Indcator sntetc: nfluenza della scelta della scala d msura Slva Terz, Luca Moron Unverstà RomaTre Introduzone Esstono n letteratura dvers metod per costrure ndcator sntetc. Il comune presupposto è una assunzone teorca crca la relazone matematca che lega l ndcatore sntetco alle varabl su cu s basa; tale assunzone comporta l ndvduazone d una funzone aggregatrce (somma, meda artmetca semplce o meda artmetca ponderata; pes ndvduat da espert o pes rcavat da dat stess), ed l pre-trattamento a cu sottoporre le varabl (elmnazone dell untà d msura, standardzzazone, trasformazone n rangh). L obettvo del pretrattamento e rendere omogene gl ndcator elementar al fne d poterl combnare n una sngola sere. Dverse combnazon d una funzone lnk e d funzon che permettano d trasformare le varabl d partenza n dat omogene produrranno ndcator sntetc dvers. Qualora l obettvo della sntes sa quello d ottenere una graduatora delle osservazon (come accade per esempo nelle classfche degl atene), pù che l valore dell ndcatore composto nteressa l ordnamento da esso ndotto sulle untà. E appunto n tale contesto che come trasformazone prelmnare de dat trova frequente utlzzo la trasformazone n rangh. Scopo del presente lavoro è vedere qual sono le conseguenze dell uso d questa trasformazone al confronto con le usual trasformazon lnear, sa per quanto rguarda la defnzone d un ndcatore sntetco, sa per quanto rguarda le graduatore che ne conseguono..trasformazon d varabl Il prmo passo nella costruzone d un ndcatore sntetco consste nel trasformare le varabl d partenza n ndcator semplc, admensonal e qund aggregabl. Per ragon che llustreremo tra breve vengono d solto preferte e trasformazon lnear qual la normalzzazone e la standardzzazone, anche se sta trovando mpego sempre pù dffuso anche la trasformazone n rangh. Posto che s vogla attrbure (o 00) all untà con la performance mglore, e che tale mglor performance s caratterzz come massmo tra valor osservat per la varable n questone, la trasformazone da utlzzare potrà essere: w x mn( x) max( x) mn( x) d( x,mn( x)) d(max( x),mn( x)) Vceversa, qualora la mglore performance concda con l mnmo tra valor osservat, la trasformazone sarà: w max( x) x d( x,mn( x)) max( x) mn( x) d(max( x),mn( x)) S tratta dell usuale normalzzazone, una trasformazone nvarante per traslazone, a range costante, che mantene le dstanze relatve tra le osservazon. Alternatvamente, volendo elmnare l untà d msura e rcondurre le varabl trasformate ad una dstrbuzone a varanza costante, possamo standardzzare le varabl. In partcolare, posto che la mglore performance s abba n corrspondenza del massmo tra valor osservat avremo : Il range (o campo d varazone) e defnto come la dfferenza: max(x) mn(x)
