a. s CLASSE 1A Insegnante: Torchia Franca Disciplina: Matematica

a. s. 05-06 CLASSE A Insegnante: Torchia Franca Disciplina: Matematica

PROGRAMMA SVOLTO NUMERI NATURALI - Ordinamento e operazioni - Proprietà delle operazioni - Proprietà delle potenze - Multipli, divisori, MCD e mcm - Sistemi di numerazione NUMERI INTERI - Definizioni - Addizione e sottrazione - Moltiplicazione e divisione - Potenza NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI - Definizioni - Confronto e rappresentazioni - Operazioni - Numeri decimali - Rapporti e proporzioni NUMERI RAZIONALI E NUMERI REALI - Numeri razionali - Operazioni - Numeri reali INSIEMI - Definizioni - La relazione di inclusione - Operazioni con gli insiemi o Unione, intersezione, differenza o Prodotto cartesiano - Partizione di un insieme - Problemi LOGICA - Definizioni - I connettivi logici o Disgiunzione inclusiva, congiunzione, negazione - Espressioni logiche o Tavole di verità o Tautologie e contraddizioni - L implicazione logica e sue proprietà - Gli enunciati aperti - I quantificatori CALCOLO LETTERALE - I monomi o Definizioni o Operazioni con i monomi o MCD e mcm tra monomi o Problemi - I polinomi o Definizioni o Somma algebrica e moltiplicazione o Prodotti notevoli

o Il triangolo di Tartaglia o Divisione tra polinomi o Il teorema del resto o La regola di Ruffini o Problemi - Scomposizione dei polinomi in fattori o Raccoglimento totale e parziale o Prodotti notevoli o Somma e differenza di cubi o Trinomi particolari o Metodo di Ruffini - Frazioni algebriche o Definizioni o Proprietà invariantiva e semplificazione o Operazioni EQUAZIONI di GRADO - Definizioni - I principi di equivalenza - Equazioni numeri intere - Equazioni letterali - Equazioni numeriche fratte - Problemi DISEQUAZIONI - Definizioni - Disuguaglianze e proprietà - Disequazioni intere - Disequazioni fratte - Sistemi di disequazioni GEOMETRIA ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI - Geometria euclidea - I teoremi o Ipotesi, tesi, dimostrazione o Dimostrazione per assurdo - Figure e proprietà - Linee, poligonali, poligoni - Operazioni con segmenti e angoli - Multipli e sottomultipli - Lunghezze, ampiezze, misure TRIANGOLI - Definizioni - Classificazione dei triangoli - I criteri di congruenza - Proprietà del triangolo isoscele - Disuguaglianze nei triangoli RETTE PERPENDICOLARI E PARALLELE - Rette perpendicolari o Asse di un segmento o Proiezioni ortogonali - Rette parallele

o Criterio di parallelismo o Inverso del criterio di parallelismo o Proprietà del parallelismo INDICAZIONI PER IL LAVORO ESTIVO I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI. Che cosa sono i numeri naturali Scrivi in ordine crescente i seguenti numeri e poi rappresentali su una retta orientata. 0, 0, 7, 5, 0. Scrivi tutti i numeri naturali n, se esistono, che verificano le seguenti relazioni. n 7; n ; 5 n 6; 9 n 0.. Le quattro operazioni Scrivi il numero mancante al posto dei puntini. 5... 7;... ; 7... 6; 60:... 5. Indica quali delle seguenti operazioni sono possibili in. 7; ; 8 9; 0:5; ; 0; 5:0.. I multipli e i divisori di un numero ; 0; 0. Scrivi i divisori dei numeri seguenti e i loro multipli minori di 00. 8; ; 5;. Segna con una crocetta quali numeri, fra quelli indicati, sono divisori di n.. Le potenze Calcola il valore delle seguenti potenze. 0 ; ; ; ; 0. ; 0 ; ; 9; 0 5. Completa, quando è possibile, mettendo il numero giusto al posto dei puntini. 7... ;... 8;... 0;... 7 9. Scrivi le potenze di e comprese tra 0 e 0. 5. Le espressioni con i numeri naturali Scrivi l espressione relativa alla seguente frase e calcolane il risultato. «Moltiplica per 5 la differenza fra 0 e 6, poi sottrai 5 dal risultato». [5] «Dividi la somma di e per la differenza tra 0 e 6». [] Calcola il valore delle seguenti espressioni 6 5 : 8 : 6 []

8 : 7 :6 9: 5 0 5 8 : 7 8 5 [] [] : 5 :5 : 0 5 9 0 : 5: : 0 8: [] [6] 5 :5 0: [] 6 : :9 :5 [6] 8 5 : 5 5 5 : [9] Calcola il valore che assume la seguente espressione sostituendo ad a e b i valori indicati a fianco. a b a b ; a, b ; a, b ; a 5, b. [; ; 6] a b b a : 5 ; a7, b. [0] Traduci in espressione letterale la seguente frase e calcola il suo valore per i numeri indicati. Dalla somma del quintuplo di b e del triplo di a sottrai il quadrato della differenza tra il doppio di b e il doppio di a; a, b. [5] Moltiplica a per la somma di a con b, sottrai poi al risultato la somma tra il quoziente del quadrato di a per a e il cubo di b; a7, b. [6] Nella figura seguente determina l espressione della misura di ciò che è scritto sotto. 6. Le proprietà delle operazioni Indica la proprietà dell operazione applicata in ognuna delle seguenti uguaglianze. 8 ; 56 9 57 50; 6 7 9. 0 0 :0 ; 6: 9:; 7. Le proprietà delle potenze Completa le uguaglianze applicando le proprietà delle potenze.... 9 5 5 5 ; 8 8... 5 8 ; 5 8 5 5 :... ; 6... ; 56 6 8 7. 9... 6 8 :8 8 ; 5... :5 5 ; Indica la proprietà delle potenze applicata in ognuna delle seguenti uguaglianze. 5 0 ; 0 : 5 ; 5 0 :0 0 ; 6 9 ; 6 7 7.. 7... 7 0.... 0 0:0 00.

