Primo parziale Test. L argomento principale del numero complesso (a) 3 4 π (b) (ln 5)i i (c) (d) è Scriviamo il numero complesso assegnato in forma algebrica: Risposta esatta a) ln 5 i i = ln 5 i( + i) i + i = ln 5 ( i)( + i) i = ln 5 ( + i).. Quanti sono i numeri palindromi maggiori di e minori di? (a) (b) (c) 9 (d) Si tratta di contare i numeri palindromi di quattro cifre, che hanno quindi la forma n xxn con n 9 e x 9. Risposta esatta c) 3. La serie geometrica ( ) n x + converge se x + + (a) x > 4 (c) x > (b) x > 4 (d) x > Il termine generale della serie è positivo, quindi per assicurare la convergenza basta imporre che valga: x + x + + < quindi x + < x + + quindi x < x + 3. Risposta esatta (c) x 3x + x 3 x 4 = 5 4. Le soluzioni del sistema lineare 3x x + x 3 x 4 = x x + x 3 + x 4 = 6 sono (a) x = 9 (x 4 37),x = 9 (x 4 ),x 3 = 9 (53 x 4) (b) è impossibile (c) x = 5 (x 4 37),x = 5 (x 4 ),x 3 = 5 (53 x 4) (d) x = 3 (x 4 37),x = 3 (x 4 ),x 3 = 3 (53 x 4)
La matrice del sistema 3 5 3 3 è equivalente per righe alla matrice 6 3 3 questo comporta che (d) sia la risposta esatta. / /3 5. L inversa della matrice / /3 /4 è /3 /4 /5 9 36 3 9 36 3 (a) 36 9 8 (c) 36 9 8 3 8 8 3 8 8 9 36 3 9 36 3 (b) 36 9 8 (d) 36 9 8 3 8 8 3 8 8 37 3 3 53 3 Risposta esatta (d) ottenuta direttamente con il metodo di Gauß Jordan oppure osservando che: 9 36 3 / /3 7 9 6 (a) 36 9 8 / /3 /4 = 3 8 8 /3 /4 /5 9 36 3 / /3 (b) 36 9 8 / /3 /4 = 7 37 4 3 8 8 /3 /4 /5 9 36 3 / /3 (c) 36 9 8 / /3 /4 = 3 8 8 /3 /4 /5 8 9 6. La serie a termini positivi n + n 3 (a) Converge (b) Diverge (c) Non è regolare (d) Oscilla Basta osservare che lim n n + n 3 n 3 5, che la serie è convergente: (a). + n 7. lim n n lnn = (a) Non esiste (b) + n Osservato che lim = e che lim n n n lnn 37 si conclude che (c) è la risposta esatta. = e concludere, via criterio del confronto asisntoticorbt pagina (c) (d) 8. Le radici dell equazione z (5 + 5i)z (6 5i) = sono = per il teorema su limiti e operazioni RBT pagina
(a) i, 5 + i (b) 3i, 5 + 3i (c) i, 5 + 3i (d) 3i, 5 + i Applicando la formola risolutiva per l equazione di secondo grado troviamo: z = 5 + 5i + (5 + 5i) + 4(6 5i) = 5 + 5i + 49 i + 5 i = 5 + 5i + 4 i. Ora, sfruttando la formola RBT pagina 4 in cui sappiamo che b = < e a = 4 troviamo: a a a + i b = ± + b + a + b i a 4 4 = ± + ( ) + 4 + ( ) i (4) 676 676 = ± + 4 4 i ( ) 6 + 4 6 4 = ± i ne consegue che: pertanto (d) è la risposta esatta. 9. La successione a n = (a) tende a per n (b) oscilla ( Osserviamo che a n = (3 + sinn) n 3 + sinn z = ) n = x n n con 4 < x n := 5 + 5i ± (5 i) (c) è crescente (d) è decrescente + sin n < Pertanto: ( ) n ( ) n < x n n 4 < allora il teorema del confronto, pagina 7 RBT porta che (a) è la risposta esatta. Domande aperte a Provare che la serie a termini positivi b Dimostrare per induzione su m N che c Si dimostri, infine n(n + )(n + ) converge. m n(n + )(n + ) = 4 n(n + )(n + ) = m(m + 3) 4(m + )(m + ) 3
Soluzione a Si può usare ancora una volta il criterio del confronto asintotico in considerazione del fatto che: lim n per mostrare la convergenza della serie assegnata. n(n + )(n + ) n 3 = a Per m = l affermazione è evidentemente vera. Supponiamo che lo sia anche per un certo indice m e facciamo vedere che in tal caso si deduce la validità dell affermazione corrispondente all indice m +. Si ha: m+ m n(n + )(n + ) = n(n + )(n + ) + (m + )(m + + )(m + + ) Usando l ipotesi induttiva nel primo addendo a secondo membro, abbiamo: m+ n(n + )(n + ) = m(m + 3) 4(m + )(m + ) + (m + )(m + )(m + 3) Ora: [ m(m + 3) 4(m + )(m + ) + (m + )(m + )(m + 3) = m(m + 3) + ] (m + )(m + ) 4 m + 3 = 4 + 9m + 6m + m 3 4(m + 3)(m + )(m + ) (m + ) (m + 4) = 4(m + 3)(m + )(m + ) (m + )(m + 4) = 4(m + 3)(m + ) 3a In forza del punto precedente possiamo scrivere: n(n + )(n + ) = lim n n m= m(m + )(m + ) = lim n(n + 3) n 4(n + )(n + ) = 4 a Dimostrare che esistono due valori del parametro reale a per cui il sistema seguente è impossibile (a )x + (a 3)x + (a + )x 3 = (a )x + (a 4)x 3 = a (a )x + (3a 5)x + (3a )x 3 = 3 a b Se a = si risolva, se possibile, il sistema Soluzione a Il sistema è quadrato. Il determinante della matrice incompleta vale (a )(a )(a +) dunque il sistema è determinato se a,, Se a =, a = il sistema è impossibile: in questi due casi, infatti la matrice completa del sistema è rispettivamente equivalente alle matrici: C =, C = 5/6 5/3. 4