z x M ( x) s. q. m. qualora la performance a cu assegnare l valore pù alto tra quell assunt dall ndcatore (coè dalla varable trasformata) sa l mnmo avremo: z x M ( x) s. q. m. Anche questa trasformazone mantene le dstanze relatve tra le osservazon ed è nvarante per traslazone. Confrontamo le due trasformate w e z: entrambe traslano l orgne e modfcano la scala d msura della x, rconducendola ad una sere a varabltà prefssata. Nel caso d w, è par a l range della sere trasformata; nel caso d z è par a lo s.q.m. Sa l range che lo s.q.m. sono msure d scala, entrambe assa sensbl (poco resstent) a valor anomal della dstrbuzone (outlers). Il range, utlzzato nel calcolo d w, è drettamente sensble alle varazon de valor estrem della dstrbuzone, e qund agl outlers; lo scarto quadratco medo, utlzzato per z, lo e meno. Msure d varabltà meno sensbl agl outlers (e qund defnte resstent o robuste) sono date dalla medana degl scart assolut dalla medana (MAD) 3 e dalla dfferenza nterquartle (IQR) 4. La prma da luogo alla seguente trasformata (anch essa chamata MAD): m x Me( x) MAD Sulla seconda potremmo basarc per defnre la trasformata che abbamo chamato q 5, una versone robusta della normalzzazone: q q x Q Q Q 3 3 x Q Q Q Le trasformazon pù sensbl agl outlers, n presenza d valor anomal schaccano maggormente la dstrbuzone; vceversa, le trasformazon pù robuste premano (penalzzano) n msura relatvamente maggore le performances mglor (peggor). Dove con M (x) s e ndcata la meda artmetca e con s.q.m. lo scarto quadratco medo della varable x. 3 Sa Me(x) la medana della x; MAD e defnta come Me( x Me( x) ) 4 Sa Q l prmo quartle della dstrbuzone d x, e sa Q 3 l terzo; la dfferenza nterquartle (IQR) è defnta come IQR. Q 3 Q 5 Abbamo scelto d centrare la trasformata q sul prmo quartle, per rcalcare l pù possble la normalzzazone con un ndcatore che nella parte centrale della dstrbuzone vara tra 0 e. Avremmo del tutto equvalentemente potuto defnre q * x Me( x) Q3 Q
La trasformata rango, che a dfferenza delle precedent è una trasformazone non lneare, rconduce qualunque dstrbuzone con o senza valor anomal o eccezonal ad una progressone artmetca. Modfca qund la forma della dstrbuzone e le dstanze/proporzon tra untà. Consderamo ora l esempo seguente allo scopo d confrontare le caratterstche delle quattro trasformazon lnear con la trasformata rango. S sano rlevate le seguent n = 5 osservazon su due varabl, per le qual valor pù alt corrspondono a performance mglor: sere_ sere_ 5 0 0 4 5 3 0 5 Entrambe le sere sono n progressone artmetca, eccezon fatta per la presenza d un outler nella seconda; le untà sono ordnate n senso crescente sulla prma e decrescente sulla seconda. Sottoponamo entrambe le sere a dvers pre-trattament espost sopra, nell ordne: rangh r, normalzzazone w, standardzzazone z, trasformata MAD m e trasformata IQR q. sere_ r_ w_ z_ m_ q_ 5 5 0,00 -.4 - -0.5 0 4 0,5-0.7-0 5 3 0,50 0.00 0 0.5 0 0,75 0.7 5,00.4.5 La prma sere produce trasformate smmetrche ed equspazate, che rsultano per molt aspett equvalent l una all altra. sere_ r_ w_ z_ m_ q_ 0,00.90 7 4 4 0,33 0.00 3 3 0, -0.3 0 0.5 4 0, -0.63-0 5 0,00-0.95 - -0.5 Le trasformate della seconda sere sono marcatamente dverse tra loro oltreché da quelle della prma sere, a causa del dverso effetto ndotto dalla presenza d un valore anomalo. In partcolare, le trasformate rango della prma e della seconda sere sono dentche, per quanto opposte: la presenza dell outler non vene percepta n nessun modo. Rspetto alla prma, la seconda sere normalzzata presenta valor pù schaccat verso l basso per le untà ntermede, a causa del fatto che alla mglore performance vene attrbuto comunque un punteggo untaro. Un analogo schaccamento delle osservazon emerge anche dal confronto tra le due sere standardzzate, dove però la presenza dell outler comporta l attrbuzone d un premo alla prestazone eccezonale. Nella
