8360 - FISICA MATEMATICA 1 A.A. 014/15 Poblemi dal libo di testo: D. Giancoli, Fisica, a ed., CEA Capitolo 5 Poblema 1 Un bimbo su una giosta si muove con una velocità di 1.5 m/s quando è a 1.10 m dal cento della giosta. Calcolate (a) l acceleazione centipeta del bimbo e (b) la foza oizzontale totale esecitata su di lui (massa=5.0 kg). Risoluzione. Il modulo dell acceleazione centipeta è dato dalla seguente elazione: a R = v Nel nosto caso abbiamo v = 1.5 m/s e = 1.10 m, pe cui, sostituendo, si ottiene: (1.5 m/s) a R = = 1.4 m/s 1.10 m La foza oizzontale esecitata sul bambino è una foza centipeta, dietta veso il cento della giosta, di modulo: F R = ma R = (5.0 kg) (1.4 m/s ) = 35.5 N Poblema 3 Calcolate l acceleazione centipeta della Tea nella sua obita attono al Sole e la foza totale esecitata sulla Tea. Che cosa esecita questa foza sulla Tea? Assumete che l obita teeste sia una ciconfeenza di aggio 1.50 10 11 m. 1
Risoluzione. Assimiliamo la Tea e il Sole a due punti mateiali. L acceleazione centipeta vale, in modulo: a R = v Noi disponiamo del aggio ma non della velocità, tuttavia, tutti sappiamo che la Tea compie una ivoluzione attono al Sole in un anno. Un anno è composto (non esattamente) da 365 gioni. Il peiodo di ivoluzione è quindi espesso in secondi da (appossimiamo il isultato a te cife significative): T = 365 d 4 h/d 3600 s/h = 31.5 10 6 s In questo tempo, la Tea pecoe un obita appossimativamente cicolae di lunghezza pai a π, pe cui la sua velocità obitale è: v = π T = π 1.50 1011 m 31.5 10 6 = 9.9 10 3 m/s s Siamo così in gado di calcolae l acceleazione centipeta: a R = (9.9 103 m/s) 1.50 10 11 m = 5.96 10 3 m/s Assumendo pe la massa della tea il valoe m T = 5.97 10 4 kg, la foza totale agente su di essa ad opea dell attazione gavitazionale esecitata dal Sole, è data, in modulo, da: F R = m T a R = (5.97 10 4 kg) (5.96 10 3 m/s ) = 3.56 10 N Poblema 4 Una foza oizzontale di 10 N è applicata su un disco di massa.0 kg mente uota unifomemente, descivendo una ciconfeenza oizzontale di aggio 0.90 m (la lunghezza di un baccio). Calcolate la velocità del disco. Risoluzione. Se il disco uota unifomemente, descivendo una ciconfeenza oizzontale, alloa la foza non può che essee centipeta. Dalla elazione F R = ma R = m v
m g F T 1 F T m g Figua 1: Poblema 7. dove F R e a R sono, ispettivamente, la foza e l acceleazione centipete, m la massa del disco, v la sua velocità e il aggio della ciconfeenza descitta, si icava subito: v = FR 0.90 m 10 N m = = 9.7 m/s.0 kg Poblema 7 Una pallina, legata all estemità di una coda, viene fatta oteae a velocità costante su una ciconfeenza veticale di aggio 7.0 cm, come mostato in Figua 1. Se la sua velocità è di 4.00 m/s e la sua massa è 0.300 kg, calcolate la tensione della coda quando la palla si tova (a) nel punto più alto e (b) nel punto più basso del suo pecoso. Risoluzione. Nei due punti pesi in consideazione l acceleazione è dietta veso il cento ed ha lo stesso modulo; tuttavia, la tensione non ha lo stesso modulo, in quanto nel punto più alto la foza di gavità si somma ad essa, mente nel punto più basso si sottae. Conveniamo di oientae la diezione veticale positivamente veso il basso. La seconda legge di Newton, applicata a tale diezione, dà: 3
