Università degli Studi di ergamo orso di Laurea in Ingegneria Tessile orso di Elementi di Meccanica Esercitazione - alcolo delle azioni interne Esercizio n. La struttura di figura.a è composta da due aste rigide e senza peso, di uguale lunghezza l, incernierate agli estremi. Sotto l azione dei carichi indicati in figura, si chiede di determinare: le reazioni dei vincoli; le azioni interne dell asta Facoltativamente, si calcoli l azione assiale nell asta. 5 = = F 60 60 60 l Figura.a nalisi del sistema La struttura è composta da due aste vincolate a terra con due cerniere nei punti e e tra di loro da una cerniera relativa nel punto. ata la configurazione delle aste si può concludere che la struttura, denominata arco a tre cerniere non allineate, è isostatica. La struttura è caricata da due forze e F nei punti e come mostrato in figura.a.
Sostituzione dei vincoli mediante corrispondenti reazioni vincolari In figura.b sono mostrate tutte le reazioni vincolari che si possono mettere in evidenza separando i vari corpi componenti il sistema. H' H' V'' H'' H'' V'' V' V' F H H V V Figura.b osì facendo, il sistema presenta otto incognite, tante quante le equazioni disponibili per la risoluzione. E possibile ricorrere ad una schematizzazione più semplice, anche se del tutto equivalente a quella già proposta, che consiste nel tenere la cerniera vincolata ad una delle due aste. Supponendo di farlo per l asta, si evidenziano sei reazioni vincolari (mostrate in figura.c) invece che otto, con evidente economia di calcolo. V'' H'' H'' V'' F H H V V Figura.c
alcolo delle reazioni vincolari Le reazioni vincolari possono essere calcolate scrivendo sei equazioni di equilibrio statico. Le equazioni cardinali della statica scritte per le due aste sono raccolte in un unico sistema F H 0 F V 0 M 0 F H 0 F V 0 M 0 H H V V 0 0 H l V l H H F 0 V V F 0 H l V l l Fl 0 l 0 che può essere risolto in modo agevole risolvendo prima il sistema costituito dalla terza e dalla sesta equazione H l V l l H l V l Fl 0 H F V F l 0 questo punto si può risolvere la parte rimanente del sistema di equazioni originario ottenendo H F V F H F V F H F V F
alcolo delle azioni interne er calcolare le azioni interne è necessario scomporre le reazioni vincolari lungo due direzioni: la direzione assiale e la direzione tangenziale. E importante definire delle convenzioni sul segno di queste azioni in modo che, ad esempio, azioni di trazione siano distinguibili da azioni di compressione. La convenzione di segno qui adottata definisce positive le azioni assiali di trazione N, le azioni taglianti T che tendono a far ruotare l asta in senso orario e i momenti M che tendono le fibre inferiori dell asta (vedi figura.d). M N T N M T Figura.d Facendo quindi riferimento alla figura.c, i moduli delle componenti, lungo le direzioni assiale e tangenziale, della reazione vincolare nel punto valgono N H V F T H V 0 Quest ultimo risultato (T 0) non stupisce in quanto l asta è caricata solo da forze alle estrmità che, quindi, non possono che essere dirette lungo l asse dell asta stessa. er valutare se l azione assiale nell asta è di trazione o di compressione è necessario studiare il segno della sua espressione ovvero N 0 F F 0 Se la relazione precedente è verificata, l azione assiale risulta essere di trazione, altrimenti di compressione. Supponiamo che l azione sia di compressione, ovvero che valga la relazione F ato che nell asta non vi è nessuna forza applicata, si può affermare che l azione assiale è costante lungo tutta l asta, come mostrato in figura.g. La stessa procedura deve essere seguita per il calcolo dell azione assiale dell asta. La componente assiale della reazione vincolare nel punto si calcola come N H V F
nche in questo caso è necessario studiare il segno dell azione assiale in modo da capire se si tratta di un azione di trazione o di compressione. La disequazione N 0 F 0 non è mai verificata in quanto i moduli F e delle forze applicate sono sempre positivi. Nella mezzeria dell asta è applicata la forza F che quindi cambia il valore delle azioni interne. er valutare il cambiamento è sufficiente scrivere un equazione di equilibrio delle forze in direzione assiale di un tronco opportuno di trave, come mostrato in figura.e. N T F T N Figura.e L equazione N FN 0 N F fornisce il valore dell azione assiale in una qualunque sezione compresa tra il punto e il punto. Quest azione è sicuramente di compressione, in virtù della supposizione fatta precedentemente. La figura.f mostra la rappresentazione grafica delle azioni interne assiali. 5
F F F Figura.f ato che il testo del problema richiede il calcolo delle azioni interne delle due aste, il modo più semplice ed efficace per risolvere questo esercizio è quello di calcolare le reazioni vincolari della struttura nelle loro componenti assiali e taglianti rispetto all asse delle aste. Inoltre, si può osservare che l asta è caricata solo da forze alle sue estremità, che quindi non potranno che essere dirette come l asta stessa (figura.g). F N T N Figura.g La struttura quindi presenta tre incognite che possono facilmente essere calcolate mediante la scrittura delle tre equazioni cardinali della statica per l intero sistema 6
