SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE

Prof Lonzi Marco Dispense per il Corso di ANALISI MATEMATICA SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE AA 2015/16

1 SUCCESSIONI Dicesi Successione a valori reali ogni funzione 0À Ä, avente cioè per dominio l'insieme dei numeri naturali Ðo un suo opportuno sottoinsieme comunque infinito Ñ, e codominio, che indicheremo con 0 o con a, contenuto in Al posto della notazione 0, per indicare l'immagine di si usa solitamente scrivere + Una Successione, avendo dominio numerabile, può essere scritta per esteso come: + œ+ß+ß+ß! ß+ß Il termine + viene detto termine generale della Successione, mentre la variabile prende anche il nome di indice Esempio 1 À Vediamo alcuni esempi di successioni : + œ À ß ß ß ß à $ % & + œ À ß ß ß ß à $ % per pari + œ À$&(,,,,,,,, à per dispari + œàß ß $ ß % $ß CARATTERE DI UNA SUCCESSIONE Lo studio di una Successione consiste nella determinazione del suo carattere, ovvero nell'analisi del comportamento del termine generale + quando diventa illimitatamente grande Quindi un numero finito di termini iniziali non avrà rilevanza per la determinazione del carattere Vedremo che le Successioni, riguardo al loro carattere, si dividono in tre tipi: Successioni convergenti, divergenti e indeterminate Diamo anzitutto la Definizione 1 (di Successione limitata) À Una Successione si dice limitata se il suo codominio è un insieme limitato Introducendo in maniera informale il concetto di limite, diremo che il valore è il limite della Successione +, e si dirà anche che la Successione + converge ad, se, all'aumentare dell'indice, i corrispondenti + assumono valori sempre più prossimi ad Esempio 2 À Consideriamo la Successione + œ À ß ß ß ß $ % Si ha che 0 Ó!ßÓ, quindi la Successione è limitata; il suo codominio ha un punto di accumulazione, œ!, che non appartiene ad 0, ed all'aumentare di il termine generale + œ diventa sempre più piccolo rimanendo pur sempre positivo Diremo allora che la Successione + œ è convergente a! Esempio 3 À La Successione + œ è limitata, dato che 0 œ ß, ma non è convergente, in quanto all'aumentare di i valori di + continuano ad assumere, alternativamente, sia il valore che il valore I concetti sopra esposti vengono rigorosamente formalizzati nella Definizione 2 Ðdi limite per una Successione convergenteñ À

2 Si dice che la Successione + converge al valore, e si scrive lim + œ, se scelto Ä un qualunque intorno del punto di ampiezza &! À ½ ß&, con & piccolo a piacere, tutti i termini della Successione, tranne al più un numero finito di termini iniziali, appartengono ad ½ & ß Ovvero, da un certo indice in poi, tutti gli + devono essere contenuti in un opportuno intorno, di ampiezza & piccola quanto si vuole, del punto Utilizzando la metrica euclidea introdotta sulla retta reale, possiamo riformulare la precedente definizione come: Definizione 3 Ðdi limite per una Successione convergenteñ À Si dice che la Successione + è convergente al valore se a&! si può determinare un indice & tale che, a &, si abbia + &, ovvero & + & Ovvero: a&! b & À & Ê + & Quest'ultima definizione di Successione convergente è la rigorosa espressione matematica del concetto intuitivo di convergenza, ovvero gli + assumono valori sempre più prossimi ad Ð+ & Ñquando diventa sempre più grande Ða& Ñ Esempio 4 À Consideriamo la Successione + œ All'aumentare di, il quoziente dei due numeri ed assume valori sempre più prossimi ad, e, a, risulta + Scelto un qualunque &!, imponiamo che sia + œ &, ovvero: & &, e cioè & & La disequazione di sinistra è sempre soddisfatta, mentre quella di destra è vera per, & per cui, posto & œ, ÐÒ Ó è la parte intera Ñ, è verificato che è il limite della Suc- & cessione in quanto, a &, si ha che + appartiene alla parte destra dell'intorno ½ ß& Esempio 5 À Determiniamo il carattere della Successione + œ, verificando, mediante la definizione di limite, il risultato All'aumentare di l'esponente diventa sempre più grande e negativo, per cui l'esponenziale in base tende a zero e quindi + tende a Verifichiamo che la Successione è convergente a imponendo che sia $ + œ & Da questa otteniamo $ $ &, ovvero &, in quanto un'esponenziale è sempre polog sitiva, poi $ log, e quindi & & $ log & Posto & œ, a & sarà verificata la nostra disequazione e notando $ che se & Ä!, & Ä, è completata la verifica del limite Esempio 6 À Consideriamo la Successione + œ Quando diventa sempre più grande, il valore dell'esponente tende ad, per cui la Successione è convergente ed il limite vale & Verifichiamolo, imponendo $

3 Si ha che œ per & &, in quanto il termine dentro il & valore assoluto è sempre positivo, per cui dovrà essere log, ovvero log &, quantità che diventa sempre più grande quando & tende a zero Il limite è allora verificato Consideriamo poi Successioni con codominio non limitato Affermare che il codominio 0 della Successione è non limitato significa che per quanto grande si scelga un numero positivo &, al di fuori dell'intervallo & ß & si trovano sempre elementi della Successione + Se in una Successione divergente i termini negativi sono in numero finito, allora si scriverà lim + Ä œ, e si dirà che la Successione + diverge positivamente, mentre si scriverà lim + Ä œ se sono in numero finito i termini positivi, e si dirà che la Successione + diverge negativamente In forma metrica, avremo le seguenti: Definizione 4 Ðdi Successione divergente positivamenteñ À Si dice che la Successione + diverge positivamente Ða Ñ se per ogni & è possibile determinare un indice & tale che, a &, si abbia + & Ovvero À a& b & À & Ê+ & Definizione 5 Ðdi Successione divergente negativamenteñ À Si dice che la Successione + diverge negativamente Ða Ñ se per ogni & è possibile determinare un indice & tale che, a &, si abbia + & Ovvero À a& b & À & Ê+ & Quando sia i termini positivi che quelli negativi sono in numero infinito, e tendono, presi in valore assoluto, a divenire sempre più grandi, si dirà che la Successione diverge oscillando, e questo caso può essere espresso in forma metrica nel modo seguente: Definizione 6 Ðdi Successione divergente oscillanteñ À Si dice che la Successione +, in cui sia i termini positivi che quelli negativi sono in numero infinito, diverge oscillando Ðad Ñ se per ogni &! grande a piacere è possibile determinare un indice & tale che, a & si abbia + & Ovvero À a&!b & À & Ê + & Esempio 7 À La Successione + œ log è divergente a & Infatti, scelto &!, si ha che + & se log &, ovvero per / ; posto & & œ / œ / &, se &, gli + cadono tutti a destra di &, per quanto grande sia &; il codominio è illimitato superiormente, e scriveremo che lim log œ Ä Esempio À Consideriamo la Successione + œ log Dato che + œ log, e visto che i suoi termini sono alternativamente positivi e nega- tivi, la Successione diverge oscillando, e scriveremo lim log œ Ä Esempio 9 À Determiniamo e verifichiamo il carattere della Successione + œ

4 % $ % $ $ Si ha che + œ œ œ œ Quando diventa sempre più grande, diventa sempre più grande e negativo, mentre $ è sempre più prossimo a zero Quindi lim œ Verifichiamolo Ä Scelto un valore &, imponiamo che sia: &, che per la precedente scomposizione equivale a: $ &, ovvero: $ & $ $ Essendo Ð!Ñ, basterà prendere &, affinchè sia verificata la, ovvero il limite trovato & Vale infine la seguente: Definizione 7 Ðdi Successione indeterminatañ À Una Successione che non sia ne divergente ne convergente si dice indeterminata 1 Esempio 10 À La Successione + œ sen ci fornisce un esempio di Successione inde- terminata Infatti, se è pari, si ha + œ! ; se è dispari e tale che œ%5, con 5, allora + œ, mentre per gli altri valori dispari di abbiamo + œ Le varie definizioni di Successione convergente e divergente possono essere unificate considerando, nella cosiddetta retta reale compattificata œ à, e ~ come punti di accumulazione, rispettivamente a destra e a sinistra della retta reale, di ogni insieme illimitato Definiamo allora intorno di l'intervallo Ó&, Ò, ed analogamente intorno di l'in- tervallo Óß& Ò, con & numero scelto a piacere Con questa estensione sia le Successioni convergenti che le Successioni divergenti positivamente o negativamente si diranno regolari ed avremo la: Definizione Ðdi limite generale per una SuccessioneÑ À Si dice che la Successione + converge al limite Ðfinito o infinito Ñ se per ogni intorno di esiste un indice tale che, a, + appartiene a detto intorno Non sono regolari le Successioni indeterminate e quelle che divergono oscillando Principalmente per queste due categorie di Successioni, per motivi che vedremo in seguito, nasce l'esigenza di una nuova definizione che colmi, per così dire, la lacuna della non esistenza del limite MASSIMO E MINIMO LIMITE Considerata una Successione di termine generale +, introduciamo anzitutto il concetto di maggiorante e/o minorante definitivo mediante le Definizione 9 Ðdi maggiorante e/o minorante di una SuccessioneÑ À Un numero M è detto maggiorante Ðminorante Ñ di una Successione + se, a, risulta + Ÿ M Ð+ M Ñ Definizione 10 Ðdi maggiorante e/o minorante definitivoñ À Un numero M è detto maggiorante Ðminorante Ñ definitivo per la Successione + se esiste un indice tale che + Ÿ M, a Ð+ M, a Ñ!!!

