ELEMENTI DI MATEMATICA FINANZIARIA

ELEMENTI DI MATEMATICA FINANZIARIA 9. OPERAZIONI FINANZIARIE La Maemaca Fazara ha per oggeo suo le operazo fazare, coè le operazo scambo somme earo spoble emp vers. Gl eleme foameal u'operazoe fazara soo mpor e scaeze. Sulla base ques ue eleme s effeua ua prma szoe: operazo fazare cere: soo quelle cu mpor s reoo spobl co cerezza, operazo fazare aleaore: soo quelle cu mpor s reoo spobl solo se s verfcao egl eve aleaor. La Maemaca fazara classca s occupa elle operazo fazare cere, mere la Maemaca auarale s occupa elle operazo fazare aleaore. Esemp operazo fazare cere. ) Deposao earo sul c/c bacaro a cu s preleverao capale e eress s scamba l versameo oero co u prelevameo fuuro. ) Comprao ogg BOT che s rveerao fra u mese, s scamba la somma ogg vesa co l rcavo ella vea fra u mese. 3) Spulao ogg u muuo co rmborso grauale s scamba la spoblà che ogg s rceve per effeo el corao muuo co versame che s farao alle scaeze coveue. 4) Spulao ogg u acquso u'auo co pagameo raeale, s scamba la somma rcevua subo aura (valore ell'auo), co le rae che s verserao alle scaeze ovue. Per rourre alcu coce foameal s coser ua operazoe fazara elemeare cossee ello scambo fra ue vu A e B ue capal, rspevamee C e M co M > C, ue successv emp x e y. C x Il soggeo A cee a B l capale C spoble al empo x ; cambo B cee a A l capale M spoble al empo y > x. Se l'operazoe scambo ell'mporo C al empo x coro l'mporo M al empo successvo y è acceaa a ue vu, s ce che C e M soo fazaramee equvale fra loro e che l'operazoe è equa. Aveo supposo x < y s ha che: A è eo creore o muuae; B è eo ebore o muuaaro; C è l capale mpegao, acpao o veso; M è l capale ovuo alla scaeza; x è la aa vesmeo; y è la aa scaeza; [x,y] è l peroo mpego. M y

Pare 9 OPERAZIONI FINANZIARIE La escrzoe u'operazoe fazara s può fare assocao alle vare scaeze elle qual s hao movme cassa gl ammoar al movme. D orma le scaeze s msurao a e gl ammoar eraa e usca soo oa rspevamee sego + (eveualmee omesso) e sego. Qu per escrvere u'operazoe fazara basa assegare elle coppe umer (scaeza, flusso cassa), ( s, x s ) co s =,, e ove s, u'appropraa uà msura, è la scaeza alla quale s mafesa l flusso cassa x s (valor posv segalao erae, valor egav segalao usce). Esempo. Ogg coceo u preso 3000 ; fra u ao m rmborsao 000, fra ao e mezzo alr 00 e fra ue a alr 300. Scaeza (empo) Flusso cassa (mporo) 0-3000 000,5 00 300 S può ache usare ua rappreseazoe geomerca, ea rea e emp. -3000 000 00 300 0,5 3 9... OPERAZIONI DI CAPITALIZZAZIONE S parla u'operazoe capalzzazoe quao l earo è porao ava el empo ossa s rasforma ua spoblà mmeaa C al empo x, ua spoblà fuura M al empo y ; o C, x, y s eve eermare M. I quesa operazoe fazara l'elemeo foameale è l capale C ; M è eo moae, al empo y, el capale C mpegao al empo x. S efsce eresse el peroo [x,y] la quaà I = M C M faore moae : r = C Esso msura l moae per uà capale mpegao, ossa se C =, allora è r = M. Dalle efzo pose segue ache: M = C + I C = M I, M r =, M= Cr, C M C =, I = C (r ), r I r = +. C

Pare 9 OPERAZIONI FINANZIARIE Esempo. Ogg veso 000, fra re a rscuoo 800. 000 800 0 3 000 capale 800 moae 800 000 = 800 eresse 800 =,8 000 9... OPERAZIONI DI ATTUALIZZAZIONE S parla u'operazoe aualzzazoe o acpazoe o scoo quao l earo è porao ero el empo; o M, x, y s eve eermare C. I quesa operazoe fazara l'elemeo foameale è l capale M ; la somma C s ce valore auale al empo x el capale M, eo valore omale, ovuo al empo y. S efsce scoo sul capale M la quaà D = M C. C faore scoo o acpazoe : v =. M Esso rappresea l valore x corrspoee a ua uà moae y, ossa se M =, v = C. Dalle efzo pose segue ache C = M D, M = C + D, C v =, C = M v, M C M =. v Esempo. Ogg posso pagare 000 per acqusre l ro a rscuoere 800 fra re a -000 800 0 3 000 valore auale o scoao 800 valore omale 800 000 = 800 scoo 000 = 0,55 faore scoo 800 3

Pare 9 OPERAZIONI FINANZIARIE 9..3. LEGGI E REGIMI FINANZIARI A parà og alra cozoe è ragoevole aspears che elle operazo capalzzazoe e aualzzazoe, l faore moae e l faore scoo peao alla uraa ell vesmeo. Quao s vuole segalare che faor moae e scoo soo fuzoe ella uraa ella operazoe fazara s cao, rspevamee, co r() e v(). La fuzoe r() rappresea l moae equvalee al capale C = ; essa è ea fuzoe faore moae o capalzzazoe. La fuzoe v() rappresea l valore auale = 0 equvalee al moae M = ; essa è ea fuzoe faore scoo o aualzzazoe. S suppoe che le operazo fazare sao regolae a fuzo faore che rappreseao l comporameo u vuo razoale (colu che prefersce ao a poco) e perao le propreà ua fuzoe faore moae e ua fuzoe faore scoo s possoo rassumere come segue. Fuzoe faore moae è ua fuzoe r() ale che ) r(0) =, ) r () 0 ossa r() è crescee, 3) r(). r() 0 Fuzoe faore scoo è ua fuzoe v() ale che ) v(0) =, ) v () 0 ossa v() è ecrescee, 3) 0 < v(). v() 0 4

Pare 9 OPERAZIONI FINANZIARIE Abbamo rooo la fuzoe faore capalzzazoe r() e la fuzoe faore scoo v() perché, orma, le operazo fazare capalzzazoe e aualzzazoe peoo alla uraa ell vesmeo. Coserao r() e v() possamo allora esprmere fuzoe ache le alre graezze. Nelle operazo capalzzazoe, eo C l capale veso per u peroo, s ha: M() = C r(), I() = M() C = C (r() ), olre I( ) ( ) = C è l asso eresse peroale relavo al peroo. Esso è l eresse prooo a u capale uaro el peroo. S facca aezoe che orma co l smbolo s ca l eresse prooo a u capale uaro u peroo uaro empo ( solo u ao). Dalle formule precee segue: r() = + () Nelle operazo aualzzazoe, ea M la somma a scoare (valore omale) e l peroo ffermeo, s ha: C() = M v(), D() = M C() = M ( v()), olre D( ) ( ) = M è l asso scoo peroale relavo al peroo. Esso è lo scoo per og uà valore omale el peroo ffermeo. Co l smbolo s ca vece, orma, lo scoo per og uà moae quao l peroo ffermeo è l uà empo ( solo u ao). Dalle formule precee segue: v() = () Esempo. S coser l operazoe fazara rappreseaa a C = 00 M = 0 0 a Se s erprea come operazoe capalzzazoe rsula: C = 00 capale veso M = 0 moae I = 0 eresse oale 0 () = = 0% 00 asso eresse peroale relavo a = a. 5

