TEORIA DELLA PROBABILITÀ II

TEORIA DELLA PROBABILITÀ II Diprtimento di Mtemti ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive Versione [14-15]

Indie 1 Clolo omintorio 1 1.1 Introduzione............................................ 1 1.2 Permutzioni........................................... 1 1.3 Disposizioni Semplii....................................... 2 1.4 Disposizioni on Ripetizione................................... 3 1.5 Cominzioni........................................... 4 1.5.1 Coeffiienti Binomili.................................. 6 1.5.2 Formul del Binomio di Newton............................ 6 1.6 Conlusione ed esempi riepilogtivi............................... 7 1.7 Eserizi riepilogtivi....................................... 8 I Contriuti 10 [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

Cpitolo 1 Clolo omintorio 1.1 Introduzione Il Clolo Comintorio è quell prte dell mtemti he determin e ont i rggruppmenti he si possono formre on k oggetti di un insieme finito di n oggetti seguendo, di volt in volt, regole definite priori. Tli rggruppmenti si possono, inftti, ostruire tenendo onto di lune rtteristihe he li denotno. Essi possono vrire per: omposizione, ioè per i diversi oggetti he vi fnno prte; ordine, ioè per l divers posizione oupt dgli oggetti; ripetizione, ioè per l possiilità he un oggetto ompi più volte. 1.2 Permutzioni Esempio 1.2.1. Dto l insieme A {,, }, qunti sono i modi in ui possimo riempire 3 selle usndo gli elementi di A? Se è il primo elemento dell tern, i sono 2 possiilità per riempire le selle suessive:,, e,, ; llo stesso modo, se il primo elemento è (oppure ) si ottengono le terne,, e,, (oppure,, e,, ). Shemtimente: In definitiv i sono 6 modi diversi di riempire le 3 selle usndo gli elementi di A:,,,, [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

1.3 Disposizioni Semplii 2 Definizione 1.2.1. Diremo Permutzioni Semplii di n oggetti i rggruppmenti he si possono fre on gli n oggetti presi n n; due permutzioni differisono tr loro solo per l ordine. Volendo ontre le permutzioni, immginimo di dover riempire n selle on gli n oggetti: imo n modi diversi per riempire l prim sell, ne rimngono solo (n-1) per l seond, (n-2) per l terz,..., solo uno per l ultim. Complessivmente i srnno n (n 1) (n 2)... 3 2 1 modi diversi per riempire le n selle. Indindo on P n il numero delle permutzioni, imo: P n n (n 1) (n 2)... 3 2 1 Il numero n (n 1) (n 2)... 3 2 1 è himto n fttorile, il suo simolo è n! e per onvenzione 0!1 e 1!1. Inoltre, lo studente ttento noterà filmente he dll definizione segue he Periò possimo nhe srivere: n! n (n 1)! P n n (n 1) (n 2)... 3 2 1 n! n N Esempio 1.2.2. Dto l insieme A {, m, o, r}, qunte prole (nhe prive di signifito) si possono formre utilizzndo un sol volt gli elementi di A? Se è l prim letter dell prol, i sono 3 possiilità per segliere l seond, ne restno 2 per segliere l terz e solo un per ompletre l prol: mor, mro, omr, orm, rmo, rom; llo stesso modo, se l prim letter è m si ottengono le prole mor, mro, mor, mor, mro, mro; llo stesso modo, se l prim letter è o si ottengono le prole omr, orm, omr, omr, orm, orm; llo stesso modo, se l prim letter è r si ottengono le prole rmo, rom, rmo, rmo, rom, rom; In definitiv i sono 24 ioè P 4 4! 4 3 2 1 prole diverse formte on gli elementi di A. Eserizio 1.2.1. In qunti modi diversi 5 mii ptentti possono prendere posto in un mhin omologt per 5? Eserizio 1.2.2. In qunti modi diversi 6 psseggeri possono sedersi in un fil di 6 posti di un ereo? 1.3 Disposizioni Semplii Esempio 1.3.1. Dto l insieme A {,, }, qunti sono i modi in ui possimo riempire 2 selle usndo gli elementi di A? Se è il primo elemento dell oppi, i sono 2 possiilità per riempire l sell suessiv:, e, ; llo stesso modo, se il primo elemento è (oppure ) si ottengono le oppie, e, (oppure, e, ). Shemtimente: [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

