Esercizi settimana 8 Esercizi applicati Esercizio. Un punto viene scelto a caso nel cerchio di raggio R > con distribuzione uniforme. (i) qual è la probabilità che il punto disti dall'origine più di r, r R; (ii) n punti vengono scelti a caso indipendentemente con distribuzione uniforme sul cerchio di raggio R. Qual è la probabilità che la minima distanza sia maggiore di r. Soluzione. (i) Siccome il punto viene scelto a caso con distribuzione uniforme sul cerchio di raggio R signica considerare una v.a. con densità f(x) = πr x R, altrimenti. Dire che il punto dista almeno r dall'origine vuol dire che il punto sia nella corona circolare B r compresa tra r e R. Allora la probabilità non è altro che l'integrale di f sulla corona circolare B r. Siccome f è costante l'integrale sarà uguale all'area di B r moltiplicata per πr, ovvero πr (πr πr ) = r R, si veda la gura. (ii) calcolare la probabilità che la distanza minima di n punti dall'origine sia almeno r, vuol dire richiedere che tutti i punti siano nella corona circolare B r. Siccome inoltre i punti sono indipendenti avremo dal punto precedente che la probabilità che n punti distino almeno r dall'origine è pari a ( r R ) n. - - - - - - - - (a) Circonferenza B R (b) Corona circolare B r Figura
8 x = + 6 = x + 6 8 Figura : Regioni A e A con t = Esercizio. Siano X, Y Exp(λ), λ >, indipendenti. Si calcoli: (i) P ( X Y > λ) ; (ii) la densità f Z, Z := X Y ; (iii) la densità f W, W := X Y. Soluzione. (i) la densità congiunta delle VAAC X e Y è data da λ e λ(x+) x, >, f (X,Y ) (x, ) = altrimenti. (.) Chiedere P ( X Y > t), vuol dire calcolare l'integrale della densità (.) sul A = (x, ) R + : x > t } = (x, ) R + : x > t } (x, ) R + : x < t } = = A A, si veda la gura. Calcoliamo prima l'integrale su A, abbiamo che la retta che delimita la regione A è = x t e dunque segue che f(x, )dxd = λ e λx dxe λ d = = A e λt. (.) L'integrale su A si calcola allo stesso modo e da lo stesso risultato. abbiamo trovato che P ( X Y > t) = e λt. +t Quindi concludendo
3 8 6 x = + 6 8 Figura 3: Regione B con t = Scegliendo ora t = λ otteniamo immediatamente che ( P X Y > ) = e. λ (ii) il punto (i) permette immediatamente di calcolare la funzione di ripartizione, ovvero abbiamo che P ( X Y t) = e λt. Si noti che la precedente è la funzione di ripartizione di una VAAC esponenziale di parametro λ e dunque la densità di Z := X Y sarà f Z (z) = λe λz. (iii) Calcoliamo la funzione di ripartizione F W di W := X Y. Per t > abbiamo che P (X Y < t) = f (X,Y ) (x, )dxd, (.3) dove abbiamo denotato si veda la gura 3. B B = (x, ) R + : x >, x + t }, Si può però notare che (.3) è uguale f (X,Y ) (x, )dxd = f (X,Y ) (x, )dxd. B A
8 6 = x + 6 8 Figura : Regione B con t = Sfruttando ora (.) abbiamo che Derivando (.) otteniamo la densità di W P (X Y < t) = e λt. (.) f W (t) = λ e λt. Il calcolo per valori di t < procede in maniera analoga, cambiando opportunamente la regione di integrazione, si veda la gura. In particolare otteniamo che P (X Y t) = e λ t = eλt, da cui derivando otteniamo che f W (t) = λ eλt. Mettendo ora assieme i due risultati otteniamo f W (t) = λ e λ t. Esercizio 3. Si consideri la densità congiunta c < x < <, f (X,Y ) (x, ) =. (.5) altrimenti,
5 Figura 5: f (X,Y ) (x, ) (i) Si trovi c > tale per cui (.5) sia una densità di probabilità; (ii) Si trovino le marginali f X e f Y. Le v.a. X e Y sono indipendenti? (iii) Si calcoli P (Y > X). Soluzione. (i) anché (.5) sia una densità di probabilità deve valere da cui c =, si veda la gura 5. = c dx d = c, (ii) per ottenere la prima marginale dobbiamo integrare rispetto alla seconda variabile, ovvero, per < x <, f X (x) = d = log x, si noti che essendo < x <, segue che log x >. x Per ottenere la seconda marginale dobbiamo invece integrare rispetto alla prima variabile, ovvero, per < <, f Y () = d =, si noti che Y U(, ). Le due v.a. aleatorie X e Y non sono indipendenti, infatti abbiamo che f (X,Y ) (x, ) f X (x)f Y (). Lo stesso si poteva dedurre dal fatto f (X,Y ) vale sotto la retta x =, mentre le marginali f X e f Y assumono sulla stessa regione una valore strettamente positivo. (iii) dobbiamo calcolare P (Y > X) = dxd =.