trasformata MAD ed n quella IQR s ha un premo notevole per la mglor performance, mentre valor attrbut alle altre untà sono ugual ed oppost a quell che s erano osservat nella prma sere. Il problema della sntes La costruzone d un ndcatore sntetco (cfr. ad esempo Aello e Attanaso (004)), può essere vsta come l rsultato d due moment dstnt: ndvduazone d funzon che permettano d trasformare le varabl d partenza n dat omogene (ndcator semplc) e scelta d una funzone che applcata a dat omogene fornsca una msura dell ndcatore composto. Entramb quest moment concorrono alla defnzone della relazone matematca che lega l ndcatore composto alle varabl su cu s basa. Ad esempo, la scelta d una funzone lnk lneare addtva (quale la somma o la meda artmetca semplce) equvale all assunzone d uguale peso degl ndcator semplc nella determnazone dell ndcatore composto; l peso delle sngole varabl sarà determnato dalla trasformazone utlzzata. Vceversa, qualora alcune varabl vengano trasformate medante rangh, la relazone che le lega all ndcatore sntetco non rsulta defnble n termn analtc. Scopo del presente paragrafo e delneare un contesto formale adeguato allo studo della sensbltà dell ndcatore composto alle trasformazon utlzzate (s veda anche Terz, Moron (004)). Esso pogga sull esplctazone della funzone che lega l ndcatore composto alle varabl X,,, K su cu s basa, nell potes che sano sottoposte a trasformazon lnear. In tal caso, prendendo come funzone lnk la somma e ndcando con P la varable (ndcatore composto) punteggo fnale, sarà: P X X K X K Per esplctare ulterormente la formula precedente s ndch con n l numero d untà, con valore dell ndcatore sntetco per l -esma untà e con N, gl ndcator semplc: P l N, a x, b,,, n,, K Sarà qund: P K N K K K, a x, b x, L nfluenza delle varabl X sull ndce sntetco P è msurata dal coeffcente, a sua volta determnato dal tpo d trasformazone lneare utlzzata. Vceversa K coeffcent b non nfluscono né sull ordnamento delle untà né sulle loro dstanze n termn dell ndce sntetco P. Una possble chave nella scelta d a (e qund delle trasformazon da utlzzare) sta nel fatto che tale coeffcente nfluenza la varabltà dell ndcatore semplce, e qund l suo peso nel determnare la varabltà dell ndce sntetco.
I coeffcent ad esse assocate sono 6 : z a s. q. m.( X ) nel caso della standardzzazone, MAD, ed nfne per la trasformata q avremo q w a range( X ) nel caso della normalzzazone; m a IQR ( X a MAD( X ) nel caso della trasformata ) Il range è drettamente sensble alle varazon de valor estrem della dstrbuzone; lo scarto quadratco medo lo e meno, mentre la medana degl scart assolut dalla medana e la dfferenza nterquartle non lo sono affatto. Questo sgnfca che le dstrbuzon senza outlers peseranno pù delle dstrbuzon con outlers sa ne puntegg assegnat