Università di Roma La Sapienza A.A. 200/05 Controllo dei Processi eedforward Ratio Control Override Control Prof. Leonardo Lanari DIS, Università di Roma La Sapienza
eedforward Per un generico sistema il legame ingresso/disturbo uscita è dato da y(s) = P (s)m(s) P d (s)d(s) Volendo imporre l uscita coincidente con un andamento desiderato y d (t) y(t) y d (t) si può algebricamente ricavare l espressione dell ingresso ideale [ m(s) = P (s) y d P ] d(s) P (s) d(s) = C s (s)y d C d (s)d(s) a cui corrisponde lo schema riportato in figura. C(s) d d P(s) d y d C(s) s m P(s) y Sono ben noti i vantaggi/svantaggi di tale approccio che richiede la misurabilità del disturbo mentre non sfrutta nessuna informazione riguardante la variabile controllata y(t). L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) eedforward/ratio/override 2
eedforward Combinando i vantaggi del controllo ad anello aperto (feedforward) con quelli del controllo ad anello chiuso (feedback) si ha lo schema riportato in figura. C(s) d d P(s) d y d - C(s) s m P(s) y a cui corrispondono le relazioni (confrontate con il caso di sola retroazione) P d (s) y(s) = C s (s)p (s) d(s) C s(s)p (s) r(s) solo feedback C s (s)p (s) y(s) = P d(s) C d (s)p (s) d(s) C s(s)p (s) r(s) feedback feedforward C s (s)p (s) C s (s)p (s) Stabilità L aggiunta del termine di feedforward non altera la stabilità del sistema di controllo a controreazione; Disturbo Nell ipotesi di disturbo misurabile e modello perfetto, si ottiene con la stessa scelta precedente di C d (s) una perfetta cancellazione del disturbo. Nella realtà il feedforward fornisce una prima attenuazione del disturbo, azione poi completata dalla retroazione. L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) eedforward/ratio/override
Compensazione del segnale di riferimento Si noti che nello schema precedente l attenzione era principalmente focalizzata sul problema della reiezione del disturbo. Per quanto riguarda il riferimento esiste il seguente schema di controllo con compensazione del segnale di riferimento. C(s) f y d - C(s) s m P(s) y Dalla relazione ig. Schema di controllo con compensazione del segnale di riferimento y(s) = C s(s)p (s) C f (s)p (s) y d (s) C s (s)p (s) risulta evidente che, scegliendo C f (s) = P (s) si ottiene idealmente y(s) y d (s). Malgrado i problemi di realizzabilità (P (s) strettamente propria), stabilità (eventuale presenza di zeri a parte reale positiva in P (s)) e ritardi (un ritardo in P (s) richiede un termine non causale nel compensatore), lo schema fornisce un utile indicazione per il progetto di C f (s) (scelto in modo tale che soddisfi l uguaglianza almeno nella banda di frequenze in cui il segnale di riferimento ha un contenuto armonico significativo). L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) eedforward/ratio/override
Pre-filtraggio del segnale di riferimento Un ultimo schema generale del tipo ad anello aperto riguarda l eventuale azione di filtraggio del segnale di riferimento. r r f m y C (s) C(s) f P(s) - In questo schema C f (s) può rappresentare sia un trasduttore sia un generico pre-filtro con l unica condizione che C f (s) debba essere stabile asintoticamente. Si possono individuare due scopi principali per l uso del pre-filtro rispetto al legame r(t) y(t), il pre-filtro può essere usato ad esempio per variare il guadagno o per aumentare/diminuire la banda passante del sistema di controllo: rispetto al legame r(t) m(t), il pre-filtro è scelto in modo tale da evitare brusche sollecitazioni della variabile di controllo m(t). Pertanto si possono avere azioni del tipo iltro passa-basso Se il segnale di riferimento r(t) è di tipo a gradino, spesso si usa un filtro del primo ordine per C f (s) al fine di sollecitare il sistema di controllo con r f in meno brusco. In questo modo gli organi di attuazione vengono sottoposti a sollecitazioni minori e si riducono eventuali problemi legati alla presenza di saturazioni. Ovviamente quando la banda passante di C f (s) è inferiore a quella del sistema tra r f e y, la risposta r y risulterà rallentata. L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) eedforward/ratio/override 5