P + F T = a R dove P è la foza peso, F T la tensione e a R l acceleazione centipeta. Nel nosto caso, si ottiene, ispettivamente pe il punto più alto e più basso: mg + F T 1 = m v mg + F T = m v = ( ) (4.00 m/s) F T 1 = 0.300 kg 9.81 m/s = 3.7 N 0.70 m ( ) (4.00 m/s) F T = 0.300 kg 9.81 m/s = 9.61 N 0.70 m Poblema 8 Una palla di 45 kg attaccata all estemità di una coda oizzontale viene fatta oteae in una ciconfeenza di aggio 1.3 m su una supeficie piva di attito. Se la coda si ompe quando la sua tensione supea i 75 N, qual è la massima velocità che può avee la palla? Risoluzione. Sulla palla agisce la sola tensione esecitata dalla coda F T in diezione adiale. Dalla seconda legge di Newton, applicata lungo questa diezione F T = ma R (a R è l acceleazione centipeta) otteniamo: F T = m v essendo il aggio della ciconfeenza. Il modulo della velocità può essee espesso in funzione della tensione: FT v = m Da questa elazione si vede che la velocità è popozionale alla adice quadata della tensione; sostituendo il valoe di tensione massima otteniamo la velocità massima con cui la palla può oteae senza che la coda si spezzi: v max = 1.3 m 75 N 45 kg = 1.47 m/s 4
Poblema 9 Un attezzo pe addestae astonauti e piloti di aviogetti è pogettato pe fae uotae gli allievi su una ciconfeenza oizzontale di aggio 1.0 m. Se la foza avvetita dall allievo è 7.85 volte il loo peso, a quale velocità sta uotando? Calcolate la isposta sia in m/s sia in gii/s. Risoluzione. Detta F la foza centipeta che tiene ciascun allievo in otazione sull attezzo, si può impostae il seguente sistema: F = m v F = 7.85 mg dove m è la massa dell allievo, mg il suo peso, il aggio della ciconfeenza e v la velocità peifeica. Uguagliando i secondi membi delle due equazioni e isolvendo ispetto a v, otteniamo: v = 7.85 g = 7.85 1.0 m 9.81 m/s = 30.4 m/s Ciascun allievo pecoe un intea ciconfeenza di lunghezza π in un peiodo T, pe cui la velocità è data anche dalla seguente elazione: v = π T Ricodando che la fequenza (numeo di gii al secondo) è legata al peiodo da: si vede immediatamente che: f = 1 T v = πf Pe cui il numeo di gii pecosi al secondo è: f = v π = 30.4 m/s π 1.0 m = 0.403 s 1 Poblema 17 Calcolate la foza di gavità esecitata dalla Tea su una navetta spaziale che si tova 1 800 km ( aggi teesti) al di sopa della supeficie teeste, se la sua massa è 1350 kg. 5
Risoluzione. Se la navetta si tova a aggi teesti, T, dalla supeficie, alloa la sua distanza dal cento teeste è pai a 3 T. Essa subisce, ad opea della Tea, una foza gavitazionale, dietta veso il cento della Tea, di modulo pai a: F = G mm T (3 T ) dove abbiamo indicato con G = 6.67 10 11 Nm kg la costante di gavitazione univesale, con m la massa della navetta e con m T la massa della Tea. Noti i valoi di m T e T è possibile calcolae diettamente il valoe di F, tuttavia, se si conosce il valoe dell acceleazione di gavità g in possimità della supeficie teeste, alloa, consideato che è: g = G m T T possiamo inseie quest ultima espessione nella pima, ottenendo: F = m 9 g Sostituendo i valoi numeici si ha, finalmente: F = 1350 kg 9 9.81 m/s = 1.47 10 3 N Poblema 18 Sulla supeficie di un pianeta l acceleazione gavitazionale ha modulo 1.0 m/s. Una sfea di ottone di massa 1.0 kg viene potata su questo pianeta. Qual è (a) la massa di tale sfea sulla Tea e su quel pianeta, (b) il peso della sfea sulla Tea e sul pianeta? Risoluzione. La massa di un copo è una popietà intinseca di esso, pe cui, sia che la sfea si tovi sulla Tea, sia che si tovi in qualunque alto luogo dell Univeso, la sua massa saà sempe pai a 1.0 kg. Il peso, invece, è la foza gavitazionale con cui la sfea viene attatta da un alta massa, e quindi esso dipende anche dal valoe di quest ultima, secondo la legge di gavitazione univesale di Newton. In paticolae, la foza peso è diettamente popozionale all acceleazione con cui un oggetto è attatto e alla sua massa. Abbiamo, così, pe il peso della sfea ispettivamente sul pianeta e sulla tea, i seguenti valoi: 6
