Capitolo II : Geometria vettoriale

Liceo Lugano, 0-0 E Luca Rovelli Capitolo II : Geometria vettoriale. Grandezze vettoriali Iniziamo con due esempi. Esempio : percorro 3 km in direzione est e in seguito 5 km in direzione nord-ovest. A che distanza dal punto di partenza mi trovo? Siano A, B e C i punti toccati dal percorso. Grazie al Teorema del coseno ricaviamo immediatamente AC = AB + BC AB BC cos 45 = 3 + 5 3 5 = 34 5 = 3, 58 [km]. Osservazione: per risolvere il problema, abbiamo effettuato un addizione vettoriale: AC = AC è il modulo del vettore AC = AB + BC. In particolare, per conoscere la distanza tra A e C le distanze tra A e B e tra B e C non sono sufficienti: occorre anche conoscere direzione e verso degli spostamenti. Esempio : nella situazione rappresentata, quanto vale l intensità della forza totale applicata al corpo C? Ricaviamo immediatamente α = 360 34 = 46, e con il Teorema del coseno F = + 3 3 cos 46 = 33, 57 [N]. Osservazione: abbiamo nuovamente fatto ricorso ad un addizione vettoriale, volta a determinare l intensità della forza risultante cioè il modulo del vettore che la descrive. Nota che tale intensità non è sufficiente per descrivere l azione della forza sul corpo C: occorre conoscerne direzione e verso. Forza e spostamento sono due esempi tipici di grandezze vettoriali, descritte cioè da un modulo, una direzione e un verso. Altri esempi sono la velocità e l accelerazione. Tali grandezze si distinguono dalle cosiddette grandezze scalari la temperatura, ad esempio, che possono essere descritte completamente per mezzo di un numero reale. scalare è appunto sinonimo di numero reale Vettori V.0 38 LiLu, E Luca Rovelli

. Segmenti orientati e vettori geometrici del piano Definizione Segmento orientato Una coppia ordinata A, B di punti del piano definisce un segmento orientato, denotato con AB. Illustrazione: AB, CD e EF sono segmenti orientati. L orientamento è indicato dal senso della freccia. Nota che vale AB BA dal momento che un segmento orientato è dato da una coppia ordinata di punti. Nel caso particolare in cui gli elementi della coppia di punti coincidono ad es. AA, si parla di segmento nullo. Definizione Modulo, direzione, verso Di un segmento orientato AB con A B si definiscono: il modulo, indicato con AB ; si tratta della distanza tra i punti A e B; la direzione; si tratta della direzione di una qualsiasi retta parallela al segmento AB; il verso o senso, indicato dalla direzione della freccia. Nel caso particolare di un segmento nullo, il modulo è pari a zero e direzione e verso non si definiscono. Un segmento orientato AB definisce una particolare trasformazione del piano, detta traslazione dove P = τ AB P se i segmenti AB e P P sono paralleli τ AB : P P = τ AB P le distanze AB e P P sono le stesse A, B e P, P hanno lo stesso orientamento graficamente, è sufficiente riprodurre AB facendo corrispondere P con A e quindi B con P. Vettori V.0 39 LiLu, E Luca Rovelli

Osservazione: la stessa traslazione può essere definita da più segmenti orientati; in particolare, è facile vedere che due segmenti orientati AB e CD definiscono la stessa traslazione se AB = CD i due segmenti orientati sono isometrici; AB e CD sono paralleli ad una stessa retta sono cioè collineari; AB e CD hanno lo stesso verso sono equiorientati. Definizione 3 Equipollenza Due segmenti orientati isometrici, collineari ed equiorientati sono detti equivalenti o anche equipollenti. Per semplicità, scriveremo semplicemente AB = CD per indicare l equipollenza tra due segmenti orientati AB e CD. Illustrazione: AB = KL CD = EF = OP GH IJ CD NM, ma CD = MN La relazione di equipollenza suddivide l insieme dei segmenti orientati del piano in famiglie di segmenti tutti equivalenti tra loro, dette classi di equipollenza. Definizione 4 Vettore geometrico La classe di tutti i segmenti orientati equipollenti ad un dato segmento AB è un vettore geometrico del piano. Indicheremo con lettere minuscole a, b,,,... i vettori. La classe dei segmenti nulli è il cosiddetto vettore nullo, e si indica con o. come tutte le cosiddette relazioni di equivalenza Vettori V.0 40 LiLu, E Luca Rovelli