Pre-filtraggio del segnale di riferimento iltro passa-alto A volte il pre-filtro viene invece progettato per velocizzare la risposta del sistema di controllo. Per esempio, si consideri il caso in cui nella sintesi di C(s) sia necessario tener conto di un elevata incertezza del modello a pulsazioni ω > ω. La robustezza verrà garantita da un opportuna attenuazione per ω > ω di C(jω)P (jω) e cioè garantendo che la pulsazione di attraversamento sia inferiore a ω, rallentando così la risposta del sistema di controllo. In questo caso è possibile scegliere C f (s) come una funzione anticipatrice con lo zero in ω e il polo in ω > ω. In tal modo la risposta armonica tra r(t) e y(t) avrà modulo circa unitario fino a ω. La stabilità del sistema di controllo non viene influenzata da C f (s) (purché sia essa stessa stabile asintoticamente). Una seconda possibile situazione nasce quando si hanno restrizioni sulla struttura di C(s) quali PI o PID. A titolo di esempio si consideri il processo P (s) = ( s)( 0.05s) 2 per il quale la collocazione dei poli ad alta frequenza (s = 20) è parzialmente incerta. Il controllore deve avere la struttura di un PI. A causa dell incertezza ad alta frequenza, la pulsazione di attraversamento deve essere necessariamente limitata e il controllore prescelto C(s) = s s garantisce un elevato margine di fase (m ϕ 80 ) e una pulsazione di attraversamento circa pari a ω t 0.9 rad/s e una banda passante di circa rad/s. L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) eedforward/ratio/override 6
Pre-filtraggio del segnale di riferimento Scegliendo il pre-filtro come una funzione anticipatrice C f (s) = 0.9s 0.s si ottiene una banda passante di circa 7 rad/s per la serie 0 C(s)P (s) C f (s) C(s)P (s) = C f(s)w (s) 5 0 5 db Magnitude (db) 0 5 20 25 0 5 (a) (b) 0 0 0 0 0 0 2 requency (rad/s) Andamento del modulo della risposta armonica (a) : W (jω) (b) : C f (jω)w (jω) L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) eedforward/ratio/override 7
Confronto vari schemi Si vuole ora confrontare lo schema precedente con quello di ig. (compensazione del segnale di riferimento). Il compensatore, dato dall inverso del processo, risulta improprio. Ipotizzando un contenuto in frequenza del segnale di riferimento apprezzabile fino a 0 rad/s, si rende il compensatore proprio introducendo un numero sufficiente di poli (2) ad alta frequenza (00 rad/s) C f (s) = ( s)( 0.05s)2 = P (s) ( 0.0) ( 0.0) Con tale modifica ovviamente non si otterrà y(s) y d (s), infatti gli zeri del sistema ad anello chiuso sono in s =.08, s = 6.8 e s = 22.8 mentre i poli si trovano in s =.2, s =.8 e s = 2 oltre ai due poli in s = 00. La non perfetta cancellazione della coppia polo/zero a bassa frequenza provoca una piccola sovraelongazione riportata (tratto (c)) in ig. 2. Un interessante alternativa consiste nello scegliere come compensatore C f (s) un semplice guadagno K f ; infatti ad anello chiuso si ha y(s) = ( K f )s [ s( 0.05s) 2 ] ( s) y d(s) = ( K f )s y [ s( 0.05s) 2 d (s) ] ( s) Ovviamente, ponendo K f = 0 si ritrova la funzione di trasferimento originaria, mentre con un opportuna scelta di K f si può fare in modo che la funzione ( K f )s ( s) abbia le caratteristiche di una funzione anticipatrice (si riconduce lo schema con compensazione del riferimento allo schema con pre-filtro). L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) eedforward/ratio/override 8
Confronto vari schemi L andamento dell uscita per il valore K f = 0.25 è riportato in ig. 2 (tratto (d)). (d) Uscita controllata 0.8 0.6 0. (c) (b) (a) Uscita controllata (a) : semplice controreazione (b) : con pre-filtro 0.2 (c) : compensazione C f (s) 0 0 2 5 6 Tempo ig. 2 Confronto sull uscita controllata tra i diversi schemi (d) : compensazione K f Un aumento del valore di K f da luogo ad uno zero, nella funzione di trasferimento riferimento/uscita, a pulsazioni nettamente inferiori rispetto ai poli con una conseguente maggiore sovraelongazione nella risposta indiciale. L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) eedforward/ratio/override 9
Ratio Control Sempre nell ambito dei sistemi di controllo avente un unica variabile controllata e un unica variabile di controllo, si possono considerare strategie che sfruttano misure multiple. Tra queste, in ambito del controllo dei processi, si ha il ratio control. Lo scopo di tale tecnica è quello di manipolare una variabile mantenendo costante la proporzione, o il rapporto, con un altra variabile. Si consideri, ad esempio, il processo illustrato in figura avente per scopo di miscelare due flussi A e B di liquido mantenendo costante il rapporto tra le loro portate R = B A A Stream A Prima strategia: due anelli di controllo per B Stream B le portate entranti nel serbatoio set-point () tali da verificare il rapporto desiderato ig. Controllo della miscelazione L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) eedforward/ratio/override 0
