Verifica di Matematica

Liceo Scientifico Paritario R. Bruni Padova, loc. Ponte di Brenta, 9/4/16 Verifica di Matematica Classe V Soluzione Problemi. Risolvi uno dei due problemi. PROBLEMA 1 Le centraline di controllo del Po a Pontelagoscuro (FE) registrano il valore della portata dell'acqua, ovvero il volume d'acqua che attraversa una sezione trasversale del fiume nell'unità di tempo. Come responsabile della sicurezza della navigazione fluviale in quel tratto del Po, devi valutare quando consentire la navigazione stessa, in considerazione delle condizioni atmosferiche e del livello dell acqua. Nel corso dell'anno le portate medie del Po (a Pontelagoscuro) sono di circa 34 milioni di m 3 al giorno in regime di magra, 13 milioni di m 3 al giorno in regime normale con un oscillazione del 1% e 84 milioni di m 3 al giorno in regime di piena (fonte deltadelpo.net). Durante un periodo di alcuni giorni di piogge intense, dalle rilevazioni registrate risulta che: nei primi due giorni dall'inizio delle misurazioni il valore della portata dell'acqua si è alzato dal valore di regime normale di 13 milioni di m 3 al giorno fino al valore massimo di 95 milioni di m 3 al giorno; nei giorni successivi la portata si è ridotta, tornando verso il valore di regime normale, inizialmente più velocemente e poi più lentamente. i. Indicando con t il tempo, misurato in giorni, fissa un adeguato sistema di riferimento cartesiano in cui rappresentare il grafico dell andamento della portata. Verifica se una delle seguenti funzioni può essere usata come modello per descrivere tale andamento, tenendo conto dei valori rilevati e del punto di massimo, giustificando con opportune argomentazioni sia la scelta che l esclusione. dove a,b,c R. f ( t) = a cos( b t )+c g( t) = a e t b +c h( t) = a t e 1 b t +c, ii. Individuata la funzione, determina i parametri in modo che siano verificate le condizioni sopra descritte per la portata e tracciane il grafico. 1 di 16

iii. iv. Studia la variazione della portata nel tempo e valuta dopo quanti giorni tale variazione raggiunge il suo minimo. Inoltre, dovendo prevedere quando autorizzare la ripresa della navigazione in condizioni di sicurezza, valuta, analiticamente o per via grafica, dopo quanti giorni la portata rientra nel limite di oscillazione del valore di regime normale. Nel tempo trascorso tra l inizio del fenomeno e il rientro nei limiti normali, qual è il volume di acqua che ha superato il valore di regime normale? Risoluzione. i. Indicando con t il tempo, misurato in giorni, fissa un adeguato sistema di riferimento cartesiano in cui rappresentare il grafico dell andamento della portata. Verifica se una delle seguenti funzioni può essere usata come modello per descrivere tale andamento, tenendo conto dei valori rilevati e del punto di massimo, giustificando con opportune argomentazioni sia la scelta che l esclusione. dove a,b,c R. f ( t) = a cos( b t )+c g( t) = a e t b +c h( t) = a t e 1 b t +c, Un possibile grafico può essere il seguente, dove si è tenuto conto che nei primi due giorni la portata aumenta e dal secondo giorno in poi diminuisce sempre più lentamente (quindi la retta tangente al grafico avrà un inclinazione via via sempre più piccola): Il grafico riportato in figura non può essere quello di f in quanto il coseno è una funzione che in un intorno destro del massimo non decresce più velocemente di quanto decresce in un intorno sinistro del minimo. Non può essere neanche g poiché tale funzione, per t >, risulta essere monotona. Ad esclusione la funzione che meglio descrive l andamento della portata è la h. A conferma di ciò si veda il grafico riportato in Figura nel secondo problema. ii. Individuata la funzione, determina i parametri in modo che siano verificate le condizioni sopra descritte per la portata e tracciane il grafico. di 16