Calcola il valore dell espressione applicando le proprietà delle potenze. 5 7 7 : 7 7 : 7 5 6 6 : : 0 : 5 : : : 6 : 5 :5 7 0 5 : 5 : 5 : :0 8. Il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo Scomponi in fattori primi i seguenti numeri. 50; 00; 0; 5000. 7; 0; 89;. Scrivi i seguenti prodotti come prodotti di potenze di numeri primi. 7; 5 9; 66 ; 05 0. Calcola il M.C.D. e il m.c.m. fra i seguenti gruppi di numeri. a) 9, ; b) 5, 5, 0; c) 6, 5,, 0. 9. I sistemi di numerazione Scrivi in base i seguenti numeri. 0 ; 00 ; 000 ; 00 Scrivi in base decimale i seguenti numeri. 00 ; 0 ; [0; ; 66] ; 0; 0; 5. 5 0. Che cosa sono i numeri interi Rappresenta su una retta orientata i seguenti numeri. Indica quali hanno lo stesso valore assoluto e quali sono discordi.,, 0,, 5,. Scrivi tutti i numeri interi il cui valore assoluto è maggiore di e minore di 5. ; ; ; Scrivi tutti i numeri interi maggiori di il cui valore assoluto è minore di 5. ; 0; ; ; ;. Le operazioni nell insieme dei numeri interi Completa le seguenti tabelle. [9] [8] [] [] [] []

Calcola il valore delle seguenti espressioni. a) 7 6 5 6 7 5 [+] b) 5 6 0 6 5 [+] c) 5 6 : 7 : 6: 6 6 Calcola il valore delle seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze. 6 5 : ; :. 6 ; 5 : ; : 6. ; 6 Calcola il valore delle seguenti espressioni 5 0 0 : : 9 : 5 5 58 5 : 5 5 6 Calcola quale valore assume l espressione indicata quando si sostituiscono alle lettere i valori scritti a fianco. a b a 5a 6ab a; a, 5. b 9 b ; 9 b 7; ab a b a a b ; a, b ; a,. a b a a b b a b a : ; a, b 0; a,. Traduci in una espressione numerica la seguente frase e calcolane il risultato. Dividi il cubo di per la somma di e del prodotto di per, sottrai poi 5 e aggiungi al risultato la differenza tra 7 e il prodotto di per. [] Dividi la differenza tra 5 e la somma di e del prodotto di per, per la somma di e, sottrai al risultato la somma di 5 e del prodotto di per. [] Traduci in una espressione letterale la seguente frase e calcolane il risultato per i valori delle lettere indicati. Dividi per il quadruplo di a il quadrato della differenza tra il doppio di b e il triplo di a, aggiungi poi al risultato la somma del doppio di b col triplo di a. a, b Sottrai la somma del triplo di b col quintuplo di a alla somma del doppio di a e del quadrato della differenza tra b e il triplo di a. a, b 5

Risolvi i seguenti problemi utilizzando i numeri interi. In un centro commerciale Marco spende 8 per dei CD e 6 per alcune riviste. Preleva allo sportello automatico 5, poi pranza in pizzeria spendendo. Quanti euro aveva 6 inizialmente in tasca se alla fine gli rimangono 0? In giro per negozi Giulia spende in profumeria e in libreria. Preleva allo sportello automatico 0, poi cena in pizzeria spedendo. Quanti euro aveva inizialmente in tasca se alla fine le rimangono? 0 I NUMERI RAZIONALI. Le frazioni Rappresenta le seguenti frazioni prima come parti di un segmento, scelto come unitario, e poi come parti di un cerchio, pensato come l intero. 5 ; ; ;. 6. Le frazioni equivalenti e la proprietà invariantiva Cancella le frazioni che non sono equivalenti alla prima assegnata; fra quelle rimaste, evidenzia la frazione ridotta ai minimi termini. 8 8 5 8 6 0 ;,,,,,,,. 8 0 6 9 6 9 7 5 Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni. 6 6 8 60 60 ; ; ; ;. 500 Semplifica le frazioni e riducile al minimo comune denominatore. 6 0 ; ;. 9 7 5. Dalle frazioni ai numeri razionali Trasforma ogni numero assegnato in tre opportune frazioni con denominatori, 6 e 0, rispettivamente. ; 8;. Trasforma ogni numero assegnato in tre opportune frazioni con denominatore,, 5. ; ; 0.. Il confronto tra numeri razionali Scrivi in ordine decrescente le seguenti frazioni. 5 5 ; ; ; ;. 7 9 8 Scrivi in ordine crescente le seguenti frazioni e rappresentale su una retta orientata. 7 9 7 8 ; + ; ; ; ;. 5 5 8 8 ; ; 6 6 6 5. Le operazioni in Calcola il valore dell espressione. 5 5 5 0 0 5 5 7 6 [0] 7

6 : 5 5 7 5 5 0 5 : 6 8 5 0 5 : 7 5 7 5 8 6 : : 5 5 5 5 5 5 0 : : : 9 9 Calcola il valore della seguente espressione, assegnando alle lettere i valori indicati a fianco. x y xy; x, y. y x a b a ; a, b. b a b Traduci in espressione la seguente frase, poi calcolane il valore. Dividi per il prodotto di 5 per il risultato della sottrazione di al prodotto di 5 5 5 6 9 per la 8 differenza tra 7 e, sottrai poi al risultato. Moltiplica per il quadrato di 5 il risultato della sottrazione di 5 al prodotto di 5 differenza di e. Traduci in espressione la seguente frase e calcolane il valore con i dati assegnati. Sottrai 7 5 di a ai di b, dividi poi il risultato per i 7 del cubo di c; per la 5 5 8 a, b, 8 Risolvi il seguente problema. c. Un rettangolo con il perimetro di 7 cm ha un lato che è 7 5 dell altro. Determina l area del rettangolo. Dalle seguenti formule ricava la lettera indicata tra parentesi. x 5 z 0 y y ; a b c 0. cm a b c y 5 ; c x z 6. Le potenze a esponente intero negativo Calcola il valore dell espressione applicando le proprietà delle potenze. 5 9 6 : 5 5 5 8 7