5 Mentre i maggioranti ed i minoranti sono tutti quei valori rispettivamente maggiori e minori di ogni elemento della Successione, maggioranti e minoranti definitivi sono quei valori che, da un certo indice! in poi, sono, rispettivamente, maggiori e minori dei soli elementi della Successione corrispondenti ad indici! Abbiamo allora la Definizione 11 ÀÐdi massimo e/o minimo limite di una Successione Ñ: Si dice massimo limite di una Successione +, e si indica con Max lim +, l'estremo inferiore Ä dell'insieme dei maggioranti definitivi Si dice minimo limite di una Successione +, e si indica con Min lim +, l'estremo superiore Ä dell'insieme dei minoranti definitivi Se una Successione + è illimitata superiormente, si porrà Max lim + œ, mentre per Ä una Successione illimitata inferiormente porremo Min lim + œ Ä Si può dimostrare che valgono i seguenti: Teorema 1 À Se la Successione + è limitata superiormente, allora: Max lim + inf sup ; Ä œ + 5 5 se la Successione + è limitata inferiormente, allora: Min lim + sup inf Ä œ + 5 5 Teorema 2 À Il valore è il massimo limite della Successione + se e solo se: 1 Ña&! esiste un indice & tale che a & si abbia: + &, e 2 Ñ a&! esistono infiniti per cui: & + Il valore è il minimo limite della Successione + se e solo se: 1 Ñ a&! esiste un indice & tale che a & si abbia: & +, e 2 Ña&! esistono infiniti per cui: + & Si noti come non si richieda che le condizioni 2 Ñ siano soddisfatte a &, ma solo per infiniti valori dell'indice La caratteristica saliente del massimo e del minimo limite è quella di esistere per qualunque Successione, ed i concetti di massimo e minimo limite sono utili principalmente per le Successioni non regolari, in quanto vale il Teorema 3 À Si ha che lim + œ se e solo se Max lim + œ Min lim + œ Ä Ä Ä Esempio 11 À Determiniamo il carattere della Successione + œ sen All'aumentare di abbiamo il prodotto tra due quantità positive di cui la prima diventa sempre più grande, mentre la seconda assume periodicamente valori compresi tra! e Verifichiamo che Max lim sen œ e che Min lim sen œ! Ä Ä La prima affermazione si verifica dimostrando che la Successione è illimitata superiormente )5 1 $ )5 1 Infatti, se, con 5, si ha che sen, per cui sarà: % % sen & per &, con & grande a piacere

6 Per verificare la seconda, notiamo che sen!, a, e che sen & implica sen &, ed esistono infiniti valori per cui questa è soddisfatta, come si può vedere da un & confronto grafico tra e sen TEOREMI SUI LIMITI Enunciamo ora vari Teoremi utili a stabilire la convergenza di una Successione o le proprietà di una Successione convergente Teorema 4 À Ogni Successione convergente è limitata Dimostrazione À Se lim + œ, allora a!b À Ê + Ä & & & & Consideriamo la seguente somma W œ +! + + & & Qualunque sia avremo che + W Infatti, se Ÿ &, + è un addendo di W, e quindi ne è minore, se invece &, da + & segue + & Ÿ &, da cui la tesi ñ Teorema 5 Ðdi unicità del limiteñ À Il limite di una Successione, se esiste, è unico Dimostrazione À Supponendo per assurdo che sia lim + œ e lim + œ, con Ä Ä Á, scegliamo & Gli intorni ½ ß& e ½ ß&, avendo un'ampiezza minore della distanza dei loro centri, non hanno punti in comune Se fossero veri ambedue i limiti, per la definizione di limite, da un certo & in poi tutti gli + dovrebbero appartenere a ½ ß& e da un certo & in poi, analogamente, a ½ ß& Preso il più grande dei due indici, & œ max & ß &, a & si dovrebbe avere che + ½ ß & e che + ½ ß& e questo è assurdo, da cui la tesi Supponendo poi sempre per assurdo che sia lim + œ e lim + œ, dovrebbe Ä Ä risultare, per il primo limite, + & e per il secondo + &, palesemente assurda se & & Dimostrazione analoga nell'ipotesi di lim + œ ñ Ä Teorema 6 Ðdella permanenza del segnoñ À Se lim + œ, con!, allora esiste un in- Ä dice tale che, a, risulta +! Ovvero, se la Successione converge ad un valore positivo, da un certo indice in poi i suoi elementi hanno tutti lo stesso segno del limite, ovvero sono positivi Dimostrazione À Scelto & œ, per la definizione di limite esiste œ & tale che, a &, si ha + &, da cui + & œ!, cioè la tesi ñ Il Terema della permanenza del segno permette quindi di dedurre, dal segno del limite, il segno degli elementi della Successione Vediamo in quale forma possa valere l'implicazione inversa, ovvero dedurre dal segno degli elementi della Successione il segno del limite Vale il seguente: Teorema 7 À Sia data una Successione + e sia, a!, +! Allora, se lim + Ä esiste, si ha che lim +! Ä

7 Dimostrazione À Per assurdo, sia + œ, con! Scelto lim œ, per la defini- Ä & zione di limite, dovrebbe esistere & tale che, a &, si abbia + &, che però equivale a & + & œ!, assurda in quanto +! ñ Si può quindi concludere, ad esempio, che una Successione a termini positivi non può avere un limite negativo Teorema Ðdel confrontoñ À Siano +,, e - tre Successioni tali che, almeno da un certo indice! in poi, risulti + Ÿ, Ÿ- Allora, se lim + œ œ lim -, sarà anche lim, œ Ä Ä Ä Inoltre, se lim, œ allora lim - œ mentre se lim, œ allora lim Ä Ä Ä Ä + œ Dimostrazione À Scelto &!, da un certo indice & in poi tutti gli + ed i - apparterranno ad uno stesso intorno ½ & ß e, dato che + Ÿ, Ÿ-, a questo intorno non potranno che appartenere anche tutti i,, da cui la prima tesi Nelle altre due ipotesi abbiamo che la Successione, è illimitata, nel primo caso superiormente e nel secondo inferiormente, per cui si ha, rispettivamente, che - è superiormente illimitata o che + è inferiormente illimitata, da cui la tesi ñ OPERAZIONI SULLE SUCCESSIONI Date due Successioni di termini generali + e,, si definiscono la somma, la differenza, la combinazione lineare, il prodotto, il reciproco, il quoziente ed il valore assoluto delle Successioni + e, come nuove Successioni aventi per termine generale, rispettivamente, la somma, la differenza, la combinazione lineare, il prodotto, il reciproco, il quoziente ed il valore assoluto dei termini generali + e, Vediamo ora un Teorema d'importanza fondamentale, in quanto ci esprime la relazione che intercorre tra il carattere di queste nuove Successioni e quello delle Successioni + e, Teorema 9 À Siano date due Successioni convergenti + e,, tali che lim + œ e Ä lim, Ä œ Allora si ha che: 1 Ñ lim +, œ ; lim +, œ ; Ä Ä 2 Ñse 5 ß5, allora lim 5 + 5, œ5 5 ; Ä 3 Ñ lim +, œ ; Ä 4 Ñ se Á!, allora lim œ ; Ä+ + 5 Ñ se Á!, allora lim œ ; Ä, 6 Ñ lim + œ Ä Dimostrazione À Vediamo le dimostrazioni relative alla somma e alla differenza Scelto &!, dato che lim + œ e lim, œ, esisteranno due indici, e per i Ä Ä quali si ha: a : + & e a :, & Preso œmax ß, a sarà +, Ÿ +, &, ovvero la tesi per la somma, e sarà anche: +, œ +, Ÿ +, &, e quindi la tesi per la differenza