Pare 9 OPERAZIONI FINANZIARIE Se s erprea come operazoe aalzzazoe rsula: C = 00 valore auale M = 0 valore omale D = 0 scoo oale 0 () = = 9, 09% asso scoo peroale relavo a = a. 0 Nella praca le operazo capalzzazoe e aualzzazoe soo regolae a faor che peoo al empo secoo alcue formule maemache. Quese formule, lguaggo fazaro, s chamao regm fazar ( capalzzazoe o aualzzazoe) e coegoo o solao l empo ma ache alr paramer che regolao la velocà co cu ella capalzzazoe l moae cresce co l passare el empo, ell aualzzazoe l valore omale s corae valore scoao all alloaars ella scaeza. Quao u regme s specfca umercamee l valore el paramero, avee usualmee la aura asso eresse o scoo, s oee ua formula maemaca che cosee capalzzare o aualzzare uvocamee ua somma, qualuque sa la scaeza. Quesa formula co paramero precsao s chama legge fazara (rspevamee capalzzazoe o aualzzazoe). Esempo. Sa f() = + α co α > 0. Poché f(0) = e f'() = α > 0 per og > 0, la fuzoe f() = + α rappresea u possble regme fazaro capalzzazoe. Se s assega a α l valore 0,0, la fuzoe f() = + 0,0 rappresea ua legge capalzzazoe ale regme. Al varare el valore el paramero α, camba la legge ell'ambo ello sesso regme fazaro. E ragoevole supporre che se reamo equvale ue mpor C 0 e M, ove M è oeuo capalzzao C, allora aualzzao M ovremmo oeere C. Nella praca fazara u corao avvee fra ue coropar, per esempo A e B e se per A l'operazoe s efca u'operazoe capalzzazoe, allora per B la sessa è u'operazoe aualzzazoe. A esempo: l reore ua baca fa u'operazoe vesmeo (capalzzazoe) quao presa a u'mpresa l capale C al empo 0 che gl sarà resuo al empo e varrà M. Per l'mpresa l'operazoe può essere vsa come u'operazoe scoo quao s mpega a reere M e chee che le vega acpao (scoao) l capale C 0. Da quao eo, segue che per essere erambe 'accoro ue coropar usao regm aualzzazoe e capalzzazoe sosface le relazo: ossa C r() v() = C, M v() r() = M r() v() =, 0. DEFINIZIONE. Due regm fazar capalzzazoe e aualzzazoe ave come fuzo faore moae e faore scoo r() e v(), rspevamee, s ce che soo couga se soo al che: 6

Pare 9 OPERAZIONI FINANZIARIE r() v() =, 0 ; ossa v() = ; r() r() =. v() Le legg fazare capalzzazoe pù usae per calcolare eress e moa s basao su re p fuzo faor moae: po affe (o leare), po espoezale, po perbolco. Ques re p legg corrspooo ell ore a segue re p regme: regme ell'eresse semplce (RIS), regme ell'eresse composo (RIC), regme ell'eresse acpao (RIA). Le legg fazare aualzzazoe pù usae soo quelle e regm couga al RIS, RIC, RIA; esse corrspooo rspevamee a segue re p regme: regme ello scoo semplce o razoale, regme ello scoo composo, regme ello scoo commercale. A coclusoe el paragrafo, s o che faceo rfermeo alla sessa operazoe fazara, le graezze, r,, v s possoo esprmere ua fuzoe ell alra come rporao ella seguee abella. r v r- r + v r + r + r - v v v S o che per og operazoe fazara, u meesmo peroo rfermeo = y x, l asso 'eresse è sempre maggore el asso scoo corrspoee: >. Iolre è fuzoe crescee.,0 -v 0,5 = + 0 5 0 7

Pare 9 OPERAZIONI FINANZIARIE 9..4. LA VARIABILE TEMPO E mporae sooleare che ue le formule l empo eve sempre essere espresso co l uà empo alla quale s rfersce l asso ell operazoe fazara. L uà msura ella varable empo che orma s cosera e rspeo alla quale vegoo rfer var ass è l ao. S ulzza l ao cvle coserao 365 gor (o 366 per gl a bsesl), oppure l ao commercale coserao 360 gor ( mes 30 gor cascuo). D cosegueza s ha u ervallo emporale esao se s coao gl effev gor compres fra ue ae (per esempo, ra l 5/04/994 e l 8/07/994 v soo 94 gor: 5 + 3 + 30 + 8), e u ervallo emporale commercale se s cosera l ao commercale e qu u mes 30 gor. Quao elle operazo fazare s coserao ass aual, occorre esprmere l empo a ache se l peroo a coserare o è u umero ero a. Rcoramo che: l empo espresso gor s rpora a meae la frazoe umero e gor umero e gor (ao cvle) o (ao commercale), 365 360 umero e mes l empo espresso mes s rpora a meae la frazoe. Esemp. ) = a e 47 gor sgfca 47 + (ao cvle). 365 ) = 5 a e 4 mes sgfca 4 5 +. 3) = 3 a, 4 mes e 0 gor sgfca 4 0 3 + + (ao commercale). 360 Il empo espresso a meae u umero razoale s rpora a ua espressoe a, mes, gor usao le formule verse quelle precee. I geerale s rova apprma l umero gor corrspoe usao le formule gor = a x 360 oppure gor = a x 365 e successvamee s esprme queso umer gor a, mes, gor. Esemp. ) =,343 a sgfca a, 4 mes, 3 gor perché, lmaoc a coserare la pare ecmale, s ha 0,343 x 360 = 3,480 gor e 3 gor sgfcao 4 mes e 3 gor. ) =,84 a sgfca a e 0,84 x 360 = 46,4 gor; poché 46 gor soo mese e 6 gor, efva =,84 a sgfca a, mese, 6 gor. 8

Pare 9 OPERAZIONI FINANZIARIE 9..5. TASSI PERIODALI Abbamo gà corao.3 ue ass ef peroal: () asso eresse peroale relavo al peroo. E l asso eresse prooo a u capale uaro el peroo vesmeo. () asso scoo peroale relavo al peroo. E lo scoo per og uà moae el peroo ffermeo. Mole operazo preveoo l pagameo rae che o soo aual ma rfere a frazo ao (semesral, quarmesral, rmesral, mesl, ec.). Aalogamee c soo operazo vesmeo che garascoo l rcooscmeo egl eress pù vole el corso ell ao. Il asso eresse rfero a m esmo ao vee cao co m. m asso peroale relavo a m esmo ao. A esempo ca u asso eresse semesrale, 3 ca u asso eresse quarmesrale, 4 ca u asso eresse rmesrale, ec. D orma l asso eresse auo s ca co. 9

9. REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE. Esamamo regm capalzzazoe, e le rspeve fuzo moae, pù usa per calcolare eress e moa. 9... REGIME DELL INTERESSE SEMPLICE (RIS) Gl eress semplc s efscoo come quell reamee proporzoal al capale e al empo mpego. I alre parole, raoppao l capale gl eress raoppao, rplcao l capale s rplcao, così come raoppao l empo s raoppao, rplcao l empo s rplcao ec.. Perao el regme egl eress semplc, l eresse prooo a u capale C el empo sarà espresso a ua formula el po I = C α co α cosae. I parcolare u capale uaro C = mpegao per u empo uaro =, prourrà u eresse uguale a α e qu quesa cosae è l asso eresse. Se l capale C è mpegao per u empo, l moae prooo rsula M = C + I = C + C = C ( + ) e qu la fuzoe faore moae che caraerzza l regme fazaro ell eresse semplce è r() = + ossa è ua fuzoe po leare affe. r() peeza = 0 Il grafco r() è ua rea e mosra come l moae prooo a C = cresca learmee el empo co peeza uguale al asso eresse. Rassumeo: Icao co l asso effevo eresse, le fuzo che caraerzzao l RIS, espresse fuzoe ella uraa ella operazoe fazara, soo r() = +, M() = C r() = C( + ),

Pare 9 REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE I() I() = M C = C(+ ) C = C, () = =. C S o che () ca l eresse prooo a ua uà capale ell ero peroo empo e è ao al prooo el asso eresse molplcao per l peroo : () =. Le fuzo r() = +, M() = C( + ), I() = C hao come grafc ua rea peeza rspevamee, C, C. S può oare che M() e I() hao la sessa peeza e qu uo sesso rfermeo caresao soo rappreseae a ue ree parallele. r() M() I() M() 0 C 0 C 0 C C 0 C C I() Se s precsa che l asso eresse vale 0 % ( = 0,) e s sosusce ella formula al smbolo l valore 0,, l faore moae r() = ( + 0, ) caraerzza o pù u regme capalzzazoe ma la legge capalzzazoe egl eress semplc a asso 0 %. Quesa legge capalzzazoe cosee calcolare l moae M qualuque capale C per qualuque uraa ell mpego: M = C ( + 0, ). E mporae rcorare che elle formule preceeemee rovae l empo eve sempre essere espresso co l uà empo cu è ao l asso effevo eresse. Per esempo se è l asso eresse auo allora l empo s eve esprmere a; se è l asso eresse semesrale allora l empo s eve esprmere semesr; e così va. ESEMPI Deermare l valore el moae (capale fale) che s oee veseo u capale C per u empo all eresse. Esempo Se C = 000, = 5 a, = 0 % auo allora s ha M = C(+ ) = 000 (+0,0 5) = 500, I(5) = 000 0,0 5 = 500. Esempo Se C = 000, = 45 gor, = 0 % auo allora s ha 45 M = C( + ) = 000 ( + 0,0 ) = 0,3876. 365 Esempo 3 Se C = 000, = 3 mes, = 0 % auo allora s ha 3 M = C(+ ) = 000 (+0,0 ) = 08,333. - -