1.4 Disposizioni on Ripetizione 3 In definitiv i sono 6 modi diversi di riempire le 3 selle usndo gli elementi di A:,,,, Definizione 1.3.1. Diremo Disposizioni Semplii di n oggetti presi k k i rggruppmenti he si possono fre on k degli n oggetti; due disposizioni differisono tr loro per lmeno un oggetto oppure per l ordine. Volendo ontre le disposizioni semplii, immginimo di dover riempire k selle on gli n oggetti: imo n modi diversi per riempire l prim sell, ne rimngono solo (n-1) per l seond, (n-2) per l terz,..., (n-k+1) per l k-esim. Complessivmente i srnno n (n 1) (n 2)... (n k + 1) modi diversi per riempire le k selle. Indindo on D n,k il numero delle disposizioni semplii, imo: D n,k n (n 1) (n 2)... (n k + 1) n, k N, k n Lo studente ttento noterà he d qunto visto finor si ottiene filmente he: D n,k n! (n k)! Esempio 1.3.2. Dto l insieme A {, m, o, r}, qunte prole (nhe prive di signifito) si possono formre utilizzndo un sol volt 2 degli elementi di A? Se è l prim letter dell prol, i sono 3 possiilità per segliere l seond e quindi ompletre l prol: m, o, r, ; llo stesso modo, se l prim letter è m si ottengono le prole m, mo, mr; llo stesso modo, se l prim letter è o si ottengono le prole o, om, or; llo stesso modo, se l prim letter è r si ottengono le prole r, rm, ro. In definitiv i sono 12 ioè D 4,2 4 3 prole diverse formte on 2 degli elementi di A. Eserizio 1.3.1. In qunti modi diversi 5 mii possono sedersi sui 3 posti lieri di un inem per ssistere ll proiezione di un film (onsiderimo diversi due modi he differisono per l ordine)? Eserizio 1.3.2. In qunti modi si possono determinre pssword diverse prendendo 4 elementi distinti dll insieme A {1, 2, 3, 4, x, y}? 1.4 Disposizioni on Ripetizione Esempio 1.4.1. Dto l insieme A {, }, qunti sono i modi in ui possimo riempire 3 selle usndo gli elementi di A nhe ripetuti più volte? Se è il primo elemento dell tern, le possiilità per riempire le due selle suessive sono:,,, ; llo stesso modo, se il primo elemento è si ottengono le terne,,,. Shemtimente: [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

1.5 Cominzioni 4 In definitiv i sono 8 modi diversi di riempire le 3 selle usndo gli elementi di A:,,,,,,, Definizione 1.4.1. Diremo Disposizioni on Ripetizione di n oggetti presi k k i rggruppmenti he si possono fre on k degli n oggetti; due disposizioni on ripetizione differisono tr loro per lmeno un oggetto oppure per l ordine e uno stesso oggetto può essere ripetuto fino k volte. Volendo ontre le disposizioni on ripetizione, immginimo di dover riempire k selle on gli n oggetti: imo n modi diversi per riempire l prim sell, nor n modi diversi per l seond, n modi diversi per l terz,..., n modi nhe per l k-esim. Complessivmente i srnno n k modi diversi per riempire le k selle. Indindo on D n,k il numero delle disposizioni on ripetizione, imo: D n,k n k n, k N Osservzione. Si noti he mentre per lolre il numero delle disposizioni semplii deve essre k n, per le disposizioni on ripetizione k è un nturle qulsisi. Esempio 1.4.2. Dto l insieme A {, m, o, r}, qunte prole (nhe prive di signifito) si possono formre utilizzndo nhe ripetuti 2 degli elementi di A? Se è l prim letter dell prol, i sono 4 possiilità per segliere l seond e quindi ompletre l prol:, m, o, r, ; llo stesso modo, se l prim letter è m si ottengono le prole m, mm, mo, mr; llo stesso modo, se l prim letter è o si ottengono le prole o, om, oo, or; llo stesso modo, se l prim letter è r si ottengono le prole r, rm, ro, rr. In definitiv i sono 16 ioè D 4,2 4 2 prole diverse formte on 2 degli elementi di A nhe ripetuti. Eserizio 1.4.1. In qunti modi diversi si possono disporre i simoli 1, X, 2 sulle 13 olonne di un shedin del totolio? Eserizio 1.4.2. In qunti modi si possono determinre pssword diverse prendendo 4 elementi nhe ripetuti dll insieme A {1, 2, 3, 4, x, y}? 1.5 Cominzioni Esempio 1.5.1. Dto l insieme A {,, }, qunti sono i modi in ui possimo riempire 2 selle usndo gli elementi di A indipendentemente dl loro ordine? Ovvero, i stimo hiedendo qunti sottoinsiemi di 2 elementi possimo formre. Se è il primo elemento dell oppi, i sono 2 possiilità per riempire l sell suessiv:, e, ; se, invee, il primo elemento è si ottiene solo l oppi, perhè l oppi, equivle ll oppi, già trovt; se, invee, il primo elemento è non è nessun ltr oppi he non equivlg un delle preedenti. Shemtimente, ostruimo dpprim tutte le possiili oppie di 2 elementi riservndoi di eliminre suessivmente i doppioni ioè le oppie equivlenti in qunto differenti solo per l ordine: [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

