Fisica generale Indice degli esercizi solti Questi esercizi sono stati solti durante le esercitazioni di preparazione agli esai e durante le correzioni degli stessi esai dal tutor dott. Gianluca Pagnoni, quindi quasi tutto quel che è riportato è farina del suo sacco. Per tradizione sono indicate e deono essere considerate le seguenti costanti: g9,8 /s (accelerazione di graità terrestre) 6,67 N / kg (costante di graitazione uniersale) R Terra 6 7 k (raggio della Terra) Nel caso serisse la assa della Terra (e, in generale, quella di un qualunque pianeta), bisogna utilizzare la legge di graitazione uniersale: F g Terra R Terra Terra g R Terra 9,8 6 7 6,67 5,97 4 kg Fisica generale L-A Copito del 6//7... Copito del 4/7/8... Copito del 8/9/8... Copito del 8//9... Copito del 4//9... Copito del /4/9... 4 Copito del 8/6/9... 5 Copito del //... 5 Copito del 4/6/... 7 Copito del 5//... 7 Copito del /6/... 9 Copito del 7/7/... Copito del 5/7/... 6 Copito del 7/9/... Copito del //... 4 Copito del 9//... 7 / 9
Fisica generale L-A Copito del 6//7 Se il pinguino può uoersi significa che c'è attrito (altrienti il oiento sarebbe ipossibile), quindi la taoletta si uoe rispetto al pinguino. Dato che la taoletta si uoe anche rispetto al lago ghiacciato, perché tra i due non c'è attrito, allora il pinguino si uoe con elocità uguale e contraria a quella della taoletta (risposta b)). Copito del 4/7/8 Scalarente, il laoro è espriibile sepre coe LF S. A forza e spostaento uguale corrispondono laori uguali, quindi per spostare punto ateriale e sfera rigida è necessario copiere lo stesso identico laoro. Copito del 8/9/8 Trattandosi di un urto, in ogni caso si consera la quantità di oto (il sistea è isolato). Quando l'urto è elastico, in particolare, si consera l'energia eccanica (dunque l'energia cinetica). a) Nel caso di urto elastico, separando le coponenti x e y: iniz iniz fin fin fin fin p x p x p x p x 6 4 p x p x kg /s iniz iniz fin fin fin fin p y p y p y p y p y p y kg /s / 9
Copito del 8//9 L'urto è eidenteente anelastico, quindi si consera la sola quantità di oto (e non anche l'energia cinetica, cosa che aiene quando l'urto è elastico). Allora: La F a (che contiene la assa inerziale) dà origine alla legge di graitazione uniersale F R, che sostanzialente ha la stessa fora. In essa, quindi, le asse dei corpi celesti sono inerziali (a)). Le asse graitazionali sono quelle isurate staticaente, con un esperiento analogo a quello di Caendish. Anche se esse sono proporzionali e talolta identiche alle asse inerziali, si tratta counque di grandezze distinte, perché di origine diersa (statica e dinaica). La quantità di oto (che si suppone si dorebbe perdere) è copensata dalle asse perse per caduta. Copito del 4//9 a) FALSO: a parità di forza, serirebbe uguaglianza tra gli spostaenti, a il punto c) diostra che s s. / 9
b) FALSO: s s s s t t t t a a s t t t F a F a c) VERO: F F F s 4 t t s s t s t Astronauta e astronae sono in equilibrio, anche separataente. Copito del /4/9 a) FALSO: il teorea delle forze ie definisce l'energia cinetica: LAB T B T A. b) FALSO: il teorea delle forze ie ale per tutte le forze, coprese quelle di attrito. c) VERO è una proprietà del centro di assa deriata dal teorea di HuygensK O K G G O Q Steiner I r I g d, che ha la stessa struttura algebrica. I Si può diostrare sapendo che intercorre la relazione K tra il oento angolare e il oento P O, allora: d'inerzia e ricordando che in un punto P che ruota P O t k P O r I r I g d P O r I r I g d t k P O P O K O K G P O d r k t P O P O t P O k r K O K G P O d P O P O K K P O Q P O O G P O Il incolo è che abbiano lo stesso allungaento : 4 / 9