Pare 9 REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE Esempo 4 Se C = 000, = 8 mes, = 5 % semesrale allora s ha M = C(+ ) = 000 (+0,05 3) = 50. Esempo 5 Se C = 000, = 4 mes, = 0 % semesrale allora s ha 4 M = C(+ ) = 000 (+0,0 ) = 30. 6 Esempo 6 S coser u peroo 78 gor e sa ( 78g) = 0,00635. Deermare, RIS, l asso auo equvalee a ( 78g) = 0,00635 ossa eermare l asso eresse auo che su u capale C = 78 gor prouce u eresse 0,00635. SOLUZIONE: Per rspoere basa rcorare che () = e esprmere l peroo 78 gor a; s ha 78 360 0,00635 = a cu = 0,00635 = 0,093, =,93%. 360 78 Esempo 7 Dao u asso eresse auo = 3,34 %, eermare l asso equvalee relavo a u peroo 8 gor, alre parole eermare l eresse prooo a u capale C = 8 gor se l asso eresse auo è = 3,34 %. 8 SOLUZIONE: Da () = oeamo (8g) = 0,0334 = 0,087. 360 Negl esemp 6 e 7 s parla ass equvale, queso argomeo sarà rpreso e compleao ella PARTE 4. OSSERVAZIONE I queso regme è vaaggoso effeuare operazo capalzzazoe ermee, ossa rrare l moae (capale zale + eress) e revesre l uo. Cofroamo moa M e M'' oeu veseo C per u peroo + seza operazoe capalzzazoe ermea e co capalzzazoe ermea. Se è l asso 'eresse, s ha: M C M M 0 = 0 + M = C( + ( + )) M' = C( + ) M'' = C( + ) ( + ) Rsula M'' > M e per queso, esseo M M, s ce che l RIS è u regme o scble. - -

Pare 9 REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE OSSERVAZIONE Coseramo u peroo auale mpego u capale uaro che o sa ecessaramee l prmo ao. Le epoche zale e fale queso peroo sao rspevamee, e ( + ). Il moae ell'mpego el capale uaro C = opo a è M = C + C = + = r(), opo ( + ) a è M = + ( + ) = r( + ), coscchè la ffereza r( + ) r() rappresea gl eress proo al capale uaro quell'ao. Rsula: r(+) r() = + ( + ) ( + ) = + + =. Ne segue che è l'eresse prooo el geerco ao mpego u capale uaro (e o solo el prmo ao 'mpego). Quesa propreà el RIS o è posseua a alr regm. 9... REGIME DELL INTERESSE COMPOSTO (RIC) E aurale l'mpego ella capalzzazoe semplce quao ra ue par u corao fazaro vee preeermaa la uraa ell'operazoe. Quao queso o avvee vee applcaa la capalzzazoe egl eress: s suve la uraa ell'mpego pero, geeralmee ugual, e, alla fe cascuo e pero vegoo compua gl eress semplc relavamee a quel peroo. Tal eress soo mmeaamee rasforma capale e gà al peroo successvo comcao a loro vola a prourre eress. Sa l asso effevo eresse ell'uà empo; suppoamo vesre u capale uaro C = al empo = 0 e che le epoche capalzzazoe sao equsa. Calcolamo quao s realzza al empo =, =,... =, effeuao l'operazoe capalzzazoe alla fe og peroo. Per l faore moae, s oee la seguee successoe geomerca: r(0) = r() = r(0) ( + ) = + r() = r() ( + ) = ( + ) r() = r( ) ( + ) = ( + ). Se geeralzzamo la relazoe appea rovaa a og empo 0 e o solo per scaeze ere, s ce che s opera meae covezoe espoezale e s oee: r() = ( + ), 0. La preceee formula è u faore moae, fa: r(0) =, r () = ( + ) l ( + ) > 0. Duque l regme fazaro capalzzazoe a eresse composo o regme espoezale è caraerzzao a ua fuzoe faore moae espoezale: r() = ( + ) - 3 -

Pare 9 REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE o equvaleemee r() = e δ ove e δ = +. Per l sgfcao δ s vea 9..5. Le cosa δ e soo legae fra loro alla preceee uguaglaza e è sempre possble rcavare l'ua oa l'alra: = e δ, δ = l ( + ). Il sgfcao è quello asso eresse ell'uà empo mere δ = l ( + ) è l esà saaea eresse (o asso saaeo 'eresse, o forza 'eresse). Rassumamo le relazo che abbamo f qu rovao per l RIC e rporamo grafc per r(), M() e I () : r() = ( + ), M() = C( + ) I( ) ( ) = = ( + ), I () = M() C = C[( + ) ] C r() M() + C I () 0 INTERESSE COMPOSTO CON CONVENZIONE LINEARE Nel caso cu l empo capalzzazoe o sa espresso a u umero ero ma sa = + f, co umero aurale e 0 < f <, l moae può essere calcolao meae covezoe leare. Co cò s ee che s cosera la fuzoe faore moae r( ) = ( + ) ( + f) ossa, coserao u capale uaro, alla fe el -esmo ao l capale che s è formao è ( + ) e rappresea l capale zale per l ervallo empo [, + f] el quale s applca l eresse semplce e qu l capale fale prooo a u capale uaro el empo = + f è ( + ) ( + f). - 4 -

Pare 9 REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE Duque coserao u peroo vesmeo = + f co ero e 0 < f <, l faore moae è: r( ) = ( + ) ( + f) co la covezoe leare r + f ( ) = ( + ) = ( + ) co la covezoe espoezale. Esempo. Ua somma 000 euro vee mpegaa al asso auo = 0 % per 5 a e 3 mes regme eresse composo. Deermare l capale fale elle ue covezo (leare e espoezale). SOLUZIONE. I covezoe leare s ha: 5 3 M = 000 ( + 0,0) + 0,0 = 650,773. I covezoe espoezale s ha: 3 5+ M = 000 ( + 0,0) = 649,365. Come mosra l esempo, l moae oeuo co la covezoe leare è maggore quello oeuo co la covezoe espoezale che rappresea comuque ua buoa approssmazoe el prmo, ma per l creore è pù coveee l regme a eresse composo co covezoe leare. Le locuzo covezoe leare e covezoe espoezale fao rfermeeo all erpreazoe geomerca e faor moae che s oegoo e ue cas. Il grafco el faore moae ella covezoe leare è la spezzaa scra ell espoezale rappreseae l faore moae ella covezoe espoezale. 8 4 0 3 Cocluamo co le segue ue osservazo. - 5 -

Pare 9 REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE OSSERVAZIONE Il RIC è l'uco regme cu l moae geerao u ervallo empo è lo sesso che s oee effeuao u qualuque umero capalzzazo ermee (regme scble). Ifa C M M M 0 = 0 + S ha ) + M = (+ ) M = (+ M = M (+ ) = (+ ) (+ ) = (+ ) + Poché rsula M = M'', s ce che l RIC è u regme scble. OSSERVAZIONE Su u mpego uaro el prmo ao gl eress proo soo: r() r(0) = ( + ) ( + ) 0 = + =. Per coro, quao s coser u geerco ao, a a + (co ero o, se o ero, lavorao co la covezoe espoezale), gl eress proo a u mpego orgaramee uaro soo: r( + ) r() = ( + ) + ( + ) = ( + ) ( + ) = ( + ). L ammoare egl eress cresce epoezalmee el empo. E par al asso eresse solo el prmo ao (quao = 0). Nel caso capalzzazoe composa o è correo re che l asso eresse auo è l eresse prooo a ua uà capale u ao, ma occorre re che è l eresse prooo a ua uà capale el suo prmo ao mpego. Se s vuole fare rfermeo al geerco ao s eve precsare che è l eresse prooo a ua uà capale mpegao all zo quell ao, capale che clue gl eress maura e capalzza e pero precee. 9..3. REGIME DI INTERESSE ANTICIPATO (RIA) Per rourre queso regme, ragoamo apprma erm scoo azchè eress meeoc e pa ch eve rcevere ogg la somma M scoaa. C? 0 = 0 M Illusramo co u esempo. Il possessore ua cambale valore omale M = 000 euro all'epoca, chee scoare la cambale ossa vuole cassare subo l valore - 6 -

