Matematica che terrorizza o affascina Emanuele Biolcati Dipartimento di Fisica dell Università di Torino Liceo Valsalice, Torino 1 febbraio 2011 Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 1 / 32
Introduzione Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 2 / 32
Il concetto di Infinito L infinito (dal latino finitus ), solitamente denotato dal simbolo, detto lemniscata) è la qualità di ciò che non ha limiti o che non può avere una conclusione perché appunto infinito, senza-fine. Un insieme A si dice infinito se ogni suo sottoinsieme finito è un sottoinsieme proprio. Una definizione alternativa è la seguente: un insieme A è infinito se esiste un applicazione biunivoca di A in un suo sottoinsieme proprio A. Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 3 / 32
Frattali: mostri della Matematica Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 4 / 32
Viaggio in un paese lontano Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 5 / 32
Definizione di Frattale Un frattale è un oggetto geometrico che si ripete nella sua struttura allo stesso modo su scale diverse, ovvero che non cambia aspetto anche se visto con una lente d ingrandimento. Insieme di Mandelbrot a n+1 = a 2 n + P 0 con a n, P 0 numeri complessi Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 6 / 32
Fiocco di Neve di Koch Cosa fa paura? Qualcosa di infinito dentro qualcosa di finito. L area rimane costante, ma il perimetro diventa Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 7 / 32
Triangolo di Serpinsky Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 8 / 32
Curva di Peano Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 9 / 32
Spugna di Menger Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 10 / 32
Dimensioni e applicazioni alla realtà Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 11 / 32
Il Concetto di Dimensione Quanto vale la dimensione (D) di un gomitolo di lana? da lontano, il gomitolo è un punto D = 0 avvicinandoci, ci sembra un disco D = 2 quando possiamo quasi toccarlo vediamo che è un pallina D = 3 se lo svolgiamo è un filo D = 1 al microscopio vedremmo la sua struttura D = 3 E per la Curva di Koch? dati due punti A e B appartenenti a tale curva, questi si trovano a distanza finita, ma la lunghezza del tratto di curva che li collega è infinita D 1 la superficie racchiusa tra i due punti ha area nulla D 2 non esiste alcun numero intero compreso tra 1 e 2 D =? Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 12 / 32
Dimensione Frattale Definizione Siano a il numero di segmenti che si sostituiscono a quello iniziale, s la lunghezza del segmento sostituito, allora la dimensione frattale e data da: D = log a log 1/s Esempio Per la Curva di Koch, a = 4 e s = 1/3, quindi D = log 4 = 1, 2168 log 3 Altri frattali Triangolo di Sierpinsky D = 1, 5849 Curva di Peano: D = 2 Spugna di Menger: D = 2, 7268 Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 13 / 32
Costa della Gran Bretagna Cerchio r = 500 km 12 righelli L = 3.106 km 24 righelli L = 3.133 km 48 righelli L = 3.139 km 96 righelli L = 3.141 km 192 righelli L = 3.141 km Costa britannica 13 righelli L = 2.600 km 38 righelli L = 3.800 km 107 righelli L = 5.778 km 320 righelli L = 8.640 km wikipedia L = 12.429 km D = 1, 70 D = 1, 25 Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 14 / 32
Guerra tra Spagna e Portogallo Chi vince la guerra? Regole del conflitto: 1 carro armato ogni 10 km, lungo il confine; vince chi ha il maggior numero di forze schierate sul campo. Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 15 / 32
Guerra tra Spagna e Portogallo (soluzione) Enciclopedia spagnola il confine misura 990 km 99 carri armati Enciclopedia portoghese il confine misura 1220 km 122 carri armati VINCE IL PORTOGALLO Se le enciclopedie riportassero la dimensione frattale, avrebbero avuto lo stesso valore e quindi la guerra si sarebbe risolta in altro modo! Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 16 / 32
Come giocare con questa Matematica Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 17 / 32
Triangolo di Tartaglia Attività per voi! Provate a costruire il Triangolo di Tartaglia, solo mettendo dei puntini per i numeri pari e dei quadretti pieni per i numeri dispari. Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 18 / 32
Triangolo di Tartaglia Attività per voi! Provate a costruire il Triangolo di Tartaglia, solo mettendo dei puntini per i numeri pari e dei quadretti pieni per i numeri dispari. Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 18 / 32
Chaos game Regole del gioco si prendano tre punti non allineati sul piano A,B e C e un altro punto P; si scelga a caso uno dei tre vertici (ad esempio tirando un dado); immaginiamo di scegliere B, si consideri il segmento che unisce il punto P con B e si disegni il punto medio di tale segmento; si ripeta l operazione appena descritta N volte. Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 19 / 32
Chaos game con P=(1,3) Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 20 / 32
Chaos game con P=(1,3) Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 20 / 32
Chaos game con P=(1,3) Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 20 / 32
Chaos game con P=(1,3) Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 20 / 32
Chaos game con P=(1,3) Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 20 / 32
Chaos game con P=(1,3) Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 20 / 32
Chaos game con P=(1,3) Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 20 / 32
Chaos game, cambiando P=(2,2) Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 21 / 32
Concetto di CAOS Un sistema dinamico si dice caotico se presenta le seguenti caratteristiche: 1 Sensibilità alle condizioni iniziali: a variazioni infinitesime degli ingressi corrispondono variazioni finite in uscita. 2 Imprevedibilità: non si può prevedere l andamento del sistema in anticipo. 3 Le orbite nello spazio delle fasi restano confinate, cioè il sistema non evolve verso l infinito per nessuna variabile. Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 22 / 32
Conclusione Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 23 / 32
Conclusione: Frattali e Natura Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 24 / 32
Conclusione: Frattali e Natura Perchè la geometria è spesso descritta come fredda e arida? Una ragione sta nella sua incapacità di descrivere la forma di una montagna, di una nuvola, di una costa o di un albero. Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, le coste non sono cerchi e la corteccia degli alberi non è liscia, né il fulmine viaggia in linea retta. L esistenza di questi modelli ci stimola a studiare quelle forme che Euclide aveva lasciato da parte giudicandole senza forma, per investigare la struttura dell amorfo. Benoit B. Mandelbrot Grazie per l attenzione. Emanuele Biolcati (1/2/2011) Matematica che terrorizza o affascina 25 / 32