5 8 : : : 8 5 7. Le percentuali Risolvi il problema. In un gruppo di 0 ragazzi il 0% ha anni, il 0% ha 5 anni e i rimanenti hanno 6 anni. Calcola quanti ragazzi hanno anni, quanti ne hanno 5 e quanti ne hanno 6. [9; ; 9] Una scuola ha classi, il 5% di queste è formato da 0 alunni, il 50% è formato da 5alunni e le restanti da 0 alunni. Calcola quanti alunni frequentano la scuola. Sapendo che di essi il 0% frequenta il biennio, calcola quanti sono gli alunni del triennio. [00; 80] In una comitiva ci sono italiani, 0 tedeschi, 5 americani e 8 francesi. Qual è la percentuale degli italiani sull intera comitiva? E quale, tra gli europei? [6%; 0%] Una casa editrice applica uno sconto del 0% su un libro. All acquisto in libreria, l esercente applica un ulteriore sconto del 0% più un bonus di 5. Se il libro viene pagato, qual era il suo prezzo originario? [ 50] 8. Le frazioni e le proporzioni Risolvi le seguenti proporzioni. 6 5 8:5 x :0; 9: x x:6; x: x :5. ; ; 6 Risolvi il seguente problema, utilizzando le proporzioni. Determina le lunghezze di due percorsi stradali sapendo che la loro differenza è pari a 75 km e che il loro rapporto è uguale a 5. [87,5 km;,5 km] Determina le altezze di due amici sapendo che la somma delle loro stature è pari a 8,5 cm e che le lunghezze stanno tra loro come : 0. [70,0 cm; 78,5 cm] 9. I numeri razionali e i numeri decimali Trasforma in numeri decimali le seguenti frazioni. 7 5 ; ; ; ;. 5 5 Trasforma i seguenti numeri decimali in frazioni.,; 0,; 0,7;,0. Calcola il valore delle seguenti espressioni. 0, 0, 0,8 : 7 0,7 7 :,8 0,8: 0,6 0,5 : 0, 05 0, 05 8 GLI INSIEMI. Che cos è un insieme Indica quali, fra i seguenti, sono insiemi matematici ben definiti. Le automobili con targa pari. I numeri naturali compresi fra 0 e. I ragazzi molto alti. 7 8 6 ; ; ; 5 9 5 0 7 0 9 0

I granelli di sabbia contenuti in una bottiglia. Le moto che corrono veloci. I divisori comuni a e. I dischi più venduti. Le carte comuni a un mazzo di carte da poker e a un mazzo di carte da briscola. 5 Dati gli insiemi A,, 5, 9, B,, 0,, C,, 0,, completa con i simboli e le seguenti proposizioni in modo da renderle vere. 0... A ;... A; 5... B;... C.. Le rappresentazioni di un insieme Rappresenta i seguenti insiemi graficamente e poi mediante la proprietà caratteristica. A 8, 9, 0, ; B,, 0,,,, ; C... 5,,,. Rappresenta per elencazione i seguenti insiemi. a) xx è una consonante nella parola «eccezionale» ; b) xx è uno stato confinante con la Spagna ; c) xx è una squadra di calcio di Milano ; d) xx è un punto cardinale. Rappresenta i seguenti insiemi graficamente e poi scrivi la loro rappresentazione per elencazione. A x x, x 7 ; B x xp, x 0 ; C x x, 7 x. Rappresenta per elencazione i seguenti insiemi di numeri. a), n 0,,,,, 5 ; n con con n5,, ; n, con n, 0,,, ; b) n, c) n d), con n,,, 5 ; n e), con n,,. Fornisci la rappresentazione mediante la proprietà caratteristica dei seguenti insiemi numerici. a) I dispari minori di ; b) i razionali maggiori o uguali a ; c) i naturali compresi tra 0 e 0; d) gli interi positivi.. I sottoinsiemi VERO O FALSO? S 5, 7, 9,, e stabilisci se sono vere o false le seguenti Considera l insieme proposizioni: a) 7 S V F

b) 9 S V F c) S V F S V F d) e), 0 f), x xd x S V F x xd x S V F Scrivi i sottoinsiemi dell insieme delle lettere della parola «marte», formati da una consonante e da una vocale.. Le operazioni con gli insiemi Per ogni coppia di insiemi assegnata determina l insieme unione e l insieme intersezione, rappresentandoli per elencazione e con un diagramma di Eulero-Venn. A, 5, 8,, a) B,, ; b) C x x è una lettera della parola «ortolano», D x x è una lettera della parola «fruttivendolo». Determina due insiemi A e B tali che abbiano i seguenti insiemi unione e intersezione. A B a, b, c, d, e, f, g, h, A B a, c, f Rappresenta graficamente gli insiemi A, B, C seguenti e dai la rappresentazione tabulare di B C. A,, ; A B e B,,,, 5, 6, 7 ; C,, 8, 9. B A, 5, 6, 7 ; B C,, 5, 6, 7 Dati gli insiemi: A x x, x 7, B x x, x 6, C x x, x 9, determina, rappresentandoli in forma tabulare, i seguenti insiemi. A B C ; A B C. A; Rappresenta per elencazione la differenza A B dei seguenti insiemi numerici. A x x, x multiplo di 5, x 0, B x x, x multiplo di 0, x 0. Rappresenta mediante proprietà caratteristica l intersezione A B dei seguenti insiemi. A x x n, n, B x x 5 n, n. Indica quanti elementi hanno gli insiemi A B; A B C ; B C ; A C ; A B. A x x x B x x x C x xd x,,, 0 0,, 0. In ognuna delle seguenti figure, esprimi la parte a righe usando le operazioni di unione e intersezione fra gli insiemi A, B e C assegnati. Ricopia la figura e colora i seguenti insiemi.

