Calcolo delle Probabilità e Statistica, Ing. Informatica e dell Automazione, a.a. 29/ /6/2 Nota. E obbligatorio sia scegliere le risposte numeriche, o le formule nali a seconda del caso) negli appositi spazi, sia dare la risoluzione per esteso sul foglio a parte. Esercizio. i) In un sistema di lettura automatica dei testi scritti a mano, le lettere n ed u sono facili da confondere. In una certa lingua, la n compare con frequenza /5, mentre la u con frequenza /25. Se la lettera è davvero n, il sistema legge n il 9% delle volte. Se la lettera è u, il sistema la legge n il 2% delle volte. Se la lettera è diversa sia da n sia da u, il sistema la legge n il 2% delle volte. Se il sistema legge n, con che probabilità ha sbagliato? :22; :2; :42 ii) Se il sistema, nel leggere un testo, legge 2 volte la lettera n, con che probabilità ne sbaglia almeno due? :97; :79; :85 Esercizio 2. Sia X una grandezza misurable, distribuita come una gaussiana N ; 9) di media incognita. Verranno svolte misurazioni indipendenti, ottenendo i valori X ; :::; X e poi verrà calcolata la media aritmetica X = X +:::+X. i) Che variabile aleatoria è X? Si vuole poi trovare un numero > con la proprietà che sia X + con probabilità.95 pur non conoscendo il valore di, in questo modo avremo una limitazione dall alto dei suoi valori possibili). Quanto vale? :882; 2:684; : 556 ii) Modi chiamo l ipotesi di partenza, supponendo che X sia una Bernoulli di parametro p incognito p è anche uguale alla media ), e cerchiamo tale che X p X + con probabilità almeno pari a.8. Usando la disuguaglianza di Chebyshev, che valore si ottiene? Si usi la disuguaglianza p p) =4. :5; :25; :5
Esercizio. i) Per quali valori di a; b 2 R la funzione f x) = C x a x) b per x 2 ; ) per x =2 [; ] è una densità di probabilità per un opportuna scelta della costante C )? Non si richiede il calcolo esplicito della costante C, che resterà indicata così per il resto dell esercizio, come fosse un numero noto. a > e b > ; a > e b > ; a > e b > ii) Mostrare che C a+;b = a + b + C + = a + b + C C a+;b : iii) Dedurne il valore di E [X] in funzione di a e b. a + a + b + 2 ; a + a + b + ; a + 2 a + b + 2 iv) Trovare la legge di Y = log X), dove X ha densità f ;b. Dedurne il valore di C ;b. C ;b = b; b + ; b Esercizio 4. Consideriamo la catena di Markov su E = f; 2; ; 4g associata alla seguente matrice di transizione P = B @ C A : a) Decomporre E nell unione di classi irriducibili e della classe degli stati transitori. b) Determinare le probabilità i, partendo dallo stato i con i = ; : : : ; 4), di visitare lo stato. c) Determinare, senza svolgere ulteriori calcoli algebrici, le probabilità i, partendo dal generico stato i, di visitare lo stato 4. d) Determinare, possibilmente senza svolgere il sistema vp = v, tutte le probabilità invarianti della catena. 2