Un segmento orientato AB appartenente ad una determinata classe è detto rappresentante del vettore geometrico. In questo caso scriveremo semplicemente AB =. Indicheremo inoltre con V l insieme dei vettori geometrici del piano. Definizione 5 Modulo, direzione, verso Sia V. Il modulo indicato con, la direzione e il verso di sono il modulo, la direzione e il verso di un suo rappresentante qualsiasi. Ciò ha senso proprio perché gli elementi della famiglia sono tutti isometrici, collineari ed equiorientati! Osservazioni: i La relazione di equipollenza esclude la localizzazione di un vettore: possiede un infinità di rappresentanti tutti diversi, e quindi non ha una posizione fissa nel piano. In fisica, ad esempio, una forza viene espressa da intensità il modulo, direzione e verso ma non dal suo punto d applicazione. ii Come abbiamo visto, segmenti orientati equipollenti definiscono la stessa traslazione del piano. Ha quindi senso parlare di traslazione τ di vettore. In particolare, ad ogni traslazione del piano corrisponde un vettore geometrico, e viceversa: l insieme V può quindi essere identificato con l insieme delle traslazioni del piano 3. 3. Lo spazio vettoriale V In questo paragrafo ci proponiamo di introdurre e studiare due operazioni definite sui vettori di V, l addizione e la moltiplicazione con uno scalare. Per la prima delle due sfrutteremo nuovamente l identificazione di V con l insieme delle traslazioni del piano. Ricorda: ad ogni vettore V appartiene una traslazione τ : P P = τ P. Considera quindi, per due vettori e, la composizione τ P τ τ P τ τ : P τ τ P. P 3 un vettore trasporta, quindi, i punti del piano il termine vettore deriva proprio dal verbo latino vehere, traducibile in portare. Il termine vettore quale trasportatore è presente anche nel linguaggio comune, si pensi al vettore di contagio di una data infezione ad es. la zanzara anofele per la malaria o al razzo vettore per il trasporto di satelliti in orbita. Vettori V.0 4 LiLu, E Luca Rovelli

Dal momento che τ τ è anch essa una traslazione, ad essa apparterrà in maniera univoca un vettore di V, che chiameremo +. L addizione vettoriale è quindi definita formalmente dalla relazione τ + = τ τ. Ciò conduce immediatamente alla regola della poligonale: siano e vettori di V ; allora scelgo un rappresentante AB di ; scelgo il rappresentante BC di ; il segmento orientato AC è un rappresentante del vettore +. Illustrazione: + = AB + BC = AC B C + A Osservazione: a volte, l addizione viene espressa in modo equivalente per mezzo della cosiddetta regola del parallelogrammo. + La regola della poligonale può essere agevolmente estesa a più di vettori, ad esempio: a B b C c D d E a + b + c + d = AB + BC + CD + DE = AE A Se la poligonale è chiusa, allora la somma è data dal vettore nullo: D B b c a d C a + b + c + d + e = AB + BC + CD + DE + EA = AA = o A e E Vettori V.0 4 LiLu, E Luca Rovelli

