R (VIII.11.1) 1. Si calcolino lo scarto quaratico meio per l energia e la istribuzione i probabilità per il momento angolare rispetto al centro el cerchio.. Questa istribuzione ipene al tempo? Pg 11

13 Problema VIII.1 Si consieri una particella senza spin vincolata a muoversi su un piano e in presenza i un campo magnetico costante B, che si trovi nel primo stato eccitato ell energia (primo livello i Lanau). Si inichi quali sono i valori possibili i una misura el momento angolare L = h(xp y yp x ) (VIII.1.1) e le loro probabilità. Problema VIII.13 Si consieri una particella con spin 1/, in presenza i un campo magnetico i intensità tale che la parte i spin ell Hamiltoniana sia H 0 = Bσ z, perturbato a un campo magnetico costante escritto a H I = B tgα σ x (lo scrivere la costante in termini i B e ella tangente i un angolo semplificherà i calcoli). Se a t = 0 si trova la particella con lo spin lungo l asse z positivo, quale sarà la probabilità i trovarla con s z = 1/ a un generico istante t? Si calcoli questa probabilità come probabilità i transizione ella teoria perturbata e esattamente (suggerimento per il caso esatto: orientare l asse z lungo il campo magnetico e ruotare gli stati con spin 1/ e -1/). Confrontare i risultati. Pg 1