Prove di esame a.a

Perugia, 26 gennaio 2010 Prove di esame a.a. 2009-10 1. Aquiloni. Un azienda di giocattoli produce due tipi di aquiloni di dimensioni diverse. Nella tabella seguente sono riportate le quantità di materiale che occorrono per realizzare ciascun tipo di aquiloni e le giacenze del magazzino. materiali aquiloni A aquiloni B Magazzino tessuto 5 m 2 1 m 2 100 m 2 filo 90 m 30 m 2700 kg assi di legno 15 m 3 m 450 m (a) Rappresentare analiticamente e geometricamente un problema lineare, supponendo di voler esaurire le giacenze del magazzino. (b) Interpretare i punti di intersezione delle tre rette. (c) Stabilire se è possibile una produzione di aquiloni A e B utilizzando tutte le giacenze. 2. Caffè. In base alla legge del raffreddamento di Newton, una tazzina di caffè alla temperatura di 80 o C posta in un ambiente alla temperatura di 20 o C si raffredda secondo la legge f(t) = 20 + 60e kt dove t è espresso in minuti e k > 0 è una costante che dipende dal liquido, dal contenitore, ecc. e può essere calcolata empiricamente. (a) Sapendo che dopo 5 minuti la temperatura del caffè è scesa a 50 o C, calcolare la costante k. (b) Stabilire quanto tempo occorre perchè la temperatura del caffè sia minore di 30 o C. 1

(c) Disegnarne il grafico della funzione f(t). (d) Calcolare e spiegarne i significati. lim t 0 f(x) = lim t + f(x) = 3. Ghiaccio. Un blocco sferico di ghiaccio si scioglie e in un ora il raggio diminuisce da 20.00 cm a 19.80 cm. Utilizzare il differenziale per stimare il volume di ghiaccio sciolto in quell ora. (a) Studiando la concavità della funzione, stabilire se si tratta di un approssimazione per difetto o per eccesso. (b) Visualizzare graficamente l approssimazione lineare disegnando il grafico della funzione e l opportuna retta tangente. 4. Viaggio nel deserto. Siete a bordo di un fuoristrada nel deserto 12 km a sud del punto più vicino A, che si trova su una strada in direzione da est a ovest. Intendete raggiungere un punto B che si trova sulla strada 10 km a est di A. Se il vostro fuoristrada può viaggiare alla velocità media di 15 km/h nel deserto e di 39 km/h sulla strada, verso quale punto della strada dovete puntare per minimizzare il tempo di viaggio richiesto per raggiungere B? (Suggerimento: posizionare la strada lungo l asse x e il punto A nell origine degli assi). Perugia, 10 febbraio 2010 1. Rane. In un esperimento si trova che la velocità v (in cm/sec) con cui un muscolo sartorio della coscia di una rana si estende per sollevare un 2

peso x (in grammi) soddisfa la relazione v(x) = 0.95( 70 x x + 12 ) (a) Determinare il C.E. della funzione e le intersezioni con gli assi cartesiani. (b) Individuare se la funzione ammette asintoti e calcolare gli opportuni limiti. (c) Calcolare la derivata prima e studiarne il segno. (d) Tracciare il grafico di v(x). (e) Interpretare il grafico in termini di estensione del muscolo della rana (segno, decrescenza, intersezioni con gli assi). 2. Palle colorate. Una palla gialla, nuova e ben gonfia lasciata cadere da 1 metro di altezza rimbalza verticalmente raggiungendo ad ogni rimbalzo i 9/10 della quota precedente. Una seconda palla verde, molto sgonfia, lasciata cadere da 3 metri di altezza rimbalza verticalmente raggiungendo ad ogni rimbalzo i 3/10 della quota precedente. (a) Modellare il processo e determinare l altezza raggiunta dalle due palle all n-esimo rimbalzo. (b) Determinare dopo quanti rimbalzi la palla gialla sale più in alto della palla verde. (c) Disegnare i grafici delle due funzioni esponenziali. 3. Palla. Una palla lanciata verso l alto con la velocità di 50 metri/secondo percorre una traiettoria descritta dalla funzione s(t) = 50t 2t 2. (a) Trovare la velocità media della palla negli intervalli [3, 4], e interpretarne il significato geometrico. (b) Trovare la velocità istantanea 3 secondi dopo il lancio e interpretarne il significato geometrico. (c) Disegnare il grafico di s(t) 3 e le rette individuate.