Dati B A a) A B C ; b) A B C B C; c) AB C A B ; d) A B B C C A. i due insiemi A e B, scrivi la rappresentazione tabulare di A B e AB B A e, in seguito, la rappresentazione cartesiana. Determina inoltre. A a, b, c, d, B a, e, c. Dati gli insiemi A 0,, B e, f, g, C 0,, D e, h, espressioni. A C B determina il risultato delle seguenti ; D B C; AB C D. 5. L insieme delle parti e la partizione di un insieme Determina l insieme delle parti di ciascuno dei seguenti insiemi. ; A, ; B a; C x, y, z, t. Considera l insieme A x x, x 0 e stabilisci se,,,,,,, partizioni di A. A x x, x, A x x, x 8, A x x, 7 x 0 ; B x xd, x 9, B x xp, 0 x 0 ; C, 8, 9, C, 0,, C, 5, 6. A A A B B C C C sono LA LOGICA. Le proposizioni logiche Indica quali, fra le seguenti frasi, sono proposizioni logiche e attribuisci a queste ultime il relativo valore di verità. «è uguale a 5»; «Non si può fumare in classe»; «W le vacanze!»; «è un divisore di 6»; «6 è multiplo di».. I connettivi logici e le espressioni In ciascuna frase è contenuta più di una proposizione logica. Traduci ogni frase in una proposizione composta, usando una variabile logica per ogni proposizione semplice e i connettivi «e», «o», «se, allora». «Maria studia al liceo e suona al conservatorio»; «Il gatto mangia o fa le fusa»; «Un quadrilatero con quattro angoli retti è un quadrato oppure un rettangolo».

La negazione: non Scrivi la negazione delle seguenti proposizioni. «Il semaforo verde fa scorrere il traffico»; «In città non uso mai il motorino»; «Non ti regalerò nulla»; «Non è vero che Luigi non si sposa fra un mese». Indica quali coppie di proposizioni sono formate da un enunciato e dalla sua negazione. a) «Vedo un gatto nero», «Vedo un gatto bianco»; b) «Esco di casa», «Resto in casa»; c) «Salgo le scale», «Scendo le scale»; d) «Vinco la partita»; «Perdo la partita». La congiunzione: e Date le proposizioni: A: «è divisore di 7», B: «è un numero pari», C: «è minore di 9», traduci in parole ognuna delle seguenti proposizioni composte. Assegna infine i rispettivi valori di verità, compilando la tavola di verità relativa. Costruisci la tavola di verità di ciascuna delle seguenti proposizioni composte. A B A ; A B. A B; La disgiunzione Costruisci la tavola di verità delle seguenti proposizioni composte. A B A, B A, A B, AB A; A B, B A B, A B, A B A. L implicazione Date le proposizioni A e B, traduci in simboli le seguenti proposizioni composte. A: «Ho fame», B: «Vado al bar». a) «Ho fame, ma non vado al bar»; b) «O non ho fame, o vado al bar»; c) «Ho fame e vado al bar»; d) «Se ho fame, vado al bar». A B; A B; A B; A B Le tautologie e le contraddizioni Utilizzando le tavole di verità, per ognuna delle seguenti espressioni indica se è una tautologia o una contraddizione. AB A; A B A B; A B A B B. [C; T; T]. La logica e gli insiemi Considera i tre enunciati aperti: A(x): «x è un automobile con cilindrata superiore ai 000 cc»; B(x): «x è un automobile di marca straniera»; C(x): «x è un automobile con motore a benzina». Scegli un opportuno insieme universo U e disegna l insieme di verità dei tre enunciati A(x), B(x) e C(x). Rappresenta, infine, con i diagrammi di Eulero-Venn l insieme di verità dei seguenti enunciati composti.

C, B A, A C, A B, C B A.. I quantificatori Trasforma i seguenti enunciati aperti in proposizioni utilizzando i due quantificatori e. Tenendo presente l insieme universo U assegnato, scrivi di fianco a ogni proposizione il suo valore di verità. a) U, A(x): «x è minore di 0»; b) U triangoli isosceli, B(x): «x è un triangolo equilatero». Dato l insieme universo U e gli enunciati semplici aperti A(x), B(x), C(x), trasforma gli enunciati composti seguenti in proposizioni utilizzando i quantificatori e, e scrivi per ognuna il valore di verità. U, A(x): «x è divisibile per», B(x): «x è pari», C(x): «x è multiplo di», A x B x Ax Bx; C x B x ; ; Bx C x. I sillogismi Stabilisci se i seguenti sillogismi sono validi, utilizzando i diagrammi di Venn. I MONOMI E I POLINOMI. Che cosa sono i monomi Fra le seguenti espressioni indica quelle che sono monomi, spiegando perché hai escluso le altre, e determina il loro grado complessivo e quello rispetto a ciascuna lettera. xy ; ; a a c; 0 xy 5 a ; ; 5 b ; ; a 7 bc;. 5 x Riduci a forma normale i seguenti monomi indicando poi la parte letterale e il coefficiente. a b ab x 9 b x ; xy xyz yz. 9 7 6 6 7 5 5 a b x ; x y z 6 Riduci a forma normale i seguenti monomi e indicane il grado complessivo. 7 9 mn m b ac b a c ab; n n mn. 8 5 5 5 a b c, grado; m n, 9 grado 5