Nel caso del prodotto, dato che la Successione + è convergente, per il Teorema 4 essa è limitata, quindi, a, + M ; scelto &!, determiniamo come nel caso della somma; a avremo che : +, œ +, + + Ÿ Ÿ +, + + œ +, + M & &, ovvero +, & M, da cui la tesi Consideriamo ora il punto 4 Ñ, cioè il limite del reciproco Dato che lim + œ, con Ä Á!, per il Teorema della permanenza del segno si può determinare un indice tale che, a seconda del segno di, a si abbia +! oppure +!, ma in ogni caso certamente +!, per cui si potrà determinare un valore $! tale che + $! Avremo quindi che: + œ & &, ovvero la tesi per il reciproco + + + $ Per quanto riguarda il punto 5 Ñ, ovvero il limite del quoziente, basta considerare il rapporto tra + e, come il prodotto tra + ed il reciproco di,, e quindi, da 3 Ñe 4 Ñ, segue la tesi Infine, per il punto 6 Ñ, avremo + Ÿ + &, cioè la tesi, ed è bene far notare come non sussista il viceversa, ovvero se lim + œ può accadere che lim + Ä Ä valga oppure oppure non esista ñ Questo Teorema sancisce, sotto condizioni molto generali, la scambiabilità della operazione di passaggio al limite con le quattro operazioni dell'aritmetica e con il valore assoluto Si possono sintetizzare i risultati trovati dicendo che il limite di una somma è dato dalla somma dei limiti, il limite di un prodotto è il prodotto dei limiti, ecc á Senza darne dimostrazione, enunciamo anche il Teorema 10 À Date due Successioni + e, convergenti, con +!, a, e sia lim + œ Á! e lim, œ ; allora si ha che lim + œ, Ä Ä Ä FORME INDETERMINATE I precedenti Teoremi non valgono quando il risultato si presenta in una delle cosiddette forme indeterminate, che di seguito elenchiamo:!!! ;! ; ; ; ;! ;! Si può avere il primo caso quando si considera la differenza di due Successioni ambedue divergenti positivamente oppure la somma di una Successione divergente positivamente con una divergente negativamente; il secondo caso si può incontrare nel prodotto tra una Successione convergente a zero e una Successione divergente; similmente per il terzo e quarto caso, che provengono dal quoziente di due Successioni, mentre gli ultimi tre casi si possono incontrare per Successioni costruite come quella del Teorema 10 Quando il risultato del limite si presenta sotto forma indeterminata, questo non è mai un risultato definitivo, che dovrà invece essere ottenuto mediante opportune semplificazioni o trasformazioni, oppure usando Teoremi che vedremo nel seguito Esempio 12 À Determiniamo il carattere della Successione + œ Passando al limite, abbiamo la forma indeterminata Ma si ha anche: lim œ lim Ä Ä œ

9 œ lim œ lim œ! Ä Ä La Successione data è quindi convergente ed il suo limite vale! Vediamo invece alcuni casi che non conducono a forme indeterminate Anzitutto lim + quando una delle due Successioni è divergente e l'altra tende ad un Ä, limite finito oppure è indeterminata, ma sempre comunque limitata Esempio 13 À Determiniamo il carattere della Successione + œ sen Posto, œ e - œ sen, si ha che la Successione, è divergente positivamente, mentre la - è indeterminata Infatti, per la - si può dire solo che Ÿ sen Ÿ, cioè che la Successione è limitata Avremo allora che + è divergente positivamente Infatti sen, per cui, scelto & grande a piacere, basta prendere & perchè sia verificata la definizione di limite per una Successione divergente positivamente Non è indeterminato il lim + quando una delle due Successioni converge a zero e l'al- Ä, tra, qualunque sia il suo carattere, è limitata, per cui anche il prodotto converge a zero + Non è indeterminato il lim quando + Ä! e, Ä Ðe quindi il quoziente tende a Ä, zero Ñ, oppure quando + Ä e, Ä! Ðe la frazione tende all'infinito, del quale resta poi da stabilire il segno Ñ sen Esempio 14 À Determiniamo il carattere della Successione + œ Il numeratore è limi- tato, mentre il denominatore aumenta illimitatamente, per cui sarà + œ! Infatti si ha: lim Ä sen e quindi basta prendere, perchè sia soddisfatta la definizione Ÿ & & di limite per una Successione convergente a zero Non è poi indeterminato il lim +, quando + Ä e, Ä, nel qual caso si ha Ä, Ä,,, mentre tende a quando che lim + œ!, oppure quando + Ä! e, Ä, per cui si ha che +, tende a zero se, Ä +, Ä SUCCESSIONI MONOTONE Diamo ora la seguente Definizione 12 ÀÐdi Successione monotòna Ñ : Una Successione + si dice monotòna se, da un certo indice! in poi, aß :!, si ha che: + Ÿ +, ÐSuccessione monotòna crescente Ñ, oppure + +, ÐSuccessione monotòna strettamente crescente Ñ, oppure + +, ÐSuccessione monotòna decrescente Ñ, oppure + +, ÐSuccessione monotòna strettamente decrescente Ñ Per le Successioni monotòne vale il seguente Teorema 11 À Ogni Successione monotòna è regolare, ed inoltre si ha: lim + Ä œ Sup 0 se + è crescente, lim + œ Inf 0 se + è decrescente Ä

10 Dimostrazione À Proviamo solo la prima parte della tesi, potendosi con procedura analoga dimostrare l'altra Distinguiamo due casi : + non limitata e + limitata Sia + crescente e non limitata Allora, a&! esiste almeno un indice & tale che + & &; preso &, essendo la Successione crescente, sarà anche: + + & &, a &, e quindi avremo che lim + œ œ Sup 0 Ä Sia poi + crescente e limitata; ovviamente, a, + Ÿ Sup 0 Per la definizione di Estremo superiore, a&! si può determinare almeno un indice & tale che Sup 0 & + & Sup 0 a &! si ha, dato che la Successione + è crescente: + + &, e da + Sup 0 segue Sup 0 & + Sup 0 e quindi & implica che + Sup 0 & per ogni indice &, ovvero che lim + œ Sup Ö0 Ä Procedendo in modo analogo si dimostra la seconda parte della tesiñ Esempio 15 À Utilizziamo questo Teorema per studiare la Successione + œ Verifichiamo anzitutto che essa è crescente, ovvero facciamo vedere che: + œ œ œ œ+ Questa disequazione è soddisfatta quando:, ovvero se Ma questa è sempre vera, come si vede subito sostituendo, nella disuguaglianza di Bernoulli 2 2, ad 2il valore Usando varie procedure, si può poi dimostrare che, a, risulta Ÿ $ Quindi la Successione è monotòna crescente e limitata, per cui, per il Teorema precedente, ammette limite finito Il valore di questo limite è un numero irrazionale, molto importante nell'analisi matematica, che viene denotato con la lettera /, si chiama numero di Nepero e vale circa / µ œ ())))%& Esempio 16 À Determinare il carattere della Successione + œlog log Se passiamo al limite, il termine dentro parentesi presenta una forma indeterminata del tipo Ma si ha anche: lim log log œ lim log œ lim log œ Ä Ä Ä œ lim log œ œ log Ä / La Successione è quindi convergente al limite SUCCESSIONI DI CAUCHY Vediamo ora l'importante Definizione 13 Ðdi Successione di CauchyÑ À

11 La Successione + si dice Successione di Cauchy se a&! si può determinare un indice & tale che, per ogni coppia di indici e : &, &, si ha + + & Oppure, equivalentemente: Una Successione + si dice di Cauchy se a&! si può determinare un indice & tale che, per ogni & e qualunque sia :, si ha + + & : Si può dimostrare che vale il seguente: Teorema 12 À In, una Successione + è convergente se e solo se è di Cauchy Questo Teorema equivale ad affermare che condizione necessaria e sufficiente affinchè una Successione sia convergente è che a&! esista un indice &, tale che, per ogni coppia di indici e, &, &, si abbia + + & E' bene notare come nella condizione di Cauchy non compaia il valore del limite della Successione TEOREMI DI CESARO Daremo ora una rassegna di Teoremi, particolarmente utili per la determinazione del carattere di una Successione, ed in particolar modo per la risoluzione delle forme indeterminate Vale anzitutto il seguente: Teorema 13 À Siano date due Successioni a termini positivi + e, ; se + è convergente e se,, + almeno da un certo indice! in poi, risulta Ÿ, allora anche, è convergente, +, + Dimostrazione À Essendo le Successioni a termini positivi, dalla Ÿ otteniamo, +,,, Ÿ, cioè la Successione di termine generale è monotòna decrescente, inoltre è a + + + termini positivi, quindi è inferiormente limitata dallo!, ed allora, per il Teorema 11, ha limite finito Poichè lim, œ lim +,, per il Teorema sul limite del prodotto segue la tesi ñ Ä Ä + Teorema 14 Ðdi CesàroÑ À Siano + e, due Successioni, e sia, monotòna divergente Ðposi- + + tivamente o negativamente Ñ Se esiste, finito o infinito, lim, allora esiste anche Ä,, + + + + lim ed è uguale, ovvero lim œ lim Ä, Ä, Ä,, Dimostrazione À Prendiamo il caso di, Successione monotòna divergente positivamente e + + sia lim œ5 R Per la definizione di limite, avremo che a&! esiste & Ä,, + + + + tale che, a & si ha 5 &, ovvero 5& 5&, ed,,,, essendo, per ipotesi crescente, sarà,,!, e quindi avremo: 5 &,, + + 5 &,, Se scegliamo un qualunque indice &, e prendiamo, sostituendo nell'ultima disequazione, al posto di, di volta in volta,,, ecc fino ad, avremo: 5 &,, + + 5 &,,, 5 &,, + + 5 &,,, 5 &,, + + 5 &,,, 5 &,, + + 5 &,,,

