Potenze, logariti, equazioni esponenziali e logaritiche Potenza con esponente intero di un nuero reale Sia a R ed n Z Ricordiao, anzitutto, le seguenti definizioni: ) se n >, si chiaa potenza ennesia (che, da ora in poi, si scriverà n-a) del nuero reale a, il prodotto di n fattori uguali ad a, cioè: a n = a a a a ) se n =, si pone a = a; ) se n = 0 e a 0, si pone a 0 = ; 4) se n < 0 e a 0, si pone a n = a n Dalle definizioni date segue che le proprietà delle potenze a esponente intero dei nueri razionali, valgono anche per le potenze a esponente intero dei nueri reali Cioè: se a, b R ed, n Z, risulta : a) a a n = a n ; b) a : a n = a n ; c) a n = a n ; d) (ab) n = a n b n ; n volte e) a b n a n = b n Si potrebbero diostrare le seguenti proprietà: se a e b sono due nueri reali positivi ed n un nuero intero positivo, allora: ) da: a = b segue a n = b n Viceversa: ) da: a n = b n segue: a = b ) da: a > b, segue a n > b n, da: a < b, segue a n < b n e viceversa Potenza con esponente razionale Abbiao definito la potenza di un nuero reale qualunque a nel caso dell'esponente intero positivo, e, per a 0, anche nel caso dell'esponente nullo o intero negativo Estendiao, ora, il concetto di potenza, considerando il caso di un esponente razionale qualunque e di una base positiva (o nulla se l'esponente è positivo) Diao ora una definizione che perette di estendere alle nuove potenze le ordinarie regole del calcolo delle potenze ad esponente intero Si definiscono, così, le seguenti proprietà:
a) se Potenze, logariti, equazioni esponenziali e logaritiche n > 0 e a 0, si pone: a n = n a ; b) se n > 0 e a > 0, si pone: a - n = n = n a a Osservazione: non si definiscono le potenze con esponente razionale dei nueri negativi e le potenze dello zero con esponente razionale negativo o nullo Infatti se si cercasse di estendere le definizioni date al caso delle basi negative, si andrebbe incontro a delle abiguità Ad esepio si ha: entre: ( - 768) 5 = 5-768 = - 5; ( - 768) 6, 0 = 0-768 6 = + 5 Dunque, pur essendo 5 = 6, 0, è: ( -768 ) 5 ( -768 ) 6 0 Non è difficile provare che le potenze a esponente razionale conservano le proprietà delle potenze a esponente intero Cioè, se a e b sono nueri reali positivi e n, p q nueri razionali, risulta, coe è noto: ) a n a p q = a n p q ; ) a n : a p q = a n - p q (a 0); ) a n p q = a p nq ; ) (ab) n = a n b n ; ) a b n = n a n b, (b 0) Anche per le potenze a esponente razionale vale la proprietà di onotònia e cioè: se a è un nuero reale aggiore di e h, k sono nueri razionali: da h < k segue : a h < a k, e viceversa; se 0 < a < : da h < k segue a h > a k, e viceversa Copleenti Cerchiao di dare un significato al sibolo: 5 Definiao gli insiei H, H e K, K in questo odo: H = { h Q h < } e H = { h' Q h' > }; K = { k Q k < 5 } e K = { k' Q k' > 5 } E' chiaro che gli insiei H, H e K, K non hanno alcun eleento in coune e, per questo, si dice che forano una coppia di classi contigue di nueri razionali Ciascuna di queste coppie definisce un nuero reale, detto anche eleento separatore delle due classi Per esepio, un odo particolarente seplice di definire il nuero reale è quello di considerare le classi K e K forate rispettivaente dalle sue approssiazioni per difetto e per eccesso a eno di 0 -, 0 -, 0 -, 0-4, Così possiao definire le due classi: K = {;,;,;,6; } e K = {;,;,4;,7; } In odo analogo possiao procedere per e potreo scrivere : 5 = (K, K ) e = (H, H )