Pare 9 REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE auale C ell'effeo. Egl s rvolge a u Isuo Creo che, ero raeua u compeso, accea fare l'acpazoe e mezz fazar accollaos l peroo ffermeo ella spoblà M. Il compeso raeuo all'isuo Creo (scoo) è reamee proporzoale all'ammoare omale ell'effeo e alla sua scaeza secoo ua cosae proporzoalà α : D() = M α. Se M = e = rsula D = α, perao α è lo scoo su u capale fale uaro M = = e qu è l asso scoo (eo scoo commercale). I fuzoe el empo, possamo scrvere D() = M a cu C C = M D() = M M = M ( ), M() =. Esempo. 8 Se M = 000 euro, = mese e = 8 %, s ha: D = 000 = 5. Il valore 00 corrsposo all'isuo Creo è allora: C = M D = 000 5 = 985. Toramo a ragoare erm capalzzazoe: se coseramo l'esempo preceee, al puo vsa ell'isuo Creo, l'operazoe è così escrvble: 985 000 0 mese per l Isuo Creo è ua capalzzazoe e può pesars realzzaa applcao alla somma vesa 985 euro, u opporuo faore capalzzazoe: M M r( ) = = =. C M( ) I fuzoe el asso scoo s oee uque la fuzoe faore moae: r() =. Coraramee al solo l faore capalzzazoe è sao rooo fuzoe u asso scoo e o el asso eresse. Cò segue alla pologa elle operazo fazare per le qual s opera co queso regme, maggore charezza sarà faa quao s aalzzerà l regme ello scoo commercale. Pù soo rroveremo comuque ache le relazo che s oegoo fuzoe el asso eresse. Osservamo che r(0) =, r () = 0 ( ) >. Poché per avere sgfcao acceable r() eve essere posvo e maggore, s hao le lmazo: 0 < e < a cu. 0 < <. - 7 -

Pare 9 REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE S o che segue ache < ; queso compora che per u ao asso scoo s possoo raare solo somme co scaeza more el recproco el asso. Se per esempo = 0 % auo allora eve essere < = 5 a. 0% La rappreseazoe grafca el faore moae è: r() r() Quao la uraa ell'mpego s avvca roppo a sproposaamee grae. 0 Abbamo gà vso che valgoo le relazo l moae vea r() =, C M() =, C = M ( ), a quese seguoo ache C I() = M( ) C =, Rappreseamo grafco M() e I(): I() () = = C. M() C I() 0-8 -

Pare 9 REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE Icao co l eresse prooo a u capale uaro el prmo ao mpego, s ha = r() - r(0) = =, a cu = e =. + S possoo ora rscrvere ue le relazo precee fuzoe el asso eresse, parcolare s ha: + r() =, + C (+ ) M() =, + C I( ) = + Cocluamo co le segue osservazo. OSSERVAZIONE Il RIA è u regme o scble perché al coraro quello che avvee RIC, el RIA la capalzzazoe ermea egl eress è svaaggosa per l'vesore. Ifa cofroamo moa M e M'' oeu veseo C per u peroo + seza operazoe capalzzazoe ermea e co capalzzazoe ermea: C M M M 0 = 0 + S ha : C M = ( + M = M ) = C e esseo ( ) ( ) = ( + ) + > ( + ) > 0 rsula < ( ) ( ) ( + e qu M < M. Pochè moa che s oegoo soo vers, ache queso è u regme o scble. OSSERVAZIONE Abbamo vso che l eresse prooo a u capale uaro el prmo ao mpego è = r() - r(0) = e qu se 0 s ha. Ma cò vale ache co rfermeo al geerco ao mpego, all epoca all epoca +, fa queso caso l eresse prooo è r( + ) - r() = = che geerale o è ( + ) [ ( + )] ( ) uguale al asso scoo e che assume valor molo gra quao s avvca a. ) - 9 -

Pare 9 REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE 9..4. CONFRONTO TRA FATTORI DI MONTANTE Fssamo l'uà empo, a esempo ao. Se ass eresse au e re regm cosera fossero vers, oveo vesre u capale C scegleremmo quel regme che forsce, al empo eserao l moae maggore. Nel caso cu l asso eresse auo sa lo sesso e re regm, allora possamo cofroare reamee le re fuzo faore moae. Tue soo al che: r RIS ( ) = +, r ( ) + ) RIC = (, r RIA r ( 0) =, r ( ) = +, r ( ) > 0. ( ) = =. + Le fuzo faore moae soo cresce, passao per pu (,r) = (0,) e (,r) = (, + ). Rporamo loro grafc: r() RIA RIC RIS + 0 Noamo che ell'ervallo 0 < < s ha r RIA () < r RIC () < r RIS (), mere per < <, s ha r RIA () > r RIC () > r RIS (). 9..5. INTENSITA DI INTERESSE U procemeo geerale per escrvere ua aa forma mpego u capale u assegao ervallo empo cosse el calcolare quale asso eresse semplce avrebbe cooo allo sesso rsulao. Per esempo, suppoamo che l sgor Ross vesa 00 euro e opo 3 a rscuoa 30 euro, seza aver percepo alcua eraa ell arco el reo. S può escrvere l rsulao ell vesmeo ceo che l sgor Ross ha veso a asso eresse semplce el 0%. Ifa a 00 ( + 3 ) = 30 s ha = 0 %. Queso asso s chama esà mea eresse el peroo. Essa può essere rfera a ervall empo molo lugh o ache brevssm. Quao s cosera u - 0 -

Pare 9 REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE ervallo empo così breve a poer essere coserao sae, la relava esà eresse è ea esà eresse o forza eresse. S efsce esà saaea eresse o asso saaeo eresse o forza eresse la quaà δ ( ) = l r( ). Calcolamo la forza eresse e regm cosera. RIS: r() = +, δ( ) = l ( + ) =. + RIC: r() = ( + ) = e δ δ, δ( ) = l e = δ = l( + ). RIA: r( ) =, δ( ) = l =. S o che RIS e RIA la forza eresse pee a, mere el RIC la forza eresse o pee a. S può mosrare l seguee eorema: La forza eresse δ() è cosae se e solo se l regme è espoezale, ossa r() = e δ. 9..6. SCINDIBILITA Ne paragraf precee s è gà esamao se regm capalzzazoe cosera verfcao o o la propreà scblà. Rassumamo brevemee quao eo e precsamo la efzoe scblà. S chamao legg scbl quelle legg fazare per le qual le erruzo ell vesmeo, co mmeaa rpresa, o hao rfless sul rsulao fale. I u regme scble l moae u operazoe fazara pee solo alla uraa e o a eveual operazo svesmeo e vesmeo ermee. I u regme scble cao co (x,y) l ervallo empo ell operazoe fazara, erm faore moae s ha r(x,y) = r(x,a) r(a,y) per og a (x,y), erm faore scoo s ha v(x,y) = v(x,a) v(a,y) per og a (x,y), oppure per scoare ua somma a y a a, s può prma scoarla a y a x (co x < a) e po capalzzarla fo a a : v(a,y) = v(x,y) r(x,a). - -

