Titolo: Successioi; Progressioi geometriche e aritmetiche Specializzada: Serea Bezza Classe destiataria L uità didattica è rivolta ad ua classe terza di u Liceo Scietifico ad idirizzo PNI. Iquadrameto ei programmi miisteriali Programmi PNI. TEMA : Isiemi umerici e strutture b. (Pricipio di Iduzioe) Progressioi aritmetiche e geometriche. Successioi umeriche. Questa uità didattica è prevista i classe terza. Prerequisiti Operazioi, ordiameto e loro proprietà ell isieme dei umeri aturali e iteri Fuzioi reali Equazioi di primo e di secodo grado Obiettivi specifici (coosceze-abilità) Coosceze Competeze Defiizioe successioe umerica Progressioi aritmetiche Progressioi geometriche di Applicazioi del cocetto di successioe - cooscere il cocetto di successioe umerica - Cooscere la defiizioe di progressioe aritmetica - Cooscere la formula per il calcolo del termie eesimo di ua progressioe aritmetica - Cooscere la legge per calcolare la somma di termii cosecutivi - Cooscere la defiizioe di progressioe geometrica - Cooscere la legge che lega due termii qualsiasi della progressioe geometrica - Cooscere le formule per calcolare il prodotto e la somma di termii cosecutivi Obiettivi di capacità - saper defiire ua successioe per ricorreza o i modo aalitico - Saper valutare se ua successioe è ua progressioe aritmetica - Saper ricavare le formule che legao due termii qualsiasi della progressioe - Saper dimostrare la formula per calcolare la somma di termii cosecutivi di ua progressioe aritmetica - Saper valutare se ua successioe è ua progressioe geometrica - Saper ricavare le formule che legao due termii qualsiasi della progressioe - Saper dimostrare le formule per calcolare il prodotto e la somma di termii cosecutivi di ua progressioe geometrica - saper applicare il cocetto di progressioe ad alcue situazioi ecoomiche e fisiche. Tempi dell iterveto
o Ripasso e accertameto dei prerequisiti h o Successioi h o Progressioi aritmetiche h o Calcolo del termie eesimo,5h o Somma dei primi termii,5h o Applicazioi o Progressioi geometriche h o Calcolo del termie eesimo,5h o Somma e prodotto dei primi termii,5h o Applicazioi h o Attività co Derive h o Verifica sommativa h o Cosega e correzioi verifiche h Per u totale di 0h (quattro settimae). La previsioe è da riteersi elastica, i quato si deve teere coto delle ecessità degli studeti. Metodologia e strumeti Per l appredimeto dei coteuti e per perseguire gli obiettivi esposti si farà uso di lezioi sia frotali che dialogate, co il sussidio del libro di testo e di fotocopie coteeti esercizi svolti e approfodimeti. Verrao assegati compiti per casa, cercado di dedicare sempre ua parte della lezioe alla correzioe di questi alla lavaga sia da parte del docete, che da parte dei ragazzi. (I compiti verrao comuque cotrollati dal docete, per assicurarsi che i ragazzi li svolgao). Verrao discussi e cofrotati isieme gli esercizi che hao apportato icertezze e problemi. Si svolgerà attività di laboratorio iformatico utilizzado software didattici come Derive; i queste occasioi si preferirà il lavoro di gruppo, le esercitazioi guidate ma ache quelle autoome. Strumeti utilizzati: Libro di testo Lavaga e gessi Calcolatrice scietifica Riga e squadre Fotocopie Software didattici come Derive. Cotrollo dell appredimeto: Il cotrollo dell appredimeto sarà effettuato mediate verifiche formative e verifica sommativa. Le verifiche formative cosistoo el cotrollo degli esercizi assegati per casa, la correzioe alla lavaga degli stessi, effettuato dagli allievi, la discussioe i classe dei problemi icotrati ello svolgimeto degli esercizi e ello studio della teoria, qualche domada durate le lezioi, lo svolgimeto di qualche esercizio alla lavaga. Le verifiche sommative cosistoo i prove orali e prove scritte. Le prove orali servirao al docete per valutare o solo la teoria appresa dai ragazzi, ma verrà chiesto ache lo svolgimeto di qualche esercizio e verrao fatte domade riguardati le attività di laboratorio.