Elenchiamo ora alcune importanti proprietà dell addizione vettoriale A L addizione è associativa: + + : V V V, +. u u + + = u + + u,, V. u + A L addizione ammette l elemento neutro, il vettore nullo o : A A B } {{ + o } = o } {{ + } BB AB+ AA+ AB = }{{} AB V. A3 Ogni V possiede l elemento opposto o simmetrico, denotato con : B Se = AB, poniamo = BA : a + a = a + a A4 L addizione è commutativa: } {{ } AB+ BA= AA = o. } {{ } BB BA+ AB= + = +, V. Quindi, l addizione in V si comporta come l addizione numerica da qui il suo nome. Le proprietà A-A4 si riassumono dicendo che V, + ha la struttura di gruppo commutativo. Osservazioni: i Le proprietà A e A permettono di tralasciare le parentesi e permutare a piacimento i termini di una somma vettoriale, ad esempio a + b + c + d = d + c + b + a = b + a + d + c =... ii La proprietà A4 permette di definire una sottrazione vettoriale := +. Vettori V.0 43 LiLu, E Luca Rovelli

Illustrazione: + Nota che nel parallelogrammo una diagonale rappresenta la somma e l altra la differenza. Definiamo ora la moltiplicazione di un vettore con uno scalare 4 : sono dati dati un vettore V e un numero reale λ; se λ = 0, si definisce 0 = o ; se λ 0, λ o, più brevemente, λ è il vettore tale che modulo λ = λ ; direzione λ e sono collineari ; { se λ > 0, λ e sono equiorientati ; verso se λ < 0, λ e hanno versi opposti. In sintesi: viene dilatato o compresso di un fattore λ, e se λ < 0 il suo verso viene invertito. La moltiplicazione : R V V λ, λ. gode delle seguenti, importanti proprietà algebriche: M = V ; M λ µ = λµ V, λ, µ R ; M3 λ + µ = λ + µ V, λ, µ R ; M4 λ + = λ + λ, V, λ R. Osservazione: le prime tre proprietà sono immediatamente verificabili, e la quarta è equivalente al teorema di Talete: λ λ + λ + = λ + λ 4 da non confondere con il prodotto scalare, che introdurremo più avanti Vettori V.0 44 LiLu, E Luca Rovelli

Le proprietà algebriche A-A4 e M-M4 sono gli assiomi di spazio vettoriale. Un insieme provvisto di un addizione interna e di una moltiplicazione scalare che le soddisfano è detto spazio vettoriale. Gli spazi vettoriali sono alla base della cosiddetta algebra lineare, una branca fondamentale della matematica dalle molteplici applicazioni, che vanno ben oltre l ambito geometrico: essa permette, ad esempio, di formalizzare in modo elegante le proprietà degli spazi di funzioni. Gli assiomi di spazio vettoriale traducono nel linguaggio algebrico le proprietà dei vettori, e permettono quindi di definire un vero e proprio calcolo vettoriale, indipendente dalla rappresentazione grafica. Esempio: siano a, b due vettori di V ; allora, con = a + b e = a b, vale La dimostrazione algebrica è immediata: + = a + b + a b a = + e b =. = a = a, = e qualsiasi scelta di a e b confermerà quanto ottenuto: a + b a + b = b = b, a b b = a + b b = a = a b a = + Introduciamo ora un concetto fondamentale della geometria vettoriale: Definizione 6 Combinazione lineare Siano,,..., n vettori di V e λ, λ,..., λ n numeri reali. Il vettore = λ + λ +... + λ n n è una combinazione lineare di,,..., n. Illustrazione: 3 4 3 3 3 4 = 3 + 3 + 3 4 è una combinazione lineare di,, 3, 4 con λ = 3, λ = 3, λ 3 =, λ 4 =. Vettori V.0 45 LiLu, E Luca Rovelli