F F g g F k x k x g g F g x k Copito del 8/6/9 Un'esplosione è equialente ad un urto è anelastico, quindi si consera solo la quantità di oto e non l'energia cinetica: a) VERO: le asse dei pianeti sono ininfluenti, infatti singolarente bisogna eguagliare la forza centripeta alla forza di attrazione graitazionale del Sole (assa ): ac R R Essendo costante, a elocità uguale corrisponde raggio uguale dell'orbita. Copito del // Senza sciolare significa che la elocità del centro di assa è uguale alla elocità di spostaento, quindi si applica la condizione legata al oento d'inerzia per i corpi rigidi che hanno un oto con asse di rotazione che riane parallelo a se stesso: e centro diassa spostaento u I I Sapendo che un disco è un cilindro con altezza ridotta: I cilindro r. 5 / 9
c. L'energia potenziale è uguale alla soa dell'energia cinetica douta alla rotazione dei due dischi, più l'energia cinetica douta alla traslazione: Non essendoci attrito tra piattafora e suolo, il oiento del babino sopra alla piattafora causa il oto della piattafora stessa rispetto al suolo. Trattandosi di un sistea isolato (piattafora+babino), si consera la quantità di oto: 6 / 9
Copito del 4/6/ Il incolo è Rg+a: ogni persona è soggetta sia al proprio peso, sia alla forza ipressa alla assa dall'accelerazione dell'ascensore erso l'alto. Copito del 5// a) FALSO: l'urto è anelastico, dunque l'energia cinetica non si consera. b) FALSO: i eicoli non si uoeano lungo la stessa retta d'azione, quindi l'eentuale oto successio all'urto si solgerà su una retta deterinata dalla regola del parallelograa. c) VERO: l'urto è anelastico, dunque si consera solo la quantità di oto. d) FALSO: l'urto è anelastico, dunque l'energia eccanica non si consera. Un punto focale del problea è che agisce la forza peso, e basta: trascurando l'attrito dell'aria è coe se si fosse nel uoto. a) FALSO: doendo trascurare l'attrito dell'aria si è coe nel uoto, quindi non è persa energia per attrito douto a rotazione. a g, quindi b) VERO: agendo la sola forza peso, l'accelerazione di entrabi i corpi è l'accelerazione non dipende dalla assa cioè il oto è lo stesso (purché i due corpi partano con edesia elocità iniziale). Dato che entrabi partono con la stessa elocità e che la pallottola raggiunge il bersaglio, allora anche la palla di cannone raggiunge il bersaglio. c) FALSO: poiché il oto è lo stesso, allora per percorrere distanze uguali si ipiegano tepi uguali, quindi i due corpi arriano assiee a colpire il bersaglio. d) FALSO: (edi punto b). 7 / 9
copensa p p La forza centrifuga responsabile del oto. è apparente, quindi non è La forza peso e la forza di tensione della fune si deono cobinare fino a forare un oto circolare unifore: quindi, la forza peso dee essere bilanciata da una forza opposta, che la copensi. Negli estrei è tutta energia potenziale. Nel punto ediano l'energia potenziale dienta tutta energia cinetica. Si tratta di un problea di equilibrio: R. B è fero perché c'è attrito statico, che non lo lascia uoere fino a che non iene superato il alore assio della assa di A per cui l'attrito iene into. Per troare la elocità orbitale si eguagliano la legge di graitazione uniersale con la legge del oto circolare unifore (espriendo entrabe coe accelerazioni): 8 / 9
