Fisica dell atmosfera Lezione III Gaetano Festa
Riferimento sferico ( r, θ, ϕ) Radiale Meridionale (N) Zonale (E) Sistema di riferimento locale : x (E), (N), z (U); dx = r cos φdλ; d = rdφ; dz = dr φ λ
Equazioni della dinamica ρ v + t ρ = ρ Φ ρ Ω + ν v v P ( v) v Geopotenziale F. di Coriolis F. di attrito In assenza di forze esterne, l unico contributo che conta è la forza di Coriolis: dv ( ) dt = Ω v Accelerazione ortogonale alla velocità Moto circolare uniforme
Forza di Coriolis Ω φ f dv dt r v0 = = Ωv0 sinφ r v0 = Ω sinφ Se la velocità è diretta nel piano tangente alla superficie della Terra, la componente di Ωche conta è quella ortogonale: f = ( Ω e ) e = Ωsinφe Per v 0 = 5 m/s, r=45 km alle medie latitudini, 130 km a 15 r r r Il periodo è indipendente dalla velocità e vale 19h alle latitudini intermedie.
Moti orizzontali Lungo la direzione verticale la variazione dell accelerazione di gravità è bilanciata dalla diminuzione di pressione (distribuzione delle masse): equilibrio idrostatico I moti orizzontali dei venti sono due ordini di grandezza più importanti dei moti verticali Supponiamo di trascurare l attrito (h > 1000 m) Studiamo il comportamento dei venti stazionari orizzontali in quota (approssimazione geostrofica)
Venti geostrofici Condizione di stazionarietà dv P ρ Φ ρ Ω + ν = ρ = dt Moti orizzontali in assenza di attrito P + ρ( f v ) = 0 H Per componenti ( v) v 0 g ρ fv ρ fv g g x P = x P = v g = 1 ρ f P P x
Venti geostrofici P = ρ( f v ) = ρ( v f ) H g g Si ha dunque che v g, fe H P sono ortogonali. Poiché f è diretto lungo z, Nel piano orizzontale si ha che v g è ortogonale a H P. Minimo di pressione Massimo di pressione L v g P H H H P v g Ciclone Anticiclone
Approssimazione Geostrofica E una buona approssimazione dei venti di alta quota; I venti non possono ridurre differenze di pressione perché H P v Quando si muovono in una regione con differenti gradienti di pressione, non sono in equilibrio, essi accelerano nella direzione in cui il gradiente decresce (da alta a bassa pressione) g
Vento termico Approssimazione geostrofica fv g 1 P RT P log P = = = RT ρ x P x x P g 1 P log P ρ g = = = z RT P z z Derivando la prima equazione rispetto a z e la seconda rispetto a x fvg log P = z RT x z g log P = x RT x z
Vento termico Trascurando la variazione verticale di T si ha v f g g g T = = T z x T T x vg g T f = z T x E analogamente per l altra componente si ha che vgx g T f = z T
Vento termico Supponiamo Poiché dt dx = T 0; dt = T ( ); < 0 d si ha v g costante lungo z e le isoterme sono dirette lungo x. Dall altra equazione si ha che f vgx g T = > z T 0 e dunque la velocità orizzontale cresce lungo z, producendo una rotazione. Se la rotazione è anti-oraria della direzione del vento e soffia lungo le isoterme dal lato freddo al caldo. Viceversa se la rotazione è oraria.