Pare 9 REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE Vale l eorema: u regme r() è scble se e solo se la forza eresse δ() è peee a. Le sole legg capalzzazoe scbl soo quelle capalzzazoe composa. Rcoramo che la scblà el RIC è saa mosraa ell osservazoe.. La o scblà RIS e RIA è saa mosraa ell osservazoe, rspevamee,. e.3. Esempo. S coser u mpego a asso eresse auo el 0% per 5 a. I faor moae soo: a eress semplc + 0, x 5 =,5 a eress compos ( + 0,) 5 =,605 a erss (semplc) acpa + 0, =,8333 + 0,( 5). Coseramo l effeo ua erruzoe ell mpego opo 3 a co mmeaa prosecuzoe per gl alr. Oeamo u faore ququeale par a: a eress semplc ( + 0, x 3) ( + 0, x ) =,56 >,5 a eress compos ( + 0,) 3 x ( + 0,) =,33 x, =,605 a erss (semplc) acpa + 0, + 0, =,6805 <,8333 + 0,( 3) + 0,( ) Come s vee, l erruzoe (co capalzzazoe egl eress maura fo a quel momeo) è vaaggosa egl mpegh a eress semplc è svaaggosa ella capalzzazoe a eress (semplc) acpa, è fferee ella capalzzazoe composa. 9..7. TASSI VARIABILI NEL TEMPO Essoo operazo fazare che eragscoo co l ambee crcosae, per esempo preseza flazoe, e per queso soo soggee a ass eresse che varao el empo. C propoamo aalzzare alcue quese operazo e cercare formule che esprmao l moae u mpego uaro co ass eresse che possoo varare el empo. I queso caso o è suffcee cooscere la uraa complessva u mpego per valuare l rsulao, ma s evoo charare le epoche x e y zo e fe ell operazoe capalzzazoe, per queso s parla legg capalzzazoe co ue varabl. Coseramo ua operazoe fazara uraa = (x,y), = + e ale che, seza erruzoe vesmeo, el prmo peroo valga l asso, mere el secoo peroo valga l asso. La fuzoe faore moae è - -

Pare 9 REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE r(x,y) = r() = + + regme eresse semplce ; r ( x, y) r( ) = ( + ) ( + ) = regme eresse composo ; r( x, y) = r( ) = regme eresse (semplce) acpao. I queso caso ass e o soo eresse ma scoo commercale. Geeralzzao al caso cu l ervallo empo (x,y) sa suvso ervall uraa rspevamee s, s =,,, e qual s hao rspevamee ass eresse s, s =,,, la fuzoe faore moae è: s s= r( x, y) = r( ) = + s regme eresse semplce ; s r( x, y) = r( ) = ( + s) regme eresse composo ; s= r( x, y) = r( ) = regme eresse (semplce) acpao. s s s= I queso caso ass s o soo eresse ma scoo commercale. Esempo. S abba u capale 800 euro mpegao per u ao, seza erruzoe vesmeo, al asso = 0% per prm se mes e al asso = % per gl alr se mes. Il moae prooo è: M = 800+ 0,0 + 0, = 886,4 capalzzazoe semplce ; M 800 ( + 0,0) ( + 0,) = 883,99 = capalzzazoe composa. Esempo. S coser u vesmeo beale rparo re pero urae rspevamee ao, 6 mes e 6 mes. Suppoamo che el prmo ao l asso eresse sa = 0%, mere e ue semesr che seguoo esso sale mezzo puo (perceuale) al semesre. Il faore moae è r() = + 0,0 + 0,05 + 0, =,075 capalzzazoe semplce ; r() (+ 0,0) ( + 0,05) ( + 0,) =,847 = capalzzazoe composa. - 3 -

Pare 9 REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE S facca aezoe a o cofoere le fuzo faore moae rovae quao s è preseza ass varabl el empo, co quelle rovae affroao l problema ella scblà. Traao ella scblà u regme, c s rfersce a operazo fazare cu l erruzoe ell vesmeo e l revesmeo compora la capalzzazoe egl eress maura fo al momeo ell erruzoe. Quao s parla operazo fazare co asso varable el empo, s ee che l operazoe fazara è sempre la sessa e el momeo cu vara l asso eresse l operazoe o s errompe e o s ha capalzzazoe egl eress fo a allora maura. - 4 -

9.3 REGIMI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO. Come gà eo ella PARTE l aualzzazoe è u opearzoe fazara che pora ero el empo ua somma earo, sosueo al suo valore omale a scaeza l suo valore auale o scoao mmeaamee spoble. Il legame ra valore omale, valore auale e faore scoo è rappreseao a valore auale = valore omale x faore scoo. Esameremo re regm aualzzazoe che soo couga e re regm capalzzazoe esama ella PARTE. Rcoramo che ue regm ave come faore moae e faore scoo rspevamee r() e v() soo couga se r() v() = ossa v ( ) =. r( ) 9.3.. REGIME DELLO SCONTO SEMPLICE O RAZIONALE Co scoo semplce o razoale o po perbolco s ee l regme aualzzazoe cougao al regme ella capalzzazoe semplce (eresse semplce). Esso è rappreseao alla fuzoe faore scoo: v() =, + - v() = + ove v() rappresea l valore u capale uaro spoble al empo. v() 0 S ce ache che v() è la corazoe el valore omale M =. Aumeao l valore el capale uaro musce avvcaos efamee a zero. Se è la uraa el ffermeo, l asso eresse ella legge cougaa, allora l valore auale C() el valore omale M è ao a: M C() = Mv() =. + Se chamo co D() lo scoo ell'ero peroo, () l asso scoo ell'ero peroo (o scoo ell'ero peroo u valore omale uaro) e l asso effevo scoo u peroo uaro, s hao le relazo:

Pare 9 REGIMI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO D() = M C() = M Mv() = M( v()) = M() () = v() = = + + = () = v() =. + Da ques'ulma formula segue = e uque ache: M M M( ) C() = = =. + + + Esempo. Nell operazoe fazara soo rappreseaa, calcolare I(), (),, D(), (),. C = 00 0 = 0 = 4 mes = 0 gor I() = M C = 5. I() 5 () = = = 5%. C 00 0 Da (0) = e 360 360 = (0) = 5% = 5 0 % auo D() = M C = 5 = M Mv() = M( v()) = M(). D() 5 () = = = 0,04769. M 05 5 0 () = v() = = = 00 3 = = = 0,04769. + + 5 + 00 3 0 5% 5 = = = = 0,3043 auo. + + 5% 5 Noamo che (), fa 0,04769 0,3043 = 0,0434746 (è uo scoo po 3 perbolco, o leare). M = 05 9.3.. REGIME DELLO SCONTO COMPOSTO. Il regme aualzzazoe eo ello scoo composo è l regme cougao el regme ella capalzzazoe composa (eresse composo). 6

Pare 9 REGIMI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO Coserao la fuzoe scoo fuzoe faore scoo v() = cougaa a r() = ( + ) = e δ, s oee la r() v() = ossa (+ ) v ( ) = (+ ) = e. Icao co lo scoo su u valore omale uaro M = e u empo ffermeo =, s ha = v() = = a cu = e = che + + + esprmoo la relazoe ra asso scoo e asso eresse. S può ora esprmere v() fuzoe el asso scoo: Rsula olre: v ( ) = ( ). C() = M v() = M( + ), D() = M C() = M M( + ) = M( ( + ) ). Grafcamee D() e C() s possoo rappreseare el moo seguee M D() C() 0 Aumeao lo scoo musce C. Quao l empo ffermeo è ullo, coè per = 0, s ha l valore massmo C, ossa C = M, e l valore mmo D, ossa D = 0. 9.3.3. REGIME DELLO SCONTO COMMERCIALE Il procemeo calcolo relavo a queso regme è lo sesso quello aalzzao per l regme capalzzazoe a eress (semplc) acpa el quale l regme ello scoo commercale è l cougao. Il regme ello scoo commercale è caraerzzao alla proporzoalà o solo al valore omale ma ache al empo ello scoo. Icao co l asso scoo, co M l valore omale e co l empo ffermeo, l espressoe ello scoo è D() = M D( ) a cu segue ( ) = =. M Il valore auale è allora espresso alla fuzoe C() = M D() = M( ) e qu la fuzoe faore scoo che caraerzza l regme ello scoo commercale è v() = 7

Pare 9 REGIMI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO Coserao ass effev scoo e eresse ell uà empo rcoramo che vale la sola relazoe =. + Poché la fuzoe faore scoo v() eve essere ale che: v(0) =, 0 < v(), v () 0, come gà vso.3, per le legg queso regme eve essere <. Prma og mpego el regme, covee qu accerars che la uraa massma ffermeo sa ferore alla uraa crca =. A esempo se s opera co u asso scoo el 0% auo, la uraa crca ffermeo è = = 5 a. Sgfca che a 5 a l valore auale è ullo, ma 0% 0, aezoe, olre cque a s oegoo valor aual egav!! Cocluamo faceo oare che le fuzo (), D(), M(), soo lear e qu l loro grafco è ua rea; a valor cresce corrspooo ree maggormee clae. D () D() > 0 C () C() 9.3.4. CONFRONTO TRA FATTORI DI SCONTO Assumeo che l asso eresse per uà empo sa per u e re regm aualzzazoe cosera, allora possamo cofroare le loro fuzo faore scoo. v RIS ( ) =, vric( ) =, v RIA ( ) =. + ( + ) + Tue soo al che: v(0) =, v() =, v () < 0. + 8

