Le superleggi del microcosmo: le teorie della rela2vità alessandro pascolini 2019
Cara;eri della scienza: indagine razionale della natura universalità univocità della valenza linguis2ca formalizzabilità matema2ca coerenza interna potere predi@vo autocri2cismo metodologia di controllo precisi limi2 di validità non coartabilità
La scienza deve essere universale il principio e le teorie della rela2vità
Il principio di rela2vità fissa le condizioni fondamentali per una scienza obie@va e universale: le leggi della natura non possono dipendere da chi e come le osserva, ma solo dai fa;ori dinamici effe@vamente coinvol2. Le teorie della rela2vità seguono dal principio di rela2vità in un dato contesto e formulano esplicitamente le super-leggi alla base di ogni legge di tale contesto.
L introduzione e l uso del principio di rela2vità è merito metodologico di Einstein l an2chità non ne aveva bisogno Galileo lo intravvede e indica elemen2 di una teoria della rela2vità Un nome infelice: Invariententheorie [1905] Rela2vitätstheorie [1911] Kovariantentheorie [1928] troppo tardi! filosofi e giornalis2 ci avevano già messo le mani sopra
Principio di rela2vità di Archimede Le leggi naturali rimangono invariate rispe;o a: - spostamen2 da un posto a un altro - spostamen2 da un momento a un altro se le altre condizioni non mutano... la posizione di un corpo non è una quan2tà assoluta, ma rela2va all osservatore la data e l orario d inizio di un evento non sono grandezze assolute: di un dato fenomeno conta solo la durata
archimede
Principio archimedeo di rela2vità devono trovare le stesse leggi osservatori in luoghi diversi, a tempi differen2, con sistemi di riferimento comunque ruota2 nello spazio purché rigidi
Legge della teoria della rela2vità archimedea In due sistemi di coordinate trasla2 nello spazio e nel tempo, con gli assi ruota2 di un angolo ϕ rispe;o a un asse di rotazione n, le coordinate (x,y,z,t ) sono funzioni lineari delle coordinate (x,y,z,t) espresse dalla formula (x, y, z ) = R(n,ϕ) (x, y, z) (x 0, y 0, z 0 ) t = t t 0 con R funzione dell angolo di rotazione e degli angoli forma2 dall asse n con gli assi coordina2 e con (x 0, y 0, z 0, t 0 ) la traslazione spazio-temporale
Dalle proprietà di invarianza conseguen2 al principio di rela2vità seguono le simmetrie geometriche w lo spazio è omogeneo w il tempo è omogeneo w lo spazio è isotropo w il tempo è isotropo
Alle simmetrie geometriche è associata l invarianza delle grandezze fisiche fondamentali: w omogeneità dello spazio conservazione della quan2tà di moto w isotropia dello spazio conservazione del momento angolare w omogeneità del tempo conservazione dell energia
Il tempo è isotropo? le leggi della meccanica e dell ele;romagne2smo sono invarian2 per inversione temporale passato çè futuro la termodinamica e la teoria cine2ca introducono la freccia del tempo passato è futuro
Il tempo è isotropo? Il principio di conservazione dell energia richiede che tu> gli even? naturali siano conserva?vi. D altra parte, il principio dell incremento di entropia insegna che tu> i mutamen? in natura procedono in una direzione. Da questa contraddizione prende origine il compito fondamentale della fisica teorica, la riduzione di un mutamento unidirezionale a effe> conserva?vi Max Planck
Principio galileano d inerzia lo stato di quiete non si può dis2nguere dal moto re@lineo uniforme sistemi di coordinate galileani o inerziali: sistemi di coordinate rispe;o a cui le stelle fisse risul2no ferme o in moto re@lineo uniforme
Principio galileano d invarianza Le leggi della fisica non cambiano se descri;e in sistemi di riferimento in moto re@lineo uniforme. Devono trovare le stesse leggi osservatori in luoghi diversi, a tempi differen2, con sistemi di riferimento comunque ruota2 nello spazio e in moto re@lineo uniforme rispe;o a un sistema inerziale Gedanken Experiment della nave
Il cronotopo per studiare il movimento di corpi conviene lavorare con even2 anziché con pun2. Un evento è cara;erizzato dalla posizione nello spazio e nel tempo E = (x, y, z, t) e quindi è un punto di uno spazio a qua;ro dimensioni, il cronotopo. Graficamente si usa il diagramma di Minkowski
Trasformazione galileana Rappresen2amo l evento P in due sistemi di coordinate K e K ; consideriamo una sola coordinata spaziale x e il tempo t. K si muova con velocità uniforme v rispe;o a K lungo l asse x. In questo caso si ha la trasformazione galileana x = x vt t = t con il tempo lo stesso sia in K che K.
