6. Trasformate e Funzioni di Trasferimento

6. Trasformate e Funzioni di Trasferimento

6.3 Richiami sulla Trasformata di Laplace Definizione La trasformata di Laplace di f(t) è la funzione di variabile complessa s C, (s = σ + jω), F (s) = e st f(t)dt L[f].5 f(t).5 Esempi Funzione impulso (Delta di Dirac) a : { f(t) =δ(t) se t + se t =.5 2 3 4 5 tale che t δ(t) = L[δ] =F (s) = s C Funzione gradino : se t< f(t) =I(t) se t L[I] = F (s) = s a La funzione δ(t) is può considerare come il limite della successione di funzioni f ɛ (t) per ɛ tali che f ɛ (t) = ɛ se t ɛ altrimenti A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 6-

6.3 Richiami sulla Trasformata di Laplace Proprietà della trasformata di Laplace Linearità : L[k f (t)+k 2 f 2 (t)] = k L[f (t)] + k 2 L[f 2 (t)] Esempio: f(t) =δ(t) 2I(t) L[f] = 2 s. Traslazione nel tempo : L[f(t τ)] = e sτ L[f(t)] Esempio: f(t) =3I(t 2) L[f] = 3e 2s s. Traslazione nella frequenza : L[e at f(t)] = F (s a), dove F (s) =L[f(t)] Esempio: f(t) =e at I(t) L[f] = s a Esempio: f(t) =cos(ωt)i(t) L[f] = (Nota: cos(ωt) = ejωt +e jωt 2 ) Derivazione nel tempo a : s s 2 +ω 2 L[ d dt f(t)] = sl[f(t)] f(+ ) Esempio: f(t) =sin(ωt)i(t) L[f] = Derivazione nella frequenza : ω s 2 +ω 2. L[tf(t)] = d ds L[f(t)] Esempio: f(t) =t I(t) L[f] = s 2. a f( + ) = lim t + f(t). Sef è continua in, f( + )=f() A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 6-2

6.3 Richiami sulla Trasformata di Laplace Teorema del valore iniziale : L[f(t)] = F (s) f( + ) lim f(t) = lim sf (s) t + s Esempio: f(t) =I(t) t I(t) F (s) = s s 2 f( + ) = = lim s sf (s) Teorema del valore finale : L[f(t)] = F (s) f(+ ) lim f(t) = lim sf (s) t + s Esempio: f(t) =I(t) e t I(t) F (s) = s s+ f(+ ) = = lim s sf (s) Pierre-Simon Laplace (749-827) A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 6-3

6.4 Funzioni di Trasferimento - T. Continuo Considera il sistema a tempo continuo ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) y(t) = Cx(t)+Du(t) x() = x Applichiamo la trasformata di Laplace a : sx(s) x = AX(s)+BU(s) Y (s) = CX(s)+DU(s) dove X(s) =L[x(t)], U(s) =L[u(t)], Y (s) =L[y(t)]. Esplicitando rispetto a x e U(s): X(s) = (si A) x +(si A) BU(s) Y (s) = C(sI A) x ßÞ Ð Y L (s) +(C(sI A) B + D)U(s) ßÞ Ð Y F (s) Y L (s)=trasformata di Laplace della risposta libera Y F (s)=trasformata di Laplace della risposta forzata Definizione: Lafunzione di trasferimento di un sistema lineare tempo continuo (A, B, C, D) è G(s) =C(sI A) B + D cioè il rapporto fra la trasf. di Laplace Y (s) dell uscita y(t) e la trasf. di Laplace U(s) dell ingresso per u(t) per condizione iniziale nulla x =. a x(t) è una funzione derivabile, e quindi continua x( + ) = x() = x A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 6-4

6.4 Funzioni di Trasferimento - T. Continuo u(t) y(t) U(s) Y (s) A; B; C; D G(s) x = Esempio: Il sistema lineare ¾ ẋ(t) = y(t) = 2 2 x(t) ha per funzione di trasferimento ¾ x(t)+ u(t) G(s) = 2s +22 s 2 +s + Nota: La funzione di trasferimento non dipende dall ingresso! È una proprietà del sistema lineare. A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 6-5