F H 0 M 0 M 0 N N l T l T N Fl 0 l F 0 l Fl 0 il quale può essere risolto facilmente, ammettendo come soluzione N F N F T F E facile verificare che i valori ottenuti sono uguali a quelli precedenti. 7
Esercizio n. La struttura di figura.a è composta da tre aste rigide e senza peso di uguale lunghezza l, incernierate agli estremi. Sotto l azione del solo carico, si chiede di determinare: le reazioni dei vincoli; le azioni interne delle tre aste. Q. Facoltativamente, si calcoli come si modificano i risultati precedenti per l aggiunta della forza 60 l 60 5 Q = = Figura.a nalisi del sistema La struttura è composta da tre aste di uguale lunghezza vincolate tra di loro alle estremità mediante cerniere. L intera struttura è vincolata a terra tramite una cerniera in e un carrello in. La struttura è soggetta a due forze e Q, agenti nei punti e. L insieme delle tre aste e delle cerniere che le vincolano relativamente è detto triangolo isostatico, perché i movimenti relativi delle aste sono impediti. Si può quindi considerare che l insieme delle tre aste costituisca un corpo rigido. Facendo il conteggio dei gradi di libertà - gradi di vincolo della struttura si hanno nove gradi di libertà per le tre aste e sei gradi di vincolo dovuti alle tre cerniere relative. I tre gradi di libertà rimasti possono essere visti come i tre gradi di libertà del triangolo isostatico, il quale a sua volta è vincolato a terra mediante una cerniera e un carrello. L intera struttura è quindi vincolata isostaticamente. 8
Sostituzione dei vincoli mediante corrispondenti reazioni vincolari Le reazioni vincolari sono semplici da evidenziare, come mostrato in figura.b H Q V V Figura.b alcolo delle reazioni vincolari - Si è visto che il calcolo di tutte le reazioni è un metodo di risoluzione che comporta una grande quantità di calcoli, dovuta all elevato numero di incognite. In questo caso le incognite sarebbero quindici, motivo per il quale si cercherà di scrivere il minor numero possibile di equazioni necessario a calcolare le incognite richieste. Il primo passo è quello di calcolare le reazioni vincolari, che sono tre, scrivendo le tre equazioni cardinali della statica per l intera struttura. F H 0 F V 0 M 0 H 0 V V 0 V l l 0 Il sistema ammette come soluzione H 0 V V 9
alcolo delle azioni interne - er il calcolo delle azioni interne è necessario aprire la struttura in uno o più punti, come mostrato in figura.c (si considera che la cerniera sia unita all asta, anche se non è evidenziata), dove la struttura è stata aperta nei punti e. N N H N N V V Figura.c isogna innanzitutto notare che le tre aste sono caricate solamente alle loro estremità con delle forze, quindi si può affermare che le azioni intern solo assiali. In figura.c sono evidenziate due forze incognite N e N, delle quali però sono incogniti solo i moduli (e i versi). Supponendo i versi come da figura, è sufficiente scrivere due equazioni di equilibrio per ottenere il valore dei moduli N e N. Le equazioni possono essere, ad esempio F H 0 F V 0 N N 0 N 0 N N 6 E quindi possibile tracciare il diagramma delle azioni interne, che sono solo assiali in tutte le aste per quanto visto prima. ome verifica si può calcolare la risultante delle forze N e sull asta, scomposta lungo la direzione assiale e tangenziale dell asta F N N F T N F N F T 0 i conseguenza l azione interna nell asta ha modulo pari a ed è di compressione, 0
come l azione interna dell asta. In figura.d sono rappresentate le azioni interne. N N N N Figura.d 6 alcolo delle reazioni vincolari - Il testo dell esercizio richiede di calcolare nuovamente reazioni vincolari e azioni interne nel caso in cui l asta sia caricata anche con la forza Q, che per ora non era stata considerata. Il sistema di equazioni è F H 0 F V 0 M 0 H Q 0 V V Q 0 V l Ql l 0 che ammette come soluzione H Q V Q V Q
alcolo delle azioni interne - N N H Q V V Figura.e prendo la struttura nel punto si possono evidenziare le reazioni sulle aste e, che per quanto detto prima sono assiali. Un equazione di equilibrio consente di trovare il valore del modulo della forza N, ad esempio M 0 N l 0 N ottenendo un risultato analogo a quello precedente. Le azioni interne nelle aste a sono quindi le stesse ricavate precedentemente. er quanto riguarda l asta è necessario ricavare le forze scambiate sui nodi o da una delle aste e, in modo da potere calcolare le azioni interne. In figura.f sono messe in evidenza le forze scambiate sul nodo e le azioni interne all asta dovute alla rottura dell asta in due parti. M N M N N N Q T T V V x x Figura.f
er calcolare le azioni interne della asta in un punto è sufficiente scrivere le tre equazioni cardinali della statica per il tronco di trave considerato. lla distanza generica x l vale F H 0 F V 0 M 0 N N 0 T V N 0 M T x 0 N 6 0 T Q 0 M T x 0 Le azioni interne valgono quindi, nella metà destra della asta N 6 T Q x l M Qx Nella metà sinistra dell asta invece F H 0 F V 0 M 0 N N Q 6 T Q M Qx Ql Q 6 0 T Q Q 0 M T x x l Ql 0 all osservazione delle figure.g -.h, si nota che la presenza della forza Q genera una variazione delle azioni interne dell asta che, essendo caricata da una forza in mezzeria, non è più caratterizzata solo da una sollecitazione assiale.
6 Q 6 Figura.g - zione assiale Q Q Ql Figura.h - zione tagliante e momento flettente