Anals errore per EDO Anals Numerca Prof. M. Luca Sampol a.a. 2013/2014
Metod multstep lnear La forma generale d quest metod è y h f n0,1,2... j n j j n j j0 j0 dove α j β j sono costant e 0, 0, fn j f( xn j, un j) I metod dscret multstep a -pass necesstano d valor nnesco. Se β =0: metodo esplcto, se β 0: metodo mplcto I metod esplct sono pù facl da calcolare. Nella pratca vengono maggormente usat metod mplct che danno prestazon mglor, anche se pù costos dal punto d vsta computazonale. Dalla formula sopra se ne può ottenere una equvalente yn h f( xn, yn) gn 0 S può dmostrare che esste unca la soluzone u n+ se Lh 1
Anals degl error Dato un metodo dscreto nella sua forma generale (LMM,PC, R-K,..) yr sr( h) 0r valor d nnesco y h ( x, y,..., y, h) n f n n n 0 Defnamo l seguente polnomo (legata alla eq. alle dfferenze): ( ) =0 Nel caso de LMM possamo defnre anche un secondo polnomo ( ) =0
Convergenza La rchesta mnmale da fare ad un metodo dscreto affnché da una buona approx della soluzone esatta è che sa convergente, coè: max yn y( xn) 0 per h0 0nN Ne segue che per un metodo MS la convergenza deve mplcare la convergenza anche de valor d nnesco. Inoltre dalla convergenza unforme segue anche la convergenza puntuale: fssato x=a+h, s ha che per h0 0, h, talche y( x) y ehh
Coerenza (consstenza) Defnzone: s defnsce l errore d dscretzzazone locale la quanttà d( x, y( x )) 1 '(1) h n n n Defnzone: un metodo dscreto s dce coerente (o consstente) se max 0nN d n 0 per h0 Inoltre s dce coerente d ordne p se max d n =o(h p ) Caratterzzamo n modo pù pratco la coerenza 1 dn j[ y( xn) jhy'( xn jh)] h( xn, y( xn),, y( xn), h) '(1) h j0 yx ( n ) jh j jf( xn jhyx, ( n jh)) h( xn, yx ( n),..., yx ( n), h) '(1) h j0
Coerenza (consstenza)-2 Dalla precedente espressone segue che condzone necessara e suffcente per la coerenza è che s abba: 1. 2. lm y y r 0,1,... 1 h0 j r 0 0 ( (1) 0) 3. lm ( x, yx ( ),, yx ( ), h) j f( xyx, ( )) '(1) f( xyx, ( )) h0 n n n j La condzone 3 puo essere cos rscrtta: MML: (1) '(1) PECE: C(1) C '(1) ( C(1) 0, P(1) 0) R-K: c '(1) Le tre condzon sopra elencate sono necessare per la convergenza la coerenza è condzone necessara per la convergenza.
Stabltà Dobbamo formulare una rchesta analoga alla dp. contnua da dat per l metodo numerco. La sola rchesta che l problema sa ben condzonato (garantto per es. dalla lpschtzantà d f) è necessara ma non suffcente. Bsogna rchedere che anche l metodo dscreto non propagh gl error. Tale rchesta è suggerta dalla necesstà d tenere sotto controllo gl nevtabl error che l artmetca fnta d ogn calcolatore ntroduce. Defnzone:Sano δ n δ n *, n=0,1,,n due qualsas perturbazon del MD e sano z n e z n * le sol. perturbate. Se esste h 0, tal che per ogn hє(0,h 0 ] z z quando * * n n n n s dce che l metodo è zero-stable. La stabltà dello schema dscreto è legata al comportamento delle radc del polnomo caratterstco
Stabltà: condzon alle radc Defnzone: Un MD soddsfa la condzone delle radc se le radc del prmo polnomo ρ(θ) sono dentro l cercho untaro e quelle sulla crconferenza sono semplc. Defnzone: Un MD soddsfa la condzone forte delle radc se ρ(θ) ha una sola radce semplce n +1 e le rmanent sono tutte strettamente nterne al cercho untaro. Se l metodo è coerente ρ(1) =0, per cu +1 è radce
Convergenza Teorema: Un metodo dscreto è zero-stable se e solo se soddsfa la condzone delle radc Ne metod one-step ρ(θ)=α 1 θ-α 0, per cu s ha una sola radce, che è uguale a 1 se l metodo è consstente (nfatt n questo caso ρ(1)=α 1 - α 0 =0 α 1 =α 0 ) Teorema (Dahlqust): Un metodo dscreto è convergente se e solo se è consstente e zero-stable Corollaro: Un metodo one-step è convergente se e solo se è consstente Rassumendo: La coerenza è l mnmo lvello d accuratezza da rchedere. Essa controlla la grandezza dell errore d dscretzzazone locale La zero-stabltà controlla l modo n cu s propagano gl error quando h 0 Entrambe sono necessare per raggungere la convergenza
Errore globale Nel caso n cu s tenga conto degl error d arrotondamento, la soluzone effettvamente calcolata non soddsferà esattamente l equazone alle dfferenze, ma s avrà yn h f( xn, yn,..., yn, h) Rn 0 Analogamente s avrà per valor nzal: y s ( h) 0r S defnsce qund l errore globale d arrotondamento y j yj j che dpende dagl error local e dalla loro propagazone r r
Errore totale L errore totale sarà qund dato da E y y( x ) y y y y( x ) n n n n n L errore totale è composto da due part:l errore globale d arrotondamento ε n e l errore globale d dscretzzazone e n Esste una sogla nferore al d sotto della quale l errore totale aumenta! n n e n n
Assoluta stabltà I metod numerc devono rspettare alcune propretà della soluzone esatta, quale, per esempo, fornre una soluzone lmtata se la soluzone esatta è lmtata. Zero-stabltà d un metodo numerco: s studa l comportamento della soluzone y n n [x 0, x 0 +X] per h 0 Assoluta stabltà d un metodo numerco: s studa l comportamento della soluzone y n per x n, per h fssato. Propretà legata al comportamento asntotco d y n ; vene anche chamata stabltà per h fssato.