1.5 Cominzioni 5 In definitiv i sono 3 modi diversi di riempire le 2 selle usndo gli elementi di A indipendentemente dl loro ordine:,, Definizione 1.5.1. Diremo Cominzioni Semplii di n oggetti presi k k i rggruppmenti he si possono fre on k degli n oggetti indipendentemente dl loro ordine; due ominzioni differisono tr loro per lmeno un oggetto. Volendo ontre le ominzioni semplii, ontimo dpprim le disposizioni semplii di n oggetti presi k k e poi per eliminre i doppioni dividimo per il numero delle permutzioni di k oggetti. Indindo on C n,k il numero delle ominzioni semplii, imo: C n,k D n,k n (n 1) (n 2)... (n k + 1) P k k! n, k N, k n n (n 1) (n 2)... (n k + 1) Il numero è himto oeffiiente inomile, si legge n sopr ( ) k! ( ) n n k, il suo simolo è e per onvenzione 1. k 0 Periò possimo nhe srivere: Osservzione. Si noti he nell formul C n,k ( n k C n,k D n,k n (n 1) (n 2)... (n k + 1) P k k! il numero dei fttori numertore è k ome quelli presenti nel denomintore: kfttori { }} { C n,k D n,k n (n 1) (n 2)... (n k + 1) P k k (k 1) (k 2)... 1 } {{ } kfttori Esempio 1.5.2. Un gruppo di 6 mii, Alessndro, Enrio, Fio, Giorgio, Mtteo e Rirdo vogliono ndre l inem m hnno solo 4 iglietti; in qunti modi diversi possono segliere i 4 fortunti? ) In questo so non è possiile he i sino delle ripetizioni e l ordine è indifferente. Se Alessndro è il primo fortunto, i sono 10 possiilità per ompletre il gruppo: usndo le inizili dei rgzzi vremo AEF G, AEF M, AEF R, AEGM, AEGR, AEMR, AF GM, AF GR, AF MR, AGMR se, invee, Alessndro st s ed Enrio è il primo dell list, i sono 4 possiilità per ompletre il gruppo: EF GM, EF GR, EF MR, EGMR infine se Alessndro ed Enrio rinunino, l uni possiilità è F GMR. In definitiv i sono 15 ioè C 6,4 D 6,4 6 5 4 3 P 4 4! ndre l inem. 6 5 4 3 15 gruppi diversi he possono 4 3 2 1 [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

1.5 Cominzioni 6 Eserizio 1.5.1. In qunti modi diversi 5 mii possono utilizzre 3 iglietti per ssistere d un prtit di lio? Eserizio 1.5.2. Qunte rtelle isogn giore l Lotto per essere siuri di vinere un terno? 1.5.1 Coeffiienti Binomili Aimo detto sopr he il numero delle ominzioni di n oggetti presi k k è ( ) n C n,k k voglimo pprofondire or luni spetti e proprietà di tli oeffiienti inomili. Dll definizione ( ) n n (n 1) (n 2)... (n k + 1) k k! segue immeditmente he ( n 1 ) n e ( n n Dimostrimo, inoltre, le due proprietà seguenti: ( ) n n! P 1 ) k k!(n k)! ( ) ( ) n n P 2 ) k n k ) 1 Dim. P 1 ) prtendo dl seondo memro dell uguglinz d dimostrre, si h: n! n (n 1) (n 2)... (n k + 1) (n k) (n k 1)... 2 1 k!(n k)! k!(n k)! n (n 1) (n 2)... (n k + 1) k! vendo semplifito numertore e denomintore per (n k)!. Dim. P 2 ) prtendo dl seondo memro dell uguglinz d dimostrre, si h: n (n 1) (n 2)... (n (n k) + 1) n (n 1) (n 2)... (k + 1) n (n 1) (n 2)... (k + 1) k! (n k)! (n k)! (n k)!k! n! k!(n k)! vendo moltiplito numertore e denomintore per k! e usto l preedente proprietà. 1.5.2 Formul del Binomio di Newton Teorem 1.5.1. Dti due numeri reli, e un numero nturle non nullo n, vle l seguente uguglinz n ( ) ( + ) n n n k k k k0 [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