G G 7, k/s R h R h R h Per troare la elocità di fuga, inece, si eguagliano l'energia cinetica con l'energia potenziale graitazionale: G f G f 9,94 k/s R h R h L'energia cinetica necessaria a spostare il satellite è pari alla ariazione di energia potenziale tra le due orbite: G G R h R h G G Gh 9 E,5 J R h R h R h R h E Si considera l'orbita geostazionaria lungo il piano dell'equatore, a 6 k di quota. L'orbita è percorsa in un tepo pari all'orbita terrestre. R h s T R hs 4 6 hs 6 6 E G GT R h s R hs 4 G h s h G G 7,9 9 J R hs R h s R h R h s Copito del /6/ a) FALSO: la forza di attrito, in ogni istante, agisce sul punto di contatto che ha elocità nulla (s) perché il rotolaento è senza strisciaento, quindi l'attrito non copie laoro, cioè non sottrae energia al oto. b) VERO: se non c'è attrito non si dissipa energia, quindi il oto è perpetuo. c) FALSO: la forza di attrito è una forza consequenziale al oto e non può proocarlo in questo caso, oltretutto, la forza di attrito è assente, quindi non può causare il oto. I due satelliti, per aere posizione relatia costante, deono aere la stessa elocità angolare. Per entrabi bisogna eguagliare la forza di attrazione graitazionale con la forza centripeta del oto circolare: r r cioè r Si deduce iediataente che, per aere costante, l'unica possibilità è che r r, cioè che i pianeti percorrano la stessa orbita: infatti la elocità angolare dipende solo dal raggio del oto 9 / 9
circolare e non dalla assa degli oggetti che la percorrono. Le asse tendono a rianere fere rispetto al SdR della strada sotto al caioncino, quindi le olle si allungano: rispetto al SdR del caioncino, le asse di uoono all'indietro. kx ac x x kx ac Dopo la rottura delle olle, le due asse si uoono allo stesso odo: infatti, per entrabe l'accelerazione è aa c, cioè quella (relatia) del caioncino. Per la conserazione dell'energia: V V gh. in Per la conserazione della quantità di oto: Risolendo il sistea: in in V V. gh con in. Bisogna scriere solo le equazioni, tenendo conto che quando si troa sul piano inclinato sono entrabi in oiento: con elocità V, con la propria elocità soata alla elocità relatia al SdR del piano inclinato (che trasla di oto rettilineo unifore, dato che l'ipatto da i due corpi è assiilabile ad un urto elastico: infatti si consera la quantità di oto). Scriiao le equazioni rispetto al SdR della Terra : V x V y gh rel rel V xrel V in x x V [ ] rel y y rel x rel tg Perché un capo di forza aetta potenziale, esso dee essere irrotazionale: F U x Fx U U U y x F y y F x cioè Fy U U F y F b c x y x / 9
Non basta: bisogna eguagliare coponente a coponente: U U ax bxy f y x U F y cx dy U cxy dy g x y F x ax by U bx f y y U cy g x x Eguagliando il prio sistea con l'ultio: bc b c b c g ax ax by cy g x axg x cx dybx f y dy f y f dy Quindi il potenziale si scrie: U ax bxy dy. Soluzione alternatia. Dopo aer troato bc si integra la funzione su un percorso generico da (,) a (x,y): y (x,y) ax by F i bx dy j Fx Fy Nel tratto si integra Fx (ycost.): U (,) x [ x ] x x F x d x ax by d x a bxy a (x,) x Nel tratto si integra Fy (xcost. diersa da zero): U [ x y y F y d y bx dy d y bxy d x ] y y bxy d Il potenziale è la soa dei due contributi (essendo conseratio il percorso di integrazione è arbitrario): U U U ax bxy dy. Se la forza è centrale si può scriere: y F x ax by a b f x y ax byf x y x x F y cx dy x cx dyf x y y x y f x y c df x y F r f x y x i y j y bc bc y x y x a b c d a b b d x y x y bc ad bc y x Eguagliando coponente a coponente: ad b x y allora: U generalente a x y a r. / 9
