Università degli Studi di Basilicata Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 0/03 lezione di statistica del maggio 03 - di Massimo Cristallo - 3. Concezioni e valutazioni di probabilità Prima di analizzare il concetto di probabilità degli eventi, diciamo subito che le prime valutazioni di probabilità sono nate con lo studio dei giochi di azzardo, per poi estendersi ad altre discipline in cui sono usuali le decisioni in condizioni di incertezza. Non è possibile dare una definizione univoca di probabilità, ma piuttosto sono state proposte in letteratura differenti interpretazioni del concetto di probabilità. La definizione classica di probabilità (Laplace, 8) stabilisce che se è dato un esperimento ben specificato ed un evento A tra quelli possibili per l esperimento, e se m è il numero dei possibili risultati che danno luogo all evento A ed n quello di tutti i possibili esiti dell esperimento, allora la probabilità dell evento A è il rapporto m/n, purché tutti gli n risultati siano equiprobabili. Un esempio immediato per tale definizione è quello relativo al lancio del dado. Se il dado non è truccato ed è perfettamente simmetrico i possibili esiti sono sei, ciascuno con la stessa probabilità di verificarsi, per cui la probabilità che nel lancio esca un numero pari è uguale a 3/6. Si può notare che la definizione classica è tautologica, in quanto per definire la probabilità è necessario ipotizzare la equiprobabilità degli eventi, ed è applicabile solo a quegli esperimenti che presentano un numero finito di risultati, per cui von Mises ha proposto un altra definizione, detta frequentista, più ampia rispetto alla precedente. Secondo la definizione frequentista, infatti, per un dato esperimento ben specificato e perfettamente ripetibile, sia A un evento tra quelli possibili e fn ( A ) il numero delle volte che si è verificato A in una serie di n esperimenti replicati in maniera indipendente (cioè tutti nelle medesime condizioni), la probabilità rappresenta il limite della frequenza relativa dell evento al divergere del numero delle prove, in simboli scriviamo: f n P A = lim n n ( A) L applicazione della definizione frequentista presuppone, quindi, che l esperimento sia ripetibile indefinitamente ed in maniera indipendente. Essa, inoltre, include anche la situazione degli eventi equiprobabili affrontata con la definizione classica, purché gli esperimenti siano riproducibili nel modo indicato. Un esempio immediato per tale definizione è quello relativo al lancio della moneta. Se la moneta non è truccata e viene lanciata 00.000 volte, si potrà constatare che la probabilità che dal lancio esca testa è uguale a quella che esca croce ed entrambe sono pari a /. Il limite della concezione frequentista è che deriva da un postulato empirico del caso, cioè nasce da una osservazione empirica a posteriori di un grande numero di esperimenti, e di conseguenza non risulta applicabile agli esperimenti che per loro natura non sono ripetibili.
Esistono situazioni, inoltre, in cui non sono applicabili né la definizione classica né quella frequentista. Ramsey, Savage e de Finetti hanno introdotto, pertanto, un altra definizione, detta soggettivista (o bayesiana), secondo la quale, dato un esperimento ben specificato ed un evento A tra quelli possibili, la probabilità dell evento A è il grado di fiducia che un individuo coerente ha nel verificarsi dell evento A, condizionatamente alle informazioni di cui dispone e alle sue opinioni. La critica più immediata alla concezione soggettivista è che essa produrrebbe risultati diversi da soggetto a soggetto pur di fronte allo stesso esperimento, cioè è basata su valutazioni personali di un individuo circa il verificarsi di un evento incerto, mentre il suo pregio è che non richiede né l equiprobabilità degli eventi né la riproducibilità dell esperimento. Si pone, inoltre, il problema di come misurare la probabilità utilizzando la concezione soggettivista. La risposta si ha riformulando la definizione nel modo seguente: la probabilità dell evento A è la somma che un individuo coerente è disposto a scommettere in un gioco equo nel quale al verificarsi dell evento A egli riceve dal banco un importo unitario. Se consideriamo l esempio del lancio di una moneta non truccata, un individuo ritiene coerente ed equo scommettere euro sulla