Individua i monomi simili nei seguenti gruppi n e naturale. a) xy, xy, x xy, xy, 7y x ; n n b) a b, ab, n n n n n a b a, a ba, a ba. Scrivi tutti i possibili monomi di terzo grado complessivo, nelle lettere x, y, z, con coefficiente 7.. Le operazioni con i monomi Esegui le seguenti somme algebriche di monomi (m, n ). bx x 5a 7a x bx a x ; x xy x y xy y. 5 a bx ; x xy 6 6 x n x m x n x m x n ; n n n n 8 n n a b ab b a 7 a b ab ab. Calcola i seguenti prodotti di monomi 5ab a b 5 a b ; 9. 0 xy x y xy x y x y ; 0. 8 5 a b ab Semplifica la seguente espressione. n m n n x x ; 8a b ab 6 5 ; a b x y 6 6 5 6 x y ; a b 6 5 ab a b a a b a b 5a b b a ab a b a a b a b a b a b Calcola le seguenti potenze di monomi. ab, bc, 6 xy 5 xy, 5 bc, xy. ; Scrivi i monomi i cui quadrati sono i seguenti. 0 9 6 00 6 a b ; ; 6 x y 8. 6 ac Semplifica l espressione con potenze n con n. a ab b ab ab a a b a b 6 8a b a b ab a b ab a n 8 x y 6 Esegui le seguenti divisioni fra monomi. 6 5 0 9 5 x y z : x yz ; a b c : a b. 5 0 5 5 n n n n n n x y xy x y xy x y xy 5 6 7 ab x y n n 5 x y z ; c 5

a b c : abc ; 5 5 5 x yz : x y z 5. a b; xz Semplifica l espressione. x xy x y : xy : xy y x 5 5 5x y 5 x x y : xy x z : xz : x x 5 5 x y x y : x y y x xy xy xy xy 6 6 xy 5 6 7 7 7 xy : xy x xy x y : xy x y 5 0 Traduci la seguente frase nell uguaglianza fra due monomi. «Il quadrato del prodotto di un numero per il doppio di un secondo numero è uguale al quadruplo del prodotto dei quadrati dei due numeri». xy x y «Il prodotto dell opposto di un numero per il doppio di un secondo numero è uguale all opposto del doppio del prodotto dei due numeri». xy xy Esprimi la misura dell area grigia mediante un monomio. a 9 b

Esprimi attraverso un monomio in b e h l area della regione evidenziata. bh 7 bh Un trapezio ha la base maggiore uguale a 7 a, la base minore uguale a a e l altezza è la metà della base maggiore. Calcola l area del trapezio. Se si aumenta la base maggiore di 5 a, qual è la differenza tra l area del nuovo trapezio e l area di quello vecchio? 5 55 a ; a 8 8 Un trapezio ha la base maggiore uguale a 5 a, la base minore uguale a a e l altezza è la metà della base minore. Calcola l area del trapezio. Se si diminuisce la base minore di a, qual è la 6 differenza tra l area del vecchio trapezio e l area di quello nuovo? 7 7 a ; a 8. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo fra monomi Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti gruppi di monomi. 5 0 abc, 8 ab, ac ; aa, a ab, a 6a, a b ab, a a ; ab.. Che cosa sono i polinomi Indica quali polinomi sono omogenei, quali completi e quali ordinati. Per ogni polinomio scrivi inoltre il grado complessivo e il grado rispetto a ogni lettera. 5 5 5a b ; x 5x x ; y a y a y; a b 5 a b a b. 5 5. Le operazioni con i polinomi Semplifica l espressione. 5 7 x x y y xy x y y x xy x y xy

xy x y xy xy x y xy xy x y a ba b a b a b b a a b ab x y xy 6 x xx 6xy y 0 Posto X x y, Y y x, Z xy, semplifica la seguente espressione. 9 9 X Z Y XZ 5xy x y x y In un trapezio isoscele la base maggiore supera di a la base minore b, il lato obliquo è della base minore, mentre l altezza è metà della base maggiore. Esprimi con un polinomio ridotto la misura del perimetro e dell area del trapezio. a b; a ab b Esprimi mediante un polinomio ridotto a forma normale il perimetro e l area della zona evidenziata. a 8 c; a b ab c 8a c; a bc 6. I prodotti notevoli Utilizza i prodotti notevoli per calcolare il risultato delle seguenti espressioni m, n. a b a b ; a b x y 5 ; x n n y ; a b ab ; ; ab ab. 9 9 n y 5 x. y x. a b ; ab a b.

; x y xy x. x x x x ; x y z t x y z t. Completa in modo da ottenere il quadrato di un binomio. xy y a 6 ab...;.... 9 a... xy y ; 6 x.... Utilizzando il triangolo di Tartaglia sviluppa le seguenti potenze di binomio. 5 y a bc ; x. 5 5 5 5 5 5 a a bc 6a b c ab c b c ; x x y x y x y xy y 6 Utilizza i prodotti notevoli per semplificare l espressione. a b b a a b a a b 8 x y xx y x y y x x a b b a b b a b a a b a b b b a a a b a b x x x x x xx xx 0 a a a a a a a a a aa a 9 b a y xy a a b a a 9 7. La divisione fra polinomi Calcola il risultato della seguente divisione di un polinomio per un monomio ed esegui la verifica. 8 a b a b a b : a b a ab 6b 5 5 7 9x y x y x y : x y 8x y xy 7y 9 Esegui la seguente divisione fra polinomi e scrivi quoziente e resto. b b 8b b 5 : b Q b b 5; R 0 0a 5a 9a 7a 6 : 5a Q a a 5; R a 5 x x x : x ; 5 Q x x R x 5 5 9 x x x : x Q x x x ; R x 7 6 7 x x x x 5 x : x x Q x x x x ; R x x