Per a =, invece si ha che il sistema è indeterminato in quanto la matrice completa del sistema è equivalente a: C = b Per a = il sistema è di Cramer. La soluzione generale per a,, è x = ( 3 a + a ) (a )(a + ) x = 8 9 a + 3 a (a )(a + ) (a ) x 3 = a + in particolare se a = si trova: x = 3 x = 4 x 3 = 5
Seconda prova parziale e primo appello Test Gli esercizi sono stati proposti per la gran parte in forma parametrica, a ciascun candidato è occorsa una speciale scelta del parametro caratterizzante l esercizio.. a a x + a dx = x (a) a {( 3 ) + ln [( 3 ) ( 3 + )]} (b) a {( 3 ) + ln [( 3 ) ( 3 + )]} (c) a {( 3 + ) + ln [( 3 ) ( 3 + )]} (d) a {( 3 ) + ln [( + 3 ) ( 3 + )]} a ha valori interi 3 Si cambia variabile ponendo x + a = u ottenendo dx = u du in modo che: a a x + a dx = x = a 3 a u u a du = a 3 a [ u + a ln(u a) a ln(u + a) Da qui si vede subito che (a) è la risposta esatta. ( + a u a ] a 3 a ) du u + a [ a = u + a ln u a u + a ] a 3 a.. Sia f(x) = 4x 3 + 4ax. Allora (a) + a (b) 5 + a 4+4a f (y)dy = (c) 4 + a (d) 3 + a a ha valori interi 3 a = La funzione assegnata è invertibile essendo f (x) = 4 ( 3x + a ) >. Risolvendo le due equazioni f(x) =, f(x) = 4 + 4a si trova: x =, x = quindi f() f() Risposta esatta (d). f (y)dy = f() ( 4x 3 + 4ax ) dx = 4 + 4a ( + a). 3. a/ a/ dx x + ax + + 4 a = (a) arctana (b) arctan a (c) π 4 (d) lna a ha valori interi pari 4 Basta osservare che: x + ax + + 4 a = ( x + a ) + e, successivamente cambiare variabile: y = x + a 6
per ottenere: Risposta esatta (a) a/ a/ dx a x + ax + + = dy 4 a + y. 4. La media integrale in [ a, a] di f(x) = a x vale: (a) aπ 8 (c) aπ 4 (b) aπ (d) aπ 6 a ha valori interi Se si pone x = a y si trova: Risposta esatta (c) a a a a x dx = a a y dy = a π 5. Se f(x) = x (a) 6x 4 + a 4 (b) x x 4 + a 4 dt t 4 + a 4 allora f (x) = (c) (d) x 6x 4 + a 4 x 4 + a 4 a ha valori interi Basta applicare il corollario esposto a pagina 355 di RBT per ottenere: f (x) = (x) 4 + a 4 6. Risposta esatta (a) a ( π x ) sin cosxdx = a aπ ( + cosa) (a) π a aπ ( cosa) (b) π a (c) (d) aπ ( + sina) π a aπ ( sina) π a a ha valori interi Si applica la formola di integrazione per parti n. 6 esposta a pagina 365 di RBT con che in questo caso particolare porge: sin ( π x ) a cosxdx = a α = π a, β =, [ π cosx cos ( π x a a π ) + a sin x sin ( π x )] a A questo punto basta sostituire gli estremi di integrazione per concludere che la risposta esatta è la (a) 7. L equazione di terzo grado 3 x3 + x n(n + )x = a ha tre radici reali e distinte per: 7
(a) n (3 + 4n) < a < ( + n) ( + 4n) 6 6 (b) a > ( + n) ( + 4n) 6 (c) a < n (3 + 4n) 6 (d) a > ( + n) ( + 5n) 6 n ha valori interi 3 Studiamo la cubica f(x) = 3 x3 + x n(n + )x. Essendo f (x) = x + x n(n + ) abbiamo che x M = n è un punto di massimo relativo e x m = n è un minimo relativo. Ora essendo f(x M ) = ( + n) ( + 4n) e f(x m ) = n (3 + 4n) si vede che (a) è la risposta esatta. Riportiamo 6 6 il grafico relativo a n = 5 Figura : 8. La funzione f(x) = x axarctan x a + ) a ln ( + x a è: (a) concava per ogni x R (b) decrescente per ogni x R a ha valori interi (c) crescente per ogni x R (d) convessa per ogni x R Si ha f (x) = x a arctan x a e, poiché l espressione di f (x) cambia segno al variare di x, in quanto se x < f (x) < mentre per x si ha f (x) le risposte (b) e (c) non possono essere corrette. Va dunque calcolata anche la derivata seconda, che è: f () (x) = che (d) è la risposta esatta. x 9. La funzione f(x) = x a + x, x (a) ha minimo assoluto in x m = a (b) è crescente per ogni x (c) non è derivabile in x = a (d) è superiormente illimitata a ha valori interi ( x 3a Si ha f + x ) (x) = da cui si ha immediatamente l esattezza di (b). (a + x 3/ ) x a da cui si deduce + x 8
