BREVE STORIA DEL LOGARITMO
Il logaritmo Idea molto antica Aristotele Si vuole semplificare il calcolo del prodotto di due numeri Due grandi matematici: Napier (1550 1617) Briggs (1561 1639)
Idea di partenza Progressione geometrica di ragione 2 Moltiplicando due termini si ottiene ancora un termine della progressione, il cui indice è dato dalla somma dei due indici dei termini moltiplicati. Es: 4 x 16 = 64 2 + 4 = 6 Gli indici sono gli esponenti dei termini considerati: 2^2 x 2^4 = 2^6 Indice 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Termine 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
Generalizzazione Dovendo moltiplicare due numeri qualunque della tabella, per ottenere il prodotto bastava sommare i due indici, andare all indice trovato e vedere il rispettivo termine. Torna a tabella Analogamente si può ridurre una divisione a una sottrazione e una potenza a una moltiplicazione.
Ma Idea inutilizzabile: si possono moltiplicare solo i numeri presenti nella tabella. Come faccio per esempio a calcolare 17 x 37? 17 e 37 non appartengono infatti alla progressione geometrica di ragione 2.
JOHN NAPIER (per i più, Nepero) Rende l idea utilizzabile: la ragione della progressione geometrica deve essere molto vicino a 1: 0,9999999. Conia il termine logaritmo (dal greco logon arithmos, numero della ragione, numero del rapporto ) Logaritmo = indice = esponente da attribuire a una prefissata base per ottenere una potenza uguale al termine dato. Non lavorava con i decimali, moltiplicava tutto per 10^7
Henry Briggs Viene a conoscenza delle opere di Nepero e dopo un incontro con il matematico decide di perfezionare le sue idee. I logaritmi sono gli esponenti Se usiamo la base 10 i calcoli si semplificano Costruisce tavole in modo decisamente diverso da Nepero: lavora con le radici di 10. Non dà definizione perché non sono ancora noti gli esponenti frazionari e irrazionali.
EULERO (1707 1783) Dà la definizione di logaritmo che ancora oggi noi usiamo Si accorge che i logaritmi hanno applicazione in diversi ambiti della matematica Importanza esponenziali e logaritmi con base e (detto numero di Nepero, ma iniziale di Eulero!)
Logaritmi e realtà
Astronomia: rappresentazione Rappresentazione in scala logaritmica del Sistema Solare Se sulla carta quadrettata ponessimo uguale a un quadretto la distanza Sole-Mercurio, che è di circa 0,4 unità astronomiche, la Terra, che si trova a 1 unità astronomica, verrebbe posta a 2 quadretti e mezzo di distanza, mentre Marte si troverebbe a 4 quadretti. Nettuno, però, mantenendo intatta la scala delle distanze fissata, andrebbe collocato a 75 quadretti, ossia fuori dal foglio! Per non parlare poi di Plutone quando si trova nei pressi dell'afelio. Non è dunque possibile mantenere tutti i pianeti all'interno del foglio? Certamente. È sufficiente che ciascun pianeta venga sistemato non alla distanza effettiva dettata dalla scala, ma bensì al logaritmo di tale distanza. In questo modo anche se, per maggior comodità di lettura, fissassimo la distanza Sole-Mercurio in 10 quadretti anziché in uno solo, quella media di Plutone, circa 100 volte superiore, si ridurrebbe sì e no a una ventina di quadretti e resterebbe quindi abbondantemente contenuta all'interno del foglio. E ovvio che una rappresentazione del genere non rispecchia la realtà, ma per lo scopo che ci siamo prefissati, che era appunto quello di creare uno schema facilmente leggibile, ciò si rivela di secondaria importanza.
Sismologia: la scala Richter Per descrivere gli effetti di un terremoto si usa spesso la scala Richter, in base alla quale si calcola la magnitudo M di un terremoto valendosi della seguente formula: M = 2/3 log (E/E 0 ) dove E, in Joule, è l'energia totale sviluppata dal terremoto ed E 0 è la minima energia rilevata in un terremoto. La scala Richter misura quindi la magnitudine di un terremoto in base alla quantità di energia liberata all'epicentro. È importante sapere che la scala usata è logaritmica perché un terremoto di magnitudine 8 non è doppiamente più disastroso di uno di magnitudine 4. Poiché si lavora su esponenti, 10^8 rappresenta 10000 x 10^4 cioè 10 000 volte più disastroso!
Chimica: la scala del ph Oggi il ph viene definito come il logaritmo negativo, in base 10, della concentrazione molare degli ioni idrogeno. Pertanto: ph = - Log [H + ]
Musica: le scale musicali dell altezza Se i logaritmi sono in base 2, il numero risultante dalla differenza dei logaritmi è l intervallo tra le note espresso in ottave; se i logaritmi sono, ad esempio, in base 2 1/12 allora il numero risultante è l intervallo espresso in semitoni.
Le spirali logaritmiche
Geometria Una spirale si dice logaritmica quando una qualunque semiretta di origine O intercetta sulla spirale raggi vettori che stanno in rapporto costante. Un frattale
Natura: il Nautilus NAUTILUS: Genere di molluschi cefalopodi tetrabranchiati
Natura: il falco pellegrino Il falco pellegrino, uno dei predatori più temibili per la vista acuta e l abilità di volo sfrutta le proprietà della spirale avvicinandosi alla sua preda secondo una spirale logaritmica.
Architettura Scala a chiocciola dell abbazia benedettina di Melk (Austria)
Meteorologia Sorprendentemente anche elementi naturali inorganici rimandano alla spirale mirabile: i cicloni tropicali, ma anche i tornado sia terrestri che marini, assumono la forma di immense spirali logaritmiche.
Fisiologia Verso la metà del 1800, i fisici tedeschi G. Fechner e E. Weber studiarono il tipo di reazioni che l'organismo umano manifesta quando varia l'intensità di uno stimolo fisico ( che può essere una luce, un suono, un odore,...). Essi osservarono che l'intensità S della sensazione corrispondente allo stimolo aumenta all'aumentare della intensità P dello stimolo, ma scoprirono che S non è proporzionale a P. Vale invece, in prima approssimazione, una legge di questo tipo: S = ln (P/Po) dove Po è l'intensità di soglia dello stimolo fisico, cioè la massima intensità P in corrispondenza della quale non si avverte alcuna sensazione (cioè risulta S=0).Per misurare l' intensità della sensazione prodotta da una sorgente sonora, si usa la seguente formula: S = 10x log (P/Po) dove S è la misura in decibel dell'intensità della sensazione sonora, P è una misura dell'intensità della vibrazione prodotta dall'onda sonora nell'aria e è l'intensità minima udibile dall'orecchio umano.
Aeronautica Gli altimetri della navigazione aerea sono basati sul fatto che all'aumentare della quota h diminuisce la pressione atmosferica p. Per determinare la quota h, dopo aver rilevato la pressione p, occorre tener presente che p dipende anche dalla temperatura T dell' aria, secondo la legge: h = (30T + 8000) x ln (p o /p) dove la quota è misurata in metri, la pressione in cmhg, la temperatura in C e p o indica la pressione sul livello del mare.