6.4 Funzioni di Trasferimento - T. Continuo Considera l eq. diff. con ingresso dy (n) (t) dt n b m du (m) (t) dt m + a n dy (n ) (t) dt n + + a ẏ(t)+a y(t) = + b m du (m ) (t) dt m + + b u(t)+b u(t) Ponendo condizioni iniziali y(), ẏ(),...,y (n ) () nulle, si ottiene immediatamente la funzione di trasferimento equivalente G(s) = b ms m + b m s m + + b s + b s n + a n s n + + a s + a Esempio: ÿ(t)+3ẏ(t)+y(t) = u(t)+u(t) G(s) = s + s 2 +3s + Nota: la stessa f.d.t. G(s) si ottiene dalla forma matriciale equivalente dell eq. differenziale: G(s) = ẋ(t) = y(t) = ¾ 3 s x(t) ¾ x(t)+ u(t) 3 A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 6-6

6.4 Funzioni di Trasferimento - T. Continuo Alcune funzioni di trasferimento: Integratore ẋ(t) = u(t) y(t) = x(t) U(s) s Y (s) Doppio integratore ẋ (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = u(t) y(t) = x (t) U(s) s 2 Y (s) Oscillatore ẋ (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = x (t)+u(t) y(t) = x (t) U(s) s 2 + Y (s) A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 6-7

6.4 Funzioni di Trasferimento - T. Continuo Antitrasformata di Laplace Data la funzione di trasferimento G(s) = b ms m + b m s m + + b s + b (s p )(s p 2 )...(s p n ) (m <n) possiamo scomporla in fratti semplici (Hp: p i p j ) G(s) = α s p + + α n s p n dove α i è detto residuo di G(s) in p i α i = lim s pi (s p i )G(s) (nota che se p i = p j, allora α i =ᾱ j ) L antitrasformata di Laplace di G(s) è la funzione g(t) tale che L[g(t)] = G(s): g(t) =α e p t + + α n e p nt Nel caso di radici coincidenti (s p i ) k, nello sviluppo si hanno tutti i termini del tipo α i (s p i ) + + α ik (s p i ) k, α ij = la cui antitrasformata è (k j)! lim s p i d (k j) ds (k j) [(s p i) k G(s)] α i e p it + + α ik t k (k )! ep it A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 6-8

6.4 Funzioni di Trasferimento - T. Continuo Risposta all impulso Considera l ingresso impulsivo u(t) =δ(t) U(s) =. L uscita corrispondente y(t) è detta risposta all impulso. La trasformata di Laplace di y(t) è Y (s) =G(s) =G(s). Pertanto la risposta all impulso coincide con l antitrasformata g(t) della funzione di trasferimento G(s) Esempi Integratore u(t) = δ(t) y(t) = L [ s ]=I(t) U(s) s Y (s) Doppio integratore u(t) = δ(t) y(t) = L [ s 2 ]=t I(t) U(s) s 2 Y (s) Oscillatore U(s) u(t) = δ(t) y(t) = L [ s 2 + ]=sint I(t) s 2 + Y (s) A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 6-9

6.5 Poli e zeri u(t) G(s) y(t) Considera il sistema lineare descritto dalla funzione di trasferimento (m <n) G(s) = b ms m + b m s m + + b s + b s n + a n s n + + a s + a = N(s) D(s) Si dicono poli del sistema le radici di D(s) Si dicono zeri del sistema le radici di N(s) A tempo discreto le definizioni sono analoghe Esempio: G(s) = s +2 s 3 +2s 2 +3s +2 = s +2 (s +)(s 2 + s +2) poli: {, 2 + j 7 2, 2 j 7 2 }, zeri: { 2}. A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 6-

6.5 Poli e zeri Considera il sistema lineare ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) y(t) = Cx(t)+Du(t) x() = e la funzione di trasferimento corrispondente G(s) =C(sI A) B + D N(s) D(s) Il denominatore D(s) =det(si A). Quindi i poli di G(s) corrispondono agli autovalori di A. La stabilità del sistema si può quindi studiare sia tramite G(s) che tramite A Attenzione: alcuni autovalori di A possono non risultare poli di G(s). Esempio: A =,B=,C= det(si A) =(s )(s +) G(s) = s s+ = s + Il polo s =non ha influenza sul comportamento ingresso-uscita del sistema, ma ha influenza sulla risposta libera: x (t) =e t x (il sistema è instabile). A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 6-