Esegui la seguente divisione fra polinomi, considerando come variabile la lettera scritta a fianco. 6 a a b a b b : a b a Q a b; R b 5 6 6 6 a b a b a b 6 b a : a b a Q a ba b ; R b a b 8. La regola di Ruffini Determina per quale valore di a il seguente polinomio è divisibile per x. x ax x a 5 x a x 6a x ax 0 Esegui la divisione applicando la regola di Ruffini. 5 a a a 6 : a Q a a ; R 0 5 x x 6x 5 : x Q x x x x 9; R 5 9 7 y y 9y 9 : y Q y y y ; R 6 5 a a a : a Q a a a ; R 9 7b b b b : b Q b b b ; R 6a 5a a 0a : a Q a a 8a ; R 0 Esegui la seguente divisione, considerando come variabile la lettera scritta a fianco. 5x 5y 9x y 6 xy : y x Q x 5 y; R 0 a a b a ab b: a b x a Q a ab ; R 0 9. Il teorema del resto Calcola il resto delle seguenti divisioni, considerando come variabile la lettera scritta a fianco (quando indicata). 6 a a b a b b : b a b ; y y y y : y 0; 0 5a a a a : a ; 6 55 y x y x x y : y x y ; 0 6 8 0. Il teorema di Ruffini Stabilisci se il polinomio assegnato è divisibile per ciascuno dei binomi scritti a lato. 5 a a ; a, a, a, a. [no; no; no; no] 6x x ; x, x, x, x. [sì; no; no; no] LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE. La scomposizione in fattori dei polinomi Scomponi in fattori i seguenti polinomi, raccogliendo a fattor comune un monomio. 5 9 6 x y 6x y 8x y ; x x x. 6 x y y x y ; x 5x 7x 0 5 0 0 5 5 5 9a b a b a b ; x x x 5 0 5 a b ab b ; x x x

Scomponi in fattori le seguenti espressioni algebriche, raccogliendo a fattor comune un polinomio. a a a a ; x x x x. a a ; x x x x x ; a b b a b b. x x ;a b Scomponi in fattori con il metodo del raccoglimento parziale (con m, n ). ax ab b x x ; y y 7y 7 y; ax y x y b b a. a x ax ax ; a b a ab; x x x x x 6. n n n n a ab ba b ; n mn m x x x. a xx bx b; y y y y 7 ; a bx y a b ax ax ; bb a; x x x a n b n a b; x n x m Scomponi in fattori, dopo aver osservato che ciascun polinomio è la differenza di due quadrati. a 6 b ; 6 x y ; 6 x y ; a a. a 8ba 8 b; x yx y x y ; a a 8 b ; x 9. 6x y6 x y; a b a b a 9 b ; xx 6 Scomponi in fattori, dopo aver osservato che ciascun polinomio è il quadrato di un binomio. 9x 6 xy y ; 8; a a a 8 a 6. a 8ab 6 b ; ; 9 6 a a. x x x y ; a ; a 7 Scomponi in fattori, dopo aver scritto ciascun polinomio come la differenza di due quadrati. x 6xy y ; a b ; x ; a a b b. x y x y ; a b a b 5a 0ab 5b 5; y x x. 5a b a b ; y x y x 5 Riconosci nel seguente polinomio il quadrato di un trinomio. 9 b a b ab a. 9 b a

5 5 x y 5y xy x. x y 5 5 5 Scomponi in fattori, riconoscendo il cubo di un binomio. 5 5 7xy x 9x y 7 y ; a b a b a b a b. 5 6 y x ; a b a b 6 5 a 6a b ab 8 b ; x y x y xy x y. 5 0 0 0 b a ; xy x y 5 Scomponi in fattori, riconoscendo la somma o la differenza di due cubi. 6 6 9 xy 5; a b ; a a. 8 6 xy 5 x y 5xy 5 ; a b a ab b ; a a a 7 9 9 8 6 8 ab; x y ; b b. 6 6 9 a b a b a b ; x y x xy y ; b b b 7 Scomponi in fattori i seguenti trinomi particolari di secondo grado. x x 8; a 5ab 6 b. x 8x 6 ; a 6ba b a 5a 6; x xy x. Scomponi in fattori i seguenti trinomi particolari. x x 8; a a b 0 ab. x x 0; a a 9 ; x yx y x 7x ; aa 0ba b a 7a b 8 ab. Scomponi in fattori utilizzando la regola di Ruffini. x 5x x. x 5x 6 ; aa 9ba b x x x 7 x x x 8 7x x x 8. 6x x x. x x x x x x 8x 6x 5x. Scomponi in fattori i seguenti polinomi. 9x y 6x y 6 xy ; a b a b; z z x. ax 6 a x; xy y 6x x; x a b y a b a xy b xy x y xy ; z x z x. ; a b a b a b a b x x xy ;

6 6 6 x y ; x 9x. ax x a; x y x;xx yx y; a b ; x yx yx y xyx y xy; x 7x x a x a y y; 5a 0ab b 0a b; 9a ab b ; 7a b 5a b ; 5 x 8x x. a ax y a b ; 5 ; a 9a a b ; x x x x x. Il M.C.D. e il m.c.m. fra polinomi Determina M.C.D. e m.c.m. dei seguenti polinomi 5 9b 0 b; 9b 5; 0x 0y 6bx 6 by. a ; x 6; 8 x ; a a ; x x 8; b b b y x M.C.D. 5 ;m.c.m. 5 5 a x ax x. M.C.D. a a ; m.c.m. x a a a x x x 6 8. M.C.D. x ; m.c.m. x x x x x 7x ; x 9x 7x 7. M.C.D. x ; m.c.m. x x x 9 x. Le frazioni algebriche Scrivi le condizioni di esistenza delle seguenti frazioni algebriche. 7x ab a b ; x 9a a b ; a a b ;. a 9b a b x a; a 0 b 0; a b; a b a x x ; ; ;. x y b x ab x y ; b ; x ; a 0 b 0. Il calcolo con le frazioni algebriche Semplifica le seguenti frazioni algebriche dopo aver determinato le condizioni di esistenza. 6xy bb b ;. ; 0x y z b b 5xz b 6 0ab aa 5b a ;. ; abc a a 7a c a a x a a x ax x ; x y x y y x xy. a x a x x ; a x x y

a b a b x 6 b ;. x ; x x x 8 b ab a b a xa y 8xy y xy x ay y x y ;. ; x a y x ay x y y x x x y a x y a a ab b axy a a b ;. ; a x y a x y a x a b x a b Esegui l espressione e semplifica il risultato, se è possibile. x 5 x x 7 x 7x6 x x x x 6 x x6 x 5 x x x x x x x x xy x y xy x 0y x xy x y y 5y x x y x xy y x xy y x xy xy x x y 8y y x y x x 5 x x x x x a a a a a a Semplifica l espressione. 6 6 b b 5 : b b b b b b b b b 6 5 x x 8 9a a 6 bb a a a a b b a a : : b b b a b 6 x 9 x y x xy y x : y : x 9 x x y x xy x x y x x y y Esprimi la lunghezza b della base del rettangolo in funzione di a, x e A, dove A è l area della zona ombreggiata. A x b a