La funzione scelta è h t ( )e 1 bt. Di tale funzione sappiamo che: ( ) =13 ( ) = a t e 1 b t +c, con a,b,c R a. Si ha hʹ( t) = a 1 bt h c =13 c =13 h ( ) = 95 a e 1 b +c = 95 a = 41 (ricordo, per l ultima equazione, che un esponenziale hʹ ( ) = a( 1 b) e 1 b = b =1 non è mai nullo). L espressione analitica della funzione è P = h t Studio la funzione h. dominio: D = ; +. parità: h( t) h( t) h( t). ( ) = 41t e 1 t +13. segno di h: essendo una somma di quantità sempre positive, h( t) >, t D. limiti significativi ed eventuali asintoti: lim h( t) =13 ; la funzione ammette un asintoto orizzontale di equazione P =13. t + crescenza di h: hʹ( t) = 5( t)e 1 t per t. Quindi la funzione è crescente per t ; ed ammette un massimo (assoluto) M( ; 95). convessità di h: hʹʹ ( t) = 5 ( t 4 )e 1 t per t 4. Quindi la funzione è convessa per t 4; + 164+13e ed ammette un punto di flesso F 4; ( 4; 733). e grafico qualitativo di h: iii. Studia la variazione della portata nel tempo e valuta dopo quanti giorni tale variazione raggiunge il suo minimo. Inoltre, dovendo prevedere quando autorizzare la ripresa della navigazione in condizioni di sicurezza, valuta, analiticamente o per via grafica, dopo quanti giorni la portata rientra nel limite di oscillazione del valore di regime normale. 3 di 16

Il testo richiede di studiare la variazione della portata nel tempo, ovvero la funzione y = v( t) = hʹ( t) = 5( t)e 1 t. dominio: D = ; +. parità: v( t) v( t) v ( t).. segno di v: la funzione è positiva per t ; e ammette uno zero per t =. limiti significativi ed eventuali asintoti: lim v t ( )= t + = 5 lim t H = := 5 lim = ; la funzione ammette un asintoto orizzontale di equazione y = t + t 1 e + t + t 1 e. crescenza di v: vʹ( t) = 5 ( t 4 )e 1 t per t 4. Quindi la funzione è crescente per t 4; + 41 ed ammette un punto di minimo (assoluto) m4; ( 4; 151). e convessità di v: vʹʹ ( t) = 5 ( 4 6 t )e 1 t per t 6. Quindi la funzione è convessa per t ; 6 8 ed ammette un punto di flesso F 6; ( 6; 111). e grafico qualitativo di v: Rimane da valutare dopo quanto tempo ci potrà essere la ripresa della navigazione. Il problema ci chiede quindi dopo quanti giorni dall inizio delle misurazioni la portata entra nei limiti di sicurezza: 13±13 hm 3 giorno. 4 di 16

Valutiamo quindi in quale giorno la portata scende sotto i 143 hm 3 giorno : 41t e 1 t +13 143 41t e 1 t 13. Considero la funzione H t ( ) = 41t e 1 t 13 e ne determino l esistenza di uno zero applicando il relativo teorema: t ( ) H t 1 663 4 59 5 44 1 6 14 1 15 4 La funzione ammette uno zero z 14; 15. Questo significa che la navigazione potrà riprendere dal quindicesimo giorno dopo l inizio delle misurazioni. Il grafico della funzione h lo conferma: iv. Nel tempo trascorso tra l inizio del fenomeno e il rientro nei limiti normali, qual è il volume di acqua che ha superato il valore di regime normale? Il problema chiede di determinare il valore V 1 dell area compresa tra il grafico di h e l asse x, nell intervallo ; 15, tolta l area V riferita al volume d acqua di regime normale. Si ha: 15 15 V =V 1 V = h( t )dt ( 15 ) 143 = ( 41t e 1 t +13) dt 15 ( ) 143 = 15 = 41 t e 1 t 15 dt 15 ( ) 13 = 8 t 1 e1 t dt +195 = 8 t e 1 t 15 15 ( ) e 1 t dt +195 = = 8( t e 1 t 15 15 1 ) 164 e1 t dt +195 = 8 ( t +)e 1 t 15 +195 =164e 1394e 13 +195 3617,61 hm 3. 5 di 16