per indicare quali sono i nueri reali definiti dalle due coppie di classi di nueri razionali A questo punto si calcolano tutte le potenze di base 5 (si tratterà, ovviaente, di prendere valori approssiati del nuero in questione) e di esponente uguale ai nueri razionali contenuti nell'insiee H, e tutti questi nueri, assiee a quelli inori di essi, si ettono in una nuova classe F; gli altri nueri si ettono in una nuova classe F Allora il nuero 5 indica il nuero reale che è l'eleento di separazione delle due classi F e F e si scriverà: 5 = (F, F ) Equazioni esponenziali Si chiaa equazione esponenziale ogni equazione in cui l'incognita copare all'esponente di una o più potenze Il caso più seplice di equazione esponenziale è l'equazione: () a x = b detta equazione esponenziale eleentare Si osserva, pria di tutto, che nell'insiee dei nueri reali la () può avere soluzioni solo se a > 0 e b > 0; infatti: a) il prio ebro della (), che è una potenza a esponente reale, ha significato solo se a è positivo; b) inoltre a x risulta sepre positiva, per ogni valore della x; pertanto l'equazione () può avere soluzione solo quando anche b è positivo Nell'ipotesi a > 0, b > 0, esainiao alcuni casi particolari: ) se è: a =, b = l'equazione () diventa: x = che è un'identità; ) se è: a =, b, si ha l'equazione: x = b ( ), che è ipossibile; ) se è: a, b =, si ha l'equazione a x =, che aette la soluzione x = 0, poiché è a 0 = Per gli altri casi, in cui a e b sono entrabi (positivi e) diversi da, sussiste il seguente teorea di cui si oette la diostrazione: Teorea : dati due nueri reali positivi a e b con a, l'equazione esponenziale: a x = b aette una e una sola soluzione Tale soluzione è positiva se a e b sono entrabi aggiori di, o entrabi inori di ; è negativa se dei due nueri a e b uno è aggiore di e l'altro inore di ; è uguale a 0 se è b = e a > 0 ESEMPI L'equazione: x = 9 ha per soluzione: x = L'equazione: x = ha per soluzione: x = - 9 L'equazione: x = ha per soluzione: x = 0 L'equazione: x = ha per soluzione: x = 0 L'equazione: x = - 9 NON ha soluzione L'equazione 6 x x = 864 per le note proprietà sulle potenze si può scrivere sotto la fora: 6 6 x x = 864, ossia 6 x 6 = 864, e seplificando: x = 8 Di qui si ricava: x = - che è l'unica soluzione dell'equazione data ESERCIZI: Trovare la soluzione delle seguenti equazioni esponenziali: ) 5 x 5 x 7 = 5; (x =, 4);
) x x 9 x = 8 x ; (x =, -) ) 9 x - 8 x + 9 = 0 Suggeriento : porre x = y (x =, - ) 4 Funzioni esponenziali Se a > 0, per ogni nuero reale x, la potenza a x funzione f da in, ponendo per ogni x di : è definita Possiao quindi definire la () f(x) = a x Se a =, f è costante: f(x) = x =, per ogni x reale Se a > 0 ed a la funzione () si dice funzione esponenziale di base a La più iportante proprietà della funzione esponenziale è data dal seguente teorea, che è un altro odo di enunciare il teorea : Teorea 4: se a è positivo, diverso da, allora la funzione esponenziale: y = a x assue, uno alla volta, coe valore, qualsiasi nuero positivo b Da questo teorea segue che: a) la funzione esponenziale è biiettiva; b) la funzione esponenziale è onotòna b) crescente, se a > ; b) decrescente, se 0 < a < Da qui si conclude che la funzione esponenziale è invertibile in R 5 Grafico della funzione esponenziale Distinguiao casi: a > (fate riferiento alla fig ); 0 < a < (fate riferiento alla fig ) e a = In quest'ultio caso la funzione, per ogni x, assue sepre il valore Quindi il grafico è rappresentato dalla retta di equazione y = y 5 y 5 4 y= x y= x 4 y= x x -4 - - - -4 - - - fig fig Il grafico della funzione y = a x, con a aggiore di 0 e diverso da, si chiaa curva esponenziale 4
6 Logariti Potenze, logariti, equazioni esponenziali e logaritiche Il teorea 4 ci assicura che: dati due nueri positivi a e b, con a, l'equazione a x aette una e una sola soluzione Tale soluzione si chiaa logarito di b in base a e si indica con la scrittura: log a b; si pone, cioè, la seguente definizione: dati due nueri positivi a e b, con a, si chiaa logarito in base a del nuero b, l'unica soluzione dell'equazione a x = b, cioè quell'unico nuero reale, che dato coe esponente della base a, rende la potenza a uguale a b Pertanto le scritture: log a b, a = b, sono equivalenti Il nuero b si chiaa argoento del logarito, e, per quanto detto, deve essere un nuero positivo Osservazione : la definizione di logarito perette di afferare che: ogni nuero reale b si può scrivere, in odo unico, coe potenza di un altro qualsiasi nuero a positivo, diverso da Infatti vale la seguente uguaglianza: b = a log a b In altre parole, ogni nuero b > 0 si può pensare coe