Geometria proiettiva Problemi risolti e richiami di teoria

Geometria proiettiva Problemi risolti e richiami di teoria

Elisabetta Fortuna Roberto Frigerio Rita Pardini Geometria proiettiva Problemi risolti e richiami di teoria

Elisabetta Fortuna Dipartimento di Matematica L. Tonelli Università di Pisa Roberto Frigerio Dipartimento di Matematica L. Tonelli Università di Pisa Rita Pardini Dipartimento di Matematica L. Tonelli Università di Pisa UNITEXT La Matematica per il 3+2 ISSN print edition: 2038-5722 ISSN electronic edition: 2038-5757 ISBN 978-88-470-1746-7 e-isbn 978-88-470-1747-4 DOI 10.1007/978-88-470-1747-4 Springer Milan Dordrecht Heidelberg London New York Springer-Verlag Italia 2011 Quest opera è protetta dalla legge sul diritto d autore e la sua riproduzione è ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla stessa. Le fotocopie per uso personale possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68. Le riproduzioni per uso non personale e/o oltre il limite del 15% potranno avvenire solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata daaidro, Corso di Porta Romana n. 108, Milano 20122, e-mail segreteria@aidro.org e sito web www.aidro.org. Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla registrazione su microfilm o in database, o alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. L utilizzo in questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc. anche se non specificatamente identificati, non implica che tali denominazioni o marchi non siano protetti dalle relative leggi e regolamenti. Layout copertina: Beatrice., Milano Immagine di copertina: Tito Fornasiero, Punto di fuga, 34 49 cm, acquerello, 2010. http://bluoltremare.blogspot.com. Riprodotto su autorizzazione B Impaginazione: PTP-Berlin, Protago TEX-Production GmbH, Germany (www.ptp-berlin.eu) Stampa: Grafiche Porpora, Segrate (MI) Stampato in Italia Springer-Verlag Italia S.r.l., Via Decembrio 28, I-20137 Milano Springer-Verlag fa parte di Springer Science+Business Media (www.springer.com)

Prefazione Argomenti di geometria proiettiva compaiono nei programmi di molti corsi di laurea in Matematica, Fisica e Ingegneria, anche in virtù delle applicazioni pratiche in settori quali l ingegneria, la computer vision, l architettura e la crittografia. Oltre ai vasti trattati classici sull argomento, ormai molto datati dal punto di vista del linguaggio e della terminologia, sono in commercio alcuni testi moderni, come [Beltrametti et al.: Lezioni di geometria analitica e proiettiva, Bollati Boringhieri 2002] e[sernesi:geometria 1, Bollati Boringhieri 2000], che contengono anche esaurienti bibliografie. Questo non è un ulteriore libro di testo, in particolare non è concepito per essere letto ordinatamente dalla prima all ultima pagina; vuole invece affiancarsi a un libro di testo e accompagnare il lettore nell apprendimento della materia secondo la filosofia dell imparar facendo. Per questo non ha pretese di sistematicità; ha invece l ambizione, o almeno la speranza, non solo di facilitare e consolidare la comprensione della materia tramite l elaborazione di numerosi esempi e applicazioni della teoria, ma anche di stimolare la curiosità del lettore, il suo senso di sfida nella ricerca di una soluzione, la sua capacità di guardare un argomento da diverse angolazioni. Il libro contiene inoltre, sotto forma di problemi risolti, alcuni risultati geometrici classici ottenibili con le tecniche relativamente elementari qui illustrate. Forse qualcuno dei lettori sarà invogliato da questi esempi ad approfondire gli argomenti trattati e ad affrontare lo studio della geometria algebrica classica. In effetti il testo, pur avendo preso le mosse dalla nostra esperienza di docenti nel corso di Geometria Proiettiva per la laurea triennale in Matematica a Pisa e dal relativo imbatterci nelle difficoltà degli studenti, si è poi arricchito di contenuti di solito non trattati negli insegnamenti della laurea triennale, ma che possono essere utili e interessanti per un lettore intenzionato ad approfondire la materia trattata. Un altra caratteristica del testo è di non limitarsi allo studio delle ipersuperfici e delle curve algebriche complesse, più tradizionalmente trattate, ma di prestare notevole attenzione anche al caso reale. La prima parte del testo contiene richiami, sintetici ma esaurienti, dei risultati fondamentali della geometria proiettiva, di cui il lettore interessato può trovare le dimostrazioni in qualsiasi libro di testo che tratti dell argomento. Lo scopo di questa parte iniziale è di dare al lettore una visione d insieme della materia trattata e di