1.6 Conlusione ed esempi riepilogtivi 7 Dimostrzione. Osservimo dpprim he ( + ) n ( + ) ( + )... ( + ) } {{ } nfttori è un polinomio omogeneo di grdo n, ostituito d monomi l ui prte letterle è n, n 1, n 2 2,..., 2 n 2, n 1, n ; il prolem è individurne ( i rispettivi ) oeffiienti. n Il oeffiiente di n k k è perhè i modi diversi di moltiplire n k fttori uguli d on k k fttori uguli prendendoli d isuno degli n fttori uguli d ( + ) sono le ominzioni di n n (n 1) (n 2)... (n k + 1) oggetti presi k k, ioè C n,k. k! Lo studente ttento noterà l identità tr i oeffiienti del tringolo di Trtgli e i oeffiienti inomili. 1.6 Conlusione ed esempi riepilogtivi All inizio del pitolo i ervmo proposti di determinre e ontre i rggruppmenti he si possono formre on k oggetti di un insieme finito di n oggetti. Arrivti questo punto risult hiro he i sono diversi modi di proedere: se voglimo prendere tutti gli n oggetti e mirne solo l ordine, llor ottenimo le permutzioni; se voglimo prendere solo k degli n oggetti, senz ripeterli, onsiderndo diversi i rggruppmenti in ui l ordine è mito, ottenimo le disposizioni semplii; se voglimo prendere k oggetti, nhe ripetetendoli, pesndoli fr gli n oggetti dti, onsiderndo diversi i rggruppmenti in ui l ordine è mito, ottenimo le disposizioni on ripetizione; se voglimo prendere solo k degli n oggetti, senz ripeterli, non ontndo l ordine in ui gli oggetti sono disposti, ottenimo le ominzioni. Esempio 1.6.1. Qunte sono le inquine he ontengono un determinto terno nel gioo dell tomol? I numeri disposizione sono 90, di ui 3 vengono fissti; per ompletre l inquin ne rimngono d segliere ltri 2 sugli 87 rimsti, non ontndo nè l ordine (estrrre prim 27 e dopo 81 o vievers è l stess os!) nè le ripetizioni (dopo ver estrtto un numero non viene rimesso nel shetto e quindi non può essere ripesto!), i possiili rggruppmenti sono le ominzioni di 87 oggetti presi 2 2, 87 86 he sono C 87,2 2 1 3741. Esempio 1.6.2. Qunti sono i numeri di 4 ifre, divisiili per 5 e ontenenti solo le ifre 2,3,4,5? Le ifre disposizione sono 4 m l ultim è fisst (perhè un numero si divisiile per 5 deve finire per 5 o per 0, m noi imo disposizione solo il 5!) periò ne restno d segliere 3; i rggruppmenti he erhimo possono vere le ifre ripetute (uno dei numeri he possimo ottenere è 5555) e l ordine è rilevnte (2345 è diverso d 3245); si trtt, quindi, delle disposizioni on ripetizione di 4 oggetti presi 3 3, he sono D 4,3 4 3 64. Esempio 1.6.3. Qunte linee d tto di 5 giotori isun si possono formre on 7 giotori? I giotori disposizione sono 7 di ui doimo seglierne 5; i rggruppmenti he erhimo non possono vere i giotori ripetuti m l ordine è rilevnte (mi l formzione se i giotori si mino di posizione); si trtt, quindi, delle disposizioni semplii di 7 oggetti presi 5 5, he sono D 7,5 7 6 5 4 3 2520. [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