Teorema Scomposizione di un vettore in V Siano a e b due vettori non collineari di V. Allora ogni vettore V si lascia scrivere in un unico modo come combinazione lineare = λ a + µ b. Dimostrazione/illustrazione: è sufficiente notare che, dati a e b, ogni vettore V può essere rappresentato dalla diagonale di un parallelogrammo di lati collineari ad a e b: µ b a b λ a λ a µ b Definizione{ 7 Base Una coppia a, } b di vettori non collineari del piano costituisce una base di V. Quindi: ogni vettore di V si può scrivere in un unico modo come combinazione lineare degli elementi di una base. Esempio: siano ABCD un quadrato, M il suo centro e P, Q i punti medi dei lati CD risp. AD. Scrivi BC, AQ, P Q, BD, QB e P A come combinazione lineare di a = AB e b = AM. b Si ottiene BC = BA + AM = a + b ; AQ = AD = BC = a + b ; P Q = MA = AM = b ; BD = BC + CD = a + b a = a + b ; QB = QA + AB = AQ + AB = a b + a = 3 a b ; P A = P C + CA = a b. a Vettori V.0 46 LiLu, E Luca Rovelli

4. Vettori aritmetici del piano Esempio introduttivo: costruisci geometricamente la somma dei vettori rappresentati. Esprimili poi come combinazione lineare di i e j e verifica algebricamente il risultato. Per costruire geometricamente la somma, è sufficiente rappresentarli rispettandone il verso: Esprimiamo ora i vettori come combinazione lineare di i e j : IH = i + j ED = i j GH = 3 i j GF = 5 i + j F E = j Algebricamente, otteniamo CD = i + j CB = i AB = 3 i + j IH+ GH+ GF + F E+ ED+ CD+ CB+ AB = +3+5++ 3 i+ + ++ j = 9 i+3 j confermando quanto ottenuto graficamente. L esempio mostra che, scelta una volta per tutte una base di V, ogni vettore del piano può essere identificato grazie ad una coppia di numeri reali. Per comodità, la base viene scelta come segue: Definizione 8 Base ortonormata Una coppia { e, e } di vettori del piano costituisce una base ortonormata di V orientata positivamente, se e = e = ; e, e = π. Vettori V.0 47 LiLu, E Luca Rovelli

In altre parole: i vettori e e e sono unitari, e e può essere ottenuto ruotando e di 90 in senso antiorario. e +90 e Sia quindi { e, e } una base ortonormata di V ; ogni vettore si può quindi scrivere come combinazione lineare = v e + v e, e le componenti scalari o semplicemente componenti v, v R identificano in modo univoco. La legge v = v e + v e = permette quindi di identificare l insieme V dei vettori geometrici del piano con l insieme { x x, y R} y dei vettori aritmetici del piano, denotato anch esso con V. Illustrazione: 4 e + 5 e 4 5 v 5 e + 4 e 5 4 e e e 5 e 5 L addizione e la moltiplicazione con uno scalare nello spazio vettoriale geometrico inducono operazioni analoghe nell insieme dei vettori aritmetici: dato che per = v e + v e e = w e + w e vale + = v + w e + v + w e, definiremo v v + w w v + w = v + w ; Vettori V.0 48 LiLu, E Luca Rovelli

dato che per = v e + v e V e λ R vale definiremo λ = λv e + λv e, λ v v λ v = λ v L insieme V dei vettori aritmetici del piano soddisfa per costruzione gli assiomi di spazio vettoriale. In particolare, in esso ha nuovamente senso la nozione di combinazione lineare. Per due vettori, ad esempio, vale v w λv + µw λ + µ = λ + µ =. Esempio: dati a = Calcoliamo a 3 b + c = Nota che vale 0, b = 6 3 v, c = 4 w 0 3 3 + = 6 4 v v 0 = v + v 0. λv + µw, determina = a 3 b + c. 0 3 3 + 6 3 + 4 = in particolare, alla base ortonormata { e, e } corrisponde la base standard ; 0 8 { } 0,. 0 Applicazioni: questo nuovo approccio permette di tradurre nel linguaggio algebrico i problemi del calcolo vettoriale, ad esempio: v w Condizione di collinearità tra due vettori = e = : i vettori e sono collineari λ R con = λ v w λ R con = λ v w { w = λ v λ R con. w = λ v I vettori sono quindi collineari se le rispettive componenti sono proporzionali. Esempi: i = ii = iii = { 3 6 6 = 3 e = sono collineari: =, dato che 7 4 4 = 7 { 0 0 e = sono collineari: =, dato che 0 = 3 0 3 = 3 e = 3 v w 3 3 ; 6 non sono collineari, dato che 6 = 3 ma 3 3.. ; Vettori V.0 49 LiLu, E Luca Rovelli

