Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA Prova scritta del luglio Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera completa e leggibile.. (Punti 8) Risolvere il seguente sistema nel campo complesso. ( + i)z + = 0 Imz > 0 Rez > 0. (Punti 0) Data la funzione f(x) = 9x 4 4x 9 a) (punti ) determinare il suo campo di esistenza, comportamento agli estremi del dominio ed eventuali asintoti; b) (punti ) determinare gli intervalli di monotonia ed eventuali punti di massimo o di minimo relativo; c) (punti ) determinare gli intervalli di concavità e di convessità ed eventuali flessi; d) (punti ) disegnare il suo grafico approssimato.. (Punti 6) Dimostrare, mediante uno studio a priori, che la funzione g(x) = (x+5) x+5 è integrabile in senso improprio sull intervallo (, + ). 4. (Punti 8) Calcolare dove g è la funzione dell esercizio. g(x) dx,
SVOLGIMENTO DEGLI ESERCIZI Esercizio. ( + i)z + = 0 z = + i i i z = i z = + i () Calcoliamo le radici undicesime del numero + i. Per fare questo lo scriviamo in forma trigonometrica ed applichiamo la formula per il calcolo delle radici di un numero complesso. Quindi le soluzioni dell equazione () sono ( ) π z k = cos +kπ + i sin + i = cos π + i sin π. ( ) π +kπ, k = 0,,,, 0. Determiniamo tra queste quelle che verificano le altre due condizioni poste nel sistema: Imz > 0 e Rez > 0. Ovvero quelle per le quali l argomento principale di z k è compreso tra 0 e π. Si vede facilmente che questo accade per k = 0,,. Infatti per k = 0 è ovvio, mentre per k = π + π < π 8 <. Per k = risulta π + 4π < π Per k risulta π +kπ > π Quindi le soluzioni del sistema sono z 0, z, z. Esercizio. 4 <. k > 9. Il campo di esistenza della funzione è dato dai valori di x che rendono positivi i radicandi e si ottengono risolvendo il sistema { 9x 4 0 4x 9 0 x x x x = x x. ()
Quindi il campo di esistenza di f è l insieme (, ] [, + ). La funzione all infinito assume una forma indeterminata (+ ) che risolviamo nel modo che segue ( 9x lim f(x) 4 4x 9)( 9x 4 + 4x 9) x ± x ± 9x 4 + 4x 9 5x + 5 x ± 9x 4 + 4x 9 = + Si può anche più semplicemente procedere così. [ lim f(x) x x ± x ± 4 9x Vediamo se la funzione ammette asintoti obliqui. [ f(x) m x ± x x 4 x ± x 9x q f(x) mx x x + x + [ ] 9 4x 4 9x ] 9 4x = +. = ±. ] 9 4x (utilizziamo lo sviluppo di Taylor: (+t) α = +αt+o(t), con α = e t = 4 9x, nella prima radice e t = 9 4 x nella seconda) { [ x ( )] x + 9x +o x [ 9 ( )] 8x + o x = = } x 9 x + x = 0. Procedendo nello stesso modo, per x che tende a meno infinito, si ottiene [ q f(x) mx ( x) 4 ] x x 9x ( x) 9 4x + x Gli asintoti obliqui sono: per x che tende a più infinito: y = x, per x che tende a meno infinito; y = x. Studiamo ora gli intervalli di monotonia della funzione mediante la derivata prima. =... = 0. f (x) = 9x 9x 4 4x 4x 9. Da questa, per x >, quindi x > 0: f (x) > 0 9 9x 4 > 4 4x 9 8(4x 9) > 6(9x 4) 0x 65 > 0 = x > 6 >.
