ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI: i 3 4 5 6 7 8 9 0 i 0. 8.5 3 0 9.5 7 9.8 8.6 8. bin (=.) 5-7. 7.-9.4 n k 3 n k 6 5 n=0 =. 9.4-.6 5 4.6-3.8 3 Numero di misure nell intervallo 0 0 4 6 8 0 4 6 8 30
ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI: i 3 4 5 6 7 8 9 0 i 0. 8.5 3 0 9.5 7 9.8 8.6 8. bin (=.) n k F k =n k /N 5-7. 7.-9.4 3 0. 0.3 F k 0.6 0.5 n=0 =. 9.4-.6 5 0.5 0.4.6-3.8 0. 0.3 0. Numero di Frequenza misure nell intervallo 0. 0.0 0 4 6 8 0 4 6 8 30
ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI: i 3 4 5 6 7 8 9 0 i 0. 8.5 3 0 9.5 7 9.8 8.6 8. bin (=.) 5-7. 7.-9.4 n k 3 F k =n k /N 0. 0.3 F k / 0.045 0.36 F k / 0.30 0.5 n=0 =. 9.4-.6.6-3.8 5 0.5 0. 0.7 0.045 0.0 0.0 Numero di Frequenza Densità di misure frequenza nell intervallo 0 4 6 8 0 4 6 8 30
ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI: F k / 0.30 0.5 n=0 =. 0.30 0.5 n=00 = 0.0 0.0 0.0 0.0 0 4 6 8 0 4 6 8 30 0 4 6 8 0 4 6 8 30 0.30 0.5 n=000 =0.5 0.0 0.0 0 4 6 8 0 4 6 8 30
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA: Funzione densità di probabilità: ) ( e f Funzione della varabile caratterizzata da due parametri: e gaussiana: f() ) ( ) ( 0 ) ( d f f f MAX
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA: 0.5 0. 0. u=0; sigma= 0 0 5 0 5 0 5 30 Al variare di varia la posizione della curva (traslazione lungo l asse )
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA: 0.5 0. 0. u=0; sigma= u=5; sigma= 0 0 5 0 5 0 5 30 Al variare di varia la posizione della curva (traslazione lungo l asse )
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA: 0.5 0. 0. u=0; sigma= u=5; sigma= u=0; sigma= 0 0 5 0 5 0 5 30 Al variare di varia la posizione della curva (traslazione lungo l asse )
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA: 0.5 0. 0. u=0; sigma= 0 0 5 0 5 0 Al variare di varia la larghezza della curva
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA: 0.5 0. 0. u=0; sigma= u=0; sigma=3 0 0 5 0 5 0 Al variare di varia la larghezza della curva
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA: 0.5 0. 0. u=0; sigma= u=0; sigma=3 u=0; sigma=5 0 0 5 0 5 0 Al variare di varia la larghezza della curva
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA: Significato della gaussiana nel caso di misure affette solo da errori casuali: corrisponde al valore vero che si vuole misurare è legata alla precisione sulla misura: minore è la larghezza della curva, migliore è la precisione della misura 3... N N i Nell ipotetico caso di un numero infinito di misure il i N N N valor medio risulta uguale al valore vero. Nel caso reale di un numero finito di misure, il valor medio è la miglior stima del valore vero. S N i ( N i ) ( N ) S Nell ipotetico caso di un numero infinito di misure la deviazione standard risulta uguale al parametro. Nel caso reale di un numero finito di misure, la deviazione standard è la miglior stima di.
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA: Significato della gaussiana nel caso di misure affette solo da errori casuali: a ciascun area sottesa dalla curva corrisponde un valore di probabilità 0.5 0.0 0.0 =0 ; = = 4 6 8 0 4 6 8 L area tratteggiata fornisce la probabilità di ottenere da una misura un valore che dista dal valore medio non più di una deviazione standard. Tale area è pari a circa 0.68. Quindi nel 68% dei casi, ci aspettiamo di trovare come risultato della misura un valore che dista meno di una deviazione standard dal valore vero
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA: Significato della gaussiana nel caso di misure affette solo da errori casuali: a ciascun area sottesa dalla curva corrisponde un valore di probabilità 0.5 0.0 =0 ; = = L area tratteggiata fornisce la probabilità di ottenere da una misura un valore che dista dal valore medio non più di due deviazioni standard. 0.0 4 6 8 0 4 6 8 Tale area è pari a circa 0.95. La probabilità di trovare il risultato della misura nell intervallo ±σ dal valore vero è quindi pari a circa il 95%.