Pare 9 REGIMI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO Le fuzo faor scoo soo ecresce e passao per pu (0;) e grafc soo rpora fgura: + ;. I v() + RIS RIC 0 3 RIA Assumeo che el prmo ao mpego l asso scoo sa per u e re regm aualzzazoe cosera e faceo rfermeo alla sessa operazoe fazara, alla relazoe = s oegoo le segue espresso elle fuzo faore scoo: v RIS ( ) = scoo semplce o razoale; + v ( ) ) RIC = ( scoo composo; v RIA ( ) = ( ), < scoo commercale. 9

9.4 CONVERSIONE FRA TASSI Quao s raao le cozo fazare ua operazoe fazara, è frequee che s rago erm asso. Spesso la coveeza ua operazoe fazara s guca sulla base u asso reuo u paramero fazaro peamee espressvo. U asso à cazo sulla velocà co cu u mpego prouce eress, o co quale velocà u fazameo grava eress. E però foameale sapere a qual uà msura el empo ass soo rfer e qual regm s opera. Ache se l uà msura el empo è ua frazoe ao (semesre, quarmesre, ec.), all ero uo sesso regme, le formula rovae ella PARTE per la capalzzazoe (e aalogamee per l aualzzazoe) rmagoo sempre le sesse se s fa rfermeo a ass eresse peroal rfer all uà empo coseraa (semesre, quarmesre, ec.). DEFINIZIONE Due ass eresse s coo equvale se escrvoo la sessa legge fazara, ossa soo al a forre l meesmo moae quao soo applca allo sesso capale per la sessa uraa. Esamamo le relazo che legao ass equvale e regm capalzzazoe llusra preceeemee. Per comoà ragoeremo sempre erm capale uaro, ossa erm faore moae. 9.4.. CONVERSIONE FRA TASSI IN REGIME D INTERESSE SEMPLICE I regme eresse semplce, come oo, l moae prooo a u capale C = u empo è espresso alla fuzoe faore moae r() = +. Cosera l asso auo e l asso peroale m, ess soo equvale se u ao proucoo lo sesso moae, ossa se rsula + = + m m, a cu s oee = m m, m = () m Possamo cofroare fra loro ache ass peroal rfer a frazo ao verse, seza passare al asso auo. Per esempo, u asso semesrale e u asso quarmesrale 3 soo equvale se + = + 3 3 coè = 3 3. I regme eresse semplce ue ass peroal e m soo equvale se = m m, m = m. () Se l empo è espresso a, moo aalogo s oee la relazoe equvaleza fra asso eresse peroale () e asso eresse auo, rsula () =, ( ) =. (3) Le (), () e (3) esprmoo le relazo equvaleza ra ass eresse semplce.

Pare 9 CONVERSIONE FRA TASSI Esempo. I regme eresse semplce l asso auo = 8% è equvalee 8% al asso semesrale = = 4%, 8% al asso quarmesrale 3 =,6%, 3 8% al asso rmesrale 4 = = %. 4 Esempo. I regme eresse semplce l asso semesrale = 6% è equvalee al asso auale = 6% = %, al asso quarmesrale 3 = 6% = 4%, 3 al asso rmesrale 4 = 6% = 3%. 4 9.4.. CONVERSIONE FRA TASSI IN REGIME D INTERESSE COMPOSTO. TASSI NOMINALI. I regme eresse composo la fuzoe faore moae è r() = ( + ). Affchè l moae u capale mpegao per u ao al asso sa uguale al moae prooo allo sesso capale mpegao per u ao al asso peroale m, eve essere ( + ) = ( + m ) m. Da quesa s rcavao le relazo che legao e m : m = (+ ), = ( + ). (4) m Da quese segue ache la relazoe che permee cofroare ass peroal rfer a frazo ao verse seza passare al asso auo: m k m ( + ) k m m =. (5) Coserao l asso peroale (), s può geeralzzare la formula ( + ) = ( + m ) m a u qualuque ervallo emporale. Se è espresso a, per eermare la relazoe coversoe fra l asso auo e l asso peroale (), basa porre + () = ( + ). S oee: ( + () ) =, () = ( + ). (6) Le (4), (5) e (6) esprmoo le relazo equvaleza ra ass eresse composo. 3

Pare 9 CONVERSIONE FRA TASSI A esempo: l asso auo equvalee al asso peroale relavo a 7 gor (7) = 0,0034 è 360 7 = (+ 0,0034) = 0,0365, = 3,65%. ao l asso auo effevo = 3,6 %, l asso peroale equvalee relavo a u peroo 8 gor è 8 360 (8) = (,036) = 0,065 =,65%. 9.4... Applcazo e ass equvale a ol seza ceola Operazo pche cu l'ervallo emporale è ferore a u ao soo quelle che s rferscoo a ol puro scoo o "zero coupo bo" o ol a ceola ulla. I Iala soo BOT (Buo orar el Tesoro) e CTZ (cerfca el Tesoro zero coupo). Soo ol co cu lo Sao raccogle fo ebaos co ca. Tal ol soo ef puro scoo perchè vegoo veu a u prezzo ferore al valore el rmborso M. S può assumere come valore rmborso M =, ma comuemee s aoa M = 00. U olo emesso aa x al prezzo P rmborsao al empo y al prezzo M ( P < M ) è u olo puro scoo la cu uraa è = y x. Solamee l empo quese operazo fazare vee msurao gor quao soo ol a breve scaeza (uraa massma a). Deermamo l asso eresse mplco, eo asso remeo, quesa operazoe fazara: P r(x,y) = M, P = M v(x,y). Il asso eresse peroale () el peroo = y x (ossa l eresse prooo a u capale uaro el peroo sappamo che vale: I M P M ( ) = =, ( ) =. P P P Ques ol hao solo pero rfermeo feror all ao, perao se l empo è espresso a occorre esprmerlo erme umero gor, queso caso s ulzza la sola relazoe l ao cvle). Da = ( + ( ) ) rsula: g = ossa g = 360 (o le aaloghe el caso s coser 360 365 M g =. P Rporao ass peroal () ass au equvale s possoo cofroare fra loro operazo ave ass vers per pero vers. 3

Pare 9 CONVERSIONE FRA TASSI Esempo. Coseramo ue ol puro scoo. Tolo A : veuo al empo x per P = 98 e rmborsao opo 4 gor, y = x + 4, a M = 00. Tolo B : veuo al empo x per P = 97 e rmborsao opo 75 gor, y = x + 75, a M = 00. Deermamo l remeo al ol regme capalzzazoe composa. M 00 Tolo A : Tasso peroale: ( 4 g) = = = 0,00 = %, P 98 M 4 Tasso auo equvalee: = = 0,99 = 9,9%. P M 00 Tolo B : Tasso peroale: ( 75 g) = = = 0,0309 = 3,09%, P 97 M 75 Tasso auo equvalee: = = 0,59 = 5,9%. P Il asso auo equvalee RIC al asso peroale u olo puro scoo è ache eomao asso a pro o asso spo. 365 365 9.4... Tasso auo omale coverble Abbamo vso che capalzzazoe composa la relazoe che esprme l equvaleza fra asso auo e asso peroale m è = ( + m ) m, be versa a = m m che esprme l equvaleza fra asso auo e asso peroale regme eresse semplce. I capalzzazoe composa, l valore j = m m m s chama asso omale coverble m vole ell ao. Esso rappresea la somma egl eress che vegoo corrspos urae u ao per vesmeo u capale uaro C = quao s covega che l eresse sa pagao al erme og m-esmo ao. 0 3 3 33