Da questo possiamo dedurre che la funzione è crescente sull intervallo ( 6, + ) e decre- 6 scente su [, ), quindi x 6 = è punto di minimo relativo, in questo caso anche assoluto. Tenendo presente che la funzione è pari deduciamo ancheche è decrescente sull intervallo (, ) e crescente su (, 6 6 ], quindi x = è punto di minimo 6 relativo, in questo caso anche assoluto. Infine lim x f (x) =, lim f (x) = +, + x ovvero il grafico nei punti x = e x = ha tangente verticale. Inoltre questi sono anche punti di massimo relativo. Valutiamo gli intervalli di concavità e di convessità di f studiando il segno della derivata seconda. f (x) = 6 (9x 4) 9x 4 + 6 (4x 9) 4x 9. Da questa, per i valori di x che appartengono al campo di esistenza di f: f (x) > 0 (9x 4) 9x 4 < (4x 9) 4x 9 9x 4 > 4x 9 x > 5, che è sempre verificata, quindi f è convessa sul suo campo di esistenza. Possiamo a questo punto tracciare il seguente grafico di f. y y= x y=x x / 0 / x 4 x
Si osservi che la funzione è pari: f(x) = f( x). È possibile quindi limitarsi a studiarla per x > 0 e poi fare una simmetria rispetto all asse delle ordinate. Esercizio. La funzione non è limitata nell intorno del punto x =, inoltre non ammettendo altri punti singolari nell intervallo considerato, possiamo studiare l integrabilità di g separatamente, ad esempio, su (, ] e [, + ). Dobbiamo provare la sua integrabilità su questi intervalli. Nell intervallo (, ] risulta g(x) < 0, per cui consideriamo il suo valore assoluto e proviamo che g(x) è integrabile mediante il criterio del confronto: g(x) = (x+5) x+5 64. perchè la funzione x (x+5) risulta decrescente sull intervallo considerato, basta fare x+5 la derivata prima e veder che è negativa. La funzione x è integrabile su (,] come si vede dai seguenti calcoli dx = 0 logt dt = lim c 0 + c logt dt = lim c 0 +[tlogt t] c = Su [, + ) la funzione risulta positiva. Anche in questo caso possiamo applicare il criterio del confronto tenendo presente che valgono le seguenti maggiorazioni: (x+5) x+5 > x x (x+5) x+5 < x x, mentre per x grande si verifica, ad esempio, < 4 x. Quindi per x sufficientemente grande La funzione x 0 < g(x) = x 5 4 (x+5) x+5 4 x x x = risulta integrabile sull intervallo [, + ) (il suo esponente è maggiore di uno), quindi, per il criterio del confronto, anche g lo è. Esercizio 4. x 5 4. g(x) dx = c + c (x+5) x+5 (x+5) x+5 dx = dx + lim c + c (x+5) x+5 dx. Procediamo al calcolo delle primitive di g mediante l integrazione per parti osservando che (x+5) x+5 = d (x+5) = dx (x+5) 5
e quindi (x+5) x+5 dx = + x+5 x+5 x dx Nell ultimo integrale effettuiamo il cambio di variabile t = x+5, quindi t = x + 5 e dx = tdt: x+5 x dx = t 6 dt. Applichiamo la tecnica di risoluzione degli integrali di funzioni razionali determinando i valori dei numeri reali A e B per i quali si verifica: che implica t 6 = A t 4 + B t+4 = A(t+4)+B(t 4), t 6 A(t+4)+B(t 4) = da questa per t = 4 otteniamo A = mentre per t = 4 B = 8. Sostituiamo 8 t 6 dt = 8 t 4 dt 8 t+4 dt = 8 log t 4 t+4 +C. Tornando all integrale di partenza x+5 x dx = 4 log x+5 4 +C. x+5+4 Infine (x+5) x+5 dx = x+5 + log x+5 4 x+5+4 +C. Tenuto conto di questo g(x) dx = (x+5) x+5 dx = c + c (x+5) x+5 dx + lim c + c (x+5) x+5 dx = c + log(c ) c+5 4 c+5 log + c+5+4 + lim log(c ) + c+5 4 c + c+5 log = c+5+4 c + log(c ) c+5 log( c+5 4)+ log( c+5+4) + 0 + log = c + log(c ) c+5 log( c+5 4) + log = 6
c + log(c ) log( c+5 4) + log = c + log c + c+5 4 log = (cambio variabile s = c, quindi per c che tende a + si ha che s tende a 0 + ) s 0 + log s + s+6 4 log = 6 log. Perchè, utilizzando lo sviluppo di Taylor di (+r) α, con α = e r = s 6 otteniamo lim s 0 + s s+6 4 s 0+ Oppure moltiplicando e dividendo per s+6+4 s 4 ( + s +o(s)) 4 = 8. lim s 0 + s s( s+6 4 s 0 + s+6+4) s = 8. 7