6.6 Trasformata zeta Definizione La trasformata zeta di f(k) è la funzione di variabile complessa z C, (z = σ + jω), 2 F (z) = f(k)z k Z[f] k= f(k).8.6.4.2.8.6 Esempi Funzione impulso discreto : { f(k) =δ(k) se k se k =.4.2 2 2 4 6 8 Z[δ] =F (z) k Funzione gradino discreto : { f(k) =I(k) se k< se k Z[I] = F (z) = z z Funzione esponenziale discreto : f(k) =a k I(k) Z[f] =F (z) = z z a A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 6-2

6.6 Trasformata zeta Proprietà della trasformata zeta Linearità : Z[k f (k)+k 2 f 2 (k)] = k Z[f (k)] + k 2 Z[f 2 (k)] Esempio: f(k) =3δ(k) 5 2 k I(t) Z[f] =3 5z z 2 Anticipo temporale : Z[f(k +)I(k)] = zz[f] zf() Esempio: f(k) =a k+ I(k) Z[f] =z z z a z = az z a z è detto anche operatore di anticipo unitario Ritardo temporale : Z[f(k )] = z Z[f]. Esempio: f(k) =I(k ) Z[f] = z z(z ) z è detto anche operatore di ritardo unitario Derivazione nella frequenza : Z[kf(k)] = z d dz Z[f] Esempio: f(k) =k I(k) Z[f] = z (z ) 2 A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 6-3

6.6 Trasformata zeta Teorema del valore iniziale : Z[f(k)] = F (z) f() = lim z F (z) Esempio: f(k) =I(k) k I(k) F (z) = f() = lim z F (z) = z z z (z ) 2 Teorema del valore finale : Z[f(k)] = F (z) f(+ ) lim t + Esempio: f(k) =I(k)+(.7) k I(t) F (z) = z z + f(t) = lim(z )F (z) z z z+.7 f(+ ) = lim z (z )F (z) = Witold Hurewicz (94-957) A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 6-4

6.7 Funzioni di Trasferimento - Tempo Discreto Considera il sistema a tempo discreto x(k +) = Ax(k)+Bu(k) x() = x y(k) = Cx(k)+Du(k) Applichiamo la trasformata zeta: zx(z) zx = AX(z)+BU(z) Y (z) = CX(z)+DU(z) dove X(z) =Z[x(k)], U(z) =Z[u(k)], Y (z) =Z[y(k)]. Esplicitando rispetto a x e U(z): X(z) = z(zi A) x +(zi A) BU(z) Y (z) = zc(zi A) x ßÞ Ð Y L (z) +(C(zI A) B + D)U(z) ßÞ Ð Y F (z) Y L (z)=trasformata zeta della risposta libera Y F (z)=trasformata zeta della risposta forzata Definizione: Lafunzione di trasferimento di un sistema lineare tempo discreto (A, B, C, D) è G(z) =C(zI A) B + D cioè il rapporto fra la trasf. zeta Y (z) dell uscita y(k) ela trasf. zeta U(z) dell ingresso per u(k) per condizione iniziale nulla x =. A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 6-5

6.7 Funzioni di Trasferimento - Tempo Discreto u(k) y(k) U(z) Y (z) A; B; C; D G(z) x = Esempio: Il sistema lineare ¾ x(k +) = y(k) =.5.5 ha per funzione di trasferimento x(k) ¾ x(k)+ u(k) G(z) = z +.5 z 2.25 Nota: Anche per i sistemi tempo-discreto, la funzione di trasferimento non dipende dall ingresso, ma è una proprietà del sistema lineare. A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 6-6