Trasformazione galileana La trasformazione galileana completa si o@ene aggiungendo le rotazioni e le traslazioni (x, y, z ) = R(n, ϕ) (x vt, y, z) (x 0, y 0, z 0 ) t = t t 0 se la velocità v = (v x, v y, v z ) allora (x, y, z ) = R(n, ϕ) (x v x t, y v y t, z v z t) (x 0, y 0, z 0 )
Combinazione galileana delle velocità - il sistema inerziale K si muova di velocità v rispe;o al sistema inerziale K - il punto P si muova di velocità w nel sistema K nel sistema K il punto P ha velocità w = w + v tenuto conto che le velocità sono dei ve;ori a tre componen2 v = (v x, v y, v z ) w k = w k + v k con k = x, y, z
Il principio di rela2vità galileano impone l equivalenza dei sistemi di riferimento inerziali la simmetria rispe;o a differenze di velocità re@linee uniformi l invarianza dell accelerazione a = a l invarianza del principio d inerzia la conservazione della quan2tà di moto l invarianza della massa
La legge dell addizione delle velocità vale per tu@ i sistemi inerziali, sia sulla terra che per il moto degli astri, sia nel modello tolemaico che in quello copernicano ma vale anche per la velocità della luce?
La velocità della luce è finita lo intuisce Galileo, ma non riesce a misurarla. Ole Christensen Rømer osservando il moto del satellite Io a;orno a Giove trova che la luce nel vuoto percorre oltre 200 milioni di metri al secondo
Velocitat c2
postulato di Einstein (1905) Considerando le proprietà della radiazione ele;romagne2ca, Einstein si convince che la velocità della luce nel vuoto deve essere la stessa per ogni osservatore inerziale c = 299792458 m s -1
Indipendenza 1
la velocità della luce non si somma a quella della sorgente: in un sistema stellare binario (pulsar) due stelle ruotano a;orno al loro centro di massa ed eme;ono radiazione luminosa che viene osservata dagli astronomi: la stella A si avvicina alla terra e la stella B si allontana
intensità luminosa della pulsar binaria Se la velocità della luce si sommasse a quella della sorgente, prima arriverebbe il segnale emesso dalla stella A (che si muove verso la terra) e poi, in ritardo, si sommerebbe quello della stella B (che si allontana) e il segnale osservato sarebbe il (b). Invece si osserva (a) consistente col fa;o che entrambi i segnali si propagano con velocità c
La teoria della rela2vità par2colare si basa sulla validità simultanea di due postula2: il principio di equivalenza dei sistemi inerziali la costanza della velocità della luce nel vuoto
Perché tanta importanza alla velocità della luce? la luce è un fenomeno universale la sua propagazione non dipende dall osservatore le leggi del suo moto sono note con alta precisione il principio di rela2vità deve valere in primis per la luce
Rela2vità par2colare Consideriamo due sistemi inerziali K e K in moto rela2vo uniforme lungo l asse x con velocità v, le cui origini coincidono (x = x = 0) all istante t = t = 0. I pun2 fissi per K hanno in K coordinate x = A (x v t), y = y, z = z, t = B t + C x con A, B e C funzioni della velocità v da determinare. All istante t = t = 0 venga emesso dalla comune origine un segnale luminoso che si propaga in entrambi i sistemi secondo la stessa legge poiché la velocità della luce è la stessa x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 ; x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 esprimendo x, y, z e t in funzione di x, y, z, t c 2 (B t + C x) 2 = A 2 (x v t) 2 + y 2 + z 2
uguagliando le due espressioni per la propagazione della luce nel sistema K si o;endono per A, B e C le equazioni c 2 B 2 v 2 A 2 = c 2, A 2 c 2 C 2 = 1, c 2 B C + v A 2 = 0 da cui si o@ene, con qualche manipolazione, A 2 = B 2 = 1/(1 v 2 /c 2 ), C 2 = B v/c 2 per cui vale la vale la legge di Lorentz x = γ (x vt) t = γ [t (v/c 2 ) x] y = y z = z con il fawore di Lorenz γ(v) = 1/(1 v 2 /c 2 ) ½
Art ein
differenza cruciale con le trasformazioni galileane: le coordinate spaziali e quella temporale non vengono tra;ate separatamente, ma sono fra di loro correlate e il tempo si mescola con lo spazio il termine cri2co è il fawore di Lorentz γ = 1 1 v 2 / c 2 1 c compare in ogni corrispondenza fra sistemi inerziali, anche se non riguardano la luce: è in realtà una costante fondamentale dello spazio-tempo