PROBLEMA Figura: grafico G. Il grafico G in Figura rappresenta una funzione del tipo: ( ) = x k e k x, x R, f x dove k è un parametro naturale maggiore di 1 ( k N >1 ). i. Determina il valore del parametro k affinché la sia rappresentata dal grafico, motivando la tua risposta. Calcola inoltre le coordinate dei punti di flesso, le equazioni degli eventuali asintoti e le equazioni delle rette tangenti a G nei punti di flesso. ii. Considera un triangolo avente i vertici, rispettivamente, nell origine, nel punto della funzione f x ( ) di ascissa a, e nel punto P sua proiezione sull asse x. Determina il valore a per cui la sua area sia massima. iii. Calcola l area della regione piana delimitata da G e dall asse x nell intervallo ; e determina il valore dell errore percentuale che si verifica nel calcolo di tale area se nell intervallo ; si adotta, per approssimare f ( x), una funzione razionale di 3 grado della forma r ( x ) = ax 3 +bx +cx +d, x R, dove a, b, c e d sono parametri reali (a,b,c,d R ), con r ( ) = e rʹ ( ) =. rʹ ( ) = f ( ) =, r ( ) = f ( ) = 4, iv. Dimostra che, dette A e B le intersezioni tra le tangenti a G nei punti di flesso e l asse x, C e D le proiezioni dei punti di flesso sull asse x, si ha, per qualsiasi k N >1, AB = CD. 6 di 16

Risoluzione. i. Determina il valore del parametro k affinché la sia rappresentata dal grafico, motivando la tua risposta. Calcola inoltre le coordinate dei punti di flesso, le equazioni degli eventuali asintoti e le equazioni delle rette tangenti a G nei punti di flesso. Osservando la Figura si può ipotizzare che G passi per il punto ( ; 4), che è un massimo relativo. Quindi f ( ) = 4 k e k = 4 k e k e = 4 k e k = 4e ( e) k = ( e) k =. Verifico se per il valore di k trovato la funzione f ammette un massimo relativo nel punto ( ; 4) : ( ) = x e x fʹ ( x ) = x e x + x e x ( 1) fʹ ( x ) = x x f x Poiché fʹ x ( ) x x ( ) e x. ( ) e x x (ricordo che la funzione esponenziale è sempre positiva), la funzione f ammette un massimo relativo in ; 4 Figura. ( ), coerentemente con quanto mostra la Per trovare le coordinate dei punti di flesso, basta studiare il segno della derivata seconda di f: fʹʹ x ( ) e x + ( x x ) e x 1 ( ) = x ( ) fʹʹ ( x ) = x 4x + ( ) x x +, la funzione ammet- Poiché fʹʹ ( x ) ( x ) e x x te due punti di flesso: F 1 ; ( ) e,9; 1,4 risultati ottenuti sono coerenti con la Figura. ( ) e x fʹʹ x ( ) = ( x ) e x. ( ) e ( ), F 1 + ; + 3,4;,8 ( ). I Cerco gli eventuali asintoti di f: Non ci sono asintoti verticali in quanto D f = R. lim f x x ( ) = lim x x e x = ( ) e ( ) = + e + = +. Per x non c è un asintoto orizzontale; xe x ( ) = e = e + =. non c è neanche un asintoto obliquo, in quanto lim f x x ( ) x = lim x x e x = + e = + = lim x + H x + H = := lim = := lim =. Per x + x e + x + x e + x + x e x + c è un asintoto orizzontale di equazione y =. lim f x x + ( ) = lim x + Cerco le equazioni delle rette tangenti a G nei punti di flesso: t 1 : y y F1 = fʹ ( x F1 ) x x F 1 ( ) y ( ) e = ( ) e ( x ( ) ), quindi 7 di 16