Indicata con A l area del trapezio, esprimi la lunghezza b della base minore in funzione di a, h, e A. A ah b h LE EQUAZIONI LINEARI. Le identità Verifica che la seguente uguaglianza è una identità e scrivi sotto quali condizioni ha significato. x x x x. Le equazioni Scegli la soluzione dell equazione fra i valori proposti a lato. 8 x 6x, x ; x 0;. x 6 x x, x ; x 0;. x x x x x, x ; x ;. x x x x, x Riduci a forma normale la seguente equazione nell incognita x e scrivi qual è il grado e il termine noto. xx 9 x x x 0 5 5 5 0 5x 0; ; x 5 8 x x 5 xx x 6 0 x 0; ; x 7 x x x 0 0; ; 0 x x Scrivi un equazione di primo grado in x, che abbia come termine noto e come soluzione x. 7x 0. I princìpi di equivalenza Sono assegnate due equazioni, ciascuna delle quali ha una sola soluzione. Tale soluzione è uno dei numeri reali scritti tra graffe. Stabilisci, senza risolvere le equazioni, se queste sono equivalenti o meno. x x e x x ; ; ;. sì 6 x x e x x ; ; 9; 6. no Risolvi la seguente equazione, specificando in quali passaggi applichi il primo o il secondo principio di equivalenza delle equazioni. 5 6x x x 8 x x. Le equazioni numeriche intere Stabilisci se l equazione assegnata è determinata, indeterminata o impossibile.

x 8 x x [impossibile] x 8 x x [indeterminata] Risolvi l equazione numerica intera. 6 x x x x 5 5 5 x 6 0 x x x x x 8 x 0 x x x x x x 5 x x x x x x x x x x 6 x x x 6 x 7 x 5 x 6 6 5x x x x 5 0 x 6 x 6 5 5 5 x 5 5. Le equazioni fratte Risolvi l equazione numerica fratta, scrivendo C.E. e m.c.m. dei denominatori. x x 6x x x x x x x 6 6 x x x x x x 5 x x 5 x x 8x x x x 5 x 0 x x 8 x 5 5 6 x x x x x x x x x x 5 6x 9x 0 x x 7 5 x x 5 x x 7x 5 6. Le equazioni letterali Risolvi la seguente equazione letterale intera rispetto a ogni lettera che vi compare. a x a x a 5x a 5, x, a 5, imp.; x, a, x, imp. a5 x

a x ax a 6a6 6 x6 6 a, x, a, imp.; x, a, x, imp. a 6 x Risolvi l equazione letterale intera nell incognita x. 6 0a ax ax a a x a, x ; a, impossibile 8 8a 8 6 5a 6 ax a ax a x a, x ; a, impossibile a 7. Equazioni e problemi Risolvi i problemi. Luca versa in banca 00 in 0 banconote, in parte da 0 e in parte da 00. Quante sono le banconote da 0 e quante da 00? [0; 0] Il rettangolo ABCD viene trasformato in quadrato, diminuendo di 5 cm la lunghezza dell altezza e aggiungendo cm alla lunghezza della base. Calcola il perimetro del rettangolo, sapendo che la lunghezza dell altezza è doppia di quella della base. [ cm] La somma delle lunghezze di due segmenti è cm, calcola la lunghezza di ciascuno di essi sapendo che il primo segmento aumentato di cm risulta uguale a del secondo. [5 cm; 8 cm] Una corda lunga 58 cm viene divisa in tre parti. Sapendo che la seconda è lunga cm più del doppio della prima, e che la terza è lunga cm più del doppio della seconda, quanto misurano le tre parti? [7 cm; 6 cm; 5 cm] Dati due tipi di assi di legno, il primo è 0 cm più corto del triplo del secondo. Sapendo che, usando una dopo l altra due assi del primo tipo e sette del secondo, si riesce a coprire esattamente una lunghezza di 0 m, quanto sono lunghi i due tipi di assi? [0 cm; 80 cm] Se a un numero si aggiunge il suo triplo e si sottrae la sua terza parte, si ottiene.determina il numero. [] Se al doppio di un numero si aggiunge il suo quadruplo e si sottrae la sua metà, si ottiene. Determina il numero. [6] Un trapezio isoscele di area 9 cm ha l altezza lunga cm. Sapendo che la base minore è lunga il quadruplo del lato obliquo e che la base maggiore supera di cm il triplo dello stesso lato obliquo, determina il perimetro del trapezio. [56 cm] Un trapezio isoscele di area 7 cm ha l altezza lunga cm. Sapendo che la base minore è lunga il triplo del lato obliquo e che la base maggiore supera di cm il quadruplo dello stesso lato obliquo, determina il perimetro del trapezio. [6 cm] La somma di numeratore e denominatore di una frazione è ; sommando 7 a entrambi si ottiene 5. Calcola numeratore e denominatore. [8; ] 0 Quale numero si deve sottrarre a ciascun termine della frazione 7 per ottenere una frazione equivalente a 8? 58 []