La prova scritta, della durata di due ore, sarà svolta al termie dell uità didattica e ha soprattutto il compito di valutare le abilità e permetterà di verificare l autoomia dello studete ell utilizzo degli strumeti foriti. Recupero: Per gli studeti che trovao difficoltà ell appredimeto, verrao svolte attività pomeridiae, ossia gli sportelli, che cosistoo i esercitazioi mirate al sigolo studete. Schema dei coteuti (tipo mappa cocettuale). Successioi - Rappresetazioe geometrica - Rappresetazioe algebrica. Progressioi aritmetiche - Calcolo del termie -simo di ua progressioe aritmetica - Somma di termii cosecutivi di ua progressioe aritmetica - Applicazioi all ecoomia - Applicazioi alla fisica 3. Progressioi geometriche - Calcolo del termie -simo di ua progressioe geometrica - Prodotto di termii cosecutivi di ua progressioe geometrica - Somma di termii cosecutivi di ua progressioe geometrica - Applicazioi all ecoomia - Attività di laboratorio co Derive Cosiderazioi didattiche (sui coteuti, approfodimeti e attività evetuali di laboratorio). Successioi Per itrodurre l argometo delle successioi, si parte da u esempio semplice. Comiciamo co il predere i cosiderazioe l isieme dei umeri aturali. La sequeza,, 3, 4,. o ha termie, perché dopo qualuque umero aturale si può scrivere il umero aturale seguete +; questa proprietà si esprime dicedo che vi soo ifiiti umeri aturali ed azi i umeri aturali rappresetao l esempio più semplice di isieme coteete u umero ifiito di elemeti. Cosideriamo ora ua qualsiasi fuzioe che ad ogi umero aturale associa u be determiato umero reale. Sia, per esempio, g defiita come segue: g : N R g( ) Allora g fa corrispodere ai umeri aturali ua sequeza di umeri reali:,, 3,...,... g( ) 3, g( ) 5 /, g( 3) 3,... g( ),... 5 La fila 3,, 3,... è duque ua sequeza ifiita di umeri reali e costituisce u esempio di successioe umerica; l aggettivo umerica sta a sigificare che tutti i termii della sequeza soo dei umeri. Geeralizziamo ora il ragioameto precedete. Sia f ua qualsiasi legge che ad ogi umero aturale 0 faccia corrispodere u be determiato umero reale, che per comodità di scrittura,
possiamo idicare co a, cioè ua lettera dell alfabeto, muita di u idice che può assumere i valori i N. Allora la legge f trasforma l isieme umerico,, 3,...,,,... ell isieme umerico a, a, a3,..., a, a,... Si dice allora che gli elemeti di quest ultimo isieme (che soo dei umeri reali), costituiscoo ua successioe. Tale otazioe suggerisce il fatto che a, cioè il valore assuto dalla fuzioe i, può essere pesato come il primo elemeto di ua fila di umeri ; allo stesso modo a e è il secodo elemeto, e così via. E ache vero il viceversa che ogi fila di umeri può essere pesata come ua fuzioe che fa corrispodere a il primo elemeto della fila, a il secodo, ecc Nota Didattica: Ogi successioe è u isieme ordiato di umeri, el seso che e coosciamo il primo termie, il secodo, il terzo,..l isieme di umeri reali 0, ivece o costituisce ua successioe, perché, posto 0 il primo termie, o è chiaro chi e sia il secodo, chi il terzo. Rappresetazioe geometrica: ) Per visualizzare graficamete ua successioe, abbiamo a disposizioe due metodi. Oguo preseta vataggi e svataggi. I due metodi alterativi soo illustrati el seguete esempio, co riferimeto alla successioe,,,,,... 3 4 5 Questo tipo di visualizzazioe evidezia bee il fatto che ua successioe è ua fuzioe: a ogi umero aturale (i questo caso, o ullo), corrispode uo e u solo be determiato valore e la variabile o varia i modo cotiuo, ma discreto. ) Questa visualizzazioe fa bee otare come i termii della successioe costituiscoo u isieme umerico: l isieme,,,,... 3 4 Rappresetazioe algebrica: Ache per rappresetare ua successioe dal puto di vista algebrico, esistoo diverse modalità. ) Quella più immediata cosiste ell esplicitare uo ad uo alcui termii della successioe. Questo modo ha l evidete limite pratico che permette ua coosceza solo parziale della successioe; ma è l uico utilizzabile per idicare la successioe dei risultati otteuti laciado più volte u dado e i geerale quado o si coosce a priori l esito di u certo eveto.