Contrazione spaziale La lunghezza di un corpo rigido (per semplicità posto lungo l asse x) nel suo sistema di riferimento K è L = x 2 x 1 = Δx Nel sistema K in moto uniforme rispe;o a K lungo l asse x con velocità v la lunghezza del corpo risulta L = x 2 x 1 = Δx = Δx / γ = L / γ e subisce pertanto una contrazione nella direzione del moto rispe;o alla sua lunghezza propria L 0
Dilatazione temporale Da2 due sistemi inerziali K e K con velocità rela2va uniforme v, gli even2 E e F avvengano all origine O del sistema K (x = 0): E all istante t = 0 e F a t = 1. In base alla trasformazione di Lorentz, nel sistema K E avviene all istante t = 0 e F avviene a t = 1/γ. L intervallo di tempo Δt fra i due even2 nel sistema K risulta maggiore dell intervallo temporale Δt misurato da un orologio in moto assieme agli even2: Δt = Δt γ
raggi cosmici radiazioni di alta energia provenien2 dal sole e altre stelle giungono con2nuamente sulla terra e interagendo con gli atomi dell atmosfera producono sciami di nuove par2celle
Un effe;o della dilatazione temporale il muone è una par2cella instabile con una vita media di 2,2 µs nel suo sistema di riferimento. Viaggiando a una velocità di 0,998 c i muoni percorrono nel loro sistema circa 660 m. Eppure muoni genera2 da raggi cosmici nell alta atmosfera riescono ad a;raversare tu;a l atmosfera e a penetrare a notevoli profondità nel so;osuolo. Per un osservatore al suolo la loro vita si allunga, mentre per loro le distanze si contraggono Δt = 2,2 µs L = 660 m γ ~ 15,823 Δt = 34,8 µs L = 10.433 m
Combinazione rela2vis2ca delle velocità Da2 due sistemi inerziali K e K in moto rela2vo uniforme lungo l asse x con velocità v, il punto P si muova lungo l asse x posi2vo con velocità w nel sistema K ; nel sistema K il punto P ha velocità w = (w + v)/(1 + vw /c 2 ) se w = c anche w = c ossia la velocità della luce è la stessa per ogni osservatore inerziale se w < c anche w < c ossia se un corpo ha velocità minore di c in un sistema inerziale, avrà velocità minore di c in ogni sistema inerziale
Il principio di rela2vità galileano resta valido con o@ma approssimazione per processi len2 rispe;o a c. Le differenze non si vedono nei fenomeni ordinari, mentre diventano essenziali nel mondo atomico e sub-atomico, ove si raggiungono normalmente velocità prossime a c per v piccola γ 1 + ½ v 2 /c 2 per v piccolissima γ è 1
distanza invariante fra even2 e tempo proprio! da2 due even2 E ed F non sono invarian2 né la distanza spaziale s 2 = Δx 2 + Δy 2 + Δz 2 né la distanza temporale Δt 2 la distanza rela2vis2ca τ 2 = Δt 2 s 2 /c 2 è invariante τ è l intervallo di tempo misurato con un orologio che si muove con il corpo: tempo proprio
classificazione della distanza fra gli even2! se τ 2 > 0 distanza di 2po tempo esiste una trasformazione di Lorenz in cui gli even2 avvengono nello stesso punto se τ 2 < 0 distanza di 2po spazio esiste una trasformazione di Lorenz in cui gli even2 sono simultanei se τ 2 = 0 gli even2 sono si trovano su un raggio di luce
Il conce;o di contemporaneità è rela2vo: non esiste un tempo assoluto - sistema di riferimento verde: even2 A e B contemporanei - sistema di riferimento rosso: A precede B - sistema di riferimento blu: B precede A
Non esiste alcuna simultaneità per even? fra loro lontani: quindi non esiste alcuna azione immediata a distanza, nel senso della meccanica newtoniana. La realtà fisica deve essere descriwa in termini di funzioni con?nue nello spazio. Il punto materiale, quindi, non può più essere considerato come il concewo base della teoria. Albert Einstein
e il principio di causalità?! se l evento F è generato dall evento E, la loro distanza rela2vis2ca deve essere di 2po tempo, ossia F deve stare nel cono futuro di E. Nessun osservatore, qualunque sia la sua velocità, potrà rilevare F prima di E. L intervallo temporale può solo crescere con la velocità, mai diminuire
Il principio di inerzia è un pilastro della rela2vità e deve valere in ogni sistema di riferimento inerziale: in assenza di forze la quan2tà di moto (momento) di un corpo di massa m non può variare nel tempo dp/dt = 0 dp /dt = 0 se il momento rela2vis2co fosse p = m w in K si avrebbe in K: p = m w = m (w + v)/(1 + vw /c 2 ) e dp /dt = 0 non comporta che anche dp/dt = 0 per avere l invarianza rela2vis2ca del principio d inerzia il momento rela?vis?co deve essere p = γ m w γ = 1/(1 v 2 /c 2 ) ½