12 dalle quali, sommando termine a termine, si ha: 5 &,, + + 5 &,,, e dividendo per,!, otteniamo :, + +, + 5 & 5 &,,,,,, nella quale, passando al limite per Ä, dato che lim, œ, e dato che + e Ä, sono costanti, otteniamo: + + + 5& 5& œ œ5,, che equivale a lim lim Ä, Ä,, ovvero la tesi + + Vediamo ora il caso lim œ Scelto &!, per la definizione di limite Ä,, + + esisterà un indice & tale che per ogni & si ha &,, Dato che lim, œ + + e lim œ, sarà anche + +!, per cui Ä Ä,, + + la precedente disequazione si riduce a & Procedendo come prima, scelto un,, qualunque indice &, preso, e dato che,,!, si ha: + + &,,, + + &,,, + + &,,, + + &,,, dalle quali, sommando termine a termine, abbiamo : + + &,,, e dividendo per,! otteniamo: + +, &, da cui, passando al limite, e dato che À,,, lim, œ, si ha + &, ovvero lim + œ lim + œ ñ Ä, Ä, Ä, log Esempio 17 À Determinare il carattere della Successione + œ log Se calcoliamo lim, questo si presenta nella forma indeterminata Ä Le Successioni + œ log e, œ soddisfano le ipotesi del Teorema 14, per cui è: log log lim œ lim log œ log lim œ log œ! Ä Ä Ä per cui lim log log lim œ log œ! e quindi la Successione + log œ è Ä Ä convergente a! 5 Esempio 1 À Determinare il carattere della Successione + œ, con 5, 5 Dato che anche questo limite si presenta nella forma indeterminata, come nel caso precedente applichiamo il Teorema 14 ed avremo: 5 5 lim œ lim 5 5 œ, in quanto 5, per cui À Ä Ä 5 lim Ä œ

13 Teorema 15 ÀÐdi Cesàro Ñ : Date due Successioni + e,, con lim + œ lim, œ!, sia Ä Ä + + inoltre, monotòna Ðcrescente o decrescente Ñ Se esiste, finito o infinito, lim, Ä,, + + + + allora esiste anche lim ed è uguale, ovvero lim œ lim Ä, Ä, Ä,, La Dimostrazione di questo secondo Teorema di Cesàro si ottiene in modo analogo a quella del primo Teorema, distinguendo i casi, per il quoziente delle differenze, di un limite finito e di uno infinito E' comunque bene far notare come i Teoremi 14 e 15 non siano invertibili, ovvero, se esiste + + + lim non è detto che esista il lim Ä, Ä,, Dai Teoremi di Cesàro si ricavano poi i seguenti: Teorema 16 À Data la Successione -, esista, finito o infinito lim -; allora è anche: Ä - - - lim œ lim - Ä Ä Ovvero, la media aritmetica dei termini di una Successione tende allo stesso limite della Successione Dimostrazione À Poniamo + œ- - - e, œ Applicando il Teorema 14 si + + + ha: lim œ lim s œ lim e quindi la tesi ñ Ä,, Ä Ä, Esempio 19 À Determiniamo il Carattere della Successione - œ Essendo - œ, posto + œ, utilizzando il Teorema 16 avremo: lim - œ lim + œ lim œ!, e quindi la Successione data converge a! Ä Ä Ä Teorema 17 À Sia - una Successione a termini positivi, ed esista, finito o infinito, lim - ; Ä allora è anche lim - - - œ lim - Ä Ä Ovvero, la media geometrica dei termini di una Successione tende allo stesso limite della Successione Dimostrazione À Poniamo ora + œ log - log - log - e, œ Applicando il + Teorema 14 al quoziente, avremo:, + + + lim œ lim log s œ log lim s œ lim œ Ä,, Ä Ä Ä, log - log - log - œ lim œ lim log - - - œ Ä Ä œ log lim - - -, da cui la tesi ñ Ä + Teorema 1 À Data la Successione a termini positivi +, esista, finito o infinito, lim ; Ä + + allora esiste lim e risulta lim + + œ lim Ä Ä Ä + + + $ + Dimostrazione À Poniamo, œ +,, œ,, $ œ,,, œ + + + Avremo allora,,,, œ + da cui, per il Teorema 17, sarà anche: $

14 + lim œ lim, œ lim,,, $, œ lim + ñ + Ä Ä Ä Ä Esempio 20 À Determinare il carattere della Successione + œ Applicando il Teorema 1, abbiamo lim œ, per cui sarà anche lim œ Ä Ä Esempio 21 À Determinare il carattere della Successione + œ x x Per il Teorema 1, avremo lim œ lim œ, per cui sarà anche Ä x Ä lim xœ Ä Esempio 22 À Determinare il carattere della Successione + œ 5, 5, 5! 5 Usiamo il Teorema 1 Avremo, calcolando lim œ, da cui lim 5œ Si noti poi Ä5 Ä come, per raggiungere il risultato, non serva distinguere i casi!5 e 5 Se il radicando è costante, quindi, all'aumentare dell'ordine della radice il risultato tende sempre ad + Teorema 19 À Sia data la Successione a termini positivi +, e sia lim œ 5, con Ä +!Ÿ5; allora è anche lim + œ! Ä Dimostrazione À Per il Teorema 1 sarà anche lim + œ 5, e quindi, in base alla defini- Ä zione di limite, scelto & À!5&, avremo che, da un certo indice & in poi, sarà:! + &, ovvero + &, ma essendo &, sarà lim & œ!, e per il Teorema del Ä confronto, segue la tesiñ 5 Esempio 23 À Determinare il carattere della Successione + œ, 5, 5 x + 5 x 5 Usando il Teorema 19, avremo lim lim lim Ä + œ Ä x 5 œ Ä œ! 5 Essendo questo risultato minore di, si ha che lim œ! Äx Esempio 24 À Determinare il carattere della Successione + œ x + x Usiamo ancora il Teorema 19, e quindi calcoliamo lim œ lim Ä + Ä œ x œ x œ lim œ œ lim lim Ä x Ä Ä / x Essendo il valore di questo limite minore di, avremo allora che lim œ! Ä Ovviamente, vista la dimostrazione del Teorema 19, varrà anche il Teorema 20 À Sia data la Successione a termini positivi +, e sia lim + œ 5, con!ÿ5; allora è anche lim + œ! Ä Ä