Ratio Control Si ipotizzi che la portata di A non sia manipolabile ma solo misurabile. Tale portata non controllata (chiamata wild flow) può essere ad esempio manipolata con altri fini quali il controllo di un livello o di una temperatura a monte. L obiettivo diventa quindi più complicato; la portata di B deve variare, al variare di quella di A, in modo tale da mantenerne il rapporto costante. Due schemi alternativi sono riportati in ig.. Stream A Stream A A A B Y X Ratio = R set B B B A Y RC Stream B Stream B (a) ig. Ratio control di un miscelatore (b) L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) eedforward/ratio/override
Ratio Control Nello schema (a) di ig. la misura della portata A viene moltiplicata per il rapporto desiderato R, in (Y), ottenendo la portata di B desiderata B set. Tale valore è il set-point del controllore (). Nel secondo schema (b), entrambe le portate vengono misurate e il rapporto delle misure, effettuato in (Y), viene inviato al controllore (RC) il quale comanda la portata di B in modo tale da mantenere il rapporto costante e pari al valore di riferimento fornito come set-point. In generale si preferisce lo schema (a) rispetto a (b) in quanto il guadagno del dispositivo (Y) è di tipo diverso nei due casi. Le relazioni costitutive di (Y) sono rispettivamente Schema (a) B = R A guadagno: Schema (b) R = B A guadagno: e pertanto lo schema (b) introduce una non linearità. B = R A R = B A A 2 = R A Anche nel caso in cui entrambe le portate possono essere controllate, può risultare conveniente, da un punto di vista pratico, usare uno schema di controllo basato sulla tecnica ratio control. L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) eedforward/ratio/override 2
Ratio Control Con riferimento allo schema di ig. 5, se la portata complessiva deve essere variata, l operatore deve cambiare una sola portata tramite il valore desiderato () al controllore (); nello schema di ig., invece, si dovevano cambiare due portate attraverso due valori desiderati, rispettivamente per () e (). Stream A B A Stream B Y X Ratio = R set B ig. 5 Ratio control con due anello di controllo del flusso La gran parte delle unità di elaborazione per il controllo mettono a disposizione dell operatore, in ambito industriale, un controllore (PID-RATIO) il quale accetta un segnale in ingresso, applica lo stesso algoritmo dell unità (Y) dello schema (a) di ig., e usa il risultato come set-point. L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) eedforward/ratio/override
Ratio Control Il ratio control può essere anche inteso come un tipo di controllo in avanti (la portata della variabile non controllata viene considerata un disturbo e misurata) e si trova in combinazione con l azione di controreazione come illlustrato in ig. 6, Stream A A B Stream B Y X set B CC 0 CT 0 ig. 6 eedforward (ratio) più feedback Il rapporto R viene determinato sulla base della misura della composizione fornita da (CT0) feedback ed elaborata dal controllore (CC0) L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) eedforward/ratio/override
Ratio Control Un ultimo schema sfrutta la misura sia della portata che della composizione di B (disturbo) per la parte di controllo in avanti mentre la misura della composizione nel serbatoio viene elaborata dal controllore (CC0) il quale contribuisce, insieme al feedforward, alla determinazione del rapporto desiderato R. Lo schema di principio è riportato in ig. 7, Stream A CT A B Stream B Y X set B CC 0 CT 0 ig. 7 eedforward (ratio) più feedback Doppia azione di controllo in avanti, basata sulla misura del flusso e composizione del disturbo B L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) eedforward/ratio/override 5
eedforward Si consideri un sistema per la miscelazione composto da tre serbatoi nei quali il componente A viene successivamente diluito con l acqua fino ad arrivare alla composizione desiderata x 6 (t). L ingresso di controllo è dato dalla portata d acqua. Tutti i flussi rappresentano possibili disturbi al processo: le portate e le composizioni 5, 2 e 7 possono variare. Si ipotizza che i disturbi maggiori derivano dal flusso 2 (come spesso accade). m B(t) AC c(t) c (t) m (t) 5 5 2 2 7 7 AT H O 2 6 6 T- T-2 T- ig. 8 Miscelazione L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) eedforward/ratio/override 6