) U modo più efficace per rappresetare ua successioe cosiste, se possibile, el defiire astrattamete la legge che, ad ogi umero aturale, fa corrispodere il umero a ; diremo allora che la successioe è defiita aaliticamete. Ad esempio: a. 3) U terzo modo per defiire ua successioe è quello della ricorreza: esso cosiste ell assegare il primo termie e la legge che lega due termii cosecutivi. Ad esempio: a 0 4, a a. Nota Didattica Ua stessa successioe può essere defiita sia aaliticamete, sia per ricorreza; perciò o è la successioe ad essere aalitica o ricorsiva, ma il modo i cui è defiita. Si oti che, se la successioe è defiita ricorsivamete, per cooscere u suo termie occorre calcolare tutti i precedeti; se ivece la successioe è defiita i modo aalitico, il termie eesimo si può calcolare direttamete a partire da. a0 La successioe può essere defiita ache el modo seguete: N a a a,. Si osservi che, per calcolare a0 quest ultima defiizioe è più immediata.. Progressioi aritmetiche Prediamo i esame ora delle particolari successioi che possoo avere iteressati applicazioi. Su parte da u esempio applicativo. Cosideriamo, ad esempio, la situazioe pratica di u capitale di 800 euro ivestito dalla baca i u titolo che frutta u tasso auale fisso di iteresse del %; suppoiamo per semplicità che l iteresse sia aualmete calcolato solo sugli 800 euro iizialmete ivestiti. Ci chiediamo quale sarà il valore del capitale depositato i baca alla scadeza di ogi ao, ell ipotesi che su quella somma o siao eseguite altre operazioi. Il primo passo cosiste el determiare l iteresse i che la baca versa aualmete: i 800euro 6euro. 00 Al termie del primo ao la somma sarà duque di 86 euro, al termie del secodo sarà di 83 euro, al terzo 848, e così via. Si ottiee quidi la successioe 800, 86, 83, 848,...i cui ogi termie si ottiee dal precedete aggiugedo 6. I geerale, ogi successioe di tre o più umeri tali che sia costate la differeza tra ciascuo di essi (eccettuato il primo) e il precedete si defiisce progressioe aritmetica. La differeza costate tra ogi termie e il suo precedete si chiama ragioe. Siao ora a e b due termii cosecutivi di ua progressioe aritmetica di ragioe d. Si vede facilmete che: b a d e a b d Quidi, i ua progressioe aritmetica, u termie qualuque si ottiee dal precedete aggiugedo a quest ultimo la ragioe, oppure si ottiee dal seguete sottraedogli la ragioe. Osservazioe: Da questa proprietà segue che: - se la ragioe è positiva, la progressioe è crescete i quato ogi termie è maggiore del precedete; - se la ragioe è egativa, la progressioe è decrescete perché ogi termie è miore del precedete;
- se ifie la ragioe è zero, la progressioe è costate, cioè è costituita da umeri tutti uguali tra loro. Chiedere agli alui: - Soo vere le proposizioi iverse delle precedeti? (si) - Cosa rappreseta il grafico di ua progressioe aritmetica i u diagramma cartesiao? (si ottegoo puti tutti apparteeti alla stessa retta) (vedi esercizi co Derive riportati a fie ud) Calcolo del termie -simo di ua progressioe aritmetica Ua progressioe aritmetica è uivocamete determiata, ua volta che se e coosce il primo termie a e la ragioe d. a a d a3 a d I geerale, se si cerca il termie eesimo della progressioe aritmetica, ituitivamete si comprede che occorre aggiugere al primo termie (-) volte la ragioe, cioè vale: Teorema: Il termie eesimo di ua progressioe aritmetica è uguale alla somma del primo temie, co il prodotto della ragioe per il umero di termii che precedoo a. a a d Ossservazioe: Se ivece del primo, è oto u termie qualuque della progressioe, è possibile calcolare tramite la ragioe u altro termie? Si può dimostrare facilmete che se a r