Assoluta stabltà In pratca h non può tendere a zero, qund la convergenza non è una garanza assoluta che un metodo fornsca de rsultat numercamente accettabl, n quanto la zero stabltà asscura la propagazone stable degl error per h 0. Necesstà d una nuova defnzone d stabltà per h fssato Defnzone: Un MD s dce assolutamente stable per un certo h fssato e per un dato PVI se l errore globale rmane lmtato per n Defnzone legata al partcolare PVI, che non permette un anals generale del comportamento del metodo. Osservazone: lo studo dell errore equvale a consderare la soluzone d zx ( ) yx ( ) ( x) '( x) fy ( x, y( x)) ( x) zx ( ) yx ( ) e ( a) Lnearzzando lo Jacobano f y, supponendolo costante, s può n prma approssmazone rportare l problema ad un problema lneare scalare: y =λy (problema modello)
Polnomo d assoluta stabltà Il pb. test è un modello accettable nterpretando λ ( anche complesso) come un valore che localmente rappresenta un qualsas autovalore dello Jacobano d f. Sosttuendo l pb. test la funzone Φ f del MD dventa lneare n y n+ =0..: y h ( x, y,..., y, h) h ( h) y n f n n n n 0 0 Possamo pertanto scrvere: Sottraendo membro a membro: Er r r valor d nnesco h ( h) En n n 0 Equazone alle dfferenze lneare non omogenea, se gl error sono pccol la soluzone dpende dalle radc del polnomo caratterstco assocate alla parte omog. (, h) h( h) polnomo d stablta' y h ( x, y,..., y, h) h ( h) y n f n n n n n 0 0 yx ( ) h ( x, yx ( ),..., yx ( ), h) h ( h) yx ( ) n f n n n n n 0 0 0
Regone d assoluta stabltà Defnzone: Lo schema è detto assolutamente stable per un dato hλ (fx), se le radc del polnomo d stabltà π(ξ,hλ), gaccono tutte nella crconferenza untara, coè: 1 La regone del pano complesso tale che s ha assoluta stabltàè detta regone d assoluta stabltà: Esemp: MLM: R-K: (, h) 1 0 h0( h): 0( h) polnomo(r-k esplct), 0( h) P P P PECE: (, h) ( ) h ( ) h ( ) h ( ) P h hc: ( h) 1, 1,2,, 0 (, h) h ( ) h( ) Tutt metod a pass ottmal hanno. I metod d Adams esplct hanno n generale una regone pù pccola d quell mplct dello stesso ordne. A parte R-K mplct aumentando l ordne s rmpccolsce funz. razonale(r-k mplct)
Regone d assoluta stabltà: esemp Ogn metodo ha la sua regone d assoluta stabltà. Se hλ=0 allora (,0) 0 ( h) ( ). Se lo schema è 0 0 zero-stable le radc d ρ(ξ) sono tutte nterne al cercho untaro. Qund per ogn MD l punto hλ=0 s trova sulla frontera della corrsspondente regone d assoluta stabltà Eulero: y y h f( x, y ); f( x, y) y 1 y y h y 1 1 (, h) (1 h) una sola radce 1h 1 h( 1) 1 1-2 -1
Regone d assoluta stabltà: esemp -2 Eulero mplcto: y y h y 1 1 (, h) (1 h) 1 una sola radce (1 h) h h 1 (1 ) 1 1 1 1 1 Trapez (Cran-Ncolson) h y 1 y ( y y 1) 2 1 1 h 1 1 (, h) 1 h 1 h una sola radce 2 1 2 2 1 1 h 2 1 Re( h) 1 1
Regone d assoluta stabltà: esemp -3
A-stabltà Le regon d assoulta stabltà appena vste non sono utlzzabl se Re(λ) 0 (con λ autovalore d f y ). In questo caso le soluzon crescono al crescere d x e non ha senso chedere che l errore rmanga lmtato se y(x) dverge. Il concetto d assoluta stabltà ha senso solo se Re(λ)<0 ovvero se l problema d Cauchy è asntotcamente stable (bencondzonato) è evdente la convenenza d avere regon d assoluta stabltà pù grand possble. Se λ è molto grande, può essere necessaro controllare hλ con un passo molto pccolo. Pù grande è R A, pù grande può essere preso h (e meno calcol devono essere fatt). Defnzone: Un MD è detto A-stable se la corrspondente R A contene l sempano Re(λ)<0.
