Capitolo 4 STATICA del PUNTO 4.1 Equazioni della statica 4.1.1 Condizioni di equilibrio Ponendo uguali a zero velocità ed accelerazione nelle equazioni della dinamica si ottengono, come caso particolare, le equazioni della statica, ossia le condizioni di equilibrio per un punto soggetto ad un campo di forze esterne. Un punto p libero soggetto ad un campo di forza F = F(P,v) soddisfa la seconda equazione di Newton ma = F. Quindi p è in quiete in una posizione di equilibrio P o se 0 = F(P o,0) Un punto materiale p soggetto ad un campo di forza F = F(P, v) e ad un vincolo esterno soddisfa all seconda legge di Newton nella forma a = F +Φ. (4.1) Tale punto p è in quiete nella sua posizione di equilibrio P o se il vincolo, in tale posizione, è in grado di esplicare una reazione vincolare direttamente opposta alla forza effettiva valutata per valore nullo di v: Φ = F(P o,0) 4.1.2 Problemi sulle condizioni di equilibrio Problema 4.1.1 Qual è la posizione di equilibrio di un punto pesante attratto da un punto fisso con una forza elastica?
52 CAPITOLO 4. STATICA DEL PUNTO Sul punto p agisce il peso mg e la forza elastica F = hpo, h > 0, che lo attrae verso il punto fisso O. La posizione di equilibrio è quella tale che F +mg = 0 ; quindi OP = mg/h. Il punto si trova in equilibrio sulla verticale discendente per O, a distanza mg/h da O. Problema 4.1.2 Trovare le posizioni di equilibrio di un punto soggetto ad n forze elastiche che lo attraggono verso centri fissi. Su p agiscono le n forze elastiche F i = h i PO i, h i > 0. Quindi per l equilibrio si deve avere n h i O i P = 0 Sia ora O un punto prefissato; dalla precedente si deduce n ) h i (O i O +OP = 0 n ( n h i O i O+ h i )OP = 0 da cui n OP = h ioo i n h i L unica posizione di equilibrio è il centro di n vettori paralleli equiversi di lunghezze proporzionali a h 1, h 2,..., h n applicati nei punti O 1, O 2,..., O n.
4.1. EQUAZIONI DELLA STATICA 53 Problema 4.1.3 Trovare le posizioni di equilibrio di un punto pesante vincolato su una linea liscia di un piano verticale. Discutere poi il problema per ogni giacitura del piano. Sul punto agiscono il peso e la reazione vincolare, quest ultima normale alla linea sul piano. Quindi è di equilibrio ogni posizione in cui la reazione è verticale come il peso, ossia ove la linea ha tangente orizzontale. Problema 4.1.4 Trovare le posizioni di equilibrio di un punto vincolato su una linea liscia di un dato piano o su una superficie liscia e sia soggetto ad un campo di forza attiva F = F(P, v). Questo problema evidentemente generalizza quello precedente. Le posizioni di equilibrio sono quelle appartenenti al vincolo in cui la retta o il piano tangenti sono perpendicolari alla forza F(P, 0), valutata per valore nullo della velocità.
68 CAPITOLO 6. CINEMATICA DEI MOTI RIGIDI 6.2 Problemi 6.2.1 Moti rigidi particolari Problema 6.2.1 Un moto rigido è traslatorio se due rette solidali r 1, r 2 non parallele si mantengono di direzione fissa (nello spazio). Denotando con ω la velocità angolare, e con r i i versori delle rette solidali aventi direzione fissa, per le formule di Poisson (Sezione (6.1.3)) risulta dr i dt = ω r i onde ω = 0 se i due versorir i sono linearmente indipendenti. In tal caso il moto è quindi traslatorio. Osservazione 6.2.1 Quanto sopra si riferisce ad un intervallo di tempo e quindi si deduce che il moto è traslatorio. Nel caso invece le ipotesi siano istantanee (ossia si riferiscano ad un istante temporale isolato), la deduzione deve riferirsi all atto di moto, che risulterebbe traslatorio. 6.2.2 Composizioni di moti e di atti di moto rigidi Problema 6.2.2 Dimostrare che la composizione di due atti di moto rotatori intorno ad assi concorrenti in un puntoo è un atto di moto rotatorio intorno ad un asse pero, con velocità angolare pari alla somma delle velocità angiolari dei due atti di moto.