{ PP = 1.0 kg 1.0 m/s = 5 N P T = 1.0 kg 9.81 m/s = 06 N Poblema 19 Calcolate l acceleazione dovuta alla gavità sulla Luna. Il aggio della Luna è cica 1.74 10 6 m e la sua massa è 7.35 10 kg. Risoluzione. Un oggetto posto sulla supeficie della Luna sente un peso il cui modulo vale: F = G mm L L dove m è la massa dell oggetto, m L la massa della Luna e L il suo aggio. Pe la seconda legge di Newton, applicata alla congiungente i due copi, tale foza è pai al podotto della massa m dell oggetto pe l acceleazione che esso subisce: ma = G mm L L da cui, semplificando m, otteniamo il valoe dell acceleazione di gavità alla supeficie lunae: a = G m L L = 6.67 10 11 N m kg 7.35 10 kg (1.74 10 6 = 1.6 m/s m) Poblema 0 Un ipotetico pianeta ha aggio pai a 1.5 volte quello della tea, ma la stessa massa. Qual è l acceleazione di gavità sulla sua supeficie? Risoluzione. L acceleazione di gavità alla supeficie del pianeta può essee espessa dalla seguente elazione: m T a = G (1.5 T ) = Gm T 1 (1.5) dove, come al solito, G, m T e T indicano, ispettivamente, la costante di gavitazione univesale, la massa e il aggio della Tea. 7 T
L espessione Gm T /T indica l acceleazione di gavità g in possimità della supeficie teeste. Così, abbiamo: a = g 1 9.81 m/s = (1.5).5 = 4.36 m/s Poblema 1 Un ipotetico pianeta ha massa pai a 1.66 volte quella della Tea, ma lo stesso aggio. Quanto vale l acceleazione di gavità sulla sua supeficie? Risoluzione. L acceleazione di gavità alla supeficie del pianeta può essee espessa dalla seguente elazione: a = G 1.66 m T = 1.66 G m T T T dove, come al solito, G, m T e T indicano, ispettivamente, la costante di gavitazione univesale, la massa e il aggio della Tea. L espessione Gm T /T indica l acceleazione di gavità g in possimità della supeficie teeste. Così, abbiamo: a = 1.66 g = 1.66 9.81 m/s = 16.3 m/s Poblema Due oggetti si attaggono gavitazionalmente l un l alto con una foza di.5 10 10 N quando sono distanti 0.5 m. La loo massa totale è 4.0 kg. Tovate le singole masse. Risoluzione. Dette m 1 e m le masse degli oggetti, la legge di gavitazione univesale (in modulo) dà: F = G m 1m essendo la distanza che li sepaa. Dai dati numeici a nosta disposizione possiamo icavae il valoe del podotto delle due masse: m 1 m = F G =.5 10 10 N 6.67 10 11 N m kg (0.5 m) = 0.34 kg 8
Inolte conosciamo la massa totale, pe cui possiamo isolvee il seguente semplice sistema: { m1 m = 0.34 kg che dà come isultato: m 1 + m = 4.0 kg { m1 = 3.94 kg m = 0.0594 kg Poblema 3 Calcolate il valoe effettivo di g, l acceleazione di gavità, a (a) 300 m e (b) 300 km al di sopa della supeficie teeste. Risoluzione. Il aggio teeste vale T = 6.37 10 6 m. Pe calcolae il modulo dell acceleazione di gavità a una geneica quota h al di sopa del livello del mae (h 0), basta sommae tale quota a T : m T g(h) = G ( T + h) A questo punto possiamo effettuae un calcolo dietto pe ottenee i valoi ichiesti, tuttavia è più istuttivo icavasi una fomuletta che espima la vaiazione dell acceleazione di gavità con la quota e in funzione del suo valoe g 0 alla supeficie teeste (che comunque, icodiamo, è un valoe medio). A tal fine, icodiamo che: da cui: g 0 = G m T T g 0 T = Gm T Sostituendo quest ultima elazione nella pima, otteniamo: g(h) = g 0 T ( T + h) Dividendo numeatoe e denominatoe a secondo membo pe T, si ha finalmente: 9
g(h) = g 0 ( 1 + h T ) (1) Calcoliamo adesso i valoi ichiesti nel testo del poblema: g(300 m) = g(300 km) = 9.81 m/s ( ) = 9.80 m/s 1 + 300 m 6.37 10 6 m 9.81 m/s ( 1 + 300 10 3 m 6.37 10 6 m ) = 4.35 m/s Poblema 4 Qual è la distanza ta il cento della Tea e un punto al di fuoi di essa in cui l acceleazione di gavità dovuta alla Tea sia 1/10 del valoe che ha sulla supeficie teeste? Risoluzione. Utilizziamo la (1), icavata nel Poblema 3. Si ha: da cui: g(h) g 0 = 1 ( 1 + h T ) = 1 10 ( T + h) T = 10 = T + h = T 10 =.01 10 7 m Poblema 7 State spiegando ad alcuni amici peché gli astonauti avvetano assenza di peso mente obitano sullo shuttle ed essi ipotizzano che, semplicemente, lassù la gavità sia molto più debole. Povate a convincee loo e voi stessi che non è così, calcolando quanto è più debole la gavità 50 km al di sopa della supefiie teeste, in temini di g. Risoluzione. Ancoa, facendo ifeimento alla (1) del Poblema 3, otteniamo subito: g(50 10 3 m) g 0 = ( 1 ) = 0.96 1 + 50 103 m 6.37 10 6 m 10