t 1 : y = t : y y F = fʹ ( ) e x 1 ( ) 3 e. ( x F )( x x F ) y ( + ) e = ( + ) ( e x ( + ) ), quindi t : y = + ( ) e x + 1 ( + ) 3 e. ii. Considera un triangolo avente i vertici, rispettivamente, nell origine, nel punto della funzione f x ( ) di ascissa a, e nel punto P sua proiezione sull asse x. Determina il valore a per cui la sua area sia massima. Siano O( ; ), P( a; ) e Q( a; a e a ) i vertici del triangolo (rettangolo di ipotenusa OQ) da considerare. La funzione da ottimizzare è l area del triangolo OPQ: A OPQ = OP PQ. Ottengo A OPQ ( a ) = a3 e a. Per determinare il massimo è sufficiente studiare il segno della derivata della funzione area: poiché ʹ A OPQ ( a ) = 3 a e a + a3 e a 1 ( ) ʹ A OPQ ( a ) = a ( 3 a )e a e A OPQ ʹ ( a ) a ( 3 a )e a a 3 (tenendo conto della condizione a ), l area è massima per a = 3. iii. Calcola l area della regione piana delimitata da G e dall asse x nell intervallo ; e determina il valore dell errore percentuale che si verifica nel calcolo di tale area se nell intervallo ; si adotta, per approssimare f ( x), una funzione razionale di 3 grado della forma r ( x ) = ax 3 +bx +cx +d, x R, dove a, b, c e d sono parametri reali (a,b,c,d R ), con r ( ) = e rʹ ( ) =. rʹ ( ) dx ( ) = f ( ) =, r ( ) = f ( ) = 4, F = x e x dx = x e x = x e x xe x dx = x e x + xe x dx = ( ) dx = x e x x e x = x e x xe x e x dx = x e x xe x + e x dx = = x e x xe x +e x ( ) e x = x +x + ( ) 4,78. = e 5 8 di 16

Determino l espressione analitica di r x ( ) = ( ) = 4 ( ) = ( ) = r r rʹ rʹ d = d = a = 1 8a+ 4b+c +d = 4 a+b =1 b = 3 c = c = c = 1a+ 4b+c = 3a+b = d = R = r ( x ) dx = x 4 4 + x3 ( ), tenendo conto che rʹ ( x ) = 3ax +bx +c :. Quindi r ( x ) = x 3 +3x. = 4+8 = 4, quindi l errore sull area sarà: ε A = F R F Il grafico sotto riportato conferma la stima calcolata. % = 1 R % = 1 % 16,8%. F e 5 iv. Dimostra che, dette A e B le intersezioni tra le tangenti a G nei punti di flesso e l asse x, C e D le proiezioni dei punti di flesso sull asse x, si ha, per qualsiasi k N >1, AB = CD. In analogia con quanto fatto in i, determino le ascisse dei punti di flesso: ( ) = x k e k x fʹ ( x ) = ( kx k 1 x k ) ek x fʹʹ ( x ) = x k ( x k) k f x Dall equazione fʹʹ x ( ) = trovo al più tre punti di flesso: 9 di 16 e k x. F ( ; ) solo per k N +1 (ovvero dispari), k >1 ; è un flesso a tangente orizzontale in quanto per x = si annulla la derivata prima. Non è da prendere in considerazione poiché la tangente al grafico della funzione in tale punto coincide con l asse x. ( ) k e k F 1 k k; k k ( ) k e k F k+ k; k + k..