a Scomposizione di un vettore a = come comb. lineare di vettori = a w = non collineari: basta trovare λ, µ R tali che w a = λ + µ a a = λ v v + µ w w v v { a = λv + µw a = λv + µw. Si tratta quindi di risolvere un sistema di equazioni nelle incognite λ e µ. 8 Esempio: a =, =, =. a = λ + µ 8 = λ + µ { 8 = λ + µ = λ + µ sommando le equazioni otteniamo 9 = 3µ, e quindi µ = 3 e λ = 8 µ =. Vale quindi a = + 3. v 3 Modulo di un vettore = : la scelta di due = v e + v e vettori unitari ed ortogonali quale base permette di applicare il teorema di Pitagora, ottenendo = v = v + v. v Esempi: i 5 = 5 + = 69 = 3 ; ii 6 = 6 3 + 3 = 45 = 3 5. 5. Il prodotto scalare nel piano v Definizione 9 Prodotto scalare Siano, due vettori geometrici di V ; il loro prodotto scalare è il numero reale definito come segue: se = o oppure = o, allora = 0 ; se o e o, allora si definisce = cos α, dove α è l angolo positivo e convesso tra due rappresentanti di e uscenti da uno stesso punto del piano. e e v ; e v Vettori V.0 50 LiLu, E Luca Rovelli

Illustrazione: sia p la componente di collineare a ; allora cos α = ± p ; α α p p quindi, vale = p se α è acuto e = p se α è ottuso. Osservazioni: i Per convenzione, si indica con α l angolo positivo e convesso tra i due vettori; non vi è comunque rischio di far confusione, visto che vale cos α = cos α = cosπ α. ii Occorre definire separatamente il prodotto scalare con un vettore nullo, poiché in tal caso l angolo non è definito. iii Se p è la componente di collineare a, vale anche = ± p. Applicazione: in fisica, il lavoro effettuato da una forza F lungo uno spostamento s è definito come il prodotto di s con il modulo della forza; in altre parole si tratta del prodotto scalare L = ± F s. Proprietà geometriche del prodotto scalare le dimostrazioni sono lasciate per esercizio: =, V ; λ = λ = λ, V, λ R ; 3 u + = u + u u,, V ; 4 Utilizzando l abbreviazione a = a a, vale a = a a cos 0 = a, e quindi a = a = a a. 5, sono collineari α = 0 oppure α = π cos α = ± = ± + se sono equiorientati, - se hanno versi opposti. 6 α = π cos α = 0 = 0 si tratta, come vedremo, di un utilissimo criterio per l ortogonalità di due vettori. Vettori V.0 5 LiLu, E Luca Rovelli

A fini teorici, il prodotto scalare può essere utilizzato per dimostrare teoremi di geometria piana. Utilizziamolo, ad esempio, per dimostrare il Teorema del cateto o Primo Teorema di Euclide: Siano ABC un triangolo rettangolo con angolo retto in B e H il piede dell altezza relativa all ipotenusa. Allora vale AB = AH AC. La dimostrazione viene condotta come segue: dal momento che AH e AC sono collineari ed equiorientati, vale AH AC = AH AC = AH AC = AB + BH AB + BC = AB + AB BC BH AB + BC } {{ } 0, perché AB BC + = AB = AB = AB } {{ } AC } {{ } 0, perché BH AC Nello spazio dei vettori aritmetici, il prodotto scalare assume una forma molto semplice: Teorema Prodotto scalare in V Siano e due vettori aritmetici del piano. Allora vale v w = = v w + v w. v w Dimostrazione: per il teorema del coseno, vale = + cos α } {{ } e quindi = +. In componenti, ricordando che v = v + v w v e =, w v α = v + v + w + w w v + w v = v + v + w + w w + v w v w + v w v = v w + v w Vettori V.0 5 LiLu, E Luca Rovelli

