Errori di misura: di solito vegoo effettuate molte misure idipedeti della stessa gradezza, fio a collezioare u umeroso campioe di misure ma a causa degli errori di misura il risultato varia sesibilmete da misura a misura si defiisce errore = valore misurato valore vero cause di errore: Limiti strumetali Metodi di misura errati Cause accidetali
categorizzazioe degli errori: sistematici misura di u itervallo di tempo usado u orologio che va troppo leto, o troppo veloce. misura della lughezza di u oggetto o i modo perpedicolare all oggetto ( errore di parallasse) casuali o statistici icertezze dovute a cause accidetali e alla limitatezza del campioe di misure gli errori statistici soo riducibili aumetado il umero di misure idipedeti della stessa gradezza aumetado la dimesioe del campioe
ma, ammesso che esista, quale e il valore vero potrebbe ache o esistere se alla base del feomeo i esame vi fosse i gioco ua variabile aleatoria i questo caso sarebbe meglio parlare di errore come di errore = valore misurato valore medio ma quato vale il valor medio? ua ifiita di misure ripetute e per saperlo co certezza si dovrebbero fare se si ha u umero fiito di misure si puo solo tetare di stimarlo co il miimo margie di errore possibile
si assume come stima del valor medio ( vero? ) m della gradezza i esame la media aritmetica dei risultati otteuti elle varie misure la cosiddetta media aritmetica campioaria es. : si siao effettuate misurazioi della stessa gradezza fisica, 2 la media aritmetica delle misure e : + +... + 2 = = i= i la media aritmetica stima il valor vero m, ma co u certo errore m = ( ) uita' di misura problema : come stimare l errore statistico?
come idicatore di dispersioe di ua distribuzioe itoro al suo valor medio si usa la deviazioe stadard campioaria o errore quadratico medio, i iglese root mea square o rms che e defiito come : dev stad. camp.. = ( ) 2 i i= Nota Bee: i= commeto sull uso di ( ) i 2 o di al posto di m i= ( m ) i 2 Nota Bee: 2 ( i ) 2 al posto di ( i ) i i= commeto sull uso di o di =
ua tra le proprieta piu importati della media aritmetica e che l errore statistico della media aritmetica stessa e dato da: dev. stad. camp. ( ) = = ( i ) ( ) i= 2
Itervallo di cofideza si soo effettuate misurazioi idipedeti della stessa gradezza fisica, otteedo :, 2 la miglior stima del valor medio icogito e la media aritmetica delle misure dove i= i = ma ripetedo ua secoda volta misure della stessa gradezza fisica, si potrebbe otteere u diverso isieme di risultati :, 2 la miglior stima campioaria del valor medio icogito cotiuerebbe ad essere la media aritmetica ' dove ' = i= ' i
ma essedo gli i diversi dagli i ' la uova media aritmetica sarebbe diversa duque ache la media aritmetica campioaria varia, imprevedibilmete, da campioe a campioe ossia e essa stessa ua variabile aleatoria come stima della dispersioe della v.a. media aritmetica campioaria si assume la deviazioe stadard campioaria = ( i ) i= come errore sulla media aritmetica campioaria, si assume la deviazioe stadard campioaria ( ) = divisa per la radice di 2
rilevaza della distribuzioe gaussiaa se la distribuzioe di ua serie di variabili aleatorie i co i =, segue la forma fuzioale gaussiaa si puo dimostrare che la media aritmetica delle v. a. sara distribuita i modo gaussiao ache se la distribuzioe delle v. a. i o fosse gaussiaa se >> grazie al teorema del limite cetrale, si puo assumere che la distibuzioe della media campioaria sia gaussiaa ifie istogrammado i risultati di molte misure ripetute ed idipedeti tra loro risulta, molto spesso ma o sempre, che le misure si distribuiscoo i modo gaussiao
duque ella maggior parte dei casi, ma o sempre, - se si stima il valor medio ( vero ) come m = dev. st.( ) m = si ha il 68% di probabilita di fare ua stima esatta - se si stima il valor medio ( vero ) come 2 dev. st.( ) m = 2 m = si ha il 95% di probabilita di fare ua stima esatta - se si stima il valor medio ( vero ) come 3 dev. st.( ) m = 3 m = si ha il 99.7% di probabilita di fare ua stima esatta
il valore della percetuale di probabilita che si desidera otteere, ossia la attedibilita (affidabilita, credibilita, grado di fiducia ) della stima del valor vero che si desidera raggiugere, e detto livello di cofideza
suppoiamo siao state molte fatte misure di precisioe ed idipedeti tra loro, di ua stessa gradezza fisica, e ragioevole attedersi che i risultati o si riproducao perfettamete postulado che il feomeo i esame abbia u carattere aleatorio ossia che l esito della misura sia descrivibile i termii di ua variabile aleatoria si potrao applicare i metodi statistici per il trattameto dei dati sperimetali vale a dire per stimare i parametri della variabile aleatoria icogita
i coclusioe: fare ua misura sperimetale e assimilabile all effettuare u esperimeto aleatorio il risultato otteuto i ua misura equivale al verificarsi di uo tra i tati possibili risultati che ua opportua v.a. puo assumere Vataggio : questa impostazioe permette di ricociliare la o riproducibilita degli esperimeti co i pricipi galileiai Prezzo da pagare : si deve riuciare al determiismo della fisica classica