Determino le equazioni delle rette tangente al grafico della funzione nei punti di flesso: t 1 : y y F1 = fʹ t : y y F = fʹ ( ), dove fʹ ( x F 1 ) = k k k ( x F1 ) x x F 1 ( x F ) x x F ( ) k 1 e k. ( ), dove fʹ ( x F ) = k k + k ( ) k 1 e k. Trovo le coordinate del punto A: x A = x F1 y F 1 fʹ Trovo le coordinate del punto B: x B = x F y F fʹ ( ), y A =. ( x F1 ) = k 1 ( ), y B =. ( x F ) = k +1 k, y C =. k, y D =. Trovo le coordinate del punto C: x C = x F1 = k k = ( k 1) Trovo le coordinate del punto D: x D = x F = k + k = ( k +1) Finalmente, poiché AB = k +1 ( ) ( k 1) = ( k +1 k +1) ( k +1+ k 1) = 4 k e CD = ( k +1) k ( k 1) k = ( k +1 k +1) k = k, la relazione AB = CD è verificata per ogni k N >1. 1 di 16

Questionario. Risolvi cinque dei dieci quesiti. 1. Determinare il volume del solido generato dalla rotazione attorno alla retta di equazione y = 3 della regione di piano delimitata dalla curva di equazione y = x 3 x +3 e dalla retta stessa. risoluzione. Prima di tutto bisogna capire qual è la parte di curva da ruotare. A tal fine cerco i punti di intersezione della curva data con la retta data: y = x 3 x +3 x = 1 x = x =1. y = 3 y = 3 Il grafico della funzione y = f ( x ) = x 3 x +3 è il seguente: Il volume quindi sarà dato da V = π = π x7 7 5 x5 + x3 3. Verificare che la funzione f x 1 1 ha una discontinuità di prima specie ( a salto ), mentre la funzione: g x 1 1 f x ( ) 3 = π 1 7 5 + 1 = 16 3 15 π,48. ( ) =1 ( 3 1 x +1) ( ) = x ( 3 1 x +1) 1 dx = π x 3 x 1( ) 1 dx = π x 6 x 4 + x 1( ) dx ha una discontinuità di terza specie ( eliminabile ). risoluzione. il dominio di f è D f = R \{ }. La funzione f è continua nel suo dominio per note proprietà sulle funzioni continue. Indaghiamo l andamento di f nell intorno dell unico punto di ( ) lim ( ) =. accumulazione finito della funzione, x = : 1 = lim f x f x x x + Il dominio di g è D g = R \{ }. La funzione g è continua nel suo dominio per note proprietà sulle funzioni continue. Indaghiamo l andamento di g nell intorno dell unico punto di accumulazione finito della funzione, x = : = 1 = lim g x ( x ) lim f x ( x ) = + =. + 11 di 16

3. Durante il picco massimo di un epidemia di influenza il 15% della popolazione è a casa ammalato. i. Qual è la probabilità che in una classe di alunni ce ne siano più di due assenti per l influenza? ii. Descrivere le operazioni da compiere per verificare che, se l intera scuola ha 5 alunni, la probabilità che ce ne siano più di 5 influenzati è maggiore del 99%. risoluzione. Si tratta di una distribuzione di probabilità discreta binomiale nel primo caso, di Poisson nel secondo ( n = 5 grande e p =,15 relativamente piccolo). i. In questo caso la distribuzione di probabilità è data dalla funzione x x P( X = x) = 3 17 x la funzione di ripartizione: F ( ) = P( X ) = P( X = )+P( X =1)+P X = X 1 e si chiede il valore di P( X > ) =1 F ( ), dove F indica ( ). P 17 3 17 19 9 17 18 F 17 17 19 19 349 17 18 Quindi P( X > ) =1 349 17 18,953 = 95,3%. ii. Costruirei in un foglio elettronico una tabella del tutto analoga al caso precedente. In questo caso il parametro vale λ = 5,15 = 75 e si chiede di calcolare ( ) =1 F ( 5). La tabella in questione quindi dovrà avere 5 colonne e 3 righe: la P X > 5 prima riga sarà formata dai valori della variabile aleatoria X, x =,1,,,5 ; la seconda ( ) = 75x x! e 75 ; la terza riga i valori della funzione di ( ) = P( X x). Da tale tabella considero il valore m 3,5 che corrisponde a ( ) 1,4 1 3. Effettivamente la probabilità supera il 99%: P( X > 5) 99,86%. riga dai valori delle probabilità P X = x ripartizione F X F 5 4. Utilizzando il differenziale calcola di quanto aumenta il volume di un cono retto avente raggio di base m e altezza 4 m quando il raggio di base aumenta di cm. risoluzione. Sia r o = m il raggio iniziale. Incrementando solamente il raggio, posso vedere il volume come una funzione dipendente da r: V ( r) = 4 3 πr. L incremento del raggio è Δr = cm =, m, per cui l incremento di volume sarà: ΔV dv = Vʹ( r ) dr = 8 3 πr dr = 16 3 π, = 8 π,3351 (ricordo che Δr = dr ). 75 Senza utilizzare l approssimazione del differenziale, ottengo: ΔV =V V = 4 3 π r r un ottima approssimazione. ( ) = 4 3 π (, ) = 67 π,3368, ovvero il differenziale rappresenta 65 1 di 16