15 Nell'esempio che segue si ordinano le Successioni elementari divergenti in base alla loro maggiore o minore rapidità nel tendere a Esempio 25 À Date le Successioni divergenti À Ñ + œ, 2 Ñ + œ log, 3 Ñ + œ, 4 Ñ + œ x, α 5 Ñ + œ Ð!α Ñ, 6 Ñ + œ Ð Ñ, 7 Ñ + œ5 Ð5Ñ, ordiniamole secondo la loro rapidità nel tendere a Per ottenere questa classificazione, sapendo che sono tutte divergenti, ci baseremo sul risultato del lim E precisamente: + Ä, + se lim œ5, 5Á!, le due Successioni divergono con la stessa rapidità; Ä, + se lim œ!, la Successione a denominatore diverge con rapidità maggiore; Ä, + se lim œ, la Successione a numeratore diverge con rapidità maggiore; Ä, + se lim non esiste, le due Successioni non sono confrontabili Ä, α Confrontiamo 6 Ñ e 5 Ñ Avremo che lim œ lim œ, in quanto α!, Äα Ä quindi 6 Ñ diverge più rapidamente di 5 Ñ ed allo stesso modo si vede che 6 Ñ diverge più rapidamente di 1 Ñ, mentre 1 Ñdiverge più rapidamente di 5 Ñ L'Esempio 17 ci dice che 1 Ñ diverge più rapidamente di 2 Ñ; l'esempio 1 ci mostra come 7 Ñ diverga più rapidamente di 1 Ñ; l'esempio 23 ci mostra come 7 Ñ diverga meno rapidamente di 4 Ñ; l'esempio 24 ci mostra come 3 Ñ diverga più rapidamente di 4 Ñ Rimangono da confrontare 5 Ñ con 2 Ñ e 6 Ñ con 7 Ñ Vediamo il confronto tra 5 Ñ e 2 Ñ Si ha α / α691, e posto log ed, avremo α 5 : α œ : œ / œ 5 log log log : : 5 Ma Ä se :Ä, e per il Teorema del confronto si ha che 5 Ñdiverge più : rapidamente di 2 Ñ Per il confronto tra 6 Ñ e 7 Ñ usiamo il Teorema 20 Calcoliamo lim œ lim œ, in quanto 5 per cui lim œ!, Ä 5 Ä 5 5 Ä 5 quindi la 6 Ñ diverge più lentamente della 7 Ñ Scrivendo da sinistra a destra, nell'ordine dalla meno alla più rapida, avremo: α log Ð!α Ñ Ð Ñ 5 x SUCCESSIONI DEFINITE PER RICORRENZA Non tutte le Successioni vengono espresse nella forma esplicita Ä+ ; esiste anche un altro modo, quello delle cosiddette Successioni definite per ricorrenza Assegnare una Successione definendola per ricorrenza significa assegnare il primo termine della Successione, +!, ed una relazione analitica che leghi il termine generale + con uno o più dei termini precedenti Sono, ad esempio, Successioni definite per ricorrenza, le seguenti: + œ + œ!! 1 Ñ oppure 2) + œ log + + œ sen +

16 Utilizzeremo questi due esempi per illustrare sommariamente la procedura da seguire nella ricerca del carattere, e quindi del limite, di una Successione definita per ricorrenza Partiamo anzitutto dall'ipotesi che il limite della Successione, finito o infinito, esista, ed indichiamolo con Dato che, ovviamente, lim + œ lim + œ œ lim + 5, a5, passando al limi- Ä Ä Ä te per Ä nella relazione analitica tra i termini generali, si ottiene una equazione nell'incognita, di cui vanno ricercate sia le soluzioni reali che le eventuali soluzioni infinite Prendiamo ad esempio la 1 Ñ; passando al limite in ambedue i membri della seconda equazione, otteniamo œ lim + œ lim log + œ log Ä Ä L'equazione œlog ha soluzione œ, e, come caso limite, vale per œ Si tratta ora di vedere se uno dei due casi può essere quello giusto Vediamo, per induzione, che la Ñ è una Successione i cui termini sono tutti maggiori di ; infatti: +! œ, e supposto +, avremo che + œ log + in quanto log +! Sempre per induzione, vediamo che la Successione è monotòna decrescente Infatti si ha +! œ log œ+, e supposto poi + +, vediamo che da questo segue + + Infatti abbiamo + œ log + log + œ+ Essendo monotòna decrescente, con i termini tutti maggiori di, essa ammette limite finito, e questo non può che essere, tra le due possibili soluzioni, il valore Passando all'esempio Ñ e operando, come prima, il passaggio al limite, avremo l'equazione œ sen L'unica possibile soluzione è œ! Analizzando i termini della Successione, vediamo che essi sono tutti positivi Infatti + œ!, e se!+, allora segue che anche + œ sen +! Per induzione, poi, vediamo che la Successione è decrescente Infatti sen, e supposto + +, da questo segue + œ sen + sen + œ + e quindi la Successione è decrescente, ed essendo i termini tutti positivi, il suo limite non può essere che! SERIE NUMERICHE Data una Successione di termine generale +, Ä +, introduciamo tra i suoi elementi, in modo puramente formale, il simbolo di somma L'espressione: œ! + œ +! + + + è detta Serie numerica di termine generale + E' bene ribadire il carattere puramente formale dell'espressione introdotta, in quanto l'operazione di somma non è definita se il numero degli addendi è infinito Come per le Successioni, anche per le Serie definiremo il cosiddetto carattere, per la determinazione del quale sarà rilevante il comportamento del termine generale + al tendere di all'infinito, mentre avrà solo relativa importanza un qualunque numero finito di termini iniziali Per questo, quando sarà sufficiente, indicheremo una Serie semplicemente con SOMME RIDOTTE - CARATTERE DI UNA SERIE +

17 Data la Serie +, costruiamo da essa una Successione, =, detta Successione delle œ! = œ + ÐSomme Ñ Ridotte, definita per ricorrenza nel modo seguente:!! = œ = + Avremo quindi, per esteso: =! œ +!; = œ +! + œ =! + ; = œ +! + + œ = + ; = œ +! + + + œ = + Definiamo carattere della Serie + il carattere della Successione =, e quindi: Definizione 14 (di Serie convergente) À La Serie + si dice convergente quando lim = esiste ed è finito; Ä Definizione 15 (di Serie divergente positivamente o negativamente) À La Serie + si dice divergente positivamente se lim = œ, si dice divergente ne- Ä gativamente se lim = ; Ä œ Definizione 16 (di Serie indeterminata) À La Serie + si dice indeterminata quando lim = non esiste Ä Definiamo quindi il carattere di una Serie mediante la somma di un numero finito di termini iniziali, da +! fino ad +, cioè la Ridotta -esima, e valutando poi il comportamento di questa somma all'aumentare del numero degli addendi Quando la Successione delle Ridotte è convergente, ovvero lim = œ S, il valore S verrà Ä + œ detto Somma della Serie, e scriveremo, solo formalmente: S Vale anzitutto il seguente: Teorema 21 À Una Serie i cui termini, almeno da un certo indice in poi, siano tutti positivi Ðo tutti negativi Ñ, non può essere indeterminata Dimostrazione: In questo caso infatti la Successione = delle somme ridotte è monotòna Ðcrescente se i termini della Serie sono positivi, decrescente se negativi Ñ, e una Successione monotòna non può essere indeterminatañ Passiamo quindi ad enunciare le seguenti: Definizione 17 di convergenza per una Serie À Si dice che la Serie + è convergente ed ha per somma S se: a&! b & À & Ê = S & Definizione 1 di divergenza positiva per una Serie À Si dice che la Serie + è divergente positivamente se a& b & À & Ê= & Definizione 19 di divergenza negativa per una Serie À

1 Si dice che la Serie + è divergente negativamente se a& b & À & Ê= & + Data una Serie che risulti convergente, sarà: lim = œ lim = : œ S e quindi lim ( = : = ) œ S S œ!, Ä Ä Ä dalla quale, applicando la definizione di limite, otteniamo che: a&! b & À & Ê = : = &, ovvero = : = œ +! + + + + : +! + + œ œ + + + : & Poniamo + + + : œ R ß:, quantità che viene detta Resto di ordine ß: della Serie e rappresenta la somma dei primi : termini della Serie dopo l' -esimo La convergenza può essere quindi così espressa: una Serie è convergente quando il Resto di ordine ß :, con : qualunque, è una quantità che, almeno da un certo indice & in poi, può essere resa piccola a piacere Dovendo questa condizione valere qualunque sia :, si ha, nel caso : œ À a&! b & À & Ê R œ + &, e questo implica che lim + œ! ß Ä Vale quindi il seguente: Teorema 22 Se una Serie è convergente, il suo termine generale è infinitesimo À + Quindi la condizione lim + è necessaria per la convergenza di una Serie, senza essere Ä œ! però, come subito vediamo, sufficiente Esempio 26 À Consideriamo la seguente Serie, detta Serie armonica: Si ha che lim +, ovvero è verificata la condizione necessaria per la convergenza Ä œ! Per far vedere che questa non è però una Serie convergente, consideriamo un caso particolare, ovvero il Resto di ordine, Avremo: R ß œ Se maggioriamo ogni denominatore con la quantità, avendo aumentato i denominatori otteniamo frazioni inferiori, e questa nuova somma sarà minore del Resto R ß; le frazioni sono ora tutte uguali ed otteniamo: R ß œ œ œ, e quindi esiste un Resto, R ß, che a è più grande di, e non può allora essere reso picco- lo a piacere Essendo poi i termini della Serie armonica tutti positivi, essa non può essere indeterminata e non potendo, per quanto visto sopra, convergere, essa è divergente Esempio 27 À Determinare il carattere della Serie œ Calcolando il limite del termine generale avremo: lim œ Á! Non essendo Ä / soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza la Serie, che non può essere indeterminata in quanto a termini tutti positivi, è divergente œ