Si ossera che, nel caso di capo centrale, le superfici equipotenziali sono dei cerchi (infatti il potenziale è un paraboloide). T g x g,49 T kx k Tirando la assa erso il basso e rilasciandola, ci sarà una forza di richiao. Il punto x è il punto di equilibrio (centro di oscillazione del oto aronico). g T a T a g a T R T RI R k R T T a a x T k x x T g kx gkx Dato che l'espressione generica del oto aronico seplice è x x si troano: k,67 s 9,4 rad/s da cui segue T Se si taglia la fune, cabia solo l'equazione della parte sinistra della carrucola: g T a TRI g T a a g4,6 /s^ conseratia perché la forza che la T a genera è costante (forza di graità). Quindi: ah a h4,7 /s Soluzione alternatia. Si può applicare la conserazione dell'energia eccanica: g h I gh a h4,7 /s / 9
Copito del 7/7/ l+δl k l l l l l ω k k a. FALSO: il sistea è isolato, quindi il oento angolare del sistea si consera. b. FALSO: il oento d'inerzia è legato alla geoetria delle asse ed auenta quando le asse engono allontanate dal riferiento di rotazione (coe in questo caso: allargando le braccia si allontanano le relatie asse dall'asse di rotazione scelto). Quindi il oento d'inerzia auenta. I cost. e I c. VERO: un corpo che ruota ha oento angolare K. In questo caso K dee diinuire. auenta, quindi per la proporzionalità inersa la elocità angolare A'B' ha elocità edia superiore perché il peso accelera il oto anche quando decelera nei tratti in salita, la elocità edia riane superiore. AB, inece, è sul piano, quindi il oto è costante e non accelera ai. a. g T a g T a T g a E b. Si applica la conserazione dell'energia eccanica : gzcost. Deriando ( è il quadrato di una funzione, quindi bisogna fare la deriata di una funzione coposta): / 9
de d de d g dt dt g dt dt a g a r r T P g P RT } Alla fine: T } g quindi T 4 r P quindi g R T RT 4 r g R T T r g...9,...s r r r E Per la conserazione dell'energia eccanica: } E. r L'energia auenta al crescere del raggio. : il raggio diinuisce e la elocità auenta. r 4 / 9
Si consera la quantità di oto perché l'urto è anelastico, a la elocità finale è relatia alle tre asse considerate assiee: d d' s A BC f A x A ' BC z x A f,66 /s A BC z BC f f z BC x F BC a BC (la forza di attrito è la stessa che causa l'accelerazione del blocco A ) F A g abc A g BC s F F Per il teorea delle forze ie: s g BC A BC T ds A ' F T A abc A ' A F F T s A,4 d 'd s,6,4,98 5 / 9
Copito del 5/7/ Entrabi i corpi si uoono con coponente erticale del oto caratterizzata da accelerazione unifore (accelerazione di graità g), indipendenteente dalla assa dei corpi. La coponente orizzontale (proiettile sparato orizzontalente, bersaglio lasciato cadere) è ininfluente nel problea quindi il proiettile centrerà sepre il bersaglio. L'unico liite è dato dallo spazio di caduta: se è troppo bree, entrabi toccano terra e il proiettile può non raggiungere il bersaglio, perché il oto non può proseguire nel terreno. a. FALSO: le accelerazioni sono uguali, a prescindere dalle asse b. FALSO: non sere una elocità particolare: si spostano allo stesso liello c. VERO d. FALSO (per esclusione). Si iposta la F a con la forza graitazionale a liello del suolo (senza considerare h), per troare una relazione tra i dati disponibili: g Terra R Terra g R Terra Terra Si eguaglia la forza graitazionale alla forza centripeta per troare la elocità: Terra R Terra h R Terra h Terra R Terra h Utilizzando la relazione troata pria si sostituisce e calcola: Terra g 9,8 6 R Terra 6, 6 7,566 /s R Terra h R Terra h 6,,5 Il oto del foglio erso destra prooca una forza sepre erso destra, per cui anche il cilindro dee uoersi nella stessa direzione della forza ipressa. 6 / 9