Effetto dell attrito P ρ Ω + ν = ( v) v 0 L attrito è la rappresentazione a grande scala della resistenza sulle correnti orizzontali prodotte da ostacoli (alberi, colline, edifici) che localmente generano resistenza e turbolenza. Lo strato che interessa l attrito prende il nome di PLB (planetar boundar laer) L effetto dominante dell attrito dipende principalmente dalle derivate seconde verticali P vx + ρ fv + ν = x z v P ρ fvx + ν = z 0 0
Soluzioni con attrito (1) Assumiamo che in superficie (z=0) la velocità è nulla, e che all infinito il vento è geostrofico. Per semplicità assumiamo che la direzione del vento geostroficosia fissa e diretta lungo x. v( z = 0) = 0 v( z ) = ( v,0) g Sia dunque la soluzione del tipo v = v g + v ' v ' x ρ fv ' + ν = 0 z v ' ρ fv ' x + ν = 0 z Equazioni armoniche, soluzioni del tipo: v ' = ( A, B) e α z
Soluzioni con attrito () Sostituiamo: Be α z να ρ f α z + Ae = να ρ f α z α z Ae + Be = Con: K = ρ ν f 0 0 Soluzioni non banali se il determinante è nullo : α + = 1 0 K α = ±ik Re( α ) > 0 α B + A = 0 K α A + B = 0 K α = α = α = α = e e e e iπ /4 K iπ /4 i3 π /4 i5 π /4 K K K
Soluzioni con attrito (3) Otteniamo K K α = ± i B = ± ia Con: γ ' Re( (1, ) z iγ z v = A i e e ) γ = ρ f ν γ z Otteniamo v ' = Ce (cos γ z, sin γ z) γ z v = v + Ce cosγ z x g γ z v = Ce sin γ z v ( z = 0) = 0 C = v x g γ z v = v (1 e cos γ z) x g γ z v = v e sin γ z g
Spirale di Eckman
QUOTE A 500 mb Luglio Gennaio
Moti orizzontali dipendenti dal tempo Equazione del moto in quota (attrito trascurabile) dv ρ dt = P ρ( f v) Per componenti dv ρ dt dv ρ dt x P ρ fv = x P + ρ fvx = Dalla conservazione della massa, assumendo che la densità non dipenda dal tempo v v x H v = 0 + = 0 x
Equazione barotropica della vorticità Deriviamo la prima rispetto a, la seconda rispetto a x e sottraiamo la seconda alla prima: dv ρ dt dv ρ dt x ρ fv P = x P + ρ fv x = d v v f f dt x x d v v dt x x + vx + v = v x + v H f = 0 0 Osservando che f non dipende espressamente dal tempo e ponendo la vorticità: v ϕ = x v x d dt ( ϕ + f ) = 0
Soluzioni di Rossb dv ρ dt dv ρ dt x ρ fv ρ P = x P + fvx = Cerchiamo soluzioni sotto la forma v = 0; v = Ve ; P = P ( ) e x ik ( x ct ) ik ( x ct) 0 ρ f ρ( f0 + β ) ρ fv = ikp 0 P 0 = V = V ik ik dp0 ikcρv = ρβ d ikcρv = V ik β c = k Poiché f cresce al crescere della latitudine la velocità di fase delle onde di Rossbè negativa: le onde si propagano verso ovest.
Velocità caratteristiche Supponiamo di trovarci ad una latitudine di 45 f 0 df df dφ Ω cos 45 = Ω sin 45 = Ω ; β = = 45 = d dφ d R 45 Ω = 7.910 s; R = 6.37 10 c = (4.1 10 ) L 5 6 13 3 L = 10 km c = 0.41 m / s 4 L = 10 km c = 41 m / s m Le onde di Rossbhanno velocità significative soltanto per grandi (molto grandi) lunghezze d onda.
Onde di Rossb Quando l onda trasversatende a produrre un moto verso l alto, f cresce, la vorticitàdeve diminuire, la curvatura diviene anticiclonica. Quando succede il contrario la curvatura diviene ciclonica.
Pressione in superficie
Modelli di circolazione ad una cella
Immagine generale dei venti
Circolazione generale
Modello a tre celle Ingredienti Temperature elevate all equatore Temperature basse ai poli Distorsione dovuta alla F. di Coriolis Cella di Hadle Circolazione di Ferrel Cella polare
Cella di Hadle 1-risalita di aria per riscaldamento all EQ -deflessione dovuta alla forza di Coriolis 3- Formazione del Jetstream subtropicale 4-Discesa della aria a 30 5-Formazione del maxdi pressione sub-tropicale 6-Movimento dell aria quasi meridionale alla superficie
Cella polare 1-Corrisponde a trasporto di aria, che si raffredda ai poli Meccanismo inverso rispetto all equatore Cella di Ferrel 1-Esiste come cella intermedia tra le altre due -H si forma nei subtropicie L al fronte polare. H è zona di discesa di aria, L di risalita. 3- La cella si dice termicamente indiretta http://whs.moodledo.co.uk/file.php/1365/atmospheric%0sstems/global%0wind%0 Patterns.swf http://geograph.uoregon.edu/envchange/clim_animations/index.html#atmospheric %0Circulation%0and%0Winds