Domande aperte. Tracciare il grafico della soluzione dell equazione differenziale: y (x) = 4a x a 4 y(x), a < x < a, x4 y() =. a ha valori interi Si tratta di una equazione differenziale lineare omogenea. Seguendo RBT pagina 39 scriviamo, usando anche il metodo dei fratti semplici: x A(x) = 4a t x ( a 4 t 4 dt = t a + t + a t ) a + t dt [ ] t=x = ln t a + ln t + a ln(a + t ) t= = ln(a x) + ln(a + x) ln(a + x ) lna lna + lna = ln a x a + x. Si rammenti che è stata assegnata la limitazione a < x < a, quindi la soluzione dell equazione differenziale assegnata è: Pertanto, da: y(x) = e A(x) = e ln a x a +x = a x a, a < x < a. + x y (x) = 4a x (a + x ) si deduce che y(x) ha un massimo (per ora) relativo in x = il cui corrispondente estremo è M = y() =. Poi essendo: y (x) = 4a ( 3x a ) (a + x ) 3 abbiamo due flessi simmetrici (d altronde la funzione ottenuta è pari!) in corrispondenza di x ± = ± a 3. Trattandosi di una funzione positiva, nel suo dominio di definizione la funzione assume minimo assoluto dove si annulla, vale a dire in x a = a e in x a = a. Per il Teorema di Weierstraß abbiamo poi che il massimo relativo x è in effetti assoluto. Figura :. (a) Determinare per quali valori dei parametri a, b, c R la funzione definita per casi: { ln ( + αx + x ) se x, f(x) = a + bx + cx se x <, 9
è due volte derivabile con continuità in R α ha valori interi pari 4 Affinché una funzione definita per casi sia continua e derivabile due volte è indispensabile che i due polinomi osculatori di ordine, ottenuti per x > e per x < siano coincidenti. Per quanto riguarda x < qui la funzione è già in forma polinomiale, quindi il polinomio osculatore del secondo ordine coincide con la funzione stessa: q(x) = a + bx + cx. Invece, se x > abbiamo f(x) = ln( + αx + x ) da cui f() =, f () = α, f () () = α. Pertanto il polinomio osculatore è p(x) = αx + α x. Dunque è facile concludere, applicando il principio di identità dei polinomi, che deve essere a =, b = α, c = α dovendosi imporre q(x) = p(x). Con lo scopo di far capire che in questo modo le funzioni si attaccano dolcemente riportiamo il grafico con α = 4 in cui il rosso è usato per x < e il blu per x >. 4-4 6 8-4 -6 Figura 3: (b) Se f : R R è una funzione continua e tale che f() si calcoli: lim x x x x f(t)dt f(t)dt Trattandosi di una forma indeterminata del tipo / si può ricorrere alla regola di de l Hospital- Bernoulli valutando il quoziente delle derivate (ovviamente si deve far uso anche del teorema fondamentale del calcolo) troviamo: ( x ) quindi: lim x x x x ( x f(t)dt f(t)dt f(t)dt x ) = f(t)dt f(x) + f( x) f(x) f(x) + f( x) f() + f() = lim = =. x f(x) f()
Totale Test I 3 test seguenti sostituiscono i tests 4, 5 e 6 del parziale x x + 3 x 3 4 x 4 = 7 4. Il sistema lineare x x + x 3 + x 4 = 4 5 x + 4 x + 3 x 3 + x 4 = 3 (a) è indeterminato (b) è impossibile (c) è risolto da x =, x =, x 3 =, x 4 = 5 (d) è risolto da x =, x =, x 3 =, x 4 = Si vede che per x =, x =, x 3 =, x 4 = 5 il primo membro della prima equazione vale -5, analogamente per x =, x =, x 3 =, x 4 = il primo membro della prima equazione vale -3: questo basta per escludere i casi (c) e (d). Dunque il sistema va studiato. La matrice del sistema 3 4 7 4 5 4 3 3 è equivalente alla matrice a scala: 5 3 5 6 5 3 5 9 5 8 5 ma questo basta per affermare che (a) è esatta. In alternativa si poteva calcolare il determinate del minore di ordine 3: det 3 = 5 4 3 per ottenere la medesima conslusione. 5. Il determinante della matrice a a a a a a (a) vale 9 se a = (b) vale 8 se a = (c) vale 9 se a = (d) vale 8 se a = Si ha: quindi (c) è esatta. 6. La serie 3 n 7 n det a a a a a = 3a ( + a + a ) a
(a) converge e la sua somma è 7/4 (b) converge e la sua somma è /4 (c) diverge (d) converge e la sua somma è 3/4 Ci si riconduce ad una serie geometrica di ragione 3/7: Risposta esatta (b). 3 n 7 n = 3 3n 7 n = 3 ( ) n 3 = 3 7 3 7 = 4.