sulla base delle normalzzazon che n quell basat sulle varabl standardzzate. Ma, pù n generale, le dstrbuzon con maggore varabltà (sa essa msurata dal range, dallo s.q.m., dal MAD o dalla dfferenza nterquartle) peseranno meno sulla dstrbuzone de ratng fnal delle varabl con mnore varabltà. Vceversa, qualora l punteggo fnale sa ottenuto per aggregazone d rangh, non è possble defnre n termn d coeffcent d proporzonaltà l peso delle sngole varabl: questo rende la trasformazone rango, n congunzone con una funzone lnk lneare addtva, meno approprata (cfr Aello F., Attanaso M., 004). Inoltre, nella trasformazone rango, performances buone e performances eccezonal vengono poste sullo stesso pano, e le varabl trasformate ( rangh delle dverse varabl) hanno tutte lo stesso peso, quale che sa l range o la varanza delle varabl orgnal. Cò rende sngol ndcator elementar perfettamente sosttubl: avere la mglor performance a par merto con altre 0 untà, oppure averla dstanzando anche d pù d metà range la seconda mglore prestazone dà luogo ad un dentco apprezzamento ne termn del punteggo fnale. Rprendendo l esempo delle due sere d dat, abbamo: r_ r_ r w_ w_ w z_ z_ z 5 6 0.00.00.00 -.4.90 0.48 4 6 0.5 0.33 0.58-0.7 0.00-0.7 3 3 6 0.50 0. 0.7 0.00-0.3-0.3 4 6 0.75 0. 0.86 0.7-0.63 0.07 5 6.00 0.00.00.4-0.95 0.47 m_ m_ m q_ q_ q - 7 5-0.5 4 3.5-0 0 0 0 0 0.5 0.5-0 0-0.5-0.5 Tutte e quattro le sere d puntegg concordano nel dare l prmo posto all untà. Tuttava per puntegg basat su rangh s tratta d un prmo posto a par merto con tutte le altre untà; per l punteggo basato sulla normalzzazone s tratta d un par merto con la qunta untà. Nel caso della standardzzazone, la prma untà rceve un modesto premo che la porta a superare d poco la qunta. 6 A meno della costante sono queste le trasformate proposte, tra gl altr, da Attanaso e Capurs (997)
Al contraro, per la trasformata MAD e la trasformata IQR s tratta d un punteggo eccezonalmente alto. E altresì nteressante notare come per la normalzzazone e la standardzzazone l ordnamento nterno delle untà dalla alla 5 secondo la seconda sere venga cancellato dalla compressone dell ndcatore dovuta alla presenza dell outler. 3.Confront tra graduatore Spesso l obettvo della sntes d ndcator non e tanto quello d studare la dstrbuzone dell ndcatore sntetco, bensì d ottenere una graduatora (classfca) delle untà statstche. In tal caso fare una classfca sulla base non de puntegg ma delle classfche parzal sulle sngole varabl sembra forse la strada pù ovva. Il confronto con altr metod d trasformazone delle varabl nzale andrà fatto sulla base delle classfche fnal (rankngs) anzchè sulla base de puntegg (ratngs). A scopo esemplfcatvo abbamo consderato le dec varabl che Il Sole 4 Ore utlzza per stlare la classfca degl atene talan ed abbamo confrontato le dverse classfche (qu d seguto ndcate con R(.)) ndotte da puntegg rsultant dall adozone rspettvamente della trasformata rangh, della normalzzazone, della standardzzazone, della trasformata MAD e d quella basata sulla dfferenza nterquartle. (I dat possono trovars su Il sole4 Ore del 8 luglo 0). Per agevolare confront, tutt puntegg fnal sono stat normalzzat assegnandogl range 0-00. La tabella che segue rporta rsultat delle nostre elaborazon: ateneo r w z m q R(r) R(w) R(z) R(m) R(q) ancona poltecnco 77.3 66.7 66.5 65. 