potenza di base prefissata, qualsiasi, positiva e diversa da ESEMPI: ) log 9 =, perché è: = 9; ) log 8 =, perché è: = 8 ; ) log 0 0, = -, perché è: 0 = 4) log 5 = 0, perché è: 5 0 = ; 5) log 9 9 =, perché è: 9 = 9; 6) log a a =, perché è: a = a 0 = 0,; Dal teorea pria ricordato e dalla definizione di logarito, si hanno le seguenti proprietà: P) il log a b è positivo se : { a e b { 0 a 0 b ; P) il log a b è negativo se : { a e 0 b { 0 a ; b P) log a a =, perché a = a; P4) log a = 0, perché a 0 = ; P5) se due nueri sono uguali, anche i loro logariti (rispetto alla stessa base) sono uguali; e viceversa; P6) se la base è aggiore di, al crescere del nuero b, cresce anche il logarito di questo; P7) se la base è inore di, al crescere del nuero b, il logarito decresce Osservazione : non si può parlare di logarito di un nuero rispetto alla base (perché l'equazione x = b è ipossibile (se b ), o indeterinata (se b = )), o rispetto a una base negativa o nulla (perché la potenza a x indeterinata = b è definita per a 0; l'equazione: 0 x = b è ipossibile o 5
Infatti, se a = 0, allora 0 x = 0 per ogni x > 0 In tal caso l'equazione 0 x = b è ipossibile se b 0 ed indeterinata se b = 0) Quindi: NON ESISTE il logarito di un nuero negativo L'insiee dei logariti di tutti i nueri positivi, rispetto ad una data base a, si chiaa sistea dei logariti con base a Esistono, naturalente, infiniti sistei di logariti, perché infinite sono le possibili basi (cioè tutti i nueri positivi, diversi da ) Tra questi infiniti sistei di logariti, due sono quelli che couneente si considerano, e precisaente: a) quello in base e, dove e è un nuero irrazionale che vale (a eno di 0 5 ): e,788 Il logarito in base e di un nuero positivo N si chiaa anche logarito naturale e lo si indica con questa notazione: ln N, invece che log e N; b) quello a base 0, detto sistea dei logariti deciali, o di Briggs Il logarito deciale di un nuero positivo N, viene indicato con la seguente notazione: log N, invece che log 0 N, oettendo cioè l'indicazione della base 0 7 Proprietà dei logariti Il calcolo dei logariti si fonda su alcune iportanti proprietà valide qualunque sia la base a positiva e diversa da Allora, per ogni base a positiva, diversa da, si ha: ) Il logarito del prodotto di due (o più) nueri positivi b e c è uguale alla soa dei logariti dei singoli fattori, cioè: () log a (b c) = log a b + log a c ) Il logarito di una potenza ad esponente reale e base positiva, è uguale al prodotto dell'esponente della potenza per il logarito della base della potenza, cioè: log a ( b c ) = c log a b ) Il logarito del quoziente di due nueri positivi b e c è uguale alla differenza fra i logariti del dividendo e del divisore, cioè: log a b c = log a b - log a c 4 ) Il logarito di un radicale è uguale al quoziente del logarito del radicando per l'indice del radicale, cioè: log a n b = n log a b A coento di queste proprietà, bisogna dire che per poter applicare la ) e la ), i singoli nueri b e c devono essere positivi Inoltre, per non coettere gravi errori, sia noto che non esistono proprietà siili a quelle elencate sopra, che perettono di trasforare espressioni del tipo: log a b log a (b + c); log a (b - c); log a b log a c; log a c 6
8 Passaggio da un sistea di logariti a un altro Siccoe esistono infiniti sistei di logariti, è naturale chiedersi coe sia possibile passare da un sistea di logariti a un altro In altre parole, supposto di conoscere il logarito di un nuero positivo N, rispetto ad una base a, si vuol deterinare il logarito dello stesso nuero, rispetto a un'altra base b A tale scopo, posto: x = log b N, cioè b x = N; calcolando il logarito della base a di entrabi i ebri di quest'ultia uguaglianza, si ha: log a b x = log a N, cioè: x log a b = log a N, da cui, tenendo presente che x = log b N, si ottiene: log b N = log a N log a b 9 Funzione logaritica e relativo grafico Nel paragrafo 6 si è notato che se a è positivo e diverso da, ad ogni nuero reale positivo b corrisponde il nuero reale log a b Possiao dare