A(α)-stabltà Nessun metodo LMM esplcto è A-stable ed un metodo LMM mplcto A-stable non ha ordne maggore d 2. Tra quest l mglore è l metodo d Cran-Ncolson. Non esstono metod R-K esplct A-stabl La condzone d A-stabltà è molto forte ed ha motvato lo studo e svluppo de metod R-K mplct. Rchesta pù debole: Defnzone: Un MD è detto A(α)-stable con 0, / 2 se la sua regone d assoluta stabltà contene l cono W α d semapertura angolare α nella parte del sempano snstro complesso. 2 1.5 1 0.5 0-0.5-1 -1.5-2 -1-0.5 0 0. 5 1
Problem stff Il termne stff vene usato per problem dfferenzal le cu soluzon sono caratterzzat da part con andamento molto dfforme. 1.5 Esempo: y(0) 0 3 x x y' 10 ( y e ) e x yx ( ) e e 3 10 x 1 0.5 0 Un termne ha costante d decadmento 1 l altro ha una costante 10-3 0 0. 5 1 1. 5 2 2. 5 3! Dal punto d vsta analtco l equazone è asntotcamente stable, tende coè ad uno stato stazonaro. Dal punto d vsta numerco è estremamente dffcle segure la soluzone nella sua fase transente perché MD rchedono un passo troppo pccolo per soddsfare le condzon d stabltà In quest cas sono necessar MD con una grande regone d assoluta stabltà
Problem stff -2 Defnzone (Lambert): Un problema è detto stff se approssmato con un metodo numerco caratterzzato da una regone d assoluta stabltà fnta, obblga quest ultmo, per ogn condzone nzale per l quale l problema ammetta soluzone, ad utlzzare un passo d dscretzzazone eccessvamente pccolo rspetto a quello necessaro per descrvere ragonevolmente l andamento della soluzone esatta. Defnzone (2): Il sstema s dce stff rspetto alla soluzone y(x) ed al valore x se, dett λ 1, λ 2,, λ n, gl autovalor d f y (x,y(x)) ess sono tal che ()Re( ) 0 max Re( ) ( ) 1 : parametro d stffness mn Re( ) Qund n generale non c deve essere LOCALMENTE nessuna componente della soluzone nstable. Deve esstere una componente superstable. La soluzone a regme deve varare molto lentamente rspetto al contrbuto della soluzone superstable S osserva che ρ=ρ(x)
Stabltà per problem stff C nteressa l accuratezza per transent veloc (assocat ad autovalor con parte reale molto negatva) e qund non è necessaro che tutto l sempano snstro complesso sta n R A,, ma solo la parte che contene gl autovalor hλ molto negatv (dstant dall asse Im), che sono la causa d stffness. Per tal autovalor h può essere grande n quanto transent s esaurscono subto. Fssato qund a>0 reale tutto l sempano a snstra d a deve stare n R A nella zona a Re(hλ) 0 coè per transent pù lent bsogna rchedere maggore accuratezza. D altra parte autovalor postv e grand generano nstabltà (pb. malcondzonat), qund fssato b>0 a destra d b ho una regone d nstabltà. Bsogna tenere conto de fenomen d oscllazone legat alle component oscllant delle soluzon dovute a part mmagnare grand,che vanno lmtate Defnzone: un MD è stffly stable se esstono a,b,c >0 costant, tal che () h :Re( h) aa ( ) h : h( a, b) ( c, c) s abba accuratezza h verrà scelto n modo che le component che decadono rapdamente sano approx stablmente e quelle che decrescono lentamente n modo accurato
Metod BDF I metod BDF (Bacward Dfferentaton Formulae) sono una classe d metod, ntrodott da Gear, stffly stabl Esso sono un tpo partcolare d LMM mplct n cu s rchede che solo un coeffcente β 0, n partcolare quello d ordne pu elevato (β 0 ) Come suggersce l nome ess sono costrut approssmando la dervata nel punto corrente f n medante valor precedent y n-j (bacward dfferentaton): y y h f( x, y ) n n 0 n n 1 Per =1 s ottene l metodo d Eulero all ndetro (o Eulero mplcto)