64.8 0 bar 39. 36.9 37.7 37.0 36.3 39 4 4 4 4 bar poltecnco 57. 55. 57. 57.7 57.8 5 9 5 6 benevento 37.5 38.0 40.0 4.4 40.0 4 39 36 35 36 bergamo 45.4 39.4 38.6 39.4 40.7 3 37 40 36 35 bologna 60.0 55.8 55. 53.3 5.7 0 3 bresca 65.3 56.6 57. 57. 58. 5 7 8 7 4 caglar 3. 7.4 9.5 30. 9.8 46 46 46 45 45 calabra 44.7 45.9 46.8 45. 44.0 34 3 30 3 3 camerno 58.8 50.6 50.8 50.0 49.4 3 5 5 5 5 campobasso 38.9 39.8 39.3 38. 37.7 40 36 38 40 38 cassno 3.4 3.8 4. 3.6 3.4 55 5 54 53 53 catana 4. 4.5 43.6 44. 44.0 37 35 34 3 33 catanzaro 9.5 9.8 9.9 8.9 8.6 48 44 45 46 46 chet 44.7 44.3 40.8 38.3 39.0 34 33 35 39 37 ferrara 8.7 73.8 7.0 69. 68.5 6 6 8 8 8 frenze 6. 5.3 53.5 54.0 53.0 9 4 3 0 fogga 3.8 5.6 6. 4.4.5 44 50 5 5 54 genova 57.4 49.8 49.8 49.3 48.8 4 6 6 6 6 l'aqula 34.9 35.4 33.9 3.9 3.4 4 4 4 43 43 lecce 30.4 5.4 7. 8.3 7.6 47 5 50 47 47 macerata 8.3 7. 7.4 6.6 6.9 49 48 49 50 49 messna 6.7 3.6 4.4 3..0 5 53 53 55 55 mlano 49.9 46.3 46.6 46.8 47.5 30 3 3 9 8 mlano bcocca 56.4 53.3 5.8 5.5 53.0 6 3 4 3 mlano poltecnco 00.0 00.0 00.0 00.0 00.0 modena reggo e 86.4 7. 7. 70. 69.5 3 8 7 7 7 napol federco II 45.7 4. 43.9 43.8 43. 3 34 33 34 34 napol II unverstà 43.8 38. 39.6 38.6 37.3 36 38 37 37 40
ateneo r w z m q R(r) R(w) R(z) R(m) R(q) napol orentale 6.5.7 3.3 3.3 4. 5 55 55 54 5 napol partenope 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 58 58 58 58 58 padova 85.5 76.0 75.7 73.9 7.6 4 3 3 3 3 palermo 7.8 7. 9.5 9.6 9.3 57 57 57 57 57 parma 60.9 55.0 53.6 5.6 5.6 4 4 pava 83.6 74.8 73.9 7. 7.5 5 4 4 5 4 peruga 7.4 68.3 68.7 68.5 67.0 0 0 9 0 pemonte orentale 67.9 59. 59. 58.4 57.3 4 4 4 4 7 psa 64.4 56.5 57. 56.5 56.4 6 8 7 8 8 potenza 39.3 37.9 39. 38.6 37.7 38 40 39 38 39 reggo calabra 7.9 5.9 8. 7.6 5.7 50 49 47 48 50 roma sapenza 33.7 3.4 3.6 3. 3. 43 43 43 4 4 roma tor vergata 55.0 46.5 47.7 47.3 45.7 7 30 8 8 9 roma tre 3.7 7.3 7.5 7. 7.3 54 47 48 49 48 salerno 3.4 9.6 3.5 3. 30. 45 45 44 44 44 sassar 4..9 5.5 5.8 4.9 53 54 5 5 5 sena 70.7 67.4 66.4 63.5 6. 3 3 3 teramo 0.4 9.7 0.4 0. 9.4 56 56 56 56 56 torno 54.3 47.6 47.8 48.0 47.8 8 8 7 7 7 torno poltecnco 94. 94. 94.0 93.5 9.6 trento 80. 73.8 73. 7.3 7.0 7 7 5 4 5 treste 6.8 56. 55.5 53.9 53.3 8 9 0 0 udne 78.9 64.5 65.0 64. 63. 8 3 3 urbno 44.7 47.5 45.9 44. 44.4 33 9 3 33 3 varese nsubra 63.7 58.5 58.3 57.4 58. 7 6 5 6 5 veneza 6.8 58.6 57.8 56.0 55.5 0 5 6 9 9 veneza uav 78.7 70.4 69.3 67.9 67.7 9 9 9 0 9 verona 50. 48. 47.0 45.7 45.3 9 7 9 30 30 vterbo 7. 74.5 73. 