e a s soo due termii qualuque della progressioe allora a a s r d s r Osservazioe: Questa relazioe vale ache se s<r. Somma di termii cosecutivi di ua progressioe aritmetica Vogliamo determiare la somma dei primi termii cosecutivi di ua progressioe aritmetica, co la sola coosceza dei termii a, a e del umero dei termii. Partiamo dall osservazioe di u semplice esempio: si cosideri la progressioe 3, 5, 7, 9,, 3. Le coppie di termii equidistati soo 3,3, 5,, 7,9. si ota che la somma di termii equidistati vale sempre lo stesso valore. Questa proprietà è la base per dimostrare come si ottiee la somma S dei primi termii di ua progressioe aritmetica. a a La somma dei primi termii di ua progressioe aritmetica è uguale alla S semisomma dei termii estremi, moltiplicata per il umero dei termii. Osservazioe: Osserviamo che la somma S può calcolarsi ache ua volta che siao dati il primo termie, la ragioe e il umero dei termii. I questo caso, ifatti, basta ricavarsi co u passaggio itermedio il termie a e poi applicare la formula precedete. Applicazioi all ecoomia Le progressioi aritmetiche trovao applicazioe i ecoomia, ad esempio, ei problemi di capitalizzazioe semplice.
Applicazioi alla fisica Tramite le progressioi aritmetiche si possoo affrotare ache alcui problemi di fisica, sul moto uiformemete accelerato. Ad esempio si possoo impostare progressioi aritmetiche riferite alla velocità di u corpo che si muove di moto uiformemete accelerato. 3. Progressioi geometriche Si sviluppa u percorso parallelo a quello fatto per le progressioi aritmetiche. Itroduciamo l argometo tramite u esempio classico. Il bramio ivetore degli scacchi chiese di essere pagato el seguete modo: presa la scacchiera, mise u graello di riso el primo quadrato, el secodo, 4 el terzo, 8 el quarto, e così via. Quati graelli di riso adrebbero collocati ell ultimo quadrato della scacchiera? Iazitutto dobbiamo ricordare che ua scacchiera è dotata di otto righe ed otto coloe, e duque è formata da 64 quadrati. I umeri di graelli di riso che devoo essere posti su ogi quadrato della scacchiera costituiscoo ua successioe di 64 termii,, 4, 8, 6, 3,... tali che ogi termie è il doppio del precedete. L esempio riportato rappreseta ua progressioe geometrica. Possiamo quidi dare la defiizioe geerale: Si chiama progressioe geometrica ua successioe di tre o più umeri, tali che il quoziete tra ciascuo di essi (escluso il primo) e il precedete è costate. Il quoziete costate tra ogi termie e il suo precedete si chiama ragioe. Siao a e b due termii cosecutivi di ua progressioe geometrica di ragioe q; esplicitiamo il legame che itercorre tra a e b. b b a q e a q Osservazioe : la ragioe deve sempre essere diversa da zero perché, i base alla defiizioe data, essu termie della progressioe può essere ullo. Osservazioe : u termie qualuque si ottiee dal precedete moltiplicadolo per la ragioe, oppure si ottiee dal seguete dividedolo per la ragioe => se la ragioe è positiva, tutti i termii della progressioe soo di ugual sego; se la ragioe è egativa, i termii soo alterativamete di sego opposto. Osservazioe 3: dalla osservazioe segue che possiamo studiare ua evetuale cresceza o decresceza della progressioe solamete el caso i cui la ragioe è positiva. Si ha che: Se q> ogi termie è maggiore del precedete e duque la progressioe è crescete. Se q= la progressioe è costate. Se 0<q< ogi termie è miore del precedete e duque la progressioe è decrescete. Calcolo del termie -simo di ua progressioe geometrica Come per le progressioi aritmetiche è prevedibile che ua progressioe geometrica sia uivocamete determiata ua volta che se e coosca il primo termie a e la ragioe q.