5. Considerata la parabola di equazione y = 4 x, nel primo quadrante ciascuna tangente alla parabola delimita con gli assi coordinati un triangolo. Determinare il punto di tangenza in modo che l area di tale triangolo sia minima. risoluzione. La situazione è quella rappresentata nella seguente figura. ( ) Considero un generico punto della parabola sul primo quadrante: T k; 4 k, con k >. La funzione da ottimizzare è quella dell area del triangolo che la retta tangente alla parabola data in T forma con gli assi cartesiani. Per determinare il valore dell area, devo prima determinare le coordinate dei vertici di tale triangolo; a tal fine trovo l equazione della retta tangente: il suo coefficiente angolare è tangente è t : y y T = fʹ Un vertice del triangolo è il punto A ; fʹ( x T ) = fʹ ( k ) = k, dove f ( x ) = 4 x ; quindi l equazione della retta ( x T )( x x T ) t : y = kx +k + 4. ( ). Un altro vertice si trova intersecando t con l asse x: B k + 4 k ;. L ultimo vertice si trova intersecando t con l asse y: C ; k + 4 L area del triangolo ABC è A ABC = AB AC ( ) A ABC ( k ) = k + 4 4k ( ). A ABC ( k ) = k3 4 +k + 4 k. Per trovarne il valore minimo è sufficiente studiare il segno della derivata prima della funzione area: Aʹ ABC ( k ) = 3 4 k + 4 k Aʹ k ABC ( ) = 3k 4 +8k 16. 4k ʹ A ABC ( k ) 3k 4 +8k 16 : N k 4 k 4 3 k 3 k 3 ; 4k D > k Tenendo conto che k >, si evince che la funzione ammette un minimo relativo per k = 3. Il punto di tangenza richiesto quindi ha coordinate T ; 8 3 3 ( 1,;,7). 13 di 16