19 Applicando invece alla Successione = la condizione necessaria e sufficiente di Cauchy ÐTeorema 12 Ñ per la convergenza di una Successione, avremo il seguente: Teorema 23 ÀÐdi Cauchy per la convergenza di una Serie Ñ: Condizione necessaria e suffi- ciente affinchè la Serie + sia convergente è che a&! si possa determinare un indice & tale che per ogni coppia di indici e, &, &, si abbia: = = & Supposto, ponendo œ :, si ha = =, a e a: p & & Da quest'ultima disequazione, sostituendo alle Ridotte = ed = il loro valore, otteniamo: p = : = œ +! + + + + : +! + + œ œ + + + : & Ma + + + : œ R ß:, Resto di ordine ß: della Serie che rappresenta la somma dei primi : termini della Serie dopo l' -esimo La condizione di convergenza di Cauchy può essere quindi espressa dicendo che una Serie è convergente quando il Resto di ordine ß :, con : qualunque, è una quantità che, almeno da un certo indice & in poi, può essere resa piccola a piacere OPERAZIONI SULLE SERIE Date due Serie numeriche, + e,, e scelte due costanti α ß, definiamo la combinazione lineare delle due Serie come la Serie α +, Se le due Serie + e, sono convergenti, ed hanno per Somma rispettivamente S ed S, applicando alle loro Ridotte i Teoremi sulle Successioni, avremo che anche la Serie α +, risulta convergente e la sua Somma vale: α S S La combinazione lineare di due Serie convergenti dà quindi luogo ad una Serie convergente ed avente per somma la combinazione lineare delle somme In particolare, la Somma e la differenza di due Serie convergenti sono anch'esse Serie convergenti Se invece una Serie converge e l'altra diverge, la somma e la differenza risultano Serie divergenti SERIE GEOMETRICHE Dato ;, si dice Serie geometrica di ragione ; una Serie del tipo ;, cioè una Serie i cui termini formino una Progressione geometrica Per una Serie geometrica avremo: = œ ; ; ; da cui, moltiplicando ambedue i membri per ;: ; = œ;; ; e sottraendo dalla seconda uguaglianza la prima: ; = œ; ovvero: = œ ; ; Se calcoliamo lim =, avremo i seguenti casi: Ä -se ;, cioè se ;, allora lim ; œ!, e quindi lim = œ ; la Se- Ä Ä ; rie geometrica è convergente e la sua Somma vale ; ; œ!

20 Ä lim Ä -se ;, allora lim ; œ e la Serie geometrica diverge positivamente; -se ;, ; œ, tenendo però presente che ; assume valori positivi quan- do è dispari e valori negativi quando è pari; la Successione delle Ridotte assume allora valori in quantità sempre piu grandi, ma con segno alternativamente positivo e negativo; si dice in questo caso che la Serie geometrica diverge oscillando (alcuni la classificano come indeterminata); -se ;œ, sarà ; œ œ, per cui = œ, e la Serie œ! œ! geometrica risulta divergente; -se ;œ, infine, otteniamo la Serie œ, per la quale: = œ per pari ; tale Serie geometrica è quindi indeterminata! per dispari œ! $ $ $ $ Esempio 2 À Vediamo il carattere della Serie + œ $ % ) ' œ! Mettendo in evidenza la costante moltiplicativa $ otteniamo: + œ $ œ $, % ) ' œ! œ! ovvero una Serie geometrica di ragione, e quindi convergente La sua Somma sarà allora data da S œ$ œ ) $ % ) ' $ Esempio 29 À Studiamo la Serie + œ & % * ( ) %$ % Isolando i primi due termini e mettendo in evidenza nei rimanenti, si avrà: * ) $ % % ) ' ) $ % + œ œ, & % * $ * ( ) & % * $ œ! ovvero una Serie geometrica di ragione, moltiplicata per % e con l'aggiunta di due ter- $ * mini iniziali Essendo, la Serie sarà convergente con Somma: $ ) $ % '( S œ œ & % * '! $ SERIE A SEGNI ALTERNI Si dice a segni alterni una Serie i cui termini, almeno da un certo indice in poi, assumono segno alternativamente positivo e negativo Scriveremo una Serie a segni alterni nella forma + Per lo studio del carattere delle Serie a segni alterni vale il seguente: œ!

21 Teorema 24 ÐCriterio di Leibnitz) À Sia data una Serie a segni alterni + ; se lim + e se la Successione, almeno da un certo indice in poi, è monotòna de- Ä œ! +! crescente, allora la Serie è convergente Inoltre, le ridotte di indice pari forniscono un valore approssimato per eccesso della Somma della Serie, mentre le ridotte di indice dispari ne danno uno approssimato per difetto; infine, l'errore che si commette calcolando, invece della Somma S della Serie, la Ridotta =, è minore del primo termine non utilizzato, ovvero: S = Ÿ + Dimostrazione: Sapendo che + è monotòna decrescente, avremo che: a Ñ = œ = + + Ÿ = ; b Ñ = œ = + + = ; c Ñ = œ= + Ÿ= Quindi, in base alle disequazioni a Ñ e b Ñ, abbiamo che la Successione delle Ridotte di indice pari è decrescente e quella delle dispari è crescente Inoltre, per la c Ñ, è facile vedere che: = Ÿ = Ÿ Ÿ = œ +! + +, e che = = = œ +! +, ovvero la Successione delle Ridotte di indice pari è limitata inferiormente, mentre quella delle dispari è limitata superiormente Allora esistono finiti lim = œ 5 e lim = œ5, con 5 Ÿ= e 5 =, a Ä Ä Inoltre 5 5 œ lim = = œ lim + œ!, e quindi esiste finito S, valore Ä Ä comune del limite delle Ridotte di indice pari e di quelle di indice dispari, nonchè Somma della Serie a segni alterni Essendo 5 Ÿ= e 5 =, con 5 œ5 œ S, sarà anche: = ŸS Ÿ= da cui: = S Ÿ= = œ + e S = Ÿ= = œ + e quindi, qualunque sia, pari o dispari, si ha: S = Ÿ + ñ Esempio 30 ÀConsideriamo la Serie œ, ovve- x ' %! œ! ro una Serie a segni alterni Verifichiamo che essa converge con il Criterio di Leibnitz Infatti lim + œ lim œ!, ed inoltre + œ, Ä Ä x x x œ + a Quindi sono soddisfatte le due condizioni del Criterio di Leibnitz, e la Serie è convergente Calcoliamo allora, a meno di, la Somma della Serie!!! Esaminando i primi termini della Serie si ha: + ( œ œ e + ' œ œ, e quindi per avere un valore approssimato della Somma S a meno di basterà calcolare la ridotta = ', ossia: ( x &!%!!!! ' x (!!!!!!! = ' œ œ!$'), circa ' %! (! Quindi S!, $'), ovvero:!, $') S!, $')!!!!!!!!! SERIE TELESCOPICHE œ!

22 Limitando la nostra trattazione al caso più semplice Ðsi veda al proposito l'esempio n 31 Ñ di- remo una Serie + Telescopica se ogni suo termine + può essere espresso come differenza di due termini di una stessa Successione,, calcolati per due diversi valori dell'indice, ovvero se: + œ,, 5, con 5 œ! œ! Per le Serie Telescopiche avremo: = œ +! + + + œ œ,!, 5,, 5, 5, 55, 5,, 5,,, 5, per cui, eliminando i termini uguali e di segno opposto, si ottiene: = œ,!,,, 5,,, 5 Passando al limite per Ä, se esiste ed è finito: lim, œ lim, œ œ lim, 5 œ U, avremo anche: Ä Ä Ä lim = œ,,,, 5U, somma di costanti e quindi valore finito Ä! 5 Affinchè la Serie Telescopica + sia convergente occorre quindi che sia convergente la Successione di termine generale,, ed allora la Somma della Serie + è data dalla differenza tra i primi 5 termini della Successione, e 5 volte il valore del limite della, stessa Esempio 31 À Determiniamo il carattere della Serie œ Abbiamo + œ œ œ,,, una volta posto, œ La Serie è quindi Telescopica, e possiamo scrivere: = œ $ $ % da cui otteniamo: = œ Passando al limite si ha lim = œ lim œ, quindi la Serie è convergente con Ä Ä Somma Esempio 32 À Determinare il carattere della Serie À $ La Serie data può essere espressa come differenza di due Serie, ovvero: œ $ $ œ œ œ Essendo queste due Serie convergenti, sarà convergente anche la Serie data e la sua Somma sarà uguale alla differenza delle Somme delle due Serie La prima è una Serie geometrica di ragione, nella quale, però, l'indice parte da e non da $ zero; la sua Somma sarà quindi data da S œ œ $ œ

