Lezioni di ottica fisica: lezione n.2 seconda parte

Lezioni di ottica fisica: lezione n.2 seconda parte Alessandro Farini 12 gennaio 2007 1 Interferenza 1.1 Sovrapposizione di onde Consideriamo cosa accade quando due sistemi di onde si incrociano in una zona dello spazio e gli effetti che si generano. Tutti gli effetti si possono interpretare mediante una legge che afferma che lo spostamento risultante in ogni punto è pari alla somma degli spostamenti dovuti separatamente ad ognuna delle onde. Questo principio è detto principio di sovrapposizione, e la sua prima formulazione e dovuta a Young. Questo spiega perche le onde, una volta attraversata la zona in cui si sovrappongono, proseguono invariate, permettendo cosi ad esempio la visione degli oggetti attraverso una stretta feritoia. 1.2 Sovrapposizione di due onde monocromatiche Il campo elettrico di un onda puo sempre essere visto come un vettore. La somma di due campi elettrici E 1 e E 2 sara la loro somma vettoriale E = E 1 + E 2 Nel seguito consideriamo per semplicita che i due campi abbiano la stessa frequenza ω e che lo spostamento dovuto ai due campi avvenga sulla stessa retta. Avremo quindi E 1 = E 01 sin(ωt α 1 ) (1) E 2 = E 02 sin(ωt α 2 ) (2) Per il principio di sovrapposizione possiamo scrivere l ampiezza E 0 del vettore risultante E come E 0 = E 01 sin(ωt α 1 ) + E 02 sin(ωt α 2 ) 1

qui si puo inserire il conto necessario per pervenire alle formule successive. Con alcuni conti trigonometrici si puo scrivere che E 2 0 = E 2 01 + E 2 02 + 2E 01 E 02 cos(α 1 α 2 ) (3) Particolarmente interessante e il caso in cui le due ampiezze dei campi elettrici di partenza sono uguali (E 01 = E 02 = E p ). Dalla eq.(3) segue, una volta definita la differenza di fase (α 1 α 2 ) = δ E 2 0 = 2E 2 p(1 + cos δ) = 4E 2 p cos 2 δ 2 Dal momento che l intensita di energia trasportata da un onda e proporzionale al quadrato dell ampiezza possiamo scrivere che per l onda risultante I E 2 0 = 4E 2 p cos 2 δ 2 (4) Nel seguito considereremo I = E 2 0. L intensita di ciascuna delle onde di partenza e pari a E2 p. Eppure osservando la precedente equazione ci si accorge che il valore massimo ottenibile per l intensita dell onda risultante e 4E 2 p (con δ = k 2π), valore piu grande della semplice somma algebrica delle due intensita di partenza. D altro canto per altri valori di δ (δ = π + k 2π) abbiamo che l intensita risultante si annulla. La modificazione di intensita dovuta alla sovrapposizione di due onde prende il nome di interferenza. Quando l intensita risultante e massima parleremo di interferenza costruttiva, quando si annulla di interferenza distruttiva (Fig.1). Figura 1: interferenza distruttiva e costruttiva: figura tratta da wikipedia versione inglese 1.3 L Esperimento di Young Uno dei primi esperimenti volti a mettere in evidenza dal punto di vista quantitativo l interferenza della luce fu quello effettuato da Young. E un esperimento che mette in risalto l interferenza di due fasci di luce. Perche l effetto di interferenza sia piu evidente e necessario, come detto nella precedente sezione, che le due onde siano entrambe monocromatiche. Inoltre i risultati precedenti sono stati ottenuti imponendo che l ampiezza delle due onde sia la stessa. Per realizzare tali condizioni si prende una sorgente di luce monocromatica e la si manda contro uno schermo in cui e stata praticata una fenditura (Fig.2). 2

Dopo la fenditura si otterranno delle onde cilindriche, che vanno a colpire uno schermo su cui sono praticate due fenditure. Tali due fenditure sono le sorgenti adatte per il nostro esperimento. Infatti, essendo originate da un unica sorgente, sono sicuramente della stessa ampiezza. Inoltre quando le onde partono dalle due fenditure hanno la stessa fase, a patto che la fenditura singola sia equidistante dalle due, eguagliando cosi il cammino ottico. Figura 2: apparato sperimentale dell esperimento di Young Se si va ad osservare tramite uno specchio la zona in cui le onde prodotte da queste due sorgenti si sovrappongono si osserva un sistema di bande, cioe delle frange alternativamente chiare e scure ugualmente distanziate (figura 3). Queste frange, dette appunto di interefrenza, possono essere spiegate grazie all equazione (4) Figura 3: Immagine di frange prodotte dall esperimento di Young Per spiegare la formazione di frange ricorriamo alla costruzione geometrica riportata in figura 4 Vogliamo calcolare l intensita dell onda risultante nel punto P, ricorrendo alla formula 4. E quindi necessario calcolare la differenza di fase δ tra le due onde nel punto P. Dal momento che consideriamo che l esperimento si svolga tutto in aria possiamo considerare l indice di rifrazione pari a 1. Conseguentemente la differenza di fase e pari al prodotto per il numero d onda k moltiplicato 3