4. Stampa. Un foglio di carta deve contenere: un area di stampa di 50 cm, margini superiore e inferiore di 4 cm e margini laterali di 2 cm. Quali sono le dimensioni del foglio di carta di area minima che si può utilizzare? Perugia, 23 febbraio 2010 1. Pomodori. È noto che la percentuale dei semi di una data pianta che germogliano dipende dalla temperatura ambiente. Per una determinata varietà di pomodoro è stato verificato che alla temperatura di 12 o C germoglia il 40% dei semi, alla temperatura di 15 o C germoglia il 70% dei semi e che alla temperatura di 9 o C germoglia il 20% dei semi. (a) Dimostrare che la relazione tra la temperatura e la percentuale dei semi che germogliano non può essere lineare. (b) Supponendo che sia una relazione quadratica trovare la funzione che esprime questa relazione e disegnarne il grafico. (c) Discutere se il modello ottenuto può essere considerato realistico e individuare un intervallo in cui tale funzione potrebbe effettivamente rispecchiare il fenomeno preso in considerazione. 2. Popolazione mondiale. La popolazione mondiale all inizio del 2008 è stimata pari a 6.66 10 9 persone circa, con un incremento dell 1.17% rispetto al 2007. Supponendo che l incremento annuale rimanga costante (a) modellare il processo ed individuare una legge (ricorsiva, esplicita e reale) che rappresenti la popolazione mondiale P (t) t anni dopo il 2008 (anno zero) e disegnarne il grafico. 4

(b) Secondo il modello, a quante persone ammonterà la popolazione mondiale nel 2015? (c) Determinare in quale anno la popolazione mondiale sarà raddoppiata rispetto al 2008. (d) Calcolare lim t + P (t) lim t P (t) lim t 0 P (t) 3. Batteri. Una popolazione di batteri in un mezzo di coltura omogeneo cresce seguendo la legge ove t è espresso in ore. f(t) = 100e 0.69t (a) Determinare il significato del coefficiente moltiplicativo 100. (b) Trovare il tasso medio della popolazione nell intervallo [4, 5] e interpretarne il significato geometrico. (c) Trovare il tasso di crescita istantaneo dopo 4 ore e interpretarne il significato geometrico. (d) Disegnare il grafico di f(t) e le rette individuate. 4. Secchi. Un azienda deve produrre secchi utilizzando per ciascuno un foglio di plastica della dimensione di 15dm 2. Sapendo che i secchi sono cilindri aperti sul lato superiore, determinare le dimensioni alle quali corrisponde la massima capacità. Perugia, 4 giugno 2010 5

1. Monossido di carbonio. La concentrazione di monossido di carbonio a Milano è passata da 10mg/m 3 circa nel gennaio 1990 a 4.8mg/m 3 circa nel gennaio 2000. Si assuma l anno 1990 come anno zero e un decennio come unità di misura. (a) Adottando un modello lineare, determinare la funzione che stima la variazione di monossido di carbonio e disegnarne il grafico. (b) Determinare il significato del termine noto e del coefficiente angolare. (c) Determinare il tasso medio di diminuzione nei primi tre decenni. (d) Determinare il tasso istantaneo di diminuzione nel 2010. 2. Blog. Nell ultimo anno i blogger americani over 30 sono aumentati dell 11%. (a) Adottando un modello esponenziale determinare la successione ricorsiva, esplicita e la funzione di variabile reale che descrive il fenomeno dell aumento dei blogger. (b) Disegnare il grafico della funzione esponenziale e studiarne la monotonia, i punti critici e la concavità. (c) Determinare fra quanti anni il numero dei blogger supererà il doppio del numero all inizio dello studio. 3. Rane. La dimensione di una popolazione di rane in uno stagno varia nel tempo secondo la funzione f(x) = 100 + 50 et 1 e t + 1. Studiare la funzione f(t) anche per tempi negativi e disegnarne il grafico. 4. Scatola aperta. Una scatola aperta viene costruita a partire da un pezzo di cartone di dimensioni 12 dm per 20 dm tagliando via dai vertici quattro quadrati di lato x e ripiegando in alto i lembi, come in figura. (a) Esprimere il volume V (x) della scatola in funzione della sua altezza x e disegnarne il grafico. 6