23 L'altra Serie è convergente ed ha per Somma S œ Ðvedi Esempio precedente Ñ Sarà quindi S œ S S œ Esempio 33 À Consideriamo la Serie log Abbiamo che: œ log œlog log log, per cui la Ridotta = sarà data da: = œ log $ log log log % log log $ log & log $ log % log ' log % log & log ( log & log ' log ) log ' log ( log log $ log log log log log log log dalla quale, dato che ogni termine appare tre volte, due con segno positivo ed una, moltiplicato per, con segno negativo, abbiamo che: = œ log log log œ log log Passando al limite otteniamo che la Serie data è convergente con somma uguale a log Vediamo alcuni criteri utili per determinare la convergenza di Serie che non appartengono alle categorie precedenti SERIE A TERMINI POSITIVI-CONVERGENZA ASSOLUTA Appartengono a questa categoria le Serie numeriche i cui termini, almeno da un certo indice in poi, hanno tutti segno positivo Se i termini sono tutti di segno negativo, si può mettere in evidenza la costante moltiplicativa, riportando così lo studio di tali Serie a quello delle Serie a termini tutti positivi Diamo anzitutto la seguente Definizione 20 di Convergenza assoluta À La Serie + è detta essere assolutamente convergente se è convergente la Serie +, ovvero la Serie avente per termine generale il valore assoluto del termine generale della + Per distinguerla da questa nuova definizione, la precedente definizione di convergenza verrà detta semplice o condizionata Ovviamente, per le Serie a termini tutti dello stesso segno Ðpositivo o negativo Ñ le due definizioni coincidono, così come è facile vedere che se una Serie geometrica converge semplicemente, allora essa converge anche assolutamente e viceversa Vale il seguente Teorema 25 À Se una Serie + converge assolutamente, allora essa converge anche semplicemente, mentre non è vero il viceversa, ovvero una Serie può essere convergente semplicemente senza esserlo assolutamente ß: ß : + Dimostrazione: Sia + convergente assolutamente, ovvero sia convergente + Consideriamo R, Resto di ordine della Serie Avremo, per la disuguaglianza triangolare: R œ + + + Ÿ + + + &, ß: : :

24 in quanto l'ultima quantità non è altro se non il Resto di ordine ß : della Serie +, che è convergente dato che, per ipotesi, + è convergente assolutamente Questo secondo Resto può essere reso piccolo a piacere, ed allora può essere reso piccolo a piacere il Resto della +, che è quindi convergente ñ Per vedere come non valga il viceversa basta considerare la Serie, che risulta œ essere convergente in base al criterio di Leibnitz, ma non assolutamente convergente, in quanto la Serie formata con i valori assoluti dei suoi termini è la Serie armonica, che diverge positivamente CRITERI DI CONVERGENZA ASSOLUTA Questi criteri permettono di stabilire se una data Serie sia o no convergente assolutamente, e si comprende, in base a precedenti osservazioni, come mai vengano anche chiamati criteri di convergenza per le Serie a termini positivi Vale anzitutto il seguente: Teorema 26 Criterio del Confronto À Siano + e, due Serie a termini positivi e sia, da un certo indice in poi, +,, a Si suole dire, in questo caso, che la!! +,, + +,, + +, Serie è una maggiorante della, e che è una minorante della Allora, se converge, converge pure, mentre se diverge, diverge anche Nulla si può invece concludere quando diverge oppure quando converge Dimostrazione: Siano = œ + e 5 œ, le Somme ridotte delle Serie + 5 5 5œ 5œ!! e,, private dei termini iniziali da! a Essendo +! e,!, le due Successioni! = 5 = 5 + = 5,, 5 = + diverge ñ e sono monotòne crescenti, ed inoltre sarà Se converge, è limitata superiormente, per cui è limitata superiormente, e quindi converge Se diverge, allora è illimitata superiormente, quindi è illimitata superiormente, per cui Si può esprimere il Criterio del confronto dicendo che la divergenza della minorante implica la divergenza della maggiorante, mentre la convergenza della maggiorante implica la convergenza della minorante Esempio 34 À Determiniamo il carattere della Serie $ œ! Come si può facilmente verificare, a & si ha che, per cui otteniamo:

25 œ $ $, termine generale di una Serie geometrica di ragione, quindi convergente, ed allora è convergente, per il Criterio del confronto, anche la minorante, e cioè la $ $ Serie data $ Esempio 35 À Determiniamo il carattere della Serie % œ $ Mettendo in evidenza, scriviamo la Serie data come: % $ % œ $ $ $ Essendo, la Serie data è minorante di una Serie geometrica % œ % % $ convergente in quanto di ragione, e quindi è convergente % Esempio 36 À Determiniamo il carattere della Serie $ & œ! Si ha che: œ, e questo è il termine generale della Serie armonica molti- $ & $ $ plicato per ; essendo la nostra Serie una maggiorante della Serie armonica, essa è allora, $ per il Criterio del confronto, divergente Teorema 27 Criterio del Confronto Asintotico À Siano + e, due Serie con, almeno da un certo indice! in poi, +! e,! Allora: + -se lim esiste finito e diverso da zero, + e, Ä, ovvero convergono entrambe o divergono entrambe; hanno lo stesso carattere, + -se lim œ!, quando + diverge, allora diverge anche,, e se, Ä, converge, converge anche + ; + -se lim œ, quando + converge, converge pure,, e se, diverge, Ä, diverge pure + + Dimostrazione : Vediamo anzitutto il caso in cui lim œ _, finito e diverso da zero Ä, Dalla definizione di limite, fissato &!, esiste & tale che a & risulta: +, ovvero: + _ & _ & _ & Preso &!, essendo,!, avremo,, anche:, _ & +, _ & ; per il Criterio del confronto, se converge, converge + Per la, _ & + si ha che + è maggiorante di, _ & ovvero di _ &, +, _ & e quindi converge anche,, mentre se, diverge, diverge pure, _ & e quindi diverge

26 Per la +, _ & si ha che + è minorante di, _ & ovvero di, +,,,, _ & + _ & ; allora, se diverge, diverge _ & e quindi diverge ; se converge, converge e quindi converge Le due Serie quindi hanno sempre lo stesso carattere + Vediamo il caso in cui lim œ! Ä, + Per la definizione di limite, scelto &! esiste & tale che a & si ha: &,, + ovvero &, e quindi:! + &,, Da queste disequazioni si può solo dedurre che + è minorante di &, + Per il Criterio del confronto, ragionando come nel caso precedente, se diverge, allora diverge &, e quindi diverge,, mentre se, converge, allora converge anche e quindi converge + &, + Quando poi lim œ, scelto M!, esiste M tale che a M si ha Ä, + M, da cui + M,, e da questa possiamo dedurre che la convergenza della Serie, + implica la convergenza della,, mentre la divergenza della Serie, implica + ñ la divergenza di % Esempio 37 À Determiniamo il carattere della Serie &( œ! Il termine generale è un quoziente di polinomi, la cui differenza dei gradi è pari a Mediante il Criterio del confronto asintotico valutiamo il termine generale della Serie data rapportandolo con œ, termine generale della Serie armonica % Si avrà: lim &( % œ lim œ %, valore finito e diverso da zero La Ä Ä &( % Serie data e la Serie armonica hanno quindi lo stesso carattere, per cui è di- &( œ! vergente Teorema 2 Criterio del Rapporto À Data la Serie +, sia +!, a! se!ÿ5 : la Serie è convergente + Se esiste lim œ5, allora: se 5Ÿ : la Serie è divergente Ä + se 5œ : il Criterio non fornisce risposta + Dimostrazione: Se lim œ5, a&! si può determinare un indice &! tale Ä +

27 + + che a & risulta 5 &, ovvero 5& 5& + + Da questa otteniamo: + 5 & + + 5 & Esaminiamo il caso 5, e scegliamo & in modo che sia $ œ5& Avremo: + & $ a & ; + & $ + & $ + &, ed iterando questa procedura otteniamo, a & : + + + & $ $ $ + &, ovvero la Serie è una minorante della & + & + $ + & œ $, che è conver- $ & gente in quanto Serie geometrica di ragione $ ; dal Criterio del confronto segue la tesi Con analoga procedura si dimostra che se 5œ! la Serie è convergente Sia poi 5 Analogamente con la disequazione di sinistra, preso & in modo che sia + & $ œ5&, otterremo che la Serie + è maggiorante della Serie $, che è $ & divergente in quanto Serie geometrica di ragione $, per cui anche + è divergente Con analoga procedura si dimostra che per 5œ la Serie è divergente ñ Si possono trovare infine sia Serie convergenti che Serie divergenti per le quali, applicando il Criterio del rapporto, otteniamo un limite 5œ Ecco il motivo per cui, in questo caso, il Criterio non fornisce risposta x Esempio 3 À Studiamo, con il criterio del Rapporto, la Serie œ + x x Si ha: lim œ lim lim Ä Ä œ œ + x Ä x = lim œ lim œ, Ä Ä / e quindi la Serie converge Si può enunciare il Criterio del rapporto anche in quest'altra forma: + Se almeno da un certo indice! in poi si ha che 5, allora la Serie + è + convergente Teorema 29 Criterio della Radice À Data la Serie +, sia +!, a! se!ÿ5 : la Serie è convergente Se esiste lim + œ 5, allora: se 5Ÿ : la Serie è divergente Ä se 5œ : il Criterio non fornisce risposta Dimostrazione: Scelto &!, per la definizione di limite, a & sarà: + 5 &, da cui: 5 & + 5 &