Bisogna scoporre il tepo di ritorno in due parti, una relatia al oto di caduta della pietra (rettilineo uniforeente accelerato) e una relatia al oto di salita del suono (rettilineo unifore): caduta suono I due oti si scriono in funzione dei tepi per poi poterli uguagliare e ricaare h, che è coune: h h uoo g caduta, h h uoo suono suono caduta suono Eguagliando si ottiene una equazione di secondo grado di ariabile caduta : g caduta caduta suono g caduta suono caduta suono suono± suono 4 g suono 4 /s± 4 /s 9,8 /s 4 / s s caduta g 9,8 /s caduta 7,6 s (non accettabile) caduta,945s (accettabile) h g caduta huoo 9,8 / s,945 s,8,6 SOLUZIONE ALTERNATIVA. gt caduta h ' salita t salita t caduta t salita h ' t caduta tsalita h' g h' salita t caduta t salita t caduta t salita h ' h' g salita h ' h ' (equazione di II grado nella ariabile h') salita g h ' 4 g g salita 4,6 hh ',8,4 salita Se suono si ha che caduta s, quindi si approssia: h * g h uoo 9,8 / s s,8,4 L'errore percentuale riferito all'altezza reale h è: h h* h,4,6,55, % h h,6 7 / 9
La olla copie sul blocco un laoro pari all'energia potenziale che essa ha accuulato per effetto della copressione: N L olla k l 9 c 9 N c,9 J c La forza di attrito copie laoro in proporzione al peso del corpo, opponendosi allo spostaento del corpo stesso: L attrito g l 5 kg 9,8 N,,,94 J kg Per il teorea delle forze ie: T Lolla Lattrito L olla L attrito,9,94 J N,49,49,49 /s 5 kg kg s Tutta l'energia cinetica dee essere dissipata dalla forza di attrito:,4 /s g x x,6 g, 9,8 /s SOLUZIONE ALTERNATIVA. L L attrito,66 N x,68 L L attritol arresto g x g N 5 kg 9,8, kg La palla ha un effetto (la forza ha un oento che prooca una rotazione). Non è puro rotolaento. C'è attrito. La elocità cala finché non si annulla e dienta puro rotolaento (quando la forza di attrito non copie più laoro) all'infinito, perché non si dissipa energia. Si applica il teorea dell'ipulso: 8 / 9
t F R dtf R t F t F t R R 5 t I G dti G IG R sfera R 5 F t F r a F r RI G a Fr FrR 5F r IG R sfera 5F r R Fr t t Per il rotolaento puro bisogna iporre RP R : RP RP R Fr 5F r R t RP 5 t RP R 5 5 RP RP 5 5 9 T i I G R 5 R 5 9 8 Lattr T i T f 9 64 RP I G RP 8 6 9 / 9
Copito del 7/9/ La elocità di fuga è quella elocità la cui energia cinetica associata eguaglia il potenziale graitazionale. Calcolando la elocità nei due casi si troa l'altezza di lancio: Terra ft fh R Terra h R Terra Terra fh ft Terra ft R Terra 4 Terra ft R Terra h fh ft ft R Terra h4 R Terra h R Terra fh Il oto del punto A è unifore. Il oto del punto B è uniforeente decelerato. d dato che cost. dt d 4 ab 8 c /s dt 5 aa Bisogna, per pria cosa, calcolare il tepo ipiegato da B per raggiungere la elocità richiesta. Il oto di B è uniforeente decelerato, quindi: B ab t *B t*b B 4 c/ s,5 s ab 8 c/ s Il oto di A è unifore, quindi: sa A t *B c/ s,5 s7,5 c sb s t abt Sapendo che la elocità di B è B ab t B 4 8 t, si integra tra gli estrei teporali: t sb t 4 8 t dt[ 4t 4 t ] 4 4 / 9
T T T T T T S T RT R T T 4 4 T 4 F T S T 4 RF R TS TS T T4 4 T F Wg T RT R Wg T RT 4 R T T T T 4 F W Wg 4 Wg R pf sf pi6 c/s a. Trattandosi di un urto elastico, si conserano la quantità di oto e l'energia cinetica T (oltre Q al oento angolare, che però in questo caso non si considera). Q Q Q Q pi si pf sf T pi T sit pf T sf pi pf sf pi pf sf I pi sf pf sf I R pi pf sf R 5 5 R sf R / 9