a a q a3 aq aq.. Ituitivamete, per calcolare il termie eesimo della progressioe occorre moltiplicare il primo termie (-) volte per la ragioe, cioè vale: Teorema: Il termie eesimo di ua progressioe geometrica è uguale al prodotto del primo temie, co la ragioe elevata all espoete uguale al umero di termii che precedoo a. a a q Utilizzado questo risultato, chiedere agli studeti di ricavare la relazioe che lega due termii qualuque a r e a s di ua progressioe geometrica: s r a a q s r Osservazioe: questa relazioe vale ache se s<r. Prodotto di termii cosecutivi di ua progressioe geometrica Data ua progressioe geometrica, è possibile avere delle iformazioi sul prodotto e la somma dei primi termii cosecutivi? Come el caso delle progressioi aritmetiche è ecessario fare u osservazioe sul prodotto di termii equidistati dagli estremi. Nella progressioe iiziale,, 4, 8, 6, 3 le coppie di termii equidistati,3,,6, 4,8 soo caratterizzate dal fatto che il prodotto degli elemeti di ogi coppia è costate. Partedo da questa osservazioe, si dimostra che: Il prodotto dei primi termii di ua progressioe geometrica a termii P a a positivi è uguale alla radice quadrata del prodotto dei termii estremi elevato al umero dei termii. Osservazioe: Se i termii della progressioe o soo tutti positivi, allora il secodo membro ella formula precedete rappreseta il valore assoluto del prodotto di questi termii: P a a ed il sego deve essere deciso caso per caso. Somma di termii cosecutivi di ua progressioe geometrica Data ua progressioe geometrica a, a, a3,..., a, a, a,... ci propoiamo ora di calcolare la somma S dei primi termii. Si può dimostrare facilmete che q S a q Applicazioi all ecoomia Nella parte delle progressioi aritmetiche soo stati descritti i problemi di capitalizzazioe semplice; essi però rappresetao delle situazioi semplificate i cui gli iteressi soo calcolati solo sul capitale iiziale. Se ivece si tiee coto del fatto che ache gli iteressi maturao per il futuro uovi iteressi, la capitalizzazioe si dirà composta.
Attività di laboratorio co Derive Derive può essere molto utile per favorire la capacità di rappresetazioe e di compresioe delle proprietà delle successioi da parte degli studeti. - Co derive si può rappresetare il grafico delle successioi defiedole sia per via aalitica che per ricorreza e quidi studiare l adameto. - Co Derive può essere iteressate studiare l adameto della successioe dei rapporti tra u termie e il precedete relativamete alla famosa successioe di Fiboacci defiita da F(0) F() F( ) F( ) F( ) Verifica (o esempi di esercizi) VERIFICA SOMMATIVA. Fra le segueti successioi ci soo progressioi aritmetiche? I tal caso idica il primo termie e la ragioe: a 5 a a 3 [6]. I ua progressioe aritmetica si sa che il primo termie è 5, l ultimo è 5 e la somma dei termii è 30. Determiare il umero dei termii e la ragioe. [4]. I tre lati di u triagolo soo i progressioe aritmetica. Determiare la loro misura sapedo che il perimetro è 4 cm. [4] 3. Dimostrare che se x 0, x, x. soo ua progressioe geometrica di ragioe d, allora i valori della fuzioe y=ax+b calcolati per x i soo pure i progressioe aritmetica. [5] 4. I ua progressioe geometrica il primo termie è 5 e la ragioe è ; calcolare il prodotto e la somma dei primi 4 termii. E se la ragioe fosse? [4] 5. I lati di u triagolo soo i progressioe geometrica. Sapedo che il perimetro è 76m e il rapporto tra il lato maggiore e la somma degli altri due è 9, trovare le misure dei lati del 0 triagolo. [5] 6. U impresario si impega, per cotratto, alla seguete pealità: 0 euro di pealità per il primo gioro di ritardo di cosega dei lavori, 0 euro per il secodo gioro, 40 per il terzo e così via. Quato pagherebbe per dieci giori di ritardo? [3] Valutazioi (griglia)
Puteggio Grezzo Voto i Decimi (Totale 3) (otteuto co la proporzioe) 0 0-3 4 5-6 7 8-3 9 0 3-4 3 4 4-5 5 6 7 5-6 8 9 0 6-7 3 7-8 4 5 6 8-9 7 8 9 9-0 30 3 0 Voto i decimi (ua proposta) 3 4 5 6 7 8 9 0
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