Secondo appello Gli esercizi sono stati proposti per la gran parte in forma parametrica, a ciascun candidato è occorsa una speciale scelta del parametro caratterizzante l esercizio. Test x + ax ax 3 x 4 =. La soluzione x del sistema lineare x ax + 3ax 3 x 4 = espressa in funzione di x 4 è: x + x ax 3 + x 4 = 4 (a) x = (x 4 3) (c) il sistema è impossibile! 3a 5 (b) x = (x 4 + 3) 3a + 5 (d) x = 7 senza dipendere da x 4 a ha valori interi positivi Osserviamo che il determinante della matrice 3 3 dei coefficienti delle variabili x, x, x 3 vale 3a 5a. Se a N tale valore non si annulla, allora basta applicare la regola di Cramer per scrivere: det x 4 a x 4 3a 4 x 4 a x = 3a = a (x 4 3) 5a 3a 5a.. La serie a n (n )! (a) converge ad un numero reale < (b) converge ad un numero reale > (c) diverge positivamente (d) oscilla a ha valori interi positivi a n La serie assegnata è a termini positivi, quindi essendo (n )! = + a + a + la positività di a comporta che se c è convergenza ad un reale s deve essere s >. Le alternative (a) e (c) sono dunque già escluse perchè la successione delle somme parziali di una serie a termini positivi è monotona crescente. Applicando il criterio del rapporto otteniamo: x n+ lim n x n il che porta la convergenza della serie assegnata. Risposta esatta (b). a(n )! a = lim = lim n n! n n =, Osservazione Il solutore più che abile, se esiste, avrà certo notato che a n (n )! = ea. 3. La radice quadrata con parti reale e immaginaria positiva del numero complesso 5a + a i è (a) a + 3ai (b) a + 4ai (c) a + 5ai (d) 3a + ai 3
a ha valori interi positivi. La cosa più saggia e rapida è quella di provare ad elevare al quadrato ciascuna delle quattro alternative proposte. Si ha: Risposta esatta (d). (a + 3a i) = ( 5 + i)a (a + 4a i) = ( 5 + 8i)a (a + 5a i) = ( 4 + i)a (3a + a i) = (5 + i)a 4. La probabilità di far cinquina al lotto giocando numeri strettamente minori di è 5. 7 (a) 44 66 5 (b) 44 66 La totalità delle cinquine (casi possibili) è ( ) 9. 5 (c) 44 66 3 (d) 44 66 La totalità delle cinquine con numeri < (casi favorevoli) è a x ax + a dx = (a) a [ + ln ( + )] (b) a [ + ln ( )] ( ) 9. 5 (c) a [ + ln ( + )] (d) a [ + ln ( )] a ha valori interi. Si ha x ax + a = (x a) + a questo suggerisce il cambio di variabile x = a(y + ) da cui si trova: a [ x ax + a dx = a + y dy = a + ( ln + ) ] Risposta esatta (c). 6. lim x (a) (b) + ax ax = ln( + x) (c) non esiste (d) a a ha valori interi Si tratta di una forma indeterminata del tipo /. Usiamo la regola di De l Hospital, il quoziente delle derivate è: a ax (ax ) ax +. x + Risposta esatta (d). 7. Quanto vale a a + x dx 4
(a) a π (c) a π (b) 4a π (d) a π a ha valori interi positivi. Poniamo x = a y in modo che: a Risposta esatta (b). 8. La serie a termini positivi a + x dx = a a + a y dy = a n k + n k+ + y dy = [ ] y= arctan y a y= (a) è geometrica (b) converge (c) diverge (d) oscilla a ha valori interi positivi. Si consideri la serie armonica di ordine due, dunque convergente, Risposta esatta (b). lim n n k + n k+ n 9. La funzione f(x) = x 3 + x + 4x + 6 possiede n k+ = lim =. n + nk+. Si ha: n (a) solo una radice reale (b) tre radici reali (c) nessuna radice reale (d) due radici reali Le alternative (c) e (d) sono manifestamente impossibili per qualsiasi polinomio di terzo grado. Non si chiede di calcolare le radici dell equazione f(x) = ma di stabilire quante siano. Questo scopo si raggiunge studiando la funzione y = f(x). Si ha: lim f(x) =, lim x f(x) =, f (x) = 3x + x + 4. x ( ) ( ) Essendo f (x) > per 3 3 < x < 3 + 3 abbiamo che: ( ( m = ) ( ( 3, f 3) )) ( ( = ) 3, ( 47 6 ) ) 3 3 3 3 7 è un minimo relativo di ordinata approssimativamente uguale a 3,9354, mentre ( ( M = + ) ( ( 3, f + 3) )) ( ( = + ) 3, ( 35 + 3 ) ) 3 3 3 3 7 è un massimo relativo di ordinata approssimativamente uguale a,8794. Possiamo quindi tracciare il grafico della funzione y = f(x): 5