VI Prefazione fissare le notazioni e i concetti adoperati nel seguito. Nei tre capitoli successivi sono raccolti problemi risolti riguardanti rispettivamente le proprietà lineari degli spazi proiettivi, lo studio delle ipersuperfici e delle curve algebriche piane e, infine, le coniche e le quadriche. Nello spirito descritto, nella risoluzione dei problemi non abbiamo privilegiato né l approccio analitico né quello sintetico, ma abbiamo scelto di volta in volta la soluzione secondo noi più interessante, o più elegante, opiùrapida; talvolta abbiamo presentato più di una soluzione. Il livello di difficoltà è variabile: si spazia da esercizi di carattere calcolativo a problemi più impegnativi di carattere teorico. Gli esercizi a nostro parere più complicati sono indicati con il simbolo K, che vuol significare: mettiti comodo, prenditi un caffè ountè, armati di pazienza e determinazione, e vedrai che ne verrai a capo. Di altri esercizi abbiamo dato, oltre a una soluzione oggettivamente semplice, soluzioni alternative che richiedono ragionamenti più lunghi o complicati, che hanno peròil pregio di offrireun punto di vista concettuale più profondo o di mettere in luce collegamenti non immediatamente evidenti con altri fenomeni. Abbiamo contrassegnato queste soluzioni, per cosìdire, illuminanti con il simbolo E. Abbiamo cercato in questo modo di offrire una guida alla lettura del testo; siamo infatti convinti che il modo migliore di utilizzarlo, una volta acquisite le nozioni di base illustrate nei richiami, sia quello di cercare di risolvere autonomamente i problemi presentati, usando le soluzioni da noi fornite come verifica e approfondimento. I prerequisiti necessari si limitano a nozioni di base, per lo più di algebra lineare, usualmente fornite durante il primo anno dei corsi di laurea in Matematica, Fisica o Ingegneria. Siamo estremamente grati a Ciro Ciliberto, che ha creduto in questo progetto, ci ha incoraggiati e ci ha messo costantemente a disposizione la sua esperienza di matematico, di autore e di editore. Ringraziamo inoltre la dottoressa Francesca Bonadei della Springer che ha curato la realizzazione del libro. Pisa, gennaio 2011 Elisabetta Fortuna Roberto Frigerio Rita Pardini

Indice Prefazione... V 1 Richiami di teoria... 1 1.1 Notazionistandard... 1 1.2 Spaziesottospaziproiettivi,trasformazioniproiettive... 2 1.2.1 Spazi e sottospazi proiettivi...... 2 1.2.2 Trasformazioni proiettive.... 3 1.2.3 Operazioni con i sottospazi...... 3 1.2.4 Il gruppo lineare proiettivo...... 4 1.2.5 Punti fissi..... 4 1.2.6 Trasformazioni proiettive degeneri...... 5 1.2.7 Proiezione di centro un sottospazio..... 5 1.2.8 Prospettività... 6 1.3 Riferimentiproiettiviecoordinateomogenee... 6 1.3.1 Posizione generale e riferimenti proiettivi..... 6 1.3.2 Sistemi di coordinate omogenee... 6 1.3.3 Rappresentazione analitica di una trasformazione proiettiva. 7 1.3.4 Cambiamenti di riferimento proiettivo.... 8 1.3.5 Rappresentazione cartesiana di sottospazi..... 8 1.3.6 Rappresentazione parametrica di sottospazi... 9 1.3.7 Estensione di riferimenti proiettivi...... 9 1.3.8 Carte affini... 10 1.3.9 Chiusura proiettiva di un sottospazio affine.... 11 1.3.10 Trasformazioni proiettive e cambiamenti di coordinate..... 12 1.4 Spazio proiettivo duale e dualità... 13 1.4.1 Lo spazio proiettivo duale... 13 1.4.2 Corrispondenza di dualità... 13 1.4.3 Sistemi lineari di iperpiani...... 14 1.4.4 Principio di dualità... 15 1.4.5 Proiettivitàduale... 15

VIII Indice 1.5 Spaziproiettivididimensione1... 16 1.5.1 Il birapporto... 16 1.5.2 Simmetrie del birapporto... 17 1.5.3 Classificazione delle proiettività dip 1 (C) edip 1 (R)... 18 1.5.4 Caratteristica di una proiettività... 19 1.6 Coniugio e complessificazione..... 19 1.7 Ipersuperficiaffinieproiettive... 20 1.7.1 Polinomi omogenei.... 20 1.7.2 Ipersuperfici affini e proiettive... 22 1.7.3 Intersezione di un ipersuperficie con un iperpiano... 23 1.7.4 Chiusura proiettiva di un ipersuperficie affine... 25 1.7.5 Equivalenza affine e proiettiva di ipersuperfici... 25 1.7.6 Intersezione di un ipersuperficie con una retta... 26 1.7.7 Spazio tangente ad un ipersuperficie, punti singolari....... 27 1.7.8 Molteplicità di un punto di un ipersuperficie... 28 1.7.9 Ipersuperfici reali... 30 1.8 Lequadriche... 32 1.8.1 Prime nozioni e classificazione proiettiva..... 32 1.8.2 Polaritàrispettoadunaquadrica... 33 1.8.3 Intersezione di una quadrica con una retta.... 35 1.8.4 Quadriche proiettive in P 2 (K) einp 3 (K)... 36 1.8.5 Quadriche nello spazio R n... 39 1.8.6 Iperpiani diametrali, assi, vertici.... 43 1.8.7 Coniche di R 2... 45 1.8.8 Quadriche di R 3... 48 1.9 Curvealgebrichepiane... 51 1.9.1 Studio locale di una curva algebrica piana..... 52 1.9.2 Il risultante di due polinomi..... 53 1.9.3 Intersezione di due curve... 54 1.9.4 Punti di flesso...... 56 1.9.5 Sistemi lineari, fasci....... 56 1.9.6 Condizioni lineari.... 57 1.9.7 Fasci di coniche.... 59 2 Esercizi sugli spazi proiettivi... 61 3 Esercizi su curve e ipersuperfici...109 4 Esercizi su coniche e quadriche...177 Elenco dei simboli...269 Indice analitico...271