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA: Significato della gaussiana nel caso di misure affette solo da errori casuali: a ciascun area sottesa dalla curva corrisponde un valore di probabilità 0.5 0.0 0.0 =t =0 ; = t= =t È possibile ricavare tale probabilità per qualsiasi intervallo, simmetrico o meno, utilizzando una tabella che fornisce le probabilità di trovare un valore in un generico intervallo simmetrico ±tσ centrato intorno al valore vero μ. 4 6 8 0 4 6 8
LA TABELLA DELLA GAUSSIANA: 0.5 0.0 0.0 t t 4 6 8 0 4 6 8 t ( )
LA TABELLA DELLA GAUSSIANA:
Esercizi Uno studente misura il diametro di una popolazione di 00 cellule, trovando come risultato per il valor medio: d medio = 8.03 ± 0.06 m Supponendo che la distribuzione dei valori sia di tipo gaussiano, trovare l intervallo [, ], simmetrico rispetto al valor medio, corrispondente alla probabilità dell 85% che una misura vi cada all interno. Dalla tabella relativa alla distribuzione gaussiana si trova che l intervallo dell 85% corrisponde ad un t =.44, Gli estremi dell intervallo si calcolano come: =t =t Dove il valore vero corrisponde al valor medio e la larghezza corrisponde alla deviazione standard Essendo noti il numero di misure e la deviazione standard della media, si ricava la deviazione standard come: S S N 0.060 0.6 E quindi: t S t S 8.03.440.6 7.7 8.03.440.6 8.89
Esercizi In un allevamento ci sono 3000 pecore il cui peso medio è di 45.5 ± kg. Se i pesi degli ovini sono distribuiti secondo una curva gaussiana, dare il numero N dei capi con peso compreso tra 43 e 48 kg e il numero N dei capi con peso inferiore a 55 kg La distribuzione del peso degli ovini è centrata sul valore medio 45.5 con deviazione standard pari a: S S N 3000 7.6 Per il calcolo di N si ha a che fare con un intervallo simmetrico [43-48] rispetto al valore medio 45.5. Per il calcolo della probabilità associata a tale intervallo si ricava dapprima il valore di t e poi si guarda la tabella della gaussiana: t S t S 43 48 45.5 t 7.6 45.5 t 7.6 45.5 43 t 0.33 7.6 48 45.5 t 0.33 7.6 Vi è quindi una probabilità del 5.86% che le pecore abbiano un peso tra 43 e 48 kg. Essendo le pecore totali 3000 ne consegue che: N 5.86 3000 00 5948 (segue)
Esercizi In un allevamento ci sono 3000 pecore il cui peso medio è di 45.5 ± kg. Se i pesi degli ovini sono distribuiti secondo una curva gaussiana, dare il numero N dei capi con peso compreso tra 43 e 48 kg e il numero N dei capi con peso inferiore a 55 kg Per il calcolo di N si ha a che fare con un intervallo NON simmetrico. Il numero di ovini con peso inferiore a 55 kg si trova andando a determinare dapprima il valore di t corrispondente a 55: 55 45.5 Dalla tabella della gaussiana, si trova che P(t=.5) = 78.37% e corrisponde t.5 all a probabilità di avere ovini con peso compreso tra 36 e 55 kg 7.6 0.06 0.04 0.03 0.0 0.0 5 0 5 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 0.06 0.04 0.03 0.0 0.0 5 0 5 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 Devo tuttavia considerare anche tutti gli ovini con peso inferiore ai 36 kg (coda a sinistra della curva). (segue)
Esercizi In un allevamento ci sono 3000 pecore il cui peso medio è di 45.5 ± kg. Se i pesi degli ovini sono distribuiti secondo una curva gaussiana, dare il numero N dei capi con peso compreso tra 43 e 48 kg e il numero N dei capi con peso inferiore a 55 kg E sufficiente ricordarsi che l area totale sottesa dalla gaussiana corrisponde al 00% 0.06 0.04 00 78.37 % La probabilità di avere un peso inferiore a 55 kg è quindi pari a : P 78.37 peso 55kg 50 89.85% 0.03 0.0 0.0 78.37% 5 0 5 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 Da cui il numero di pecore: : N 89.85 3000 00 053
Esercizi Una grandezza è distribuita normalmente attorno al valore 30 con deviazione standard pari a 3. Quale è la percentuale di misure che ci aspetta essere comprese tra 3 e 33? L intervallo considerato è un intervallo non simmetrico in cui entrambi gli estremi si trovano a destra del valore centrale della distribuzione: =t =t Sostituendo i valori degli estremi e, del valore medio e della deviazione standard si ricavano i due valori di t : t t 3 30 0.33 3 33 30 3 Dalla tabella della gaussiana si trova: P(t )= 5.86 % (figura A) e P(t )=68.7 % (figura B) (segue)
Esercizi Una grandezza è distribuita normalmente attorno al valore 30 con deviazione standard pari a 3. Quale è la percentuale di misure che ci aspetta essere comprese tra 3 e 33? Guardando le curve la probabilità associata all intervallo non simmetrico si ricava come: P P( t P( t 3 33.% ) )
Esercizi Sia data una distribuzione centrata intorno a 5 con larghezza sigma.3. Trovare: (a) l intervallo corrispondente alla probabilità del 68.7%; (b) La probabilità di trovare un valore compreso tra.9 e 5.5. t t a) La probabilità del 68.7% corrisponde all intervallo: [] Quindi: 5.3 3.7 5.3 6.3 b) L intervallo è non simmetrico. Calcolo i valori di t relativi ai due estremi: 5.9.38.3 5.5 5 0.385.3 Dalla tabella della gaussiana: P(t )= 98.7 % P(t )= 30 % 0.35 0.30 0.5 0.0 0.0 P(t) 0.35 0.30 0.5 0.0 0.0 0 3 4 5 6 7 8 9 30 0.35 0.30 0.5 0.0 0.0 P(t) (segue) 0 3 4 5 6 7 8 9 30 0 3 4 5 6 7 8 9 30
Esercizi Sia data una distribuzione centrata intorno a 5 con larghezza sigma.3. Trovare: (a) l intervallo corrispondente alla probabilità del 68.7%; (b) La probabilità di trovare un valore compreso tra.9 e 5.5. 0.35 0.35 0.30 0.5 P(t) / 0.30 0.5 P(t) / 0.0 0.0 0.0 0 3 4 5 6 7 8 9 30 0.0 0 3 4 5 6 7 8 9 30 Osservando le aree e sfruttando la simmetria della curva si trova: P P( t ) P( t.9 5.5 64% )