Figura 4: Esperimento di Young: costruzione geometrica 4

per il cammino fisico, che in questo caso coincide con il cammino ottico: δ = k = 2π λ (S 2P S 1 P ) (5) Il problema si riduce quindi a calcolare la differenza di percorso tra le due onde dopo l attraversamento delle due fenditure. Preso il punto A in modo tale che S 1 P = A P abbiamo che la differenza di cammino e data dal segmento S 2 A. Se la distanza D tra i due schermi e molto piu grande della distanza tra le fenditure d allora si possono considerare uguali i due angoli θ e θ, da cui la differenza di cammino risulta essere pari a d sin θ d sin θ. Inoltre poiche l angolo θ e molto piccolo si puo confondere il seno dell angolo con la sua tangente, da cui sin θ x/d. Possiamo quindi scrivere la differenza di cammino = d sin θ = d x D e inserirla nella eq.(5)per ottenere i valori di δ da cui δ = d sin θ = 2π λ d x D La eq.(4) ci mostra che i massimi dell intensita si hanno per valori di δ = 2 kπ. Confrontata con la 5 una tale condizione equivale ad avere la differenza di cammino uguale a un multiplo intero di λ: xd = 0, λ, 2λ, 3λ,... = mλ D cioe x = mλ D d In questi casi si ha il massimo di intensita e di conseguenza la presenza per quella coordinata x di frange chiare. Il valore minimo dell intensita si ha invece per δ = π + 2 kπ, il che equivale a cioe xd D = 0, λ 2, 3λ 2, 5λ 2,... = (m + 1 2 )λ x = (m + 1 2 )λd d Nelle precedenti equazioni m e un numero intero che puo assumere tutti i valori positivi a partire da 0 ed e detto ordine. Di conseguenza le frange con m = 0, 1, 2,... si chiamano di ordine zero, del primo ordine, del secondo ordine e cosi via. Si puo anche notare che la distanza tra due massimi di intensita successivi e sempre la stessa e vale λd/d. Grazie a questa formula e quindi possibile, misurata la distanza tra due frange, la distanza tra gli schermi D e tra le fenditure d, ottenere la lunghezza d onda di un eventuale lampada di lunghezza d onda sconosciuta usata come sorgente. 5

1.4 Interferenza da Riflessioni Multiple Uno degli effetti di interferenza piu semplici da realizzare e quello che si verifica quando la luce viene riflessa piu volte tra le due superfici di una pellicola trasparente. E questo effetto che provoca i colori nel caso di una sottile pellicola di olio disposta sull acqua o di una bolla di sapone. Faremo riferimento nel seguito al caso di una pellicola di materiale trasparente posta a separare una superficie di vetro dall aria. E un caso che puo permettere di schematizzare il trattamento antiriflesso degli occhiali. Figura 5: Riflessione da parte di un film trasparente Consideriamo una luce proveniente da una sorgente puntiforme monocromatica che, partendo dall aria (n a 1) va a colpire una sottile lamina trasparente di indice di rifrazione n f = 1.38. Al di sotto del film trasparente sta un vetro ottico (n v = 1.5). Essendo sia il film che il vetro trasparenti ci possiamo immaginare che i coeficenti di riflessione saranno piccoli. Nel seguito considereremo solo i primi due raggi riflessi in aria, essendo l intensita dei raggi dovuti alle successive riflessioni troppo deboli, anche mille volte inferiori alle intensita dei primi due raggi, che risultano invece essere assai simili tra loro, e che possiamo quindi nel seguito considerare uguali. Possiamo quindi considerare quei due raggi (1 e 2 nella figura 1.4) come provenienti da due sorgenti puntiformi coerenti. 6