Si vede bene che, a 50 km dalla supeficie teeste, l acceleazine di gavità è ancoa olte il 9% del valoe g 0. A cosa è dovuta, alloa, la sensazione di mancanza di peso che avvetono gli astonauti in obita? Sostanzialmente al fatto che essi sono in caduta libea: un copo che obita attono alla Tea sta cadendo veso di essa tanto quanto una mela che si stacca dall albeo, solo che il copo in obita la manca in continuazione! Pe esso l acceleazione di gavità è centipeta. Comunque, sia in caso di copo obitante, sia in caso di caduta adiale, se tascuiamo gli effetti dell atmosfea (e se il copo può essee schematizzato mediante il modello di punto mateiale, in maniea tale da tascuae gli effetti di maea 1 ), alloa tutte le pati di esso subiscono la stessa acceleazione pe cui non si avvete l effetto di nessuna foza ed è come se ci si tovasse in una egione piva di gavità ; la sensazione di peso che poviamo noi teesti è un effetto del pincipio di azione e eazione: noi pemiamo conto il pavimento ed esso, a sua volta, eagisce applicando sulle piante dei nosti piedi una foza uguale e contaia al nosto peso, ed è questa eazione che ci fonisce la sensazione di peso che avvetiamo. Poblema 8 Quatto sfee di massa 9.5 kg sono situate agli angoli di un quadato di 0.60 m di lato. Calcolate quanto vale su una sfea, il modulo e la diezione dell acceleazione di gavità dovuta alle alte te. Risoluzione. Facendo ifeimento alla Figua calcoliamo le foze agenti sulla sfea A ad opea dell attazione gavitazionale delle alte te. Siano F AB, F AC e F AD tali foze. FAB e F AD hanno lo stesso modulo F in quanto le sfee B e D hanno la stessa massa e la stessa distanza da A. Inolte esse sono otogonali ta loo, pe cui la isultante, indicata in osso in figua, giace lungo la diagonale congiungente le sfee A e C e ha modulo pai a F AB + F AD = F + F = F. Anche F AC giace lungo la stessa diagonale. Pe valutane il modulo, basta consideae che AC = l (con l = 0.60 m si è indicata la lunghezza del lato del quadato), pe cui si ha: 1 Gli effetti di maea sono dovuti sostanzialmente al fatto che un copo esteso speimenta divesi valoi di acceleazione di gavità nei divesi punti che lo compongono: pe esempio, la foza di gavità alla cima della nosta testa è più debole ispetto a quella esecitata sui nosti piedi, tuttavia l effetto è del tutto tascuabile. Se invece il copo ha dimensioni assai estese, pe esempio nel caso di un copo di dimensioni planetaie, e se la gavità in gioco è consideevole, alloa le diffeenze possono diventae significative e, se il copo non è molto coeso, possono potae allo sbiciolamento dello stesso. Una delle ipotesi sulla fomazione degli anelli di Satuno coinvolge questo tipo di meccanismo. Questa ossevazione appaentemente banale ed accidentale nasconde in ealtà implicazioni assai pofonde... 11
D C F is F AD A F AC F AB B Figua : Poblema 8. m F AC = G (l ) = F in quanto si ha F = Gm /l. La isultante delle te foze, indicata in neo in figua, agisce lungo la diagonale del quadato ed è dietta veso il punto C. Il suo modulo vale: F is = F + F ( = F ) 1 + Tutto dipende dunque da F, modulo della foza gavitazionale agente ta una coppia qualunque di sfee contigue. Sostituendo i valoi numeici toviamo: F is = G m l ( ) 1 + = 6.67 10 11 N m (9.5 kg) kg (0.60 m) 1.91 = 3.19 10 8 N Pe ottenee il modulo dell acceleazione di gavità con cui ciascuna sfea è attatta dalle alte te basta dividee pe la massa m: a = 3.19 10 8 N 9.5 kg = 3.36 10 9 m/s 1