pi sf pf pi sf pf sf pf sf pf sf pf pf sf sf 5 pf sf pi sf i sf (eq. in sf ) 5 sf pf sf pi i sf 5 sf b. Il raggio d'inerzia si calcola coe: pf sf pi c/s sf non accett. sf 5 c/s 5 sf i5 c/s I R 5 R c,6,6 c 5 c. Il punto ateriale dopo l'urto la erso della elocità opposto (negatio) al erso iniziale del suo oto, a causa dell'urto elastico contro la sfera. a. REGOLA GENERALE : bisogna ettere tutto in funzione di x e dx e integrare sui ari tratti di cura (dato che hanno equazioni differenti). AB ( y x 6 x ) dy dx Calcolo di Calcolo del infinitesio: laoro dy dy dx dx dl6 xy dx x dy dl6 xy dx x dy Va tutto espresso in x e dx: dlf x dx F y dy dl6 x x 6 x dx x 4 x 6 dx dl6 x x dx x x dx dl 4x 54 x dx dl8 x dx B Calcolo del laoro: LAB O dy 4 x 6 dy 4 x 6 dx dx Va tutto espresso in x e dx: P dlf d LPO BA ( y x ) dl P LAB dl A 4x dx 54 x dx 4 4 54 [ x ] [ x ]48J 4 A LBA LAB B 8x dx dl 8 [ x ] 48 J Per ottenere il laoro coplessio bisogna soare i laori solti sui ari tratti: L TOT LAB LBA 48 48 J J (la forza potrebbe essere conseratia) b. Per erificare che la forza sia conseratia se ne calcola il rotore: i F x Fx j y Fy i k x z F z 6 xy j y x k z z 6 xy j x x k y 6 xy k z x i / 9
i la forza è conseratia j 6 x k 6 x k Calcolo del potenziale: U x 6 xy U F dx6 y c x y f y x x U F y x U F y dy x y c x y g x y F x U x f y y U 6 x y g x x Per troare le costanti si eguagliano i risultati del prio e del terzo sistea: x x f y f y U x y g x 6 x y6 x y g x ag lungo gli assi cartesiani: Bisogna scoporre la F F x F agx F y agy (da questo sistea si ricaano le accelerazioni, poi si integra per elocità e spazi) F F F t Gx t x G agy Gy y G L agx Si tratta di un oto di rotazione con asse (perpendicolare al piano xy, passante per G) sepre parallelo a se stesso: GI I F cos L F L L F L cos cos L / 9
Copito del // Perché la posizione resti fissa rispetto alla superficie terrestre l'orbita dee essere equatoriale e il oto circolare del satellite dee aere la stessa elocità angolare della Terra (cioè lo stesso periodo di rotazione: T 4 6 s ). Calcolando che g Terra R Terra h Terra Terra R Terra R Terra h R Terra h g RTerra 4 g R Terra R Terra h si sostituisce sopra per ricaare h: T T 9,8 6 7 6 4 6 4 4 k h4 67 k585 k a. VERO: la forza centrifuga è una forza apparente che si anifesta nei SdR che ruotano rispetto a un SdR inerziale. La forza centrifuga F r è posizionale e dipende solo da r, quindi aette il F dr r dr r potenziale U r. b. FALSO: la forza centrifuga è una forza apparente, non reale. c. FALSO: la forza centrifuga è una forza conseratia. Ipostando le equazioni cardinali della dinaica, in ciascun caso la risultante delle forze esterne è la edesia (cioè la sola forza F), per cui il teorea del oto del centro di assa ( R e ac ) assicura che esso si uoe nello stesso odo. L'unica differenza è che il disco a. non ruota a trasla solo, entre il disco b. ruota perché la forza ha un braccio rispetto al suo centro di assa. Si applica la F a : 4 / 9
F f attrito a Il oto ha asse di rotazione sepre parallelo a se stesso, quindi si può usare l'equazione del e oento ( u I ) della dinaica dei sistei: f attrito R F I R a R R F a R R a R F f attrito a F a f attrito a fattrito Quando c'è rotolaento senza strisciaento si può far equialere lo spostaento lineare a quello angolare (ragionaento alido per spostaenti, elocità e accelerazioni): Già troata: f attrito a F. R R a F. y tg x L y x θ l/ h l h L l tg h area l h (densità superficiale) r d r ds, doe d è l'eleento infinitesio di assa, cioè la Il oento d'inerzia è I densità superficiale per l'eleento infinitesio di superficie ( ds y dx : i rettangoli infinitesii sono alti y e spessi l'infinitesio dx ). Usando x inece di r perché ho intenzione di integrare in x (aendo affettato il triangolo a partire dall'origine degli assi in tante fettine trasersali): 5 / 9