Calcoliamo ora la differenza di cammino ottico per questi due raggi per andare dalla sorgente S al punto P. La lente L e stata messa per far convergere nel punto P il fascio di raggi riflessi. Puo schematizzare la lente del cristallino, nel qual caso il punto P viene a trovarsi sulla retina di un ipotetica persona che osserva gli occhi di colui che indossa gli occhiali antiriflesso. La presenza della lente L non comporta alcuna complicazione nel calcolo dell intensita luminosa presente in P. Esiste infatti un noto teorema dell ottica geometrica, detto talvolta teorema di Malus, che afferma che le relazioni di fase in P dei vari raggi sono le stesse di quelle che si hanno prima della lente nei punti P 1 e P 2, intersezione dei raggi con una retta a loro perpendicolare. In pratica, senza scendere nei dettagli riscontrabili in ogni testo di ottica geometrica, la differenza di cammino compiuta al di fuori della lente e compensata dalla differente lunghezza del percorso all interno della lente stessa. Il fatto che i due raggi siano tra loro paralleli e un semplice esercizio di ottica geometrica svolto in appendice. La differenza di cammino ottico tra questi due raggi risulta quindi essere = n f (AB + BC) n a (AD) Ma dalla costruzione geometrica data in figura segue immediatamente che AB = BC = d/ cos θ t, quindi = 2n f d cos θ t n a (AD) A questo punto posso scrivere per la legge di Snell Inoltre AC = 2d tan θ t. Ne segue che AD = AC sin θ i = AC n f n a sin θ t = 2n f d cos θ t (1 sin 2 θ t ) = 2n f d cos θ t A questo punto abbiamo ricavato la differenza di cammino ottico tra i due raggi, e possiamo ricavare quindi lo sfasamento tra le due onde. Infatti dalla formula?? segue che: δ = k = 4π λ n f d cos θ t Grazie alle ipotesi che abbiamo fatto all inizio sul comportamento dei due raggi possiamo scrivere l intensita risultante dall interferenza tra i due raggi allo stesso modo dell espressione 4. Come in quel caso avremo quindi interferenza costruttiva tra le due onde se δ = 2mπ e interferenza distruttiva se δ = (2m + 1)π.Nel caso del trattamento antiriflesso ci interessa il caso di interferenza distruttiva che equivale alla situazione per cui l intensita della luce riflessa si riduce a 0. Esso equivale a 4π λ n f d cos θ t = (2m + 1)π che nel caso di m = 0 si riduce a 4 λ n f d cos θ t = 1 Se poi consideriamo che la luce incida con un angolo di incidenza vicino allo zero allora possiamo considerare pari a 1 il termine in coseno e scrivere 4 λ n f d = 1 7

Da cui segue che lo spessore d del trattamento antiriflesso deve essere λ 4n f = d (6) Quindi se su una lente si deposita uno spessore d di materiale antiriflesso di indice di rifrazione minore di quello del vetro la luce riflessa ad incidenza normale viene soppressa quasi completamente per interferenza. Affinche la distruzione sia completa e necessario che le ampiezze delle due onde siano il piu possibile uguali, condizione che si realizza se l ndice di rifrazione del film antiriflesso e tale che n f = n a n v (7) E possibile fare alcune considerazioni che ci permettono di spiegare il comportamento delle lenti antiriflesso. In primo luogo ovviamente, in rispetto del principio di conservazione dell energia, l energia che non viene riflessa non viene distrutta. L energia che non viene riflessa viene invece trasmessa, potendo cosi giungere sull occhio della persona che porta gli occhiali. Il vantaggio delle lenti antiriflesso e quindi sia quello di migliore la visione di chi le porta, sia quello di eliminare antiestetici riflessi. In un primo tempo i rivestimenti venivano fatti depositando diversi strati monomolecolari di sostanza organica su lastre di vetro. In un secondo tempo e stato possibile realizzarne di piu resistenti depositando sulla superficie, per evaporazione sottovuoto, un sottile strato di fluoruro di magnesio. L indice di rifrazione del floruro di magnesio e n 1.38. Tale valore e effettivamente piu grande rispetto a quello che sarebbe imposto dalla condizione 7, ma e valido soprattutto se si usano due o piu strati sovrapposti. Osservando la riflessione ad angoli grandi della luce su una lente trattata antiriflesso si nota che la lente assume una certa colorazione, che nella maggior parte dei casi e un rosso porpora. Infatti, come si vede bene nella formula 6 la condizione di interferenza distruttiva dipende dalla lunghezza d onda della radiazione considerata, ed e quindi perfettamente soddisfatta per una sola lunghezza d onda, che viene di solito scelta verso la meta dello spettro visibile. La riflessione della luce rossa e della luce violetta risulta quindi maggiore, provocando la caratteristica colorazione. La dipendenza dalla lunghezza d onda provoca anche la caratteristica colorazione delle bolle di sapone. Allo stesso modo abbiamo visto che la 6 e valida quando l angolo di incidenza e molto piccolo. Infatti la differenza tra un vetro trattato e uno non trattato diminuisce con l aumentare dell angolo di riflessione, e il comportamento antiriflesso e molto migliore per angoli piccoli (vedi fig.1.4). 8

Figura 6: Riflettanza pencentuale di un vetro trattato e di un vetro non trattato (uncoated): é evidente il miglioramento dovuto al trattamento Figura 7: Rfilettanza di un vetro trattato visto a 0 e 45 gradi 9

Figura 8: Riflessione da parte di un vetro trattato con un trattamento multistrato 10