la statistica predittiva, utilizzado i risultati rigorosi della teoria della probabilita, e i grado di suggerire: quale sia caso per caso il miglior stimatore possibile del valor medio, o valor vero, che di solito, ma o sempre, e la media aritmetica campioaria quale sia il margie di errore co cui si puo fare la stima i fuzioe della umerosita del campioe, ossia di determiare quale sia l errore sulla media aritmetica come valutare quale sia l attedibilita di questa misura i termii di probabilita, ossia come determiare quale sia il livello di cofideza della stima Nota bee: e chiaro che si tratta di previsioi e che per la aleatorieta stessa del feomeo i esame e impossibile prevedere esattamete quale risultato si presetera all atto di ogi sigola prova (misura)
Esempio soo state fatte 25 misure fisica, ad es. il peso di u oggetto i risultati, i grammi, soo : e evidete che i risultati della misura ripetute ed idipedeti tra loro della stessa gradezza misurato co ua bilacia di precisioe.720,.65,.8,.722,.72,.670,.70,.72,.740,.70,.730,.700,.76,.72,.75,.72,.70,.72,.69,.790,.740,.730,.760,.73,.72 o si riproducoo perfettamete o avedo altre iformazioi a disposizioe si dovra stimare il valor medio, del peso ossia il peso medio impropriamete detto peso vero della gradezza icogita, usado soli i dati del campioe di misure effettuate per stimare il valor medio calcoliamo la media campioaria per stimare l errore associato a questa misura utilizziamo l errore sulla media
se i e la i-esima misura i= = i 25 = i= i = 25.7244 2 dev. st. = ( ) i i = 25 2 i= i 25 = = (.7244) 0.0337 l errore sulla media aritmetica e ( ) = dev. st. 0.0337 = = 25 0.0074 arrotodado l errore ad ua sola cifra = 0.007
se il livello di cofideza prescelto e il 68 % il risultato della misura e : m = (.724 0.007) gm oppure m = (.72 0.0) gm al 95% di livello di cofideza oppure m = (.72 0.02) gm al 99% di livello di cofideza da otare la relazioe tra la precisioe e il grado di fiducia, ( livello di cofideza) a parita di umerosita del campioe, a parita di, se ua cresce l altra cala Livello di cofideza Errore assoluto Errore relativo 68% 0.007 0.4 % 95% 0.0 0.58 % 99% 0.02.6 % misura molto precisa ma ci credo poco misura poco precisa ma ci credo molto
Nota sulla presetazioe del risultato se per presetare il risultato otteuto operado co il 68% di livello di cofideza si utilizzasse la covezioe delle cifre sigificative i questo particolare caso il risultato adrebbe presetato come m =.72 gm i effetti m = (.724 0.007) gm sigifica che, secodo la ostra stima, m e compreso tra.77 e.73 duque la secoda cifra del risultato, il 2, o e ua cifra certa Nota Bee: se l errore sulla media fosse risultato miore di 0.004 avremmo dovuto scrivere m =.724 gm
ifie se avessimo operato al 95 e 99 % di livello di cofideza avremmo dovuto presetare il risultato come m =.72 gm
per farsi u idea della forma della distribuzioe dei dati produciamo u istogramma : ) dispoiamo le misure i ordie crescete 2) se ecessario raggruppiamo i dati i itervalli ( bis) e a defiire il bi ci guidao i dati stessi basta valutare quali siao : il biaggio aturale = larghezza del miimo itervallo tra i dati l itervallo di valori = larghezza del massimo itervallo tra i dati la umerosita del campioe dati origiali.720.65.8.722.72.670.70.72.740.70.730.700.76.72.75.72.70.72.69.790.740.730.760.73.72 dati ordiati.65.670.69.700.70.70.70.72.72.720.72.72.72.72.722.730.730.73.740.740.75.760.76.790.8 biaggio aturale bis di 0.00 itervallo di valori : da.65 a.8 umero di bis (.8 -.65)/0.00 = 60 bis ma la umerosita del camioe e di 25 60 bis co soli 25 dati a disposizioe produrrebbero u istogramma co moltissimi bis vuoti bi.65.66.67.68.69.70.7.72.73.74.75.76.77.78.79.80.8 molto poco sigificativo raggruppiamo i dati i bi di larghezza = 0.0 itervallo.650.659.660.669.670.679.680.689.690.699.700.709.70.79.720.729.730.739.740.749.750.759.760.769.770.779.780.789.790.799.800.809.80.89
3) calcoliamo la frequeza ( F i ) co la quale si preseta u particolare risultato ei vari bis 4) Calcoliamo la frequeza relativa ( Fr i ) dividedo la frequeza per il umero totale di misure, ossia ormalizziamo i dati biati alla frequeza relativa 5) grafichiamo la frequeza relativa Misure Frequeza biate.65.66.67.68.69.70.7.72.73.74.75.76.77.78.79.80.8 Frequeza relativa = F i / N tot ( i ) ( F i ) ( Fr i ) 0 0 2 4 6 3 2 2 0 0 0 N tot = S F i = 25 0.04 0 0.04 0 0.04 0.08 0.6 0.24 0.2 0.08 0.04 0.08 0 0 0.04 0 0.04 0.3 0.25 0.2 0.5 0. 0.05 0.65 istogramma delle frequeze relative.67.69.7.73 la forma dell istogramma da ua idea di quale sia la distribuzioe di probabilita della variabile misurata Nota Bee: la frequeza deve essere ormalizzata all uita affiche l istogramma rappreseti ua distribuzioe di probabilita.75.77.79.8
Nota bee : questo costituisce l approccio frequetistico ma oggigioro e sempre piu adoperato ache l approccio bayesiao
Ricapitolado: postulado che effettuare ua misurazioe sia assimilabile ad effettuare u esperimeto aleatorio possiamo recuperare la o riproducibilita degli esperimeti
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