Figura 4: Domande aperte. Tracciare il grafico e calcolare la media integrale fra ed e della soluzione dell equazione differenziale: y (x) = n + x y(x), y() =. n ha valori interi. (a) Studiare al variare dei parametri p, q R il numero delle radici reali dell equazione: x 3 3p x + q 3 =. (b) Studiare al variare del parametro reale a il numero degli autovalori reali della matrice a Soluzione Esercizio. Ricordiamo che la soluzione generale dell equazione differenziale lineare: { y (x) = a(x)y(x) + b(x), y(x ) = y. è data dalla formula di quadratura: y(x) = exp [ x a(s)ds x ] { y + Nel nostro caso: x x b(s)exp a(x) = x, b(x) = n, x =, y =. [ s ] } a(r)dr ds. (L) x Quindi: x x a(s)ds = x ds = lnx. s Di seguito, ricordato che exp[ lnx] = x troviamo: x x b(s)exp [ s ] x n a(r)dr ds = x s ds = lnxn. 6
Pertanto, da (L), otteniamo y(x) = n xlnx, x >. Per tracciare il grafico della funzione così ottenuta, osservato che: y (x) = n + n xlnx = n ( + lnx) x troviamo che y (x) > per x > e, che risulta essere un punto di minimo assoluto, la cui ordinata vale y(e ) = n e. Inoltre y (x) = n > per x >. Poi: x lim y(x) =, lim x + y(x) =. x È interessante notare anche che: lim x + y (x) =, il che significa che nell origine la tangente al grafico di y(x) è verticale. Infine si chiede di calcolare il Figura 5: valor medio: µ = e e n xlnxdx. Ricordiamo la formula di integrazione indefinita, peraltro ottenibile usando la regola di integrazione per parti: xlnxdx = x lnx x 4 da cui si trae: µ = n e + 4(e ). Soluzione Esercizio. (a) Poniamo f(x) = x 3 3p x + q 3. Si vede subito che lim f(x) = ±. Poi: x ± f (x) = 3 ( x p ) se e solo se x p x p. Quindi x = p è punto di massimo relativo con ordinata y = p 3 + q 3, mentre x + = p è punto di minimo relativo con ordinata y + = p 3 + q 3. Pertanto: se p < q allora y = (p + q)(p pq + q ) < : una sola radice reale se p > q allora y = (p + q)(p pq + q ) > e y + = ( p + q)(p pq + q ) < tre radici reali se p = q due radici reali x = p doppia e x = p semplice 7
Figura 6: rosso p < q, giallo p > q, cyan p = q Soluzione Esercizio. (b) L equazione caratteristica della matrice è: a f(λ) := λ 3 + aλ + λ a + = ( ) dobbiamo allora studiare, al variare di a R il numero delle radici reali di ( ). Osservato che: e che allora il minimo relativo di f(λ) è si osservi che per ogni a mentre il massimo relativo di f(λ) è si osservi che per ogni a Si tenga poi presente che Ne viene che f (λ) = 3λ + aλ + = λ = 3 ( a ± ) a + 6 := λ ± f (λ) = (a 3λ) f (λ ± ) = a + 6 f(λ ) = [a 3 9a + 7 ( a + 6 ) ] 3/ 7 ( f(λ ) = a = ) f(λ + ) = [a 3 9a + 7 + ( a + 6 ) ] 3/ 7 lim f(λ) = +, lim λ f(λ + ) > f(λ) = λ + 8
Figura 7: blu a =, rosso a = 5 4, giallo a= a tre autovalori reali distinti; a = due autovalori reali di cui λ = doppio Alternativamente l esercizio poteva essere risolto osservando che ( ) si fattorizza in: f(λ) := λ 3 + aλ + λ a + = (λ + ) ( λ + aλ + λ a + ) da cui si trova: λ =, λ = ( a + ± ) a a + 5 9
Terzo appello Gli esercizi sono stati proposti per la gran parte in forma parametrica, a ciascun candidato è occorsa una speciale scelta del parametro caratterizzante l esercizio. Test. Il coefficiente del termine a b n nello sviluppo di (a + b) n è ( ) n(n ) n + (a) (c) ( ) n(n + ) n (b) (d) n 3 Ricordiamo la formula del binomio di Newton (a + b) n = n k= ( ) n a k b n k k Il termine a b n corrisponde all indice k = ha coefficiente ( ) n n! n (n ) = =.! (n )! [ ( ) n. lim n (a) a b (b) b a n + + an 7 + bn ] = (c) (d) a, b hanno valori interi positivi. Si ha: ( ) n + an lim =, lim n n n 7 + bn = a b 3. Per quale fra le seguenti disequazioni le soluzioni sono i numeri reali x >? (a) x + 3 > (b) 5 x < (c) 5 x < (d) x + 3 > L alternativa (c) è manifestamente assurda, quindi possiamo subito escluderla. La (d) è risolta per ogni x > 3 e quindi non è l alternativa corretta. La soluzione di (b) è < x < 5, dunque non la nostra. Resta solo (a) che è effettivamente la risposta corretta in quanto la soluzione è individuata dal sistema: { x + 3 ( x + 3 ) > { x + 3 x + 3 > 4 4. I punti di flesso della funzione f(x) = x 4 x 3 + ax + b sono { x 3 x > x >