momento e massa rela2vis2ci per un punto materiale di massa m 0 e velocità v rispe;o a un sistema inerziale il momento p = γ m 0 v è un invariante rela2vis2co oltre a essere una costante del moto conviene introdurre la massa rela?vis?ca m(v) = γ m 0 funzione della velocità a;raverso il termine γ. la massa rela2vis2ca del corpo in moto aumenta rispe;o al suo valore in quiete, esa;amente come si dilata il tempo m 0 si dice massa propria o a riposo o invariante
massa
m 0 massa propria o invariante è il minimo valore della massa di un corpo materiale per velocità piccole coincide con la massa inerziale galileana per velocità prossime a c diviene enorme solo en2 con massa propria nulla possono muoversi a velocità c la luce deve avere massa propria nulla
L energia si conserva ed è invariante Energia cine2ca rela2vis2ca: lavoro che una massa in moto può produrre de prodo;o della distanza percorsa per la variazione del momento nel tempo, ossia prodo;o scalare della velocità per la variazione del momento Galileo Einstein E = 1/2 m v 2 m costante, v variabile E = m(v) c 2 c costante, m variabile = m 0 γ
Differenza di energia: energia di un protone con v= c/2 m 0 1,67 10-27 kg; c 3,99 10 8 m/s w E G = 1/2 m 0 v 2 = 1/8 m 0 c 2 1,67 10-27 (3,99 10 8 ) 2 /8 J 1,88 10-11 J w E E = m c 2 = m 0 γ c 2 1,67 10-27 (3,99 10 8 ) 2 2/ 3 J 17,3 10-11 J E E E G = m 0 c 2 (2/ 3-1/8) 1,02 m 0 c 2
Energia cine2ca e momento modulo della quan2tà di moto p = (p x, p y, p z ) (p x, p y, p z ) = m (v x, v y, v z ) = m 0 γ (v x, v y, v z ) p 2 = m 0 2 γ 2 v 2 γ 2 = 1/(1 + p 2 /m 0 2 c 2 ) E 2 = (m 0 γ c 2 ) 2 = (m 0 c 2 ) 2 + (p c) 2 p 2 = E 2 /c 2 m 0 2 c 2 p = E/c se la massa propria è nulla: anche corpi con massa nulla hanno un momento non nullo
Energia rela2vis2ca E = m c 2 = m 0 γ c 2 per piccoli valori di v per γ si ha l espressione approssimata γ 1 + ½ v 2 /c 2 e quindi E = m 0 γ c 2 m 0 c 2 + ½ m 0 v 2 l energia totale oltre alla parte cine2ca ½ m 0 v 2 comprende la trasformazione in energia della massa invariante m 0
Conseguenze dell eclissi della massa poiché nei processi rela2vis2ci si conserva solo l energia, ma non la massa, sono possibili even2 inconcepibili nella meccanica classica - radiazione priva di massa possiede quan2tà di moto non nulla: p = E/c - corpi massivi possono trasformarsi in energia pura - radiazione ele;romagne2ca può generare corpi massivi la massa (la materia) è solo una delle tante forme che può assumere l energia per i microsistemi conviene esprimere la massa propria in unità di misura di energia E = m 0 c 2 m 0 = E/c 2
creazione
Archimede Galileo Einstein spazio assoluto relativo relativo tempo assoluto assoluto relativo Δx costante invariante variabile Δt costante costante variabile Δt 2 Δx 2 /c 2 costante invariante invariante velocità assoluta relativa relativa momento [assoluto] relativo invariante energia [assoluta] invariante invariante
tenuto conto dell interpretazione fisica delle coordinate e dei tempi degli even?, la trasformazione di Lorentz non equivale affawo a pura e semplice convenzione, ma implica certe ipotesi sul comportamento effe>vo delle aste di misura e degli orologi in movimento, che l esperienza può convalidare o confutare Albert Einstein
criteri di validazione di un risultato scien2fico - consistenza con i da2 empirici - precisa formulazione matema2ca - perfezione interna - potere predi@vo deve essere confutabile cara;eris2che giudicate da altri scienzia2
una verifica sperimentale della rela2vità
Come mai la rela2vità ha suscitato così tante polemiche, ma ha poi avuto un così grande successo? Un fa;ore importante fu certamente la sua natura di manifesto scien2fico. Il successo di una teoria scien2fica non è solamente legato alla sua capacità di andare d accordo con gli esperimen2.
La rela?vità speciale al momento awuale si pone come una teoria universale che descrive la struwura di una comune arena spaziotemporale in cui hanno luogo tu> i processi fondamentali. TuWe le leggi della fisica sono vincolate dalla rela?vità speciale che agisce come una sorta di super legge Jean-Marc Lévy-Leblond
pascolini@pd.infn.it h;p://perlascienza.eu @apascolini
la scuola d atene