6.2. PROBLEMI 69 Denotiamo con ω i le velocità angolari di due atti di moto rotatori intorno ad assi concorrenti in un puntoo. Componendo gli atti di moto abbiamo v 1P = ω 1 OP, v 2P = ω 2 OP, v P = v 1P +v 2P = ω 1 OP +ω 2 OP = (ω 1 +ω 2 ) OP Dunque abbiamo v P = ω OP con ω = ω 1 +ω 2 Ciò significa che l atto di moto composto è rotatorio con asse di Mozzi la retta a per O parallela al vettore ω = ω 1 + ω 2, che ne è la velocità angolare. Problema 6.2.3 Dimostrare che la composizione di due atti di moto rotatori intorno ad assi paralleli è un atto di moto rotatorio con velocità angolare pari alla somma delle velocità angolari dei due atti di moto, nel caso questa somma non sia nulla. L asse di moto si trova a distanze inversamente proporzionali alle grandezze delle velocità angolari, dalla parte della maggiore se esse sono discordi, o internamente ad esse se concordi. Se invece la somma delle due velocità angolari è nulla, l atto di moto composto è traslatorio.
76 CAPITOLO 6. CINEMATICA DEI MOTI RIGIDI 6.2.5 Disco rigido Problema 6.2.6 Un disco rigido di raggio R rotola senza strisciare su una guida rettilinea x. Sia C il punto di contatto disco-guida e G il centro del disco. Note velocità v G = vc 1 e accelerazione a G = ac 1 di G, determinare velocità e accelerazione di C e dei punti A, D, B disposti agli estremi dei diametri del disco paralleli agli assi x e y. Poiché non c è strisciamento, v C = 0. Per calcolare le velocità usiamo la formula fondamentale della cinematica dei moti rigidi v P = v Q +ω QP (6.23) ove P e Q sono le posizioni di due arbitrari punti del corpo rigido in moto e la velocità angolare ω = ωc 3 è normale al piano del moto, dato che questo è piano. Prima determiniamo ω e la sua derivata temporale ω = ωc 3 da velocità e accelerazione di G che sono date: da (6.23) per P = G e Q = C segue v G = ωc 3 GC, a G = ωc 3 GC (6.24) Per l ortogonalità di c 3 e GC e per il senso orario diθ segue ω = v R, ω = a R (6.25) ω = ωc 3, ω = ωc 3 (6.26)
6.2. PROBLEMI 77 Quindi risulta v A = v G +ωc 3 GA = vc 1 v R c 3 ( Rc 1 ) = v(c 1 +c 2 ) (6.27) e per la (6.7) abbiamo a A = a G a R c 3 ( Rc 1 )+ω 2 Rc 1 = a(c 1 +c 2 )+ω 2 Rc 1 (6.28) Per il punto C abbiamo v C = 0 (6.29) a C = a G + ω GC ω 2 GC = ac 1 a R c 3 ( Rc 2 )+ω 2 Rc 2 = ω 2 Rc 2 (6.30) Inmodo analogo si procede perb ed. Osservazione: la velocità angolare e i calcoli vettoriali sopra vanno riferiti ad una terna solidale; invece i versoric i non sono solidali al disco; i calcoli sopra si interpretano pensando ic i come i vettori solidali al disco GB/R, GD/R e k che istantaneamente si trovano ad essere paralleli ai versori c i della terna di riferimento. Problema 6.2.7 Due ruote dentate di raggi r 1 e r 2 si trasmettono il moto di rotazione. Trovare la relazione tra le rispettive velocità angolari. La condizione di rotolamento puro, o di mancanza di strisciamento, assicurata dagli ingranaggi, è che i punti D 1, D 2 dei dischi che si trovano a contatto, ossia che occupano la posizione C del contatto fra i dischi, devono avere la stessa velocità: ω 1 O 1 C = ω 2 O 2 C.