LE PROPORZIONI La proporzione è un uguaglianza tra due rapporti. Es 3:4 =6:8 In generale una proporzione si indica usando le lettere: a:b=c:d a e c sono antecedenti nei loro rispettivi rapporti così come b e d sono i conseguenti. In una proporzione il 1 e l ultimo termine si dicono estremi, il 2 e il 3 medi. Es a:b = c:d Una proporzione si dice continua se ha i medi uguali. Il medio si dirà medio proporzionale, il 4 termine si dirà terzo proporzionale. Es 9:6 = 6:4. Generalizzando a:b =b :c
Per verificare che 4 numeri dati con un ordine preciso formino una proporzione bisogna applicare la proprietà fondamentale. Proprietà fondamentale: Quattro numeri dati con un ordine preciso formano una proporzione se il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi Es: 8 :7 =16 :14 Verifico: medio x medio 1 = 7 x 16 =112 Estremo x estremo 1 =8 x 14 = 112. I numeri dati nell ordine, formano una proporzione Es: 5 : 7 =12 :14 Verifico: medio x medio 1 = 7 x 12 =84 Estremo x estremo 1 =5 x 14 = 70. I numeri dati nell ordine, non formano una proporzione
PROPRIETA DELLE PROPORZIONI Proprietà dell invertire : In una proporzione se si scambiano gli antecedenti con i propri conseguenti si ottiene una nuova proporzione: a:b = c :d applicando la proprietà b:a = d:c Es: 9 :10 =18 :20 applicando la proprietà 10: 9 = 20 :18 Proprietà del permutare: In una proporzione se si scambiano: a. i medi tra loro; b. Gli estremi tra loro; c. Sia i medi che gli estremi tra loro si ottengono nuove proporzioni: Data la proporzione 5:3 =10:6 a:b = c :d applicando la proprietà a a:c = b:d 5:10 = 3 :6 a:b = c :d applicando la proprietà b d:b = c :a 6:3 =10:5 a:b = c :d applicando la proprietà c d:c = b :a 6:10 = 3 :5
Proprietà del comporre: In una proporzione la somma del 1 e del 2 termine sta al 1 o al 2 come la somma tra il 3 e il 4 termine sta al 3 o al 4. Si ottengono sempre proporzioni diverse Es: a:b=c:d applico la proprietà: (a+b) :a =(c+d) :c oppure (a+b) :b = (c+d) : d. Se nel primo rapporto scelgo come secondo termine l antecedente devo fare la stessa cosa con il secondo rapporto, lo stesso ragionamento deve essere seguito se si sceglie il conseguente. Es : 4 :2 = 12 :6 applico la proprietà (4+2) :4 = (12+6):12 cioè 6 :4 = 18 :12 (4+2) :2 = (12+6):6 cioè 6 :2 = 18 :6
Proprietà dello scomporre: In una proporzione la differenza tra il 1 e il 2 termine sta al 1 o al 2 come la differenza tra il 3 e il 4 termine sta al 3 o al 4. Si ottengono sempre proporzioni diverse Es: a:b=c:d applico la proprietà: (a b) :a =(c d) :c oppure (a b) :b = (c d) : d. Se nel primo rapporto scelgo come secondo termine l antecedente devo fare la stessa cosa con il secondo rapporto, lo stesso ragionamento deve essere seguito se si sceglie il conseguente. Es : 4 :2 = 12 :6 applico la proprietà (4 2) :4 = (12 6):12 cioè 2 :4 = 6 :12 (4 2) :2 = (12 6):6 cioè 2 :2 = 6 :6
RICERCA DEL TERMINE INCOGNITO Il termine incognito si indica con la lettera x, esso può essere un estremo o un medio. Se il termine incognito è un estremo per calcolare il suo valore si procede in questo modo: 1 mxm x: m = m 1 : e 1 1 e Per calcolare l estremo incognito si moltiplicano i medi e si divide il prodotto per l estremo noto Es : x : 30 = 12 :4 30x12 90 4 Per calcolare il medio incognito si moltiplicano gli estremi e si divide il prodotto per il medio noto e : x = m 1 : e 1 Es : 24:x = 12 : 4 exe 1 m 1 24x4 12 8
CALCOLO DEL MEDIO PROPORZIONALE Per calcolare il medio proporzionale (proporzione continua) si esegue la radice quadrata del prodotto degli estremi. e: x= x :e 1 1 exe Es : 4 : x =x : 9 4x9 36 6
CASI PARTICOLARI Non sempre la risoluzione di una proporzione è immediata, a volte bisogna applicare delle proprietà prima di procedere alla ricerca del valore del termine incognito. Es : (20 x ) : x = 3 : 7 Grazie all uso dei colori si comprende che : 20 x è l antecedente, x è il conseguente, nell altro membro 3 è l antecedente, 7 è il conseguente. Se applichiamo la proprietà del comporre scegliendo come conseguenti il 2 e il 4 termine avremo: (20 x +x) : x = (3+7) :7; le x interne alla parentesi si eliminano, quindi avremo 20 : x =10 : 7 A questo punto abbiamo solo un medio incognito, quindi : 20x7 10 14
Se la x si trova sia al 1 che al 2 membro dovrò portarle prima nello stesso membro applicando le proprietà note 9:x = 12 : (7 x) Applico il permutare gli estremi, la proporzione diventa (7 x) : x =12 :9 Se applichiamo la proprietà del comporre scegliendo come conseguenti il 2 e il 4 termine avremo: (7 x+x): x =(12+9) :9 le x interne alla parentesi si eliminano, avremo 7 :x = 21 :9. Il termine incognito è un medio, quindi 7 x 9 21 3
CATENA DI RAPPORTI UGUALI L uguaglianza tra più di due rapporti costituisce una catena di rapporti uguali In una catena di rapporti uguali valgono le proprietà dell invertire e del comporre. Spesso, nella risoluzione di alcuni esercizi in cui bisogna calcolare il valore di tutti gli antecedenti o di tutti i conseguenti ci può aiutare la proprietà del comporre, perché la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti come un antecedente sta al proprio conseguente Es : Determina tre numeri sapendo che la loro somma è 150 e che stanno tra loro come 2, 3,5 Indichiamo i tre numeri rispettivamente con le lettere x, y, z. Avremo x+y+z =150 inoltre x : 2 = y :3 = z:5 applicando la proprietà: (x+y+z) : (2+3+5) = x: 2 150:10=x:2 x=30 (x+y+z) : (2+3+5) = y: 3 150:10=y:3 y=45 (x+y+z) : (2+3+5) = z: 5 150:10=z:5 z=75