6. Determinare la soluzione particolare dell equazione differenziale yʹ x = xy, verificante la condizione iniziale y ( ) =. risoluzione. Il quesito richiede di risolvere il problema di Cauchy yʹ x = xy. y ( ) = Si tratta di un equazione differenziale a variabili separabili: y ʹ = x y +1 dy y +1 = xdx dy = xdx y +1 Posto k = ±e c, ottengo y x ln y +1 = x x +c y +1 = e ( ) yʹ +c y = ±e c e y +1 = x x 1. ( ) = ke x 1. La condizione iniziale ci dice che ke 1 = k = 3, ( ) = 3e x 1. quindi la funzione che risolve il problema dato è y x 7. Calcolare il valor medio della funzione f ( x ) = x 1 1 x 3 e x 3 +1 3 < x 6 nell intervallo 1; 6 e determinare il valore della x in cui la funzione assume il valore medio. risoluzione. Basta applicare il Teorema del valor medio alla funzione (continua) f nell intervallo richiesto, ovvero esiste c 1; 6 tale che f ( c ) = 1 f ( x ) dx 1 6 1 f ( c ) = 1 x 5 x 6 3 1 f c ( ) = 1 5 6 ( ) 3 + e x 3 + x ( ) dx 3 6 ( x 1 1 )dx + e x 3 +1 3 f ( c ) = 1 9 5 3 1 1 + e 3 +6 ( ) ( 1+3 ) f c ( ) = e3 + 4 Per determinare il valore di c richiesto basta sostituire nella funzione il valore trovato (nel secondo ( ) = ; caso visto che e3 + 4 f 1; 3 5 ): ec 3 +1 = e3 + 4 e c 3 = e3 1 5 5 c = 1 3+lne3 4,3. 5 Si nota infine che i risultati ottenuti sono coerenti con il grafico qui sotto rappresentato: 5 4,8 14 di 16

8. Una sfera ha il raggio che aumenta al passare del tempo secondo una data funzione r( t). Calcolare il raggio della sfera nell istante in cui la velocità di crescita della superficie sferica e la velocità di crescita del raggio sono numericamente uguali. risoluzione. La velocità di crescita del raggio è rʹ( t). La velocità di crescita della superficie sferica è ( ) = 4πr ( t) Sʹ t ( )ʹ Sʹ t all istante di tempo t si avrà Sʹ t ( ) = 8πr( t) rʹ( t). Se le due velocità sono numericamente uguali ( ) = rʹ( t ) 8πr( t ) rʹ( t ) = rʹ( t ) r( t ) = 1 8π. 9. In un riferimento cartesiano nello spazio Oxyz, data la retta r di equazioni: x = t +1 y = t +1 z = kt e il piano β di equazione x +y z + =, determinare per quale valore di k la retta r e il piano β sono paralleli, e la distanza tra di essi. risoluzione. Il vettore direzionale della retta data è r r ; 1; k ( ) e quello del piano r β ( 1; ; 1). Poiché i due vettori devono essere tra loro perpendicolari, si avrà r r r β = + k =, cioè k = 4. La loro distanza coincide con la distanza del piano da un qualsiasi punto della retta. Sia ( ) r (ottenuto ponendo t = ): P 1; 1; dist( r;β) = dist( P;β) = 1+ + = 1 + + ( 1) 5,, coerente con il grafico sotto riportato. 6 15 di 16

1. Scrivere l equazione della circonferenza C che ha il centro sull asse y ed è tangente al grafico G f di f x risoluzione. C( C ( ; β); r) ( ) = x 3 3x nel suo punto di flesso. alla retta t, tangente a G f nel punto di flesso di f. Determino il punto di flesso di f: ( ). F 1; Determino l equazione di t: m t = fʹ 1 visto che il centro sta sull asse y. La circonferenza è anche tangente ( ) = 3x 6x fʹʹ ( x ) = 6( x 1). Il punto di flesso è fʹ x ( ) = 3, quindi t: y + = 3( x 1) y = 3x +1. Per note proprietà delle rette tangenti alla circonferenza, t è perpendicolare alla retta passante per C ed F che ha equazione n: y + = 1 3 x 1 ( ) y = 1 3 x 7 3. L intersezione di n con l asse y è il centro della circonferenza C: quindi β = 7 3,3. Il raggio è la lunghezza di FC: r = ( 1 ) + ( +7 3) = 1 3 1,1. L equazione della circonferenza è C: x + y + 7 = 1 3 9 3x +3y +14y +13 =. Il risultato è confermato dal diagramma sottostante. NOTE: i. È ammesso l uso del calcolatore elettronico o di tavole numeriche; ii. Punteggio massimo 15 p.ti. Per la sufficienza è necessario raggiungere il punteggio di 1 p.ti. 16 di 16