Soluzioni Esercizio. i) Usiamo la scrittura L = n per dire che il sistema ha letto n, L 6= n per dire il contrario, ed usiamo semplicemente n, u, altro per dire che la lettera da decifrare era una n, una u, o altro. Allora P n) = 5 ; P u) = 25 ; P altro) = 5 25 P L = njn) = :9; P L = nju) = :2; P L = njaltro) = :2: Quindi P L = n) = :9 P njl = n) = 5 + :2 25 + :2 P L = njn) P n) P L = n) 5 = :86 25 = :9 5 :86 = :698 quindi la probabilità richiesta è :698 = :2. ii) Il numero N di errori su 2 letture della lettera n è una B 2; p) con p = probabilità di errore in una lettura, quindi p = :2. Dobbiamo calcolare P N 2) = P N ) = P N = ) P N = ) = p) n np p) n = :2) 2 2 :2 :2) = :97: Esercizio 2. i) X è una gaussiana in quanto combinazione lineare di gaussiane indipendenti, ha media per la linearità della media) e varianza 9 la varianza della somma è pari alla somma delle varianze, per variabili indipendenti). In conclusione, X N ; 9. Cerchiamo > tale che P X + = :95, ovvero P X = :95, P X < = :5, p = :5, p = q:5 = q :95 p = p :64 = : 556: ii) Dobbiamo trovare per cui valga la disequazione P X X + :8, ovvero P X > :2: Per la disuguaglianza di Chebyshev vale P X > p p) 2 4 2 :
Basta quindi prendere in modo che = :2, cioè 2 = = :25, 4 2 4:2 quindi = p :25 = :5: Esercizio. Esercizio. i) Densità se a; b 2 ; ), in quanto la funzione è integrabile in x = per <, e lo stesso vale per le traslate x in x x x ). ii) iii) Z a+;b = x a+ x) b dx " # x) b+ = x a+ + b + C Z = a + b + = a + Z b + = a + Z b + = a + b + C x a Z x) b+ dx x a x) b x) dx x a x) b dx a + b + C a+;b : Z Z E [X] = C xx a x) b dx = C x) b+ a + ) x a dx b + a + b + + a + C a+;b b + = a + b + C C a+;b = + a + b + = a + a + b + 2 C Z E [X] = C C a+;b = a + a + b + 2 : 4 x a+ x) b dx x a+ x) b dx = C C a+;b a + b + C
iii) Riassumiamo, nel caso a = : f ;b x) = C ;b x) b per x 2 ; ) per x =2 ; ) iv)y = log X) E [X] = b + 2 b + V ar [X] = b + ) b + 2) 2 : F Y t) = P log X) t) = P X e t = P X e t = F X e t f Y t) = f X e t e t = C ;b e bt e t = C ;b e b+)t da cui C ;b = b + densità esponnziale). Esercizio 4. a) e 2 comunicano fra loro; e 2 comunicano con, ma da si può solo restare in ; 2 comunica con 4, ma da 4 si può solo restare in 4. di conseguenza f; 2g è una classe irriducibile di stati. comunica con, ma non comunica con, quindi fg è una classe irriducibile di stati e è transitorio, è assorbente). 2 comunica con 4, ma 4 non comunica con 2, quindi f4g è un altra classe irriducibile di stati e 2 è transitorio, 4 è assorbente). e 4 non comunicano fra loro. Quindi E = f; 2g [ fg [ f4g. b) Si ha, ovviamente, =, 4 =. Per quanto riguarda e 2, = p + p + p 2 2 = si ha, da cui + + 2 2 = p 2 + p 2 + p 22 2 2 = +, cioè + 2 2 2 = che ha per soluzione = 4 2 = 5, 2 = 5. c) Si ha, ovviamente, =, 4 =. Per quanto riguarda e 2, si può osservare che, partendo da, prima o poi si casca necessariamente o in o in 4, quindi + = e =. Analogamente partendo da 5 2, prima o poi si casca necessariamente o in o in 4, 2 + 2 =, cioè 2 = 2. Allo stesso risultato naturalmente si arriva risolvendo il sistema non 5 5
= p 4 + p + p 2 2 richiesto!) 2 = p 24 + p 2 + p 22 2 2 2 = cioè 2 =, da cui che ha per soluzione = 5, 2 = 2 5. = + + 2 2 = + + 2, c) Ovviamente v = v 2 = perche e 2 sono transitori. Il sistema vp = v non fornisce nessuna ulteriore informazione, quindi resta la condizione di normalizzazione v +v 4 =, ed in ne v = ; ; ; ), con. Ci sono quindi in nite distribuzioni invarianti. Se proprio si vuole risolvere il sistema non richiesto!) si ha v v 2 v v 4 B @ 8 v + v 8 2 = v 2v v 2 = >< v = v 2 >< v v 2 = da cui v + v 2 + v = v, cioè v + v 2 = >: v 2 + v 4 = v 4 v 2 = v + v 2 + v + v 4 = >: v + v 2 + v + v 4 = nuovo, v = ; ; ; ), con. C A = v v 2 v v 4, da cui, di 6