6.7 Funzioni di Trasferimento - Tempo Discreto Considera l equazione alle differenze con ingresso a n y(k n)+a n y(k n +)+ + a y(k ) + y(k) = b n u(k n)+ + b u(k ) Ponendo condizioni iniziali nulle, si ottiene la funzione di trasferimento equivalente G(z) = = b n z n + b n z n+ + + b z a n z n + a n z n+ + + a z + b z n + + b n z + b n z n + a z n + + a n z + a n Esempio: 3y(k 2) + 2y(k ) + y(k) =2u(k ) G(z) = 2z 3z 2 +2z + = 2z z 2 +2z +3 Nota: la stessa f.d.t. G(z) si ottiene dalla forma matriciale equivalente dell eq. alle differenze: G(z) = x(k +) = y(k) = ¾ 3 2 2 z 2 x(k) ¾ x(k)+ 3 2 u(k) A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 6-7

6.7 Funzioni di Trasferimento - Tempo Discreto Alcune funzioni di trasferimento: Integratore x(k +) = x(k)+u(k) y(k) = x(k) U(z) z Y (z) Doppio integratore x (k +) = x (k)+x 2 (k) x 2 (k +) = x 2 (k)+u(k) y(k) = x (k) U(z) z 2 2z + Y (z) Oscillatore x (k +) = x (k) x 2 (k)+u(k) x 2 (k +) = x (k) y(k) = 2 x (k)+ 2 x 2(k) U(z) 2 z + 2 z 2 z + Y (z) 2 Risposta all impulso y(k) 2 2 3 4 5 6 k A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 6-8

6.7 Funzioni di Trasferimento - Tempo Discreto Antitrasformata zeta Data la funzione di trasferimento G(z) = b mz m + b m z m + + b z + b (z p )(z p 2 )...(z p n ) (m <n) Analogamente alla trasformata di Laplace, possiamo scomporla in fratti semplici (Hp: p i p j ) G(z) = α z + + α nz z z p z p n dove α i èilresiduo di G(z) in p i α i = lim z p i (z p i )G(z) L antitrasformata zeta di G(z) è la funzione g(k) tale che Z[g(k)] = G(z): g(k) = α p k + + α n p k n I(k ) Esempio. G(z) = g(k) = δ(k)+ Þ m n Ð ß z 2 + m<n Þ Ð ß.5z +.5 z 2.5z +.5 =+ z 2.5z +.5 = + 4z z z 2.5z z.5 4 2.5(.5) k I(k ) A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 6-9

6.7 Funzioni di Trasferimento - Tempo Discreto Risposta all impulso Considera l ingresso impulsivo u(k) =δ(k) U(z) =. L uscita corrispondente y(k) è detta risposta all impulso. La trasformata zeta di y(k) è Y (z) =G(z) =G(z). Pertanto la risposta all impulso coincide con l antitrasformata g(k) della funzione di trasferimento G(z) Esempi Integratore u(k) = δ(k) y(k) = Z [ ]=I(k ) z U(z) z Y (z) 2 2 u(k) y(k) 2 5 k 2 5 k A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 6-2

6.8 Sistemi Algebricamente Equivalenti Rappresentazioni di stato algebricamente equivalenti Considera il sistema lineare x(k +) = Ax(k)+Bu(k) x() = x y(k) = Cx(k)+Du(k) Sia P una matrice invertibile e definiamo un cambio di coordinate z = P x Essendo x = Pz,siha z(k +) = P x(k +)=P (Ax(k)+Bu(k)) z() = P x = P AP z(k)+p Bu(k) y(k) = CPz(k)+Du(k) e quindi z(k +) = Āz(k)+ Bu(k) y(k) = Cz(k)+ Du(k) z() = P x dove Ā = P AP, B = P B, C = CP, D = D. I sistemi (A, B, C, D) e (Ā, B, C, D) si dicono algebricamente equivalenti A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 6-2

6.8 Sistemi Algebricamente Equivalenti Nota: Il legame ingresso/uscita deve rimanere immutato. Infatti Ḡ(z) = C(zI Ā) B + D = CP(zP IP P AP ) P B + D = CPP (zi A)PP B + D = C(zI A) B + D = G(z) Per sistemi a tempo continuo il ragionamento è del tutto analogo A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 6-22