ATTRITO VISCOSO NEI FLUIDI DOWNLOAD Il pdf di questa lezione (0319a.pdf) è scaricabile dal sito http://www.ge.infn.it/ calvini/scamb/ 19/03/2012
VISCOSITÀ La viscosità è un fenomeno che si manifesta in un fluido reale in moto quando i vari strati di fluido scorrono gli uni rispetto agli altri, con dissipazione di energia meccanica e riscaldamento del fluido. La descrizione della viscosità risulta semplice nel caso di moto laminare - per averne un idea si pensi allo scorrimento delle carte da gioco in un mazzo. Si consideri (vedere la figura della slide successiva) una piattaforma di area A galleggiante su uno spessore h di fluido e trainata con velocità costante v. Il fluido a contatto con la piattaforma si muove con la stessa velocità v della piattaforma mentre il fluido a contatto con il fondo, alla profondità h, è fermo. 2
In regime laminare i vari strati di fluido scorrono gli uni rispetto agli altri ed hanno velocità crescenti dal fondo (v = 0) fino in superficie (v = v ). Per mantenere la piattaforma in moto uniforme con velocità v bisogna applicare alla piattaforma una forza costante F la cui intensità è data da F = η A v h ; η = coefficiente di viscosita dinamica. (1) 3
COEFFICIENTI DI VISCOSITÀ La quantità η che compare nella relazione (1) quantifica gli effetti di viscosità del fluido e viene chiamata coefficiente di viscosità dinamica. Nel SI si ha [η] = kg m 1 s 1 = P a s (equivalentemente, dove P a = N m 2 è l unità di pressione nel SI). Introdotta la densità del fluido ρ, dove [ρ] = kg m 3, si definisce coefficiente di viscosità cinematica la quantità ν collegata a η dalle relazioni ν = η ρ ; η = ρ ν. (2) Nel SI si ha [ν] = m 2 s 1. 4
VALORI DEI COEFFICIENTI DI VISCOSITÀ DINAMICA η E CINEMATICA ν A 20 C mezzo η in P a s ν in m 2 s 1 aria 1.8 10 5 1.5 10 5 acqua 1.0 10 3 1.0 10 6 sangue (37 C) 4.0 10 3 3.9 10 6 glicerina 1.5 1.2 10 3 mercurio 1.5 10 3 1.1 10 7 alcool 1.2 10 3 1.5 10 6 5
FORZA DI ATTRITO VISCOSO Un corpo che si muove con velocità v in un fluido subisce una forza di attrito che si oppone al suo moto. Per semplicità si considera un corpo che non dia apprezzabili effetti di portanza (= forza perpendicolare alla direzione del moto). Se l attrito è originato in maniera predominante dalla viscosità del fluido, la forza di attrito F attr agente sul corpo di dimensione trasversale L può essere scritta nella forma F attr = k η L v, (3) dove k è un coefficiente numerico che dipende dalla forma del corpo e η è il coefficiente di viscosità dinamica del fluido. L intensità dell attrito è quindi proporzionale al modulo v della velocità ed alla dimensione trasversale L del corpo. 6
LEGGE DI STOKES Nel caso che il corpo sia una sfera di raggio r, la forza di attrito (3) può essere scritta come F attr = 6 π η r v LEGGE DI STOKES. (4) Affinché la legge (3-4) valga, il moto del fluido attorno al corpo deve essere laminare. Nel disegno il corpo va verso destra e vede il fluido muoversi verso sinistra. 7
CORPO CHE SI MUOVE IN MEZZO VISCOSO Si studia il moto rettilineo (lungo l asse z) di un corpo di massa m che affonda in un mezzo viscoso sotto l azione della forza di attrito (3) F attr = K v dove K = k η L. Sul corpo agisce verso il basso il peso efficace P, dato dal peso del corpo meno la spinta di Archimede. Nel caso che il corpo sia una sfera omogenea di densità ρ c e raggio r, immersa in un fluido di densità ρ, la componente z del peso efficace P sarà data da P z = 4 π r3 3 (ρ c ρ) g. (5) Il II Principio della Dinamica applicato al corpo di massa m conduce alla seguente equazione differenziale nella funzione incognita v z (t) 8
m dv z(t) dt = P z K v z (t), (6) dove si può imporre la condizione iniziale v z (0) = 0. passare del tempo la velocità v z (t) crescerà da zero verso il valore limite v zl = P z K che corrisponde al valore di velocità tale da annullare il secondo membro della (6). Si può dimostrare che la soluzione della (6) è data da v z (t) = v zl [1 exp ( t )] τ = P z K [ ( 1 exp t )] τ Al, (7) dove la costante di tempo caratteristica τ è data da m K. Nella figura successiva è illustrato l andamento temporale della velocità che tende al valore limite v zl. 9
Come indicazione di come v z (t) si avvicina a v zl si ha v z (τ) = 0.63 v zl, v z (2 τ) = 0.86 v zl, v z (3 τ) = 0.95 v zl e v z (4 τ) = 0.98 v zl. Trascorse 4 o 5 costanti di tempo si ha v z = vzl. 10
Nel caso che il corpo sia una sfera omogenea di raggio r e densità ρ c si avrà m = 4 π r3 ρ c 3 ; v zl = 2 r2 (ρ c ρ) 9 η g ; τ = 2 r2 ρ c 9 η (8) dove ρ è la densità del fluido viscoso. ESEMPIO: goccia di aerosol (nebbia) in aria. Si ha r = 4 10 5 m, ρ c = 10 3 kg m 3, ρ = 1.2 kg m 3 (densità dell aria), η = 1.8 10 5 P a s, g = 9.8 m s 2. Si ottiene m = 2.7 10 10 kg, v zl = 1.9 10 1 m s 1 e τ = 2.0 10 2 s. La goccia di aerosol raggiunge la velocità di regime in un tempo brevissimo e scende troppo lentamente per poter apprezzabilmente sedimentare sotto l azione del proprio peso. 11
Mediante integrazione la relazione (7) ci permette di risalire alla legge oraria z = z(t), se si pone ad esempio z(0) = 0. Si scrive l integrale definito t z(t) = 0 v z(t ) dt e si ottiene (9) [ ( z(t) = v zl t v zl τ 1 exp t )]. (10) τ L equazione (10) dà una legge oraria che per valori di t maggiori di alcune costanti di tempo τ differisce ben poco da un moto rettilineo uniforme con velocità v zl. Trascorse alcune costanti di tempo, il corpo si muove praticamente con legge oraria z(t) = v zl t v zl τ e, quindi, si muove di moto uniforme, restando indietro di v zl τ rispetto ad un corpo che fosse partito al tempo t = 0 già con la velocità limite v zl. 12
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