quindi la seguente definizione: se a > 0 e a, la funzione f da in : f(x) = log a x si chiaa funzione logaritica di base a Essa gode di alcune proprietà di cui le più iportanti sono: a) la funzione è biiettiva, cioè è una corrispondenza biunivoca fra e ; b) la funzione logaritica è onotòna: b) crescente per a > ; b) decrescente per 0 < a <, quindi: c) la funzione logaritica è invertibile su tutta la retta reale; d) l'inversa della funzione esponenziale di base a è la funzione logaritica di base a Nelle due figure riportate qui sotto ci sono disegnati i grafici di due funzioni logaritiche In fig è tracciato il grafico della funzione: y=log x= ln x ln, entre in fig 4 è riportato il grafico della funzione: y=log x= ln x ln 7
y y= lnx y ln x x - - 4 5 - - 4 5 - - - - y= lnx ln fig fig 4 0 Equazioni logaritiche Un'equazione si dice logaritica quando in essa copare il logarito dell'incognita, o di qualche espressione contenente l'incognita Per risolvere un'equazione logaritica si cerca, con l'aiuto delle proprietà inverse di quelle descritte al paragrafo n 7, di trasforare l'equazione sotto la fora : () log a A(x) = log a B(x) dove A(x) e B(x) sono espressioni algebriche contenenti l'incognita x Da qui segue che i valori della x che soddisfano la (), devono soddisfare l'equazione: () A(x) = B(x) Ora però bisogna notare che non vale la proprietà inversa, cioè una soluzione della () può non soddisfare la () e ciò capita quando tale soluzione fa perdere di significato ad aleno un logarito della () Perciò, dopo aver risolto la (), bisogna verificare se le soluzioni trovate soddisfano, o no, l'equazione data ESEMPIO Si debba risolvere l'equazione logaritica: log(x + ) + log(x - ) - log(x - ) = log8 Pria di tutto, bisogna osservare che i logariti contenuti nell'equazione data avranno significato solo se alla x si attribuiscono valori che rendono positivi, siultaneaente, i tre polinoi: x +, x -, x -, cioè tale da aversi: x + > 0, x - > 0, x - > 0 Fatta questa preessa, l'equazione data può essere essa nella fora più conveniente: x x log = log8; x da cui, passando dai logariti ai nueri: x x = 8; x cioè: x - 8x + 5 = 0, le cui soluzioni sono x = 5 e x =, che sono entrabe accettabili, coe è facile verificare ESERCIZI Risolvete le seguenti equazioni logaritiche: 8
) logx + log(x + 5) = ; (solo una soluzione: x = 5) ) log x 5 log x - 5 (logx + 5) = - 5 ; (x = 0 e x = 0 - ) log(x - ) = - log 5; 4) log(x + x + 6) = + log(x + ); (x = e x = 6); 5) log(x - 7) - log(x + ) = 9 = Deterinate l'insiee di esistenza delle seguenti funzioni: ) y = log (x - ) + log (x + ); ) y = log log(x + ); ) y = log senx; 4) y = log x - Cercate, infine, di risolvere graficaente l'equazione non eleentare: x - x + - lnx = 0 0 4 0 ) ESERCIZI VARI Risolvi, nell'insiee dei nueri reali, le seguenti equazioni esponenziali: ) x x x =9, x= ; ) x x x x x 4 =, x=0; ) x x x =0, x =4; 4) x x x = x x 4 x 4, x=4 ; 5) x x = x x, x = ; 6) x x =8, x=, x= ; 7) 4 x x =, x =4, x= ; 8) x x =5, x = - ; 9) x 4 x =8, x = 4 ; 0) 6 x x =6, S = ; x ) 9 x = ; x= log 5 x log9-log5 ; ) x 4 x = 6 x ; x= log9 log48 Risolvi, nell'insiee dei nueri reali, le seguenti equazioni logaritiche: ) log x log x 4 log x = ; x = 00 ; x = 0000; ) log x log x log x =0; log x x= 0 ; x=0 0 ; ; ) log x + x - log x = log x, x=; 4) log x - log x =log x, x=4 ; ; 5) log [ x x ]= log 4 ; x = -; x = ; 6) log x log x =4 log x ; x= 6 ; 7) log x log x x =log x log ; x =5; 8) x log=log x ; x =0 ; 9
9) log 4 x log=log x ; x= log ; log4 0) log x x =log log x 4 x ; x= log-log5 log-log ) { log x =log x y= 4 ) { log x y= 0 x y = y ; ; 9/09/07 0
Indice generale POTENZE, LOGARITMI, EQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE POTENZA CON ESPONENTE INTERO DI UN NUMERO REALE POTENZA CON ESPONENTE RAZIONALE EQUAZIONI ESPONENZIALI 4FUNZIONI ESPONENZIALI 4 5GRAFICO DELLA FUNZIONE ESPONENZIALE 4 6LOGARITMI 5 7PROPRIETÀ DEI LOGARITMI 6 8PASSAGGIO DA UN SISTEMA DI LOGARITMI A UN ALTRO 7 9FUNZIONE LOGARITMICA E RELATIVO GRAFICO 7 0EQUAZIONI LOGARITMICHE 8