Esempi: calcola u, u e, con u = 5 7, = 4 6 5 4 u = = 5 4 + 7 6 = 0 4 = ; 7 6 5 3 u = = 5 3 + 7 = 5 + 4 = 9 ; 7 4 3 = = 4 3 + 6 = = 0. 6 e = 3. Applicazioni: il prodotto scalare permette di operare in componenti sugli angoli tra vettori; Angolo tra due vettori: dalla definizione = cos α segue immediatamente cos α =. 4 Esempio: determina l ampiezza dell angolo α tra = e =. 3 Calcoliamo innanzitutto 4 3 cos α = = 4 3 e quindi α = arccos = 5 0, 30. 4 + 3 + 4 + 3 = 5 Condizione di ortogonalità: siano e due vettori non nulli; come abbiamo già notato, vale = 0. Ad esempio, = 5 e = 5 sono ortogonali, perché 3 3 = 3 5 5 6 = 5 + 3 5 6 = 5 + 5 = 0. Vettori V.0 53 LiLu, E Luca Rovelli

6. Il determinante e la regola di Cramer Calcoliamo l area A di un parallelogrammo delimitato da = vale A = h = sin α ; elevando al quadrato, e ricordando che sin α + cos α =, otteniamo v v h α e = A w w : e quindi A = sin α = sin α = cos α = cos α =, A =. Si tratta già di una relazione interessante, ma essa può essere ancora semplificata con l ausilio delle componenti: e quindi A = = v + v w + w v w + v w = = vw + vw + vw + vw vw v v w w vw = = v w v w v w + v w = v w v w A = v w v w. Esempio: determina l area di un parallelogrammo avente lati collineari ai vettori 4 = e =. 3 Basta calcolare A = 3 4 = = unità. Il numero reale det, = v w v w = v w v w } {{ } notazioni è detto determinante di e. Si tratta di una grandezza utile nell ambito della geometria vettoriale; ad esempio, è facile verificare che esso è nullo se e soltanto se due vettori sono collineari basta notare che essi delimitano un parallelogrammo di area pari a zero unità!, e quindi che vale det, 0 e sono linearmente indipendenti. Vettori V.0 54 LiLu, E Luca Rovelli

L utilità del determinante si rivela inoltre nella cosiddetta regola di Cramer: consideriamo il sistema di equazioni lineari { a x + b y = c a x + b y = c x a + y b = c con a = a a, b = b b, c = c c. Come abbiamo già osservato, se vale D = det a, b = a b a b 0 i vettori a e b formano una base di V, e quindi il sistema ha certamente una soluzione. Il determinante permette anche di ricavarla: ponendo D = det c, b = c b c b, D = det a, c = a c a c allora vale x = D D, y = D D. La dimostrazione più immediata di questo fatto per quanto riguarda sistemi di due equazioni in due incognite consiste in una verifica esplicita. Verifichiamo quindi che vale { D a D D D = c D a D D D = c. Per la prima equazione calcoliamo: D a D + b D D = a c b c b a c a c + b = a b c a b c +a b c a b c = c a b a b = c, a b a b a b a b a b a b a b a b e per la seconda: D a D + b D D = a c b c b a c a c + b = a b c a b c + a b c a b c = c a b a b = c. a b a b a b a b a b a b a b a b Esempio: risolvi il sistema di equazioni { 3x y = 4x + 5y = 7. Con D = 3 4 5 = 5+8 = 3, D = 7 5 = 60 4 = 46, D = 3 4 7 vale x = D D = 46 3 =, y = D D = 69 = 3 e quindi S = {, 3}. 3 = 48 = 69 Vettori V.0 55 LiLu, E Luca Rovelli