eedforward 2 C c control. di composizione P (s) T2 C controllore di flusso r - C (s) c m B(t) c (t) C (s) m (t) H (s) P (s) v P (s) T 6 P v valvola P T : f x 6 P T 2 : f 2 x 6 c(t) H(s) ig. 9 Schema a blocchi corrispondente H sensore flusso H sensore concentrazione Definendo P la funzione di trasferimento dell anello interno (descrive l influenza del controllore C c sulla portata di acqua), P M = C P T H (m B c), P D = P T H e introducendo il feedforward composto sia da H D sensore del disturbo che da C ff controllore, si ha C (s) ff H D 2 r - C (s) c m B(t) m (t) m(t) P (s) M P (s) D c(t) L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) eedforward/ratio/override 7
eedforward Y C K Y B L/L Y A DT m B(t) AC m(t) m (t) Y Y K L/L m B(t) AC m (t) 2 2 c(t) 2 2 c(t) c (t) 5 5 7 7 c (t) 5 5 7 7 H O 2 AT 6 6 H O 2 AT 6 6 T- T-2 T- (a) T- T-2 T- ig. 0 Implementazione feedforward e feedforward/feedback Dal legame disturbo/uscita si deduce il controllore C ff (s) (applicazione del caso generale precedentemente esposto) c(s) = P D f 2 H D C ff P M f 2 c(s) 0 C ff = P D H D P M (b) L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) eedforward/ratio/override 8
eedforward Assumendo P D = K De t Ds τ D s, P M = K Me tms τ M s, H D = K T D si ha C ff (s) = K ( ) D τm s e (t D t M )s K T D K M τ D s costituito dalla serie di un guadagno (K), una funzione anticipatrice/attenuatrice (Lead/Lag L/L) e un ritardo (Dead Time DT). L implementazione di tale feedforward è illustrata in ig. 0 (a) nel caso generale. Si noti che qualora il termine (t D t M ) fosse positivo, non è possibile procedere alla sua implementazione (in controllori analogici) e pertanto viene escluso come indicato, ad esempio, in ig. 0 (b) nella quale si è chiuso la controreazione e i termini K e L/L sono stati riuniti. Il guadagno K D è positivo in quanto un aumento di f 2 (t) provoca un aumento della concentrazione in uscita x 6 (t) (il flusso in ingresso in 2 è a concentrazione maggiore rispetto al flusso in uscita); K M è negativo: all aumentare del segnale di controllo la valvola si apre e la concentrazione diminuisce. Infine K T D è positivo in quanto un aumento di f 2 (t) provoca un aumento del segnale del sensore. Il segno del guadagno di feedforward risulta quindi positivo, infatti a fronte di un aumento di f 2 (t) (con relativo possibile aumento della concentrazione in uscita) l azione del controllo deve essere tale da aprire la valvola (ail-close) di controllo. L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) eedforward/ratio/override 9
eedforward m(t) m (t) Y Y K L/L m B(t) AC c (t) H O 2 5 5 2 2 AT 5 L/L Y 5 7 7 AT 6 6 c(t) disturbi misurati f 2, x 2 C ff2 = P D2 /H D2 P M P D2 : x 2 x 6 H D2 : sensore x 2 T- T-2 T- ig. Disturbo in f 2 e x 2 L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) eedforward/ratio/override 20
Override control La tecnica override control o constraint control viene utilizzata principalmente come strategia di protezione al fine di mantenere le variabili del processo entro limiti di sicurezza (temperature, livelli...). Si consideri, ad esempio, un serbatoio alimentato da un liquido saturo ad elevata temperatura. In condizioni di funzionamento normali, il livello del liquido è h (t); se il livello dovesse scendere sotto la soglia h 2 potrebbero sorgere problemi alla pompa a valle del serbatoio. Si deve quindi evitare di arrivare a tale livello. In serbatoio con livello minimo h 2 pompa a velocità variabile con controllo del flusso in uscita h h2 vel 20 20 Rev Out azione del controllore (20) di tipo reverse-action (un aumento dell ingresso corrente alla pompa ne provoca un aumento della portata; il controllore deve invece agire in modo tale da ridurne la portata) ig. 2 Controllo di livello L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) eedforward/ratio/override 2