h I x y dx h x tg x dx h x dx tg l h4 h lh 4 l L xg x ds tg h x dx l h h lh l L Per il teorea di Huygens-Steiner: I r I G d I G I r d 4 l I G h d h h L 9 8 Si tratta di un oto circolare uniforeente accelerato. Bisogna espriere lo spazio percorso in funzione dell'angolo al centro : s Si può scriere una catena di relazioni tra l'angolo al centro, la elocità angolare e l'accelerazione angolare : at s t t Aendo noto il coportaento durante il prio secondo di rotazione, si ricaa che: n [rad ] [rad /s] Sapendo quale angolo è percorso in funzione del tepo e aendo esso in relazione l'angolo al nuero di giri, è sufficiente calcolare il nuero di giri totali percorsi dopo secondi e sottrarre il 6 / 9
nuero di giri percorsi nel prio secondo: } n nx n n 4 n5[ giri] 4 n n n Copito del 9/ / Bisogna supporre che la costante di graitazione uniersale 6,67 non sia nota, perché non indicata nei dati del problea. Anche il periodo di rioluzione terrestre T 65 4 6 s non è noto, a a quanto pare iene reso noto a oce durante l'esae. g Terra Terra R Terra g Terra Sole 4 R Sole R R T R Terra Terra 4 R g R Terra Terra...,97 kg T g e alla forza di trascinaento I corpi all'interno dell'ascensore sono soggetti alla forza peso g. Tutto quello che si troa nel SdR dell'ascensore si coporta coe se non fosse soggetto a forze, per cui, indipendenteente dalla direzione, il oto di un oggetto lanciato è rettilineo e unifore, sia pria, sia dopo l'urto con il soffitto. La situazione richiesta è possibile nel punto di assio della elocità. Infatti, scriendo l'accelerazione coe coponenti tangenziale e radiale: as t s n. Nel punto in cui è assia la elocità ( s t s ) si annulla la sua deriata ( s ), per cui nell'accelerazione riane solo la coponente radiale che è quella che perette al oto di essere curilineo senza alcuna coponente a ). tangenziale, coe indicato nella figura B (infatti dee essere Nel punto di distacco si consera l'energia eccanica e si annulla il incolo di appoggio sulla superficie sferica: 7 / 9
R N g cos g grgr cos g cos N dist48,9 gradi N g cos dist g cos dist Nel punto del distacco si consera l'energia eccanica: grgr cos dist gr cos dist 6,5 /s Le coponenti della elocità deterinano le inforazioni su direzione e erso: x cos dist 4,5 /s, y sen dist 4,87 /s In un capo di forze conseratio, la forza è il gradiente di un potenziale: x y z V V i V j V k 5 y i xy z j F yz k x y z i 7 j 54 k F 7 54 6558 N F Il laoro in un capo di forze conseratio è la differenza di potenziale tra il punto finale e il punto iniziale di spostaento: LU U 4 4 J Il laoro calcolato lungo il percorso indicato si ottiene integrando sui due segenti (nel prio bisogna sostituire y x e quindi anche dy dx per aere l'integrale in una sola ariabile): L F dp [ 5 y dx xy dy yz dz ] [ 5 4 x dx x x dx ] [ 6 x ] x [ 5 dx dy z dz ] 6 z dz x F dp 6 z dz 6 x dx z [ z ] z [ ] [ 54 ] 8 / 9
Per calcolare l'allungaento assio non si può usare la F a perché la forza della olla aria con lo spostaento inece riane costante l'energia eccanica: g l g k l l,98 k Considerando anche l'attrito bisogna tenerne conto coe un agente dissipatio dell'energia potenziale graitazionale: g l g k l g l l,86 k g T y a x k x x g a x x k x x T g x a x Se e si fa un cabio di ariabile zx x g : k 9 / 9