faccia Croce per ricevere euro nel caso si verifichi l evento Croce ; ciò porta a concludere che la probabilità che esca Croce è pari a /. La coerenza dell individuo significa che egli valuta la probabilità nell intervallo [ 0,], attribuendo la probabilità 0 all evento impossibile e a quello certo, mentre l equità del gioco si ha quando risulta indifferente assumere le parti del giocatore o del banco. Si vedrà nel seguito come il gioco del Lotto non è equo, in quanto la posta del gioco, in caso di vincita del giocatore, è tale da assicurare allo Stato un certo utile. A prescindere dalla concezione sulla quale si base la definizione di probabilità, se è data una funzione P( ) a valori reali e sono soddisfatti i seguenti assiomi:. P( A) 0. P( Ω ) = 3. P( A A ) P( A ) P( A ) = + s A =. P A è detta probabilità dell evento A. La suddetta impostazione della teoria delle probabilità (detta anche assiomatica) è stata proposta da Kolmogorov (933) e si caratterizza dalle altre in quanto non fissa l attenzione sul significato di probabilità. L impostazione di Kolmogorov è invece strettamente connessa alla teoria delle funzioni la funzione P( ) è detta misura di probabilità, mentre P sia scelta in modo arbitrario e a condizione che risulti non negativa, normalizzata (con valore sull insieme totale Ω ) e additiva. Ne consegue che ogni altra affermazione riguardante la teoria delle probabilità viene dimostrata a partire dagli assiomi. Prima di analizzare le principali implicazioni degli assiomi utilizzati per definire la probabilità, diciamo che l assioma 3 può essere esteso al caso di un numero finito n di matematiche, in quanto richiede che la funzione
eventi, A, A, L, An, tali che gli stessi siano a due a due incompatibili (cioè Ai Aj = i j ), nel modo seguente: n n U i = i = i = P A P A prendendo il nome di additività finita della probabilità degli n eventi, ovvero al caso di infiniti eventi A, A,L, sempre a due a due incompatibili, in modo che vale la relazione: i dove al limite, per n, si ha: P A = P A P A n U i i i i = i = i = n U i = i = i = P A P A che esprime la completa additività della probabilità degli eventi. Si dimostra che assumere la completa additività della probabilità degli eventi equivale ad assumere la continuità della funzione P( ). Gli assiomi che caratterizzano la definizione di probabilità non consentono di assegnare un unico valore alla probabilità di un evento, ma piuttosto evidenziano che la probabilità è una funzione di insieme che associa, in modo coerente, ad ogni evento A dello spazio Ω un numero reale appartenente all intervallo [0,]. L attribuzione delle probabilità in maniera coerente si esplica nel senso che se un evento A i è più probabile di un altro evento A j, allora la probabilità del primo evento è maggiore di quella del secondo, ed è proprio questo il ruolo che hanno gli assiomi presentati. P è scelta in modo tale che risultano soddisfatti i tre assiomi, allora Se la funzione essa è detta funzione di probabilità, mentre il binomio Ω, P( ) è definito spazio probabilistico. Presentiamo ora con un esempio, nell ambito del gioco del Lotto, il procedimento di valutazione di probabilità nel caso di uno spazio Ω finito. Supponiamo di essere interessati a valutare la probabilità che esca sulla ruota di Bari l ambo costituito dai numeri 7 e 6. In questo caso, lo spazio Ω è quello delle possibili quintine ottenibili con 90 numeri. Considerato che nel gioco del Lotto non interessa l ordine con il quale vengono estratti gli elementi della cinquina, il numero degli eventi elementari costituenti lo spazio Ω è dato dalle combinazioni dei 90 numeri presi alla volta, cioè, come si è visto nel paragrafo, 90 dal risultato del coefficiente binomiale. Non essendoci motivi, sulla base delle informazioni di cui disponiamo, per attribuire a ciascuna quintina della ruota di Bari, tra cui quelle contenenti l ambo 7 e 6, una i 3