6 F X (x),8,6,, x Figura 6: Funzione di ripartizione F X (x) Esercizio. Siano X e Y di densità congiunta f(x, ) = ( + θ) e θx e θ (e θx +e θ ) + θ x >, >, altrimenti, con θ >. Si calcolino le densità marginali di X e Y. Esercizio 5. Siano X e Y di densità congiunta λ xe λx(+) x >, >, f(x, ) = altrimenti, con λ R. (i) Si calcolino le densità marginali di X e Y ; (ii) le v.a. X e V := XY sono indipendenti? (iii) si calcoli la densità di XY. Esercizi teorici Esercizio 6. Siano X U([, ]) e Y Exp() indipendenti. Si calcoli P(X Y ). Esercizio 7. Siano X U([, ]) e Y := X, si calcoli la distribuzione di Y. Soluzione. La funzione di ripartizione di X è data da x+ F X (x) = x [, ], altrimenti,
7,5 F Y (),5 f Y (),5,5,5,5,5 3,5,5,5 3 (a) Funzione di ripartizione F Y () (b) Densità f Y () Figura 7 si veda la gura 6. Siccome X [, ], segue che X [, ] e inne Y = possiamo calcolare, per [, ), ( ) ( P(Y ) = P X = P X ) ( = P X ) = ( = P X ) ( = F X = + + =. Dunque possiamo concludere che la funzione di ripartizione di Y è data da < F Y () =. Derivando in (, ), otteniamo la densità f Y (), f Y () = F Y () = d d =, si veda la gura 7. X [, ). Allora ) ( F X ) = Esercizio 8. Siano X, Y e Z v.a. indipendenti e uniformi su [, ]. Si calcoli la densità congiunta di (U, V ), con U := XY e V := Z. Si mostri che P(U < V ) = 5 9. Soluzione. Per u [, ] abbiamo che P(U u) = P(U u, Y u) + P(U u, Y > u) = P(Y u) + P (X u ) Y, Y > u = = u + u u d = u( log u).
8 Dall'indipendenza di X, Y e Z segue l'indipendenza di U e V, da cui otteniamo, per u, v [, ], P(U u, V v) = P(U u)p(z z) = u v( log u). Derivando otteniamo la densità f (U,V ) data da Possiamo ora calcolare f (U,V ) (u, v) = f U (u)f V (v) = log( u ) v P(U < V ) = u, u, v [, ]. log( u ) v dudv = 5 9. Esercizio 9. Siano X, Y v.a. esponenziali indipendenti di parametro. Si trovi la densità congiunta di (U, V ), con U := X + Y e V :=. Che legge ha V? X X+Y Soluzione. Si considerino la trasformazione φ(x, ) = (x+, (uv, u uv), allora lo Jacobiano associato è detdφ (u, v) = det x x+ ), la cui inversa è data da φ (u, v) = ( ) v u = u. v u Segue allora che f (U,V ) (u, v) = ue u, u [, ) e v [, ]. Si noti che U e V sono indipendenti e che V U([, ]). Esercizio. Sia X U ( [, π ]), si calcoli la densità di Y := sin X. Soluzione. Abbiamo che, per [, ], P(sin X ) = P(X arcsin ) = π arcsin, da cui derivando segue che f Y () =, per [, ]. π Esercizio. Si calcoli la densità di Y := arcsin X per X U([, ]) e X U([, ]). Soluzione. Sia X U([, ]), allora per [, π ], P(arcsin X ) = P(X sin ) = sin, da cui segue che la densità, per [, π ], è data da f Y () = cos(). In maniera analoga otteniamo, X U([, ]) e per [ π, π ], P(arcsin X ) = ( + sin ), da cui segue che la densità, per [ π, π ], è data da f Y () = cos(). Legenda: : esercizio da sapere all'esame; : esercizio dicile