2 Nel caso 5, scelto & in modo che sia $ œ5&, otteniamo dalla disequazione di destra: + $, termine generale di una Serie geometrica di ragione $, quindi conver- gente, e per il Criterio del confronto anche + è convergente Con analoga procedura si dimostra che se 5œ! la Serie è convergente Se 5, scelto & in modo che sia $ œ5&, avremo, usando la disequazione di sini- stra, + $, termine generale di una Serie geometrica divergente in quanto con ragione $, ed allora + risulta, per il Criterio del confronto, divergente Con analoga procedura si dimostra che per 5œ la Serie è divergente ñ 5 Esempio 39 À Vediamo per quali valori di 5 risulta convergente la Serie $ 5 Dato che 5 5 $ œ $ $, la Serie si può considerare una Serie 5 5 œ! œ! 5 5 geometrica di ragione $, che sarà convergente se $ 5 5 Questo è vero per 5 &, e per questi valori di 5la Somma della Serie è la funzione: % $ 5 S 5 œ $ œ 5 5 $ 5 $ Esempio 40 À Determinare per quali valori di 5 converge la Serie 5 œ! Applichiamo il Criterio del rapporto al termine generale della Serie preso in valore assoluto, ed avremo: lim lim ; Ä $ % 5 œ $ % œ 5 $ Ä$ 5 5 quindi la Serie è convergente per, ovvero per 5! e per 5 5 Per 5œ! abbiamo $, Serie che diverge oscillando, mentre per 5œ si ha œ! $, Serie divergente œ! Anche il Criterio della radice può essere riformulato dicendo che: Se, almeno da un certo indice! in poi, si ha che + 5, allora + è convergente + Per il Teorema 1, sappiamo che se esiste lim, allora esiste ed ha lo stesso valore an- Ä + che il lim +, mentre non è vero il viceversa Il Criterio della radice è quindi di portata Ä più generale di quello del rapporto Utilizzando, invece del limite, il massimo limite, avremo : œ!

29 Teorema 30 ÐCriterio del Rapporto 2^ formañ À Data la Serie +, sia, a!, +!, + e sia Max lim œ5 Allora si ha che: Ä + se 5 la Serie è convergente; se 5 il Criterio non fornisce risposta Ed avremo anche il: Teorema 31 ÐCriterio della Radice 2^ formañ À Data la Serie +, sia, a!, +!, e sia Max lim + œ 5 Allora si ha che: Ä se 5 la Serie è convergente; se 5 la Serie è divergente; se 5œ il Criterio non fornisce risposta $ $ Esempio 41 À Determiniamo il carattere della Serie À % % Il termine generale di questa Serie è dato da: 5 $ + 5 œ pari, œ 5 % + œ 5 + 5 œ œ 5 dispari, $ I termini sono tutti positivi ed inoltre lim + œ lim œ lim œ! Ä Ä % Ä Applicando il Criterio del rapporto, avremo che: se l'indice è pari : + % lim œ lim lim Ä Ä œ œ!, + $ Ä $ % mentre se l'indice è dispari : $ + % $ $ lim œ lim lim Ä Ä œ œ + Ä % % + e quindi non esiste lim Se usiamo invece il Criterio della Radice, avremo: Ä + $ pari lim + œ % Ä dispari Non esiste quindi neppure lim + Ä $ %

30 + + Se calcoliamo Max lim, avremo che Max lim œ, quindi nessuna risposta, Ä + Ä + mentre si ha che Max lim + œ $, e quindi la Serie è convergente Ä % Si può comunque dimostrare la convergenza della Serie anche mediante il Criterio del confronto, osservando che +, sia per pari che per dispari % & Vediamo infine altri due criteri per la convergenza delle Serie a termini positivi, che ci limitiamo ad enunciare senza darne dimostrazione: Teorema 32 (Criterio di Cauchy o della Successione decrescenteñà Sia + una Successione a termini positivi monotòna decrescente Allora le due Serie: % ) œ! œ! + e + œ+ + %+ )+ hanno lo stesso carattere, ovvero convergono entrambe o divergono entrambe Esempio 42 À Determiniamo, al variare di α, il carattere delle Serie: α œ Osserviamo anzitutto che deve essere α!, affinchè sia soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza À lim + œ!, Ä Applichiamo il Criterio di Cauchy, potendosi facilmente verificare che i termini no positivi e formano una Successione monotòna decrescente Avranno quindi lo stesso carattere le due Serie: e α α œ œ α α œ œ œ œ + œ α Quest'ultima è una Serie geometrica di ragione, valore minore di se α!, ovvero per α Quindi la Serie, detta armonica generalizzata, converge se α, e diverge se α œ α Ÿ Vediamo infine un ultimo criterio, molto importante non solamente per il suo uso pratico ma soprattutto per il legame che stabilisce tra le Serie numeriche e gli integrali generalizzati di I^ specie, ovvero tra somme infinite nel discreto e somme infinite nel continuo Teorema 33 Criterio del confronto con l'integrale À Sia C œ + B una funzione reale positiva e decrescente, definita ab Sia + œ+ la Successione ottenuta mediante α! la restrizione di +B ai soli valori naturali Allora la Serie + e l'integrale generalizzato di prima specie! +B d Bhanno lo steeso carattere, ovvero convergono entrambi o diver- gono entrambi positivamente Dimostrazione: Dalla decrescenza della funzione Cœ+B segue anzitutto la decrescenza della Successione + Inoltre da ŸBŸ segue + Ÿ+B Ÿ+ A questo punto basta osservare, per la proprietà di isotonia dell'integrale, che: so-

31 + Ÿ + Bd B Ÿ + œ œ!!! Il primo ed il terzo termine sono due Serie numeriche, ma sono anche due integrali generalizzati di I^ specie, aventi per funzioni integrande due funzioni a scala, a valori rispettivamente + e + Applicando il Criterio del confronto segue la tesi ñ E' bene comunque notare come non ci sia, in caso di convergenza, uguaglianza tra il valore dell'integrale e la Somma della Serie Detta S la somma della Serie, vale comunque la seguente disequazione: S + Ÿ + BdBŸS!! Esempio 43 À Determiniamo, usando il Criterio del Confronto con l'integrale, al variare di α, il carattere delle Serie œ α, dette Serie armoniche generalizzate Osserviamo anzitutto che deve essere α!, affinchè sia lim + œ!, condizione necessa- Ä ria per la convergenza, così come sono soddisfatte le ipotesi, essendo le funzioni Cœ continue, positive e decrescenti ab! Preso! œ, avremo: 7 α 7 B Bα Bœ 7Ä B α Bœ 7Ä œ 7Ä 7 α d lim d lim lim α α α se Ora lim 7 œ! α! Ê α, per cui l'integrale e quindi la Serie 7Ä se α!êα convergono se α, mentre l'integrale e la Serie divergono se α Se α œ abbiamo la Serie armonica, che sappiamo essere divergente Quindi la Serie, armonica generalizzata, converge se α e diverge se α Ÿ α œ B α

32 RIORDINAMENTO DEI TERMINI DI UNA SERIE Non valgono, in generale, per le Serie le proprietà associativa e commutativa che invece valgono per la somma di un numero finito di addendi Esempio 44 ÀData la Serie œ$%&', associan- œ! do i suoi termini in due modi diversi, avremo: $% &' œ, Serie divergente negativamenteà $ %& '( œ, Serie divergente positivamente, ovvero due conclusioni inconciliabili tra loro L'errore consiste nell'aver applicato alla Serie la proprietà associativa, che per le Serie, in generale, invece non vale Se poi calcoliamo le Ridotte di questa Serie, avremo: =! œ, = œ, = œ, = $ œ, = % œ $, = & œ $, ovvero le Ridotte diventano in quantità sempre più grandi ma con segno alterno, e quindi la Serie diverge oscillando Diremo che la Serie, è un riordinamento della Serie + se esiste un'applicazione biunivoca < À Ä tale che, œ + < Vale il seguente: Teorema 34 ÀÐdi Riemann-Dini Ñ : Se la Serie + è assolutamente convergente, con somma S, qualunque suo riordinamento genera una Serie convergente con la stessa somma S Se invece una Serie è convergente semplicemente ma non assolutamente, si possono riordinare i suoi termini in modo da costruire Serie che convergano ad una diversa somma, che siano divergenti od anche indeterminate