Università degli Studi della Basilicata Corsi di Laurea in Chimica / Scienze Geologiche Matematica II A. A. 03-04 (dott.ssa Vita Leonessa) Esercizi svolti: Equazioni differenziali ordinarie. Risolvere la seguente equazione differenziale 3 + = + x x. La soluzione dell equazione differenziale assegnata sarà somma della soluzione 0 dell equazione omogenea ad essa associata e di una soluzione particolare p da ricercare con il metodo di somiglianza. Calcoliamo 0 : da cui 3 + = 0 λ λ + = 0 λ =, 0 (x) = C e x + C e x, C, C R. Nella ricerca della soluzione particolare osserviamo che il termine noto dell equazione assegnata è un polinomio di secondo grado, perciò la soluzione andrà cercata nella seguente forma Visto che p (x) = Ax + Bx + C. p(x) = Ax + B, p(x) = A, imponendo che sia soluzione dell equazione assegnata si ottiene e quindi il sistema A 6Ax 3B + Ax + Bx + C = + x x A = 6A + B = A 3B + C = la cui soluzione è A = /, B = e C = /. l integrale generale dell equazione differenziale assegnata è (x) = C e x + C e x x x.. Determinare l integrale generale dell equazione differenziale (x) = x + x + 5.
Si tratta di un equazione differenziale di primo ordine a variabili separabili. Si osserva che = 0 è soluzione dell equazione assegnata. Supponendo che 0 si passa a separare le variabili e ad integrare: Si ha perciò x + x + 5 = ( 4 d = + ( x+ x + x + 5. ) ) = ( ) x + arctan + C, C R, = ( ) x + arctan + C, C R, da cui l integrale generale dell equazione differenziale è (x) = arctan ( ) x+, C R. + C Si osserva che non esiste costante C tale che = 0, per cui la soluzione = 0 è una soluzione singolare dell equazione data. 3. Risolvere l equazione differenziale x = (x + )( + ). Si tratta di un equazione del primo ordine a variabili separabili. Osserviamo innanzitutto che = 0 e = sono entrambe soluzioni dell equazione differenziale assegnata (si ricavano studiando + = 0). Supponendo che 0 e, separiamo le variabili ed integriamo membro a membro: d x + + = x = x + x = log x x + C, C R Calcoliamo separatamente il primo integrale applicando Hermite d + = d + d = log log + = log + dunque log + = log x x + C = log + = log x x + C = log x x + C da cui ( + = exp log x ) x + C = + = x e x e C = Cx e x, C > 0 facendo assorbire il segno del modulo dalla costante C otteniamo + = Cx e x, C 0
da cui = ( + )Cx e x = ( Cx e x ) = Cx e Cx e x x = =, C 0. Cx e x A questo punto osserviamo che per C = 0 si otterrebbe la soluzione = 0 mentre non è possibile ottenere con nessuna scelta di C la soluzione costante = che risulta quindi una soluzione singolare dell equazione assegnata. In definitiva le soluzioni dell equazione data sono = e = Cx e x Cx e x 4. Risolvere l equazione differenziale: al variare di C R. + x = x 3. Si tratta di un equazione differenziale del primo ordine della forma = a(x) + b(x) dove a(x) = x e b(x) = x 3. Tutte le soluzioni di tale equazione non omogenea sono ( ) (x) = e A(x) e A(x) b(x) + C, C R, calcolo dunque A(x) = x = x /, e x / x 3 = e x / x xe x / = e x / x e x /, dove ho integrato per parti scegliendo f(x) = e x / x = F (x) = e x / x = e x / e g(x) = x = g (x) = x. ( ) (x) = e x / e x / x e x / + c = x + ce x /. 5. Risolvere l equazione differenziale: = e x sin x. Si ha (x) = e x sin x. Integrando per parti si ha e x sin x = e x sin x e x cos x = e x sin x = e x sin x e x cos x e x sin x [ e x cos x ] e x ( sin x) perciò e quindi e x sin x = ex sin x e x cos x + c, c R (c) = ex (sin x cos x) + c, c R. 3
6. Risolvere l equazione differenziale 6 4 7 = e x. Si tratta di un equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti. La soluzione generale è del tipo (x) = o (x) + p (x) dove o (x) è la soluzione generale dell equazione omogenea associata all equazione data, ovvero dell equazione 6 4 7 = 0, mentre p (x) è una soluzione particolare dell equazione assegnata. Iniziamo con la ricerca di o (x). Si ha 6λ 4λ 7 = 0 = λ = 7/4, λ = /4 = o (x) = c e 7/4x + c e /4x, c, c R Per trovare p (x) utilizziamo il metodo di somiglianza. Visto che il secondo membro dell equazione assegnata è e x, cerchiamo p nella forma p (x) = ce x con c costante da determinare imponendo che una tale p sia soluzione dell equazione assegnata : p(x) = ce x, (x) = ce x = 6ce x 4ce x 7ce x = e x = 5ce x = e x = c = /5 (x) = c e 7/4x + c e /4x 5 ex. 7. Risolvere il problema di Cauch 5 = x (0) = 0 (0) = Per risolvere l equazione differenziale associata al problema di Cauch assegnato consideriamo l equazione omogenea ad essa associata 5 = 0 la cui soluzione dipende dalle soluzioni dell equazione caratteristica λ 5λ = 0 = λ(λ 5) = 0 = λ = 0, λ = 5 Dunque la soluzione dell equazione omogenea è 0 (x) = c + c e 5x. Per trovare la soluzione dell equazione non omogenea cerchiamo una sua soluzione particolare applicando il metodo di somiglianza. Il termine noto di tale equazione è di tipo polinomiale, precisamente un polinomio di primo grado. Mancando il termine con la ricerchiamo la soluzione particolare nella forma p (x) = ax + bx + c Il secondo membro è una funzione del tipo f(x) = P n(x)e γx dove P n(x) =, ovvero è un polinomio di grado zeo (una costante) e γ = non è soluzione dell equazione caratteristica. per questa ragione la p si ricerca nella forma sopra indicata. 4
Imponiamo che p sia soluzione dell equazione 5 = x, ovvero che p 5 p = x. Si ha { { p(x) = ax+b, p(x) 0a = a = /5 = a = a 0ax 5b = x = a 5b = 0 = b = /5a = /5 (la costante arbitraria c non viene coinvolta perciò possiamo sceglierla uguale a 0) quindi la soluzione generale dell equazione 5 = x è (x) = 0 (x) + p (x) = c + c e 5x 5 x 5 x. Per calcolare ora la soluzione (unica) del problema di Cuach assegnato basterà imporre le condizioni iniziali: (0) = = c + c = = c = c (x) = 5c e 5x 5 x 5 = 0 = (0) = 5c 5 = c = 5 = c = 5 = 3 5. (x) = 3 5 + 5 e5x 5 x 5 x. 5