(a) x =, x = (b) x =, x = (c) x =, x = (d) f(x) non ha flessi a, b hanno valori interi positivi Si ha: 5. Se f(x) = nx + x + n x (a) f (x) = 4x 3 6x + a f (x) = x x = x(x ). allora f () = (c) (b) n (d) 3 n ha valori interi positivi Si ha 6. Se F(x) è la funzione definita da F(x) = 7. (a) (b) f (x) = nx n x f () = x t dt allora F () = (c) - (d) non esiste La funzione f(t) = t è continua in t =. Le ipotesi del primo teorema fondamentale sono quindi verificate e pertanto F () = f() =. a x n dx = per (a) a = ± n n (b) a = ± n n n intero positivo Si ha: a (c) a = ± n n (d) a = x n dx = an n = a = ± n n 8. Se z = 3i n i n + i 3 ( i)(i n) + ni (ni + ) allora Rez = (a) (b) - n intero positivo (c) (d) i Ricordato che i = semplificando possiamo scrivere: z = 3i n i n + i 3 ( i)(i n) n(n 6i) + ( + i) + ni (ni + ) = n = n + i(3n ) + n +
9. Data un urna contenente i primi 9 numeri, determinare la probabilità di estrarre 5 numeri in ordine crescente (a) ( ) 89 (c) 5! (b) 9 5! Il fatto che l estrazione sia su 9 numeri è irrilevante. Presi a caso cinque numeri (anche reali!) distinti, la probabilità di estrarli secondo l ordine naturale è su tutte le possibili permutazioni dei cinque elementi. Domande aperte. Tracciare il grafico della funzione: n ha valori interi (d) 4 ) ( 89 5 y(x) = x 5 + 5 3 x3 x n. Calcolare a, b, c interi positivi > (x a)(x b)(x c) dx Soluzione Esercizio. Si ha: f (x) = 5(x )(x + ) ( x + ), f (x) = x ( x + ) quindi: ( (, f()) =, ) 3 n minimo relativo ( (, f( )) =, ) 3 + n massimo relativo (, f()) = (, n) flesso discendente Infine lim f(x) = ± x ± Figura 8: n = 5 riferimento non monometrico
Soluzione Esercizio. Si ha: con quindi: A = (x a)(x b)(x c) = A (x a) + B (x b) + C (x c) (a b)(a c), B = (a b)(b c), C = (a c)(b c) dx (x a)(x b)(x c) = tenendo conto che in tutti i casi a, b, c N e a, b, c > : ( A (x a) + B (x b) + C ) dx (x c) dx [ ] x= (x a)(x b)(x c) = A ln(a x) + B ln(b x) + C ln(c x) x= pertanto: dx (x a)(x b)(x c) = A ln a + B ln b + C ln c a b c 3
Quarto appello Test. I punti stazionari della funzione f(x) = x(x 6a)(x 6b) sono 3 (a) x, = ( a + b ± a a b + b ) ( (b) x, = a + b ± (c) x, = a b ± a a b + b ) a a b + b (d) x, = ( a + b ± a + a b + b ) a, b interi distinti Si ha: quindi f (x) = x 4(a + b)x + ab f (x) = x = (a + b) ± 4(a + b) ab = (a + b ± ) a ba + b [( ) n. lim n n + 3 + an 4 + bn ] = (a) a b (b) b a (c) (d) a, b hanno valori interi negativi Risposta esatta (a): identico esercizio terzo appello. 3. L insieme delle soluzioni della disequazione x + x + < 4 è (a) < x < (b) < x < (c) < x < (d) x > Si ha: pertanto: x se x x + x + = se < x < x se x x + x + < 4 x < 4 4. La funzione f(x) = x a + x + a è x < 4 se x < 4 se < x < se x x < se x < 4 se < x < x < se x (a) convessa ma non ovunque derivabile (b) convessa e ovunque derivabile (c) concava ma non ovunque derivabile (d) concava e ovunque derivabile a ha valori interi positivi Risposta esatta (a): vedi figura per esercizio 3. 5. Se f(x) = xe ax, a parametro reale non nullo, allora f (n) = per a = 4
5 4 3 - - Figura 9: Esercizio 3 x + x + < 4 (a) /a (b) a (c) a (d) a 3 n ha valori interi positivi maggiori di mentre a è fissato Si ha: 6. Se F(x) = (a) (b) nx nx f (n) = e an (an ) = an = sin 7 dt allora F () = n ha valori interi positivi maggiori di (c) - (d) non esiste Si tratta di una funzione dispari integrata su di un intervallo simmetrico. Pertanto per ogni x R si ha F(x) =. Per chi non si fosse accorto del trucco si poteva procedere anche facendo i conti. Ricordiamo che: Nel caso di specie: d dx Ne viene che per ogni x R : 7. Sia A = b(x) a(x) f(t)dt = b (x)f (b(x)) a (x)f (a(x)). a(x) = nx, b(x) = nx, f(t) = sin 7 t. F (x) = n sin 7 (nx) ( n)sin 7 ( nx) =. ( ) allora l elemento a di A = A A è: 5
(a) 4 (b) 5 Si ha: A = A A = ( ) (c) 3 (d) ( ) = ( ) 5 4 4 5 8. Se z = n (3 + 4 i) allora una delle sue radici quadrate è (a) n + n i (b) n n i (c) n + n i (d) n n i n intero positivo Anziché estrarre le radici di z calcoliamo i quadrati delle alternative andando per esclusione. Caso (d): (n n i) = in. Caso (c): (n+n i) = in. Caso (b): (n n i) = (3 4i)n. Tutti questi casi non risolvono il problema. Per riscontro verifichiamo l ultimo. Caso (a): (n+n i) = (3+4i)n. ax 3x + x 3 4x 4 = 9 a 9. Se x x + x 3 3x 4 = 4 x x x 3 + x 4 = allora (a) x = 5(a+) (a+)x4 3a+ (b) x = 5(a+) (a+)x4 3a+ a intero positivo Usiamo la riduzione di Gauß: ax 3x + x 3 4x 4 = 9 a x x + x 3 3x 4 = 4 x x x 3 + x 4 = (c) x 3 = 5(a+) (a+)x4 3a+ (d) sistema impossibile ax 3x + x 3 4x 4 = 9 a (3 a)x + (a )x 3 + (4 3a)x 4 = 9 3a ( a 3)x + ( a)x 3 + (a 4)x 4 = 9 a ax 3x + x 3 4x 4 = 9 a (3 a)x + (a )x 3 + (4 3a)x 4 = 9 3a a(3a + )x 3 a(a )x 4 = (a 3)a ax 3x + x 3 4x 4 = 9 a (3 a)x + (a )x 3 + (4 3a)x 4 = 9 3a x 3 = [(a )x 4 (a 3)] 3a + ax 3x + x 3 4x 4 = 9 a (3a + )x + (a + )x 4 = 5(a + ) x 3 = [(a )x 4 (a 3)] 3a + 6