(b) Individuare per quali valori dell altezza si realizza il volume massimo. Perugia, 25 giugno 2010 1. Cereali. Stando alle informazioni presenti sulla confezione, una porzione di cereali contiene 3 grammi di proteine e 24 grammi di carboidrati. Una porzione di latte scremato (mezza tazza) contiene 4 grammi di proteine e 6 grammi di carboidrati. (a) Determinare se è possibile consumare un pasto a base di cereali e latte assumendo 26 grammi di proteine e 78 grammi di carboidrati. (b) Rappresentare graficamente il problema disegnando le due rette in uno stesso piano cartesiano. (c) Il punto (0, 13) che tipo di pasto rappresenta? Quante proteine fornisce? Quanti carboidrati? (d) Spiegare il significato del coefficiente angolare dell equazione relativa ai carboidrati. 2. Azioni. Supponiamo di avere investito 1000 euro in azioni che si deprezzano al tasso del 20% annuo. (a) Adottando un modello esponenziale determinare la successione ricorsiva, esplicita e la funzione di variabile reale che descrive l andamento delle azioni acquistate. (b) Disegnare il grafico della funzione esponenziale f(t) e calcolare lim t + f(t) = lim t 0 f(t) = 7

(c) Determinare dopo quanto tempo il valore dell investimento è minore o uguale a 630 euro. (d) Scrivere l espressione della derivata e disegnarne il grafico. 3. Bambini. Sia P (t) la percentuale di bambini in grado di parlare all età di t mesi. (a) Interpretare i seguenti dati statistici P (10) = 60, P (10) = 18.2 (b) Usare l approssimazione lineare per stimare la percentuale di bambini in grado di parlare all età di 10.5 mesi. (c) Disegnare un possibile grafico qualitativo della funzione P (t) e della relativa derivata. 4. Palla. Una palla lanciata verso l alto con la velocità di 30 metri/secondo percorre una traiettoria descritta dalla funzione s(t) = 30t 5t 2. (a) Trovare la velocità media della palla nell intervallo [2, 4] e interpretarne il significato geometrico. (b) Trovare la velocità istantanea 2 secondi dopo il lancio e interpretarne il significato geometrico. (c) Calcolare lo spazio totale percorso dalla palla nei primi 5 secondi. Perugia, 12 luglio 2010 8

1. Energie alternative 1. Nella tabella sono riportati i numeri dei Comuni italiani che hanno adottato la geotermia come fonte di energia anno 2700 2008 2009 numero 9 28 73 (a) Si assuma l anno 2700 come anno zero. Dimostrare che la relazione anno - numero di Comuni indicata nella tabella non può essere lineare. (b) Supponendo che sia una relazione quadratica trovare la funzione f(t) che esprime questa relazione e disegnarne il grafico. (c) Secondo il modello, quanti comuni adotteranno la geotermia nel 2013? (d) Se il trend prosegue, in quale anno il numero dei comuni supererà quota 500? (e) Calcolare lim t + f(t) lim t f(t) lim t 0 f(t) 2. Petrolio. Nel 2005 il consumo mondiale di petrolio è stato di circa 3.6km 3 e si prevede un aumento annuale di consumo pari all 1.3%. Le riserve di petrolio sono stimate a circa 440km 3. Supponendo che l incremento annuale di consumo rimanga costante (a) modellare il processo ed individuare una legge (ricorsiva, esplicita e reale) che rappresenti il consumo di petrolio P (t) t anni dopo il 2005 (anno zero) e disegnarne il grafico. (b) Secondo il modello, quale sarà il consumo nel 2015? (c) Se il trend prosegue, in quale anno esauriremo le scorte di petrolio? 3. Costo marginale. In una piccola azienda la cui produzione giornaliera massima è di 300 unità il costo totale di fabbricazione di x unità è rappresentato dalla funzione C(x) = 1/30x 3 15x 2 + 2500x 9