Pare 9 CONVERSIONE FRA TASSI Rcorao le relazo coversoe e ass preceeemee rovae queso regme (RIC) e alla efzoe asso omale, s raggoo le segue formule equvaleza ra ass au effev e ass omal: j + m m, = ( + ) m m m = m j. S o che l asso omale j m è sempre pù pccolo el asso effevo auo. Quao s sablscoo le cozo u fazameo occorre qu fare aezoe se l asso eresse proposo è quello effevo o quello omale. Spesso j m è l asso che vee charao quao u suo creo cocee u preso. Eucao u asso omale l fazaore fa creere applcare u asso ferore a quello che effevamee sa applcao perché j m < j m < < j =. j m <. Esempo. Ua baca prevee u rmborso araverso rae mesl e euca u asso omale j = 0%. S rov l asso effevo auo equvalee. SOLUZIONE: Il asso effevo auo equvalee a j = 0% è 0, = + = 0,47%. Esempo. U Isuo creo euca u asso omale j 4 = 4% co la clausola capalzzazoe rmesrale egl eress. Calcolamo l asso effevo: 4 4 j4 4 = ( + 4 ) = + = ( + 0,06) = 0,647698 = 6,47696%. 4 L eucazoe u asso omale ha permesso ascoere olre ue pu perceual asso. La ffereza fra asso effevo e asso omale cresce (ma poco velocemee) all frs el peroo capalzzazoe e (pù velocemee) all elevars el asso omale. Se a esempo quel 4% omale fosse coverble vole all ao (azché 4 vole), s avrebbe: 4 = + = 6,84795%. Se vece s raoppasse l valore omale a 4% a 48%, eeo ferma la capalzzazoe rmesrale (4 vole l ao), s avrebbe: 4 48 = + 4 = 57,35936% co ua ffereza fra asso omale e asso effevo olre 9 pu perceual!! 34

Pare 9 CONVERSIONE FRA TASSI 9.4.3. CONVERSIONE FRA TASSI IN REGIME D INTERESSE SEMPLICE ANTICIPATO Il problema è poco eressee perché è raro che vega eucao u asso scoo commercale co rfermeo a frazo ao. Se s vuole comuque esamare queso caso, s procee come 4. rcorao che la fuzoe faore moae che regola queso regme è r( ) =, ove è l asso scoo. Per la coversoe fra ass s rovao le relazo: = m m, m =. m 35

9.5 RENDITE Può presears l'esgeza coserare pù somme earo ello sesso sego (ue erae o ue usce), cascua co ua sua scaeza e s vuole rporare ue quese somme earo a ua sessa scaeza, sosueole co u uco ammoare moearo. S efsce rea fazara ua successoe mpor R h, h =,,... esgbl alle epoche k, k = 0,,,.... L'mporo R h è eo raa, l'epoca k cu è spoble la raa è ea scaeza k-esma. Og ervallo empo r r s chama peroo compeeza; l peroo empo fra 0 e s chama prmo peroo compeeza. Se l prmo erme ella rea è spoble el prmo peroo compeeza, la rea è eomaa mmeaa; se vece l prmo erme ella rea è spoble el k- esmo peroo, remo che la rea è ffera k pero. Ua rea è ea acpaa se la raa è esgble all'zo el peroo compeeza; è ea poscpaa se è esgble alla fe el peroo compeeza. Ua rea s ce cosae se R h = R per og h. S ha ua rea uara se R h = R = per og h. Ua rea s ce lmaa se ha u umero fo rae, s ce perpeua se l umero elle rae o è fo. D orma le scaeze, ossa le epoche alle qual s rscuoerao o s pagherao le rae soo equsa e hao caeza mesle, bmesrale, rmesrale, aua, ecc.... I preseza ale geere regolarà s parla ree peroche e parcolare, rspevamee, ree mesl, bmesral, rmesral, aue, ec.... Suppoamo che la saza emporale fra ue versame (rscosso) successv sa cosae e uguale all'uà empo secoo la quale è vso l'ervallo [0,T] (peroo uraa ella rea); grafc soo rpora rappreseao le vare suazo. prmo peroo compeeza 0 =0... k =T Il seguee grafco rappresea ua rea mmeaa poscpaa: R R R R 0 =0... =T

Pare 9 RENDITE Il seguee grafco rappresea ua rea mmeaa acpaa: R R R 3 R 0 =0... =T Il seguee grafco rappresea ua rea ffera k pero poscpaa: R R 0 =0... k k+ k+ =T k+ R Il seguee grafco rappresea ua rea ffera k pero acpaa: R R R 3 0 =0... k k+ k+ k+ =T k+ R D parcolare eresse praco è calcolare l valore complessvo ella rea a ua scaeza o poserore a quella ella prma raa o o aerore alla scaeza ell'ulma. Nel prmo caso s parla valore auale o scoao ella rea, el secoo moae. I geerale, per calcolare l moae ua rea a ua scaeza qualuque, s sommao moa elle sgole rae a ale scaeza, mere per calcolare l valore auale ua rea s sommao valor aual elle sgole rae. I moa s oegoo ovvamee molplcao le sgole rae per faor moae corrspoe, valor aual s oegoo molplcao le sgole rae per corrspoe faor scoo. A esempo coseramo la seguee rea: 000 500 500 0 3 4 Valore auale = 0 : per calcolarlo s evoo porare ero le somme spobl alle scaeze, e 4 co ua operazoe aualzzazoe. 000 500 500 0 3 4 37

Pare 9 RENDITE Moae = 6 : per calcolarlo s evoo porare ava le somme alle loro scaeze fo all epoca 6 co ua operazoe capalzzazoe. fluss 0 3 4 5 6 epoche 000 500 500 Eseguamo calcol usao per l aualzzazoe ua legge scoo composo (espoezale) co asso eresse. Mere per la capalzzazoe usamo ua legge a eress compos co asso eresse. Qu: 000 500 500 valore auale = 0 V.A. = + +, 4 + (+ ) (+ ) moae = 6 M + 5 4 = 000 (+ ) + 500 (+ ) + 500 ( ). Per quao rguara le formule pù geeral, coseramo ua rea caraerzzaa a scaeze,,... (che pesamo orae seso crescee) e a corrspoe ammoar elle rae R, R,... R. R R R 0... T= s Se la valuazoe è a fars co ua legge capalzzazoe co fuzoe faore moae r() o co ua legge aualzzazoe co fuzoe faore scoo v(), l moae M(T) a ua scaeza T = s, T, s oerrà sommao moa elle sgole rae: M(T) = R r ( co s, k = s k k= k s,k) e l valore auale o scoao a ua scaeza 0 (che precee ue le k ), s oerrà sommao valor aual elle rae: V.A. = V( 0 ) = R v ( co k, 0 = k 0. k= k k,0) Il regme che geeralmee s cosera per le operazo capalzzazoe è quello ell eresse composo, l RIC, l'uco scble, mere è quello ello scoo composo (regme cougao al RIC) per le operazo aualzzazoe. 38

Pare 9 RENDITE Nel caso cu l regme usao sa quello ell eresse composo (RIC) e ello scoo composo al asso eresse, le fuzo faore moae e faore scoo soo rspevamee r() = (+ ) e v() = e qu le formule precee veao: (+ ) k M(T) = R (+ ) s, co s, k = s k, T = s k= k= k ( + ) Rk 0 δ 0 V.A. = A( ) = = R z k, = R e k, co k, 0 = k 0 0 k, 0 k= k k= k ove s è poso z = + e ove, rcoramo, δ e = +. 9.5.. RENDITE IMMEDIATE ( regme eresse composo) La rappreseazoe grafca ua rea mmeaa cosua a = T erm è rporaa ella fgura C C C C T C T 0... T T C C C 3 C + C T Rea mmeaa poscpaa Rea mmeaa acpaa Valuamo var cas poeoc u regme eresse composo o scoo composo, al asso eresse, sa per la capalzzazoe che per l aualzzazoe. Valore auale ua rea mmeaa poscpaa all'sae zale = 0. V C C C = (+ ) (+ ) (+ ) C (+ ) T pos( 0) + + + + +. T Valore auale ua rea mmeaa acpaa al empo = 0. V a C C CT ( 0) = C + + + + +. T (+ ) (+ ) (+ ) Dalle relazo sopra rovae segue: V 0) = V (0) + ossa V ( 0) ( ) (0 ) a = + Vpos. pos( a Valore (moae) ua rea mmeaa poscpaa al empo fale T. 39