Domande aperte. Tracciare il grafico della funzione y(x) = ln x, x e calcolare. Calcolare a < a < b < c; a, b, c N x a (x b)(x c) dx Soluzione Esercizio. Ricordiamo che ln ξ > ξ > quindi: { ln x se x y(x) = ln x se x < e y(x)dx Poi Ne viene che: x > y (x) > < x < y (x) < y x (x) = x se x se x < < x < y (x) > x < y (x) < Per costruzione y(x) e y(x) = x = ±. Nei punti x + =, x =, y(x) raggiunge il minimo assoluto. La convessità si determina osservando che: x se x Infine: Si ha: y (x) = x se x < lim y(x) = lim y(x) = lim y(x) = x ± x + x y x x Figura : 7
e y(x)dx = e ln x dx = e lnxdx = [ ] x=e x lnx x = e lne e ( ln ) = x= Soluzione Esercizio. Si ha: Pertanto Infine a x a (x b)(x c) = b a (b c)(x b) + a c (b c)(x c). x a (x b)(x c) dx = b a b c ln x b + a c b c [ ] x a (b a) lnb ln(b a) (x b)(x c) dx = + c b ln x c. [ ] (a c) lnc ln(c a) c b 8
Quinto appello Test. Sia f(x) = x+x 3 +x 7. Allora g (y) dove g : R R è la funzione inversa di f e y = a 7/ +a 3/ + a vale: (a) (b) 7a 3 + 3a + 3a 3 + 7a + (c) (d) 7a 3 + a + 7a 3 3a + a, intero positivo Se g(y) = f (y) nei punti y = f(x) in cui f (x) g(y) è derivabile e si ha: g (y) = f (x) Nel nostro caso x = a, f (x) = + 3x + 7x 6 f ( a) = 7a 3 + 3a +. [( ) n4. lim n n + 3 + an 4 + bn ] = (a) a b (b) b a (c) (d) 3. a, b hanno valori interi negativi Identico esercizio del terzo e quarto appello a x 3 a + x dx = (a) a ( ln ) (c) a ( + ln ) (b) 4 a ( ln ) (d) 4 a ( + ln ) a intero positivo Decomponiamo in fratti semplici: in modo che: x 3 a + x = x Sostituendo gli estremi di integrazione: a a x a + x = x a x a + x x 3 x a dx = + x a ln( a + x ) x 3 a + x dx = a ln ( a ) a ln ( a ) + a = a ( ln ) 4. La funzione f(x) = x + ax x, x è 9
(a) limitata (b) convessa (c) decrescente (d) dotata di massimo assoluto a ha valori interi positivi Essendo x si ha f(x) = x + ax x e, osservato che: abbiamo: lim x vediamo che (a) è la risposta esatta. f(x) = x + ax x = ax x + ax + x = lim x ax x + ax + x a + a x + = a Osservazione. Si poteva ottenere la risposta esatta anche verificando la falsità delle affermazioni (b), (c), (d). f (x) = a + x x + ax x + ax da cui si vede che f (x) > per ogni x il che esclude in un sol colpo (c) e (d). a f (x) = 4x(a + x) x + ax comporta che f (x) < il che esclude (b). Dal momento che abbiamo fatto tutto il lavoro non farà male al discente osservare che il grafico della funzione è come nella figura. Si noti il fatto che lim f (x) = x assieme al fatto che l asse delle ordinate è tangente nell origine al grafico di f(x). y x Figura : Esercizio 4 a = 5. Una sola delle affermazioni seguenti è vera. Quale? (a) (b) (/) n+3 = /8 (/) n+ = / (c) (d) (/) n+ = (/) n = / Anche qui si potrebbe procedere per esclusione. Riportiamo le affermazioni, stavolta tutte corrette. 3
(a) (/) n+3 = /8 (b) (/) n+ = /4 (c) (d) (/) n+ = / (/) n = 6. In quanti modi può essere formata una rappresentanza di n studenti in una classe di studenti? ( ) (a) (c) 4 n ( ) n (b) n! (d) n ha valori interi positivi maggiori di Si tratta di una combinazione semplice di oggetti di classe n. ( ) x 7. Sia A = allora A = A x per (a) x = ± 3 (b) x = ± 5 (c) x = ± 7 (d) mai Si ha: e quindi A = A A = x 4 x x 4 ( x 3 ) x 4 x( x 3 ) x 4 8. Se z = n (3 4 i) allora una delle sue radici quadrate è x x 4 x 4 x ( x 3 ) x 4 ( x 3 ) x 4 (a) n n i (b) n i (c) n + n i (d) n n i n intero positivo Identico esercizio 8 quarto appello. ax 3x + x 3 4x 4 = 9 a 9. Se x x + x 3 3x 4 = 4 allora x x x 3 + x 4 = (a) x = 5(a+) (a+)x4 3a+ (b) x = 5(a+) (a+)x4 3a+ (c) x 3 = 5(a+) (a+)x4 3a+ (d) sistema impossibile a intero negativo Vedi identico esercizio 9 quarto appello. 3