Override control Il livello del liquido nel serbatoio è misurato e controllato. In condizioni di funzionamento normali, il livello del liquido nel serbatoio è h (t) (> h 2 ) e il controllore di livello cerca di aumentare la velocità della pompa mandando, ad esempio, un segnale di controllo al selezionatore (LS) pari a 00%. Sempre in condizioni normali, il controllore di portata manda a (LS) un segnale pari, ad esempio, a 75%. Il selezionatore sceglie il valore più basso. Pertanto in condizioni normali agisce solo il controllore di portata (20). Se, a causa di una diminuzione della portata in ingresso al serbatoio, il livello si abbassa oltre il valore desiderato (), il controllore di livello manda un segnale tale da ridurre la velocità della pompa (in assenza di (LS)). In h h2 LT 20 h RB LC 20 LS 20 Dir vel RB vel 20 20 Rev Out (LS) Low Selector (LC) controllo di livello azione del controllore (LC20) di tipo direct-action (un aumento dell ingresso corrente alla pompa ne provoca un aumento della portata) ig. Schema di override control L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) eedforward/ratio/override 22
Override control Ad un certo punto tale valore sarà inferiore a quello fornito dal controllore di portata e il selezionatore sceglierà quello fornito da (LC20) (il più basso dei due). In altri termini il controllore di livello prende il sopravvento (overrides). Quando il flusso in ingresso al serbatoio ritorna al suo valore normale e il livello risale oltre (), il controllore di livello riduce la sua azione e () ritorna a comandare la pompa. L implementazione di tale tecnica avviene spesso tramite il RB (Reset eedback). controllore di livello (direct-acting) controllore di flusso (reverse-acting) E - livello K c M I vel I s LS vel I s M I K c E - flusso RB ig. Diagramma a blocchi L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) eedforward/ratio/override 2
Override control In condizioni normali, l uscita del controllore () è, ad es. 75%. L uscita del selezionatore è il segnale RB ai controllori e quindi il corrispondente segnale M I vale anch esso 75%. A regime, nel controllore di portata l errore è nullo, mentre, essendo il livello nel serbatoio maggiore di (), il controllore di livello (direct-action) fornisce in uscita al blocco proporzionale un valore positivo (ad es. 0%). L ingresso a (LS) da parte del controllore di livello è 85%. A fronte di una diminuzione del livello, l uscita dal blocco proporzionale nel controllore di livello diminuisce fino a diventare negativo e pertanto l ingresso fornito al selezionatore sarà inferiore a 75%, ad es. 7%. In questa situazione (LS) seleziona tale valore e il controllore di livello prende il sopravvento. Il valore 7% diventa anche il nuovo segnale RB. Al diminuire della velocità della pompa, l errore per il controllore di portata diventa positivo (reverseaction) e il controllore cerca di aumentare la velocità della pompa (senza riuscirci in quanto il selezionatore ha dato la precedenza al controllore di livello). L uscita del controllore di portata sarà pari alla somma dell uscita di (LS) e dell errore proporzionale rilevato. Tale situazione permane fino a quando il livello non ritorna sopra il valore desiderato. In generale più controllori possono fornire segnali al selezionatore (LS) come illustrato nell esempio successivo. L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) eedforward/ratio/override 2
Override control - Controllo della temperatura In ig. 5 è riportato lo schema semplificato (privo della manipolazione del flusso di aria) del controllo di temperatura di un forno/riscaldatore implementato con un controllo in cascata. Esistono diverse situazioni potenzialmente pericolose come ad es. una pressione superiore del carburante in ingresso (la fiamma si potrebbe spegnere) o un aumento eccessivo della temperatura all interno del forno. All insorgere di una situazione simile si deve prima risolvere l emergenza escludendo il controllore di temperatura. Vapore TT T H T H TC set (TC) Controllore di temperatura Aria (TT) Sensore di temperatura Carburante vp ig. 5 Controllo della temperatura in un forno () Controllore di portata (TT) Sensore di portata L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) eedforward/ratio/override 25
Override control In ig. 6 è riportato lo schema di controllo override nel quale le due situazioni di emergenza sono gestite rispettivamente dal controllore di temperatura (TC) (eccesso di temperatura all interno del forno) e dal controllore di pressione (PC0) (eccesso di pressione di alimentazione del carburante al bruciatore). TT T TC set RB Vapore T H TT T H set TC RB Aria Carburante PT 0 vp P PC 0 set ig. 6 Controllo override della temperatura in un forno RB LS (TC) Controllore di temperatura (TT) Sensore di temperatura () Controllore di portata (TT) Sensore di portata L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) eedforward/ratio/override 26