Pare 9 RENDITE M pos T T T T ( + ) + + C ( + ) + C ( ) ( T) = C + C. T (+ ) + + C + Valore (moae) ua rea mmeaa acpaa al empo fale T. T + T ( + ) + + C ( + ) + C ( ) T M a ( T) = CT(+ ) + CT (+ ) + + C + I aaloga a quao evezao per l valore auale, alle ue relazo rovae per l moae, segue che : Mpos( T) = Ma( T) ossa Ma ( T) = (+ ) Mpos ( T). + Valore ua rea poscpaa a u sae geerco compreso fra 0 e T, suppoeo che sa u mulplo ero ell'uà empo coseraa e la rea sa: C C C C + C T C T 0 + T T Nella prma pare l seme { C,..., C -, C } rappresea ua rea mmeaa poscpaa uraa (0, ) mere ella secoa pare l seme { C +,..., C T-, C T } rappresea ua rea mmeaa poscpaa che s svluppa ell'ervallo (, T). Il valore ua rea cosua a erm C, C,, C, C, C+,, CT T è oeble sommao l moae ella rea cu erm soo gl eleme el prmo seme co l valore auale ella rea vuaa al secoo seme: V pos () C C CT CT + +. (T ) T + (+ ) (+ ) (+ ) + + = C (+ ) + + C (+ ) + C + + + Se la rea è acpaa s procee moo aalogo. Esempo. Daa la rea: V 0 0 00 X 00 3 Noo che = 0 l valore auale ua rea è V 0 = 600, eermare, regme scoo composo, l ammoare X esseo = %. S ha: 40

Pare 9 RENDITE 600 = X (+ ) = 00 + X + 00 ( + ) ( ) 3 ( ) + + 3 = 600 00 (+ ) 00 (+ ) X 600 00 ( ) 00 ( ) (+ X +,5 0,5 = 600 (,) 00 (,) 00 (,). + ) 3 Esempo. Daa la rea seguo rappreseaa 00 300 50 X 900 0,5, 3 Deermare RIC l ammoare ella raa X affchè l valore ella rea = 3 sa 900 euro, sapeo che = %. 00 (+ ) 3 00 (,) X (,) 0,8 + 300 (+ ) 3,5 + 300 (,) + 50 (+ ) + X (+ ),5 = 900 00 (,) 0,8 + 50 (,) + X (,) 3 300 (,),5 = 900 0,8 = 900 50 (,) 3,5 900 00 (,) 300 (,) 50 (,) = = 5,47. (,) X 0,8 9.5.. RENDITE DIFFERITE L'aals elle ree ffere è sosazalmee smle a quella elle ree mmeae solo che c'è u effeo ffermeo k pero. La rappreseazoe grafca ua rea poscpaa ffera k pero è: C C k C T k C T k 0 k k+ T T La rea coseraa grafco può essere rcooa a ua rea mmeaa poscpaa aggugeo k somme ue ulle esgbl alle scaeze,,, k. S calcolao successvamee moa e/o valor aual e mo usual. S procee moo aalogo per calcolare moa e valor aual ua rea acpaa ffera k pero. 4

Pare 9 RENDITE 9.5.3. RENDITE COSTANTI ( regme eresse composo) Quao le rae ua rea soo cosa e equsa e quao la legge fazara ulzzaa è ua legge espoezale ( eresse composo o scoo composo), le formule rovae 9.5. per calcolare l valore auale V e l moae M assumoo espresso pù semplc. Coseramo ua rea mmeaa cosae cosua a erm. Se è l asso eresse ell uà empo, calcolamo, regme eresse composo, l valore auale e l moae sa el caso ua rea mmeaa poscpaa sa el caso ua rea mmea acpaa. Valore auale =0 ua rea mmeaa poscpaa cosae erm: R R R 0 V pos ( 0) R R + + (+ ) R + + (+ ) R = + + + (+ ) + (+ ) = = + = R + + = R + ( + ) ( + ) + = + = R ( + ) R = = R ( ) + (+ ) z z ove s è poso z =. La quaà z + z + + z = = a s legge + a poscpao fgurao al asso. I ses s può scrvere V k pos( 0) = R z = R a. k= Se la rea è perpeua, l valore auale =0 s oee faceo l lm + R a e pochè lm + a = z lm + = (+ ) lm + = 4

Pare 9 RENDITE s ha che ua rea perpeua mmeaa poscpaa raa cosae R = 0 ha valore auale R V pos ( 0) =. Valore auale =0 ua rea mmeaa acpaa cosae erm: R R R R 0 V a ( 0) R R + + + (+ ) R + + (+ ) = R + + + + (+ ) = R (+ ) ( + ) + R R = R = ( ) (+ ). + + (+ ) + = = Se la rea è perpeua, faceo l lme per +, s oee: R + lm ( ) = R + + ( ) +. e uque ua rea perpeua mmeaa acpaa raa cosae R = 0 ha valore auale + V a ( 0) = R. Rcorao che V 0) = ( + ) V (0) e che s è poso a( pos z =, s ha: + V a 0) = V z ( pos (0) Valore (moae) ua rea mmeaa poscpaa cosae, al empo fale (s parla ache cosuzoe u capale) R R R R 0 43

Pare 9 RENDITE M ove s è poso: pos ( ) = R + R = R [ ]= ( + ) + + R( + ) = R + ( + ) + + ( + ) ( + ) ( + ) = R = R s ( + ) ( + ) = s. Il smbolo s s legge s poscpao fgurao al asso. Valore (moae) ua rea mmeaa acpaa cosae, al empo fale (s parla ache cosuzoe u capale) R R R R 0 M a ( ) = R [ ]= ( + ) + R( + ) + + R( + ) = R ( + ) + ( + ) + + ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) = R + = R + = R ( + ) s. S o che per la scblà el regme eresse composo s ha: pos ( ) = V (0) ( ). e M ) = V (0) ( + ) M + pos a (. a OSSERVAZIONE. Il valore a e calcolarce fazara. Co l smbolo s può essere leo su appose avole o calcolao co ua a s ee l valore auale poscpao a scoo composo, calcolao all epoca = 0, rae uare al asso eresse. Co l smbolo s s ee l valore (capale) ua rea mmeaa poscpaa cosua a rae uare al asso eresse e calcolaa regme eresse composo. Spesso, quao o occorre care l asso eresse (per esempo perché è soeso), s usa omeerlo e s scrve semplcemee a e s. Esempo. 44

Pare 9 RENDITE Calcolare, co scoo composo, l valore auale = 0 ua rea poscpaa co raa cosae R = 00, cosua a = 0 rae aue, al asso = 5 %. SOLUZIONE. Co ua calcolarce o co ua avola fazara s rova: a 0 5% 7,773493 e qu molplchamo ale valore per l ammoare ella raa: (0) = R a = 00 7,773493 = 77,73493 77. Vpos 0 5% Se la sessa rea fosse calcolaa acpaa, a V 0) = (+ ) V (0) s ha: a( pos V a ( 0) = (+ 0,05) 77 = 80,6. C possoo essere ree ache co ass 'eresse varabl. Veamo u semplce esempo. Esempo. S vuole cosure u capale 3600 euro 4 a faceo 4 versame poscpa raa cosae R. Sapeo che la baca rcoosce eress el 0 % per prm 3 a e ell' 8 % l quaro ao, RIC, s calcol quale eve essere l mporo ella raa. R R R M=3600 R 0 3 4 Sa =0 % e = 8 %, allora: e qu ( + ) + R ( + ) ( + ) + R ( + ) ( ) 3600 = R + R + 3600 = R [ +,08 +,,08 + 3600 = R 4,5748 3600 R = = 786,99. 4,5748 (,),08] 45

Pare 9 RENDITE 9.5.4. ESERCIZI. Eserczo. I regme eresse composo eermare l moae ua rea cosua a 6 rae aual poscpae mmeae 00 euro al asso effevo auo el 4%. SOLUZIONE R R R R R R 0 3 4 5 6 M(6) = R + R (+ ) + + R(+ ) 5 = R ( + ) 6 6 (+ 0,04) = 00 0,04 = 36 Eserczo. I regme eresse composo, calcolare la raa mmeaa acpaa aua ecessara per cosure 5 a al asso el % l capale 6500 euro. SOLUZIONE R R R R R 6500 0 3 4 5 R (+ ) + R (+ ) + + R (+ ) 5 = 6500 5 (+ ) R (+ ) = 6500 5 (+ 0,0) R (+ 0, 0) = 6500 0,0 6500 0,0 R = = 4,548 5 (+ 0,0) ((+ 0,0) -) 46