7.8 70.5 5 6 6 6 Come s vede le dverse classfche presentano dfferenze anche sgnfcatve. Al fne d confrontare pù da vcno le dfferenze e valutare le dstanze tra le dverse classfche, cerchamo nnanztutto una graduatora da poter consderare centrale rspetto alle altre. Introducamo, per ogn graduatora, due dverse msure d centraltà. La prma msura d centraltà (C ) è data dal numero d volte n cu la graduatora assegna l rango medano tra le cnque graduatore, coè a quante untà assegna un rango ntermedo tra rangh assegnat dalle dverse classfche; pù n partcolare per ogn untà calcolamo la medana de rangh, e po contamo quante volte tal medane appartengono alla classfca basata su r, w, z, m e q. Una seconda msura questa volta d decentraltà - (C ) somma per cascuna classfca gl scart n modulo da rangh medan che abbamo appena defnto (uno per cascuna untà). I rsultat sono rportat nella seguente tabella, n cu s vede charamente che entrambe queste msure d ndvduano come pù centrale la classfca R(z), e come pù estrema R(r). r w z m q C 6 5 40 3 35 C 97 56 8 36 38
massmo e mnmo scarto La centraltà della trasformata z s può anche vedere dal seguente grafco. Le due spezzate rappresentano per cascuna untà rspettvamente l massmo salto postvo ed l massmo salto negatvo da R(z) delle altre quattro graduatore. Le untà sono ordnate secondo la graduatora R(z). S vede charamente che R(z) è quas sempre nterna a questa banda, e coè ntermeda. Massmo e mnmo scarto da R(z) 9 8 7 6 5 4 3 0 - - -3-4 -5-6 -7-8 -9 9 40 8 30 38 34 35 3 6 50 53 4 7 37 58 57 4 4 39 43 48 5 56 0 3 6 9 R(z) Nella tabella seguente rportamo nvece salt delle dverse classfche rspetto alla classfca R(z), e la somma de salt n modulo. Quest ultma (cfr Pagnotta, 003) può essere consderata una msura d dstanza tra graduatore. ateneo R(z) R(z)-R(r) R(z)-R(w) R(z)-R(m) R(z)-R(q) ancona poltecnco - 0 0 bar 4 0 0 0 bar poltecnco 9-6 - 4 3 benevento 36-5 -3 0 bergamo 40 8 3 4 5 bologna - - - bresca 8 3 4 caglar 46 0 0 calabra 30-4 - - - camerno 5 0 0 0 campobasso 38 - - 0 cassno 54 - catana 34-3 - catanzaro 45-3 - -
ateneo R(z) R(z)-R(r) R(z)-R(w) R(z)-R(m) R(z)-R(q) chet 35-4 - ferrara 8 0 0 frenze 3 4-3 fogga 5 7 - -3 genova 6 0 0 0 l'aqula 4 0 0 - - lecce 50 3-3 3 macerata 49 0-0 messna 53 0 - - mlano 3 0 3 mlano bcocca 4 - mlano poltecnco 0 0 0 0 modena reggo e 7 4-0 0 napol federco II 33 - - - napol II unverstà 37-0 -3 napol orentale 55 3 0 3 napol partenope 58 0 0 0 0 padova 3-0 0 0 palermo 57 0 0 0 0 parma 0 - - pava 4-0 - 0 peruga 0-0 0 pemonte orentale 4 0 0 0-3 psa 7 - - - potenza 39-0 reggo calabra 47-3 - - -3 roma sapenza 43 0 0 roma tor vergata 8-0 - roma tre 48-6 - 0 salerno 44 - - 0 0 sassar 5 - - sena - - - teramo 56 0 0 0 0 torno 7 - - 0 0 torno poltecnco 0 0 0 0 trento 5 - - 0 treste 0-0 udne 3 5 0 urbno 3-3 - varese nsubra 5 - - - 0 veneza 6-4 -3-3 veneza uav 9 0 0-0 verona 9 0 - - vterbo 6-5 0 0 Somma delle dfferenze n modulo 7 54 60 64 Tal valor vengono rportat ne seguent grafc. Nel prmo sono rportate le dfferenze d R(r) e R(w) rspetto a R(z), coè delle due classfche pù dstant, nel secondo le dfferenze d R(m) ed R(q) da R(z).
Scart da R(z) Scart da R(z) Dfferenze tra le classfche basate su r e w con R(z) 9 8 7 R(z)-R(r) R(z)-R(w) 6 5 4 3 0 - - -3-4 -5-6 -7-8 -9 3 5 7 9 3 5 7 9 3 5 7 9 3 33 35 37 39 4 43 45 47 49 5 53 55 57 R(z) Dfferenze tra le classfche basate su q e m con R(z) 9 8 7 R(z)-R(q) R(z)-R(m) 6 5 4 3 0 - - -3-4 -5-6 -7-8 -9 3 5 7 9 3 5 7 9 3 5 7 9 3 33 35 37 39 4 43 45 47 49 5 53 55 57 59 R(z)
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