Domande aperte. Sia f(x) = ex e x. Provare che posto g(x) = f(x), vale la relazione g (x) + g(x) =. Far poi vedere che, in generale, se f : R R è una qualsiasi funzione derivabile, strettamente positiva e tale che f (x) = f(x) f (x), allora posto g(x) = f(x) si ha g (x) + g(x) =. Discutere, al variare del parametro reale a il sistema lineare: a x + x x 3 + x 4 = x + a x x 3 + x 4 = x + x + a x 3 + x 4 = 4 Soluzione Esercizio. Si ha da cui Nel caso generale si ha: ma per ipotesi f(x) f (x) = f (x) dunque: Soluzione Esercizio. Consideriamo il minore f(x) = e x d ( ) = e x dx f(x) e x + e x = = g (x) + g(x) g (x) + g(x) = f(x) f (x) f(x) = f(x) f (x) f ( x) g (x) + g(x) = f(x) f (x) f(x) = f(x) f (x) f = f (x) (x) f (x). M = a a il cui determinante è det M = a + a. Se a, si ha det M : il sistema ammette infinite soluzioni dipendenti dal parametro x che non è stato chiesto di calcolare. Se a = abbiamo il caso particolare: x + x x 3 + x 4 = x x x 3 + x 4 = x + x x 3 + x 4 = 4 in cui la matrice incompleta ha ancora rango 3, con infinite soluzioni dipendenti da un parametro. Infine se a = otteniamo: x + x x 3 + x 4 = x + x x 3 + x 4 = x + x + x 3 + x 4 = 4 in cui il rango della matrice incompleta è 3: infinite soluzioni dipendenti da un parametro. 3
Sesto appello Test. Sia f(x) = x + 7 x7. Allora g ( a + 7 a7/ ) dove g : R R è la funzione inversa di f vale: (a) (b) a 3 + a 3 (c) (d) a 3 + a + a 3 a, intero positivo maggiore di Identico esercizio quinto appello. [ sin n. lim + 4 + a n ] = n n! 3 + b n (a) a b (c) (b) b a (d) a, b hanno valori interi di segno opposto Identico esercizio del terzo, quarto e quinto appello 3. Se f(x) = x x + a (a) f ( a) + f ( a) = (b) f ( a) + f ( a) = (a + ) (a ) (c) f (a) + f (a) = a (d) f ( a) + f ( a) = 4(a ) a intero positivo Si ha: da cui Poi da otteniamo f (x) = a x (a + x ) f ( a) = a a(a + ) x f (x) = (a + x ) f ( a) = a(a + ) 4. Se f(x) = a 3 xa x a + x 3, x I := [ a, a] allora [ (a) f(i) =, 3 ] (c) f è decrescente in I 7 a3 ] (b) f è convessa in I (d) f(i) =, 3 ] 7 a3 a ha valori interi positivi 33
Si ha: f (x) = a xa + 3x f (x) = x = a, x = a 3 essendo poi abbiamo f (a) = 4a, f ( a/3) = 4a 3a3 maxf(x) = f( a/3) = x I 7, min f(x) = f(a) =. x I 5. Una sola delle affermazioni seguenti è falsa. Quale? (a) (b) e 5 (arctanx + arctan( x)) dx = π n = 37 6 (c) (d) ( ) n = 3 ( ) n = La funzione arcotangente è dispari dunque per ogni x: arctanx + arctan( x) =. 6. Quale fra i seguenti valori di x R + risolve l equazione arctanlnx = π n? (a) x = exp tan π n (c) x = expln π n (b) x = tan exp π n (d) x = ln tan π n n ha valori interi positivi strettamente maggiori di Ovvio. 7. Sia A = a allora l elemento b della matrcice B := A ( A + A ) è (a) (b) (c) a (d) a ha valori interi postivi strettamente maggiori di Si ha: A = a A + A = B := A ( A + A ) = a 8. Sia g(x) = f(a x) f(x). Sapendo che f() = a, f () = a allora g () vale 34
(a) a (b) (c) (d) a + a intero positivo strettamente maggiore di Dalla regola di derivazione del quoziente abbiamo: g (x) = af(x)f (ax) f(ax)f (x) f (x) g () = af () f () f() Ora, si suppone che sia f() = a, f () = a, quindi: g () = a ax 3x + x 3 4x 4 = 9 a 9. Se x x + x 3 3x 4 = 4 x x x 3 + x 4 = (a) x 3 = a + (4a )x 4 + 6 3a + (b) x = 5(a + ) (a + )x 4 3a + a intero negativo Usiamo la riduzione di Gauß: ax 3x + x 3 4x 4 = 9 a x x + x 3 3x 4 = 4 x x x 3 + x 4 = allora (c) x 3 = 5(a + ) (a + )x 4 3a + (d) x = a + (4a )x 4 + 6 3a + ax 3x + x 3 4x 4 = 9 a (3 a)x + (a )x 3 + (4 3a)x 4 = 9 3a ( a 3)x + ( a)x 3 + (a 4)x 4 = 9 a ax 3x + x 3 4x 4 = 9 a (3 a)x + (a )x 3 + (4 3a)x 4 = 9 3a a(3a + )x 3 a(a )x 4 = (a 3)a ax 3x + x 3 4x 4 = 9 a (3 a)x + (a )x 3 + (4 3a)x 4 = 9 3a x 3 = [(a )x 4 (a 3)] 3a + Domande aperte. Sia f(x) = + e x. Provare che posto g(x) = f(x), vale la relazione g (x) + g(x) =. Far poi vedere che, in generale, se f : R R è una qualsiasi funzione derivabile, strettamente positiva e tale che f (x) = f(x) + f (x), allora posto g(x) = f(x) si ha g (x) + g(x) =. Calcolare: (a) / f(x)dx (b) f(/) f() f (y)dy 35
Soluzione Esercizio. Identica a Esercizio. quinto appello. Soluzione Esercizio. (a) Poniamo e x = t. Allora x = ln t dx = t dt; x = t =, x = t = e /. Quindi: / e pertanto: e / f(x)dx = (b) Ricordiamo che: / dt t(t ) = e / dt ( t(t ) = e t ) [ dt = ln t ] t t / e / ( f(x)dx = ln ln ( + ) ) e e = ln ( e ) f(b) f(a) f (y)dy = bf(b) af(a) Allora essendo nel caso di specie a =, b = / si ha: f(/) f() b f (y)dy = / f(/) f(x)dx = ( e + e a f(x)dx. ) [ ln ( e )] = + e + ln( e ) 36