1.7 Eserizi riepilogtivi 8 Esempio 1.6.4. Qunti ngrmmi, nhe privi di signifito, si possono ottenere dll prol pium? Le lettere disposizione sono 5 di ui doimo mire solo l ordine; si trtt, quindi, delle permutzioni di 5 oggetti, he sono P 5 5! 5 4 3 2 1 120. Esempio 1.6.5. Un urn ontiene 10 plline numerte d 1 10. Nell estrzione ontemporne di due plline, lol l prolità dell evento E: i numeri estrtti sono entrmi pri. I si possiili sono i rggruppmenti di 10 oggetti presi 2 2; non essendoi ripetizioni e non ontndo l ordine, si trtt delle ominzioni di 10 oggetti presi 2 2, he sono C 10,2 10 9 2 1 45. I si fvorevoli sono i rggruppmenti di 5 oggetti (i soli pri fr 1 e 10 ompresi) presi 2 2; non essendoi ripetizioni e non ontndo l ordine, si trtt delle ominzioni di 5 oggetti presi 2 2, he sono C 5,2 5 4 2 1 10. L proilità ert, seondo l definizione lssi, è p(e) 10 45 2 9 1.7 Eserizi riepilogtivi Eserizio 1.7.1. Qunte sono le inquine he ontengono un determint qutern nel gioo dell tomol? Eserizio 1.7.2. Qunte sono le inquine he ontengono un determinto mo nel gioo dell tomol? [ ] 88 87 86 6 Eserizio 1.7.3. Qunti sono i numeri di 4 ifre, divisiili per 5 e ontenenti solo le ifre 2,3,4,5 minori di 5000? [86] [64 16 48] Eserizio 1.7.4. Qunte linee d tto di 5 giotori isun si possono formre on 7 giotori, tenendo fiss l l destr (he è sempre un giotore in tto)? Eserizio 1.7.5. Qunti ngrmmi, nhe privi di signifito, si possono ottenere dll prol penn? (Si prl, in questo so, di permutzioni on ripetizione) [ P5 120 ] P 2 2 60 Eserizio 1.7.6. Qunti ngrmmi, nhe privi di signifito, si possono ottenere dll prol nonn? [ P5 120 ] P 3 6 20 Eserizio 1.7.7. Qunti ngrmmi, nhe privi di signifito, si possono ottenere dll prol nonno? [ P5 120 ] P 3 P 2 12 10 [360] [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

1.7 Eserizi riepilogtivi 9 Eserizio 1.7.8. Dti 10 punti in un pino, 3 3 non llineti, qunte rette si possono trire ongiungendo i punti 2 2? Eserizio 1.7.9. Dti 5 punti in un pino, 3 3 non llineti, qunte tringoli si possono trire ongiungendo i punti 3 3? Eserizio 1.7.10. In un urn i sono 20 plline numerte d 1 20 e 5 di queste sono inhe, mentre le rimnenti sono di un ltro olore. Qunte quterne si possono estrrre in modo he in ognun di esse i si lmeno un pllin in? (Togli d tutte le possiili quterne quelle he non ontengono lun pllin in) [45] [10] [3480] Eserizio 1.7.11. In un ssetto i sono inque pi di lzini di 5 olori diversi. Qul è l proilità di estrrre un pio di lzini dello stesso olore (l uio, nturlmente!)? [ ] 1 9 Eserizio 1.7.12. In un ssetto i sono inque pi di lzini di 5 olori diversi, di ui un pio ino. Qul è l proilità di estrrre il pio di lzini ino (l uio, nturlmente!)? (suggerimento: si onsiderino gli eventi A: il primo lzino estrtto è ino B: il seondo lzino estrtto è ino B A: entrmi i lzini estrtti sono inhi B A: il seondo lzino estrtto è ino nell ipotesi he nhe il primo lo fosse p(b A) p(a) p(b A)) [ ] 1 45 Eserizio 1.7.13. Un urn ontiene 10 plline numerte d 1 10. Nell estrzione ontemporne di due plline, lol l prolità dell evento E: i numeri estrtti sono entrmi dispri. [ ] 2 9 Eserizio 1.7.14. Un urn ontiene 10 plline numerte d 1 10. Nell estrzione ontemporne di due plline, lol l prolità dell evento E: i numeri estrtti sono uno pri e uno dispri. [ ] 5 9 Eserizio 1.7.15. Un urn ontiene 10 plline numerte d 1 10. Nell estrzione ontemporne di tre plline, lol l prolità dell evento E: ese il 3. [ ] 3 10 Eserizio 1.7.16. Un mrinio dispone di 5 ndiere di olori diversi; qunti messggi differenti può invire utilizzndo fino tre ndiere, potendo riutilizzre l stess ndier? E qunti, invee, non potendol riutilizzre? [155; 85] Eserizio 1.7.17. Nel lnio di 5 ddi regolri qul è l proilità di ottenere ome somm un numero pri? (Test di mmissione ll folità di Mediin, 2012) [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

Prte I Contriuti [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

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