probabilità di uscita diversa da tutte le altre possibili, assumiamo la condizione di equiprobabilità, cioè che ogni cinquina ha probabilità di verificarsi pari al rapporto 90. Prendendo dunque in esame la concezione classica, i casi favorevoli all evento uscita dell ambo 7 e 6 sulla ruota di Bari sono tutte le quintine che insieme ai due predetti numeri contengono tre degli altri restanti 88 numeri, per cui sono in numero pari al 88 risultato del coefficiente binomiale 3. 90 Essendo il numero dei casi possibili pari a, la probabilità che esca l ambo 7 e 6 sulla ruota di Bari è data dal rapporto: 88 90 p = 3 = 80 e coincide con la probabilità di indovinare un qualsiasi altro ambo anche in una qualunque altra ruota. Il risultato ottenuto mostra che vi è circa possibilità su 400 di indovinare l ambo. Tuttavia la posta unitaria che lo Stato garantisce al giocatore in caso di uscita dell ambo è pari a 0, per cui il gioco non è equo. Al lettore è lasciato il compito di provare che l equità del gioco del Lotto non risulta garantita anche nel caso delle altre giocate (terno, quaterna, ecc.). 4. Relazioni fondamentali del calcolo delle probabilità Dagli assiomi utilizzati per definire la probabilità discendono alcune relazioni valide per qualsiasi degli eventi A, A appartenenti allo spazio degli eventi. Si riportano di seguito solo quelle più importanti:. P( A) = P( A). P( ) = 0 3. P( A) 4. A A P( A ) P( A ). P( A A ) = P( A ) + P( A ) P( A A ) Si osservi che s sono incompatibili ( A A P A A = P A + P A. = ), la relazione ) implica che Per dimostrare la relazione ), che potremmo definire legge della probabilità mediante il complemento, basta considerare che l unione di un evento con la sua negazione produce l evento certo, in simboli scriviamo A A = Ω, ed applicare l assioma ): 4
P( A A) = P( Ω ) = ove i due eventi A sono incompatibili, per cui per l assioma 3) si ha: da cui si ricava facilmente la relazione ). P( A A) = P( A) + P( A) = Esempio Consideriamo il caso di un responsabile delle vendite di una concessionaria di automobili, il quale dopo un attento esame delle vendite stabilisce che il 6% dei contatti con potenziali acquirenti non porta ad alcuna vendita. Indicando allora con A l evento vendita, si ha per la relazione ) che: P( A) = 0, 6 = 0, 3 cioè una probabilità pari a 0,3 di concludere una vendita. Dalla relazione ) discendono, poi, le relazioni ) e 3). Il fatto che l evento impossibile abbia probabilità nulla di verificarsi si ricava ponendo A =Ω, cosicché si ha A =, ed applicando l assioma ): P( ) = P( Ω ) = P( ) = 0 mentre il risultato P( A) si ottiene applicando l assioma ) all evento A : P( A) = P( A) 0 P( A) Restano, quindi, da provare le relazioni 4) e ). Intuitivamente, se un certo evento A e il suo complemento A sono sempre disgiunti, a maggior ragione lo sono anche gli eventi A e ( A A ), dov è un qualsiasi altro evento che non amplia (attraverso l operatore ) l evento A. Ne consegue che vale sempre la relazione: A A A = mentre, nel caso in cui A A A coincide con l evento A, e di conseguenza per la validità delle leggi distributive:, si deduce facilmente che l evento ( A ) A A A = A
essendo gli eventi A esaustivi, per cui applicando l assioma 3) agli eventi A e ( A A ) si ha: che si può riscrivere nella forma: P A A A = P A + P A A = P A ( ) = ( ) P A P A P A A dove per l assioma ), di non negatività della probabilità degli eventi, P A A 0, con la conseguenza che vale la relazione: ( ) risulta P A P A 0 da cui si ricava immediatamente la relazione 4). Per comprendere la relazione ), che potremmo definire legge della somma, basta considerare in maniera intuitiva che se i due eventi A sono compatibili, cioè l evento intersezion A è contenuto sia in A che in A, sommare le probabilità P A A, per cui P( A ) e P( A ) equivale di fatto a contare due volte la probabilità ( ) quest ultima deve essere sottratta alla somma P( A ) + P( A ). Esempio Consideriamo il caso di una indagine condotta da una società di consulenza, a seguito della quale è risultato che alcuni dipendenti hanno dichiarato di aver abbandonato per motivazioni diverse il proprio lavoro entro un anno dall assunzione, e precisamente nella misura del 0% per insoddisfazione del salario percepito, del % per insoddisfazione della mansione svolta e del 9% per insoddisfazione sia del salario che della mansione. Indicando con S l evento abbandono del lavoro per insoddisfazione del salario e con M l evento abbandono del lavoro per insoddisfazione della mansione, si ha: per cui, utilizzando la relazione ), risulta: P( S) = 0, 0, P( M) = 0, e P( S M) = 0, 09 P( S M) = 0, 0 + 0, 0, 09 = 0, 6 cioè una probabilità pari a 0,6 che un dipendente abbandoni il proprio lavoro per insoddisfazione del salario o della mansione. 6