TEOREMA DI PITAGORA Pg. 1 TEOREMA DI PITAGORA TRIANGOLO RETTANGOLO a = cateto minore b= cateto maggiore c= ipotenusa TEOREMA DI PITAGORA In un qualsiasi triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è sempre equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti Traducendo in simboli matematici si ha: c² = a² + b² c= a +b a= c b b= c a Questa formula per calcolare l'ipotenusa conoscendo i due cateti Questa formula per calcolare il cateto minore conoscendo l'ipotenusa e il cateto maggiore Questa formula per calcolare il cateto maggiore conoscendo l'ipotenusa e il cateto minore
TEOREMA DI PITAGORA Pg. TERNA PITAGORICA Ogni terna di numeri che rappresenta i lati di un triangolo rettangolo è detta terna pitagorica. Quando tre numeri formano una terna pitagorica? Tre numeri a, b, c formano una terna pitagorica se a² + b²= c² Esempi I numeri 3, 4, 5 formano una terna pitagorica perché cioè I numeri 5, 1, 13 formano una terna pitagorica perché cioè 9 + 16 = 5 5 + 144 = 169 3²+4²= 5² 5²+1²= 13² Terne primitive e terne derivate Una terna è detta primitiva se il loro M.C.D. È 1 Una terna pitagorica è detta derivata se il loro M.C.D. È diverso da 1 3, 4, 5 è una terna primitiva perché il MCD(3,4,5)=1 9, 1, 15 è una terna derivata da 3, 4, 5 perché il MCD (9, 1, 15)= 3 Metodi per trovare una terna pitagorica Dato un numero qualsiasi n a= n b= (n² 1) : c= (n² + 1) : n= 5 allora a= 5 b= (5² -1):= 1 c= (5² +1):= 13 Dati due numeri n, m con n<m a= (m²-n²) b= mn c= (m² + n²) n= 5 m=6 a= (6² - 5²)=11 b= x5x6= 60 c= (5² +6²)= 61
TEOREMA DI PITAGORA Pg. 3 TEOREMA DI PITAGORA NEI POLIGONI Il teorema di Pitagora viene applicato al triangolo rettangolo e a tutti i poligoni in cui è possibile individuare un triangolo rettangolo QUADRATO La diagonale divide un quadrato in due triangoli rettangoli isosceli con gli angoli di 45. La diagonale di un quadrato è sempre uguale al lato per la radice di due l lato Diretta Inversa d diagonale d =l l= d Nota bene d =l d = l +l = l =l l= d l= d = d x = d RETTANGOLO La diagonale divide un rettangolo in due triangoli rettangoli aventi l'ipotenusa congruente alla diagonale e i cateti congruenti ai lati. b h d base altezza diagonale d = b +h b= d h h= d b
TEOREMA DI PITAGORA Pg. 4 TRAPEZIO Un trapezio è equicomposto da un rettangolo e uno o due triangoli rettangoli. Ciascun triangolo rettangolo ha l'ipotenusa uguale al lato obliquo e i cateti rispettivamente uguali all'altezza e alla proiezione del lato obliquo. a, b h l 1,l proiezione lato obliquo sulla base maggiore altezza lato obliquo l = b +h b= l h h= l b ROMBO Nel rombo il triangolo rettangolo ha l'ipotenusa congruente al lato e i cateti congruenti a metà diagonali l d 1 d lato diagonale minore diagonale maggiore l= a +h d 1 = (l ) ( d ) d (l ) = ( d 1 ) Per calcolare il lato Per calcolare la diagonale minore Per calcolare la diagonale maggiore
TEOREMA DI PITAGORA Pg. 5 TRIANGOLO EQUILATERO L'altezza di un triangolo equilatero è sempre uguale a metà lato per la radice di tre l lato Diretta Inversa h altezza h= l h 3 l= 3 3 Nota bene h= l 3 l= d = d ( ) l l = l l 4 = 3 4 l = l 3 l= h 3 = h 3 h = 3 3 x 3 TRIANGOLO RETTANGOLO EMIQUILATERO Il triangolo rettangolo avente gli angoli acuti di 30 e 90 è un triangolo particolare (squadra lunga) perché è congruente a metà triangolo equilatero (emiquilatero). Un triangolo rettangolo con gli angoli di 30 e 60 ha sempre l'ipotenusa il doppio del cateto minore e l'altezza uguale al cateto minore per radice di tre. c ipotenusa a Cateto minore b Cateto maggiore c = a b=a 3 a= b 3 3
TEOREMA DI PITAGORA Pg. 6 TRIANGOLO RETTANGOLO EMIQUADRATO Il triangolo rettangolo avente gli angoli acuti di 45 e i cateti congruenti è un triangolo particolare (squadra corta) perché è isoscele ed è congruente a metà quadrato(emiquidrato). Un triangolo rettangolo con gli angoli di 45 ha l'ipotenusa uguale al cateto per radice di due. a, b cateti Diretta Inversa c ipotenusa c=a a= c Nota bene c=a c= a +a = a =a l= c l= c = c x = c CIRCONFERENZA Nella circonferenza un triangolo rettangolo viene individuato dal raggio (ipotenusa) dalla metà di una corda (cateto) e dalla distanza centro-corda (cateto). c corda d distanza corda-centro r raggio r= d +( ) c = d ( c ) r c= r d