(a) Determinare la variazione media del costo quando la produzione cresce da 100 a 200 unità. (b) Determinare il costo marginale (derivata prima) a livello di produzione di 100 unità. (c) Mostrare che il costo marginale a livello di produzione di 100 unità approssima il costo di produzione della 101-esima unità (usare l approssimazione tramite la retta tangente). 4. Animali. Una popolazione di animali P (t) cresce alla velocità dove t è misurata in anni. v(t) = 200 + 50t, (a) Calcolare l aumento della popolazione tra il quarto e il decimo anno. (b) Disegnare il grafico di v(t) e individuare la rappresentazione geometrica di tale aumento. (c) Determinare un rettangolo equivalente alla regione curvilinea individuata. Perugia, 02 settembre 2010 1. Alberi. Si misura l altezza di un albero in funzione del tempo. All inizio dell esperimento (t = 0) l altezza dell albero era di 1.00 m. Dopo una settimana (t = 1) l altezza dell albero era di 1.04 m. Dopo due settimane (t = 2) di 1.10 m. 10

(a) Supponendo che l altezza dipenda in modo quadratico dal tempo, determinare la funzione f(t) che esprime la crescita dell albero e disegnarne il grafico. (b) Stabilire quanto tempo occorre perchè l altezza superi 2 m. (c) La funzione trovata può rappresentare la crescita dell albero per tempi precedenti all inizio della misurazione? Determinare a partire da quando il modello è attendibile. (d) Calcolare lim t + f(t) lim t f(t) lim t 0 f(t) 2. Epidemia. In una data regione un epidemia é individuata con un certo ritardo, quando ormai vi sono circa 1000 casi di malattia. Supponendo che il tempo di raddoppio della malattia sia di circa 10 mesi (a) modellare il processo ed individuare una legge (ricorsiva, esplicita e reale) che rappresenti il numero di malati P (t) dopo t mesi e disegnarne il grafico. (b) Secondo il modello, quanto tempo prima si puó presumere che l epidemia abbia avuto inizio? 3. Coca Cola. Una lattina standard di Coca Cola contiene 33 cl di liquido. Determinare le dimensioni (raggio di base e altezza del cilindro) che minimizzano la superficie totale della lattina e quindi la quantità di metallo necessario per la sua costruzione. 4. Terreno. Supponiamo che un terreno sia rappresentato dalla superficie sottesa dalla funzione f(x) = sin x nell intervallo [ 2, 2]. (a) Calcolare l area del terreno. (b) Calcolare l integrale di f(x) in [ 2, 2]. (c) Calcolare nel medesimo intervallo l integrale di f(x) + 3. 11

Perugia, 16 settembre 2010 1. Ingressi in piscina. Il costo di un ingresso in piscina è 7 euro. Un carnet di 10 ingressi costa 60 euro. L utente A acquista il biglietto ad ogni ingresso, mentre l utente B vuole risparmiare e sceglie l opzione carnet. (a) Disegnare nello stesso piano cartesiano i grafici che rappresentano la spesa f A (x), f B (x) rispettivamente dell utente A e B in funzione delle corse effettuate (da 0 corse a 30 corse). Cosa rappresentano le intersezioni dei due grafici? (b) Determinare la funzione costo medio f B (x) di ciascuna corsa se l utente B effettua x corse e disegnarne il grafico. 2. Pesci. La popolazione di una specie di pesci che occupa un piccolo laghetto montano è inizialmente di 45 unità e può raggiungere il numero di 900. La dimensione di tale popolazione è descritta dalla seguente legge 90000 P (t) = 100 + 1900e t dove t è espresso in anni. (a) Determinare il C.E., il segno e l intersezione con gli assi cartesiani della funzione P (t). (b) Calcolare e spiegarne i significati biologici. (c) Calcolare lim t 0 P (x) = lim t + P (x) = lim t P (x) = (d) determinare il codominio della funzione e tracciarne il grafico. 12

(e) Stabilire quanto tempo occorre perchè la popolazione raggiunga le 500 unità. 3. Scatola. Si vuole costruire una scatola di legno a base quadrata, della capienza di 54cm 3, con uno dei lati di vetro per permettere di controllare il contenuto senza aprire la scatola. Determinare le dimensioni che minimizzano il costo di produzione supposto che il rapporto tra i prezzi unitari del legno e del vetro è pari a 5/3. 4. Velocità. Il moto di un auto sia rappresentato dalla legge s(t) = 3 + 2t + 0.05t 2. Mostrare che la velocità media dell auto nell intervallo di tempo [2, 7] (rapporto incrementale) è la stessa della media delle sue velocità durante il viaggio (Teorema della media). 13