LE DISEQUAZIONI LINEARI. Le disuguaglianze numeriche È data una disuguaglianza. Scrivi disuguaglianze fra gli opposti e fra i reciproci dei membri, poi verifica la correttezza delle risposte posizionando i sei numeri su una stessa retta. 8 0 Sono date due disuguaglianze dello stesso verso. Sommale membro a membro e verifica, riportando i numeri su una retta, che ottieni ancora una disuguaglianza dello stesso verso. 7 : ; 5 :. 6 9 8 8. Le disequazioni di primo grado Determina quali fra i seguenti valori di x sono soluzioni della disequazione 7x 5 x.,, 0,. 6 COMPLETA la tabella in modo che, in ciascuna riga, compaiano tre rappresentazioni dello stesso insieme dei valori di. Le disequazioni intere Risolvi la disequazione numerica intera, scrivendo le soluzioni sia come diseguaglianze sia come intervalli della retta reale. Infine rappresenta tali soluzioni su una retta. x x 5 7 x x x x 5 x x 6 6x x x xx 5x x x impossibile x x x x 6x x 5x x x x 6x x x x x x x x x x x x x 5 x x x x x 5 x x 7 5 x 9

Risolvi la seguente disequazione. x x 5 0 x x 5 0 x x 0 x x 0 x 5 5 x x x x. Le disequazioni fratte Risolvi le seguenti disequazioni numeriche fratte, scrivendo l insieme delle soluzioni mediante intervalli. x x x x x 6 0; ; 0. x x x x 5 5 0; ; ; ; ; ; 6 0 x x 5 0; x x x x ; 6 0. x x x x x 0; ; ; 5; + ; ; 0 5. I sistemi di disequazioni Risolvi il sistema di disequazioni. x x x 7x x 0 6x x 9 5 x 5 x x x x x x x x x x x x 9 x x x x x 7 x x x x x x 9x x x x x 6 x x x x impossibile x x 5 7 x 9 9

x x x 9 6 7 7 x x x x x 6. La risoluzione dei problemi mediante le disequazioni lineari Risolvi i problemi. Un triangolo ha due angoli acuti che misurano in gradi x e x. Quale valore massimo può avere x? 7 I lati di un triangolo misurano in centimetri rispettivamente x, x e x. Per quali valori di x il triangolo ha il perimetro maggiore o uguale a 8 cm? x Per realizzare una cornice rettangolare, con un lato uguale ai dell altro, il costo della manodopera è di 0, il costo del materiale è di 0,0 al centimetro, mentre il guadagno di vendita è il 5% del valore effettivo. Come devono essere le dimensioni in centimetri dei lati della cornice affinché il prezzo di vendita del manufatto sia inferiore a 70? inferiori a 6 cm e cm LA GEOMETRIA DEL PIANO. La geometria euclidea Scrivi di fianco a ogni enunciato se è una definizione o una proprietà. a) «La distanza fra due punti è la lunghezza del segmento che ha per estremi i due punti». b) «Il tachimetro è uno strumento che serve per misurare la velocità». c) «Un angolo si dice acuto se è minore di un angolo retto». d) «Mercurio è il pianeta più vicino al Sole». a) «Il dinamometro è uno strumento che misura l intensità delle forze». b) «La Luna è il satellite naturale della Terra». c) «La metà di un angolo è minore dell angolo stesso». d) «Si dice retto un angolo metà di un angolo piatto». Dati i seguenti enunciati, trasformali nella forma «Se, allora» e indicane l ipotesi e la tesi. a) Un filo metallico attraversato da corrente elettrica si riscalda. b) Per un punto del piano passa una e una sola retta perpendicolare a una retta data. c) Due cariche elettriche negative interagiscono con una forza repulsiva. d) La somma degli angoli interni di un triangolo qualunque è congruente a un angolo piatto. a) Un oggetto sottoposto a un aumento di temperatura si dilata. b) Due angoli opposti al vertice sono congruenti. c) Due cariche elettriche positive interagiscono con una forza repulsiva. d) Due triangoli rettangoli che hanno rispettivamente congruenti i due cateti sono congruenti.

. Le parti della retta e le poligonali Per ogni figura scrivi il nome relativo, scegliendolo fra i seguenti: segmento, retta, semiretta, segmenti consecutivi, segmenti adiacenti, poligonale aperta non intrecciata, poligonale aperta intrecciata, poligonale chiusa non intrecciata, poligonale chiusa intrecciata. Completa osservando la figura seguente: a) La figura ABCDEI è una. intrecciata e.. b) F ED. c) AB è a BC. d) EF e FD sono segmenti... e) H CB. f) S r.. Le parti del piano Per ogni figura scrivi il nome relativo, scegliendolo fra i seguenti (in alcuni casi ci sono più nomi che possono essere utilizzati nella stessa figura): piano, semipiano, angolo, angolo piatto, angolo giro, angolo nullo, angoli consecutivi, angoli adiacenti.. Le proprietà delle figure Per ogni figura indica se è convessa o concava.

Nella figura, A e B sono due figure sovrapponibili con movimento rigido. Completa. a) Per la proprietà riflessiva A. b) AC. c) ABC. d) Se AB ha lunghezza a, allora DE... a) Per la proprietà simmetrica se A, allora B. b) FE. c) DEF. d) Se CB ha lunghezza b, allora EF... 5. Le linee piane Disegna due curve piane: la prima semplice chiusa e la seconda intrecciata aperta. Colora la parte interna della curva chiusa. 6. Le operazioni con i segmenti Disegna le figure corrispondenti alla seguente descrizione. AB, BC, CD segmenti, AB e BC adiacenti, AB BC, D AB, CD AB. Disegna quattro segmenti congruenti e adiacenti l uno all altro AB, BC, CD e DE. Completa le congruenze, scrivendo al posto dei puntini. AD... AC...... DE BC... AE... 7. Le operazioni con gli angoli Disegna quattro angoli consecutivi α, β, γ, δ, di cui α, β complementari e γ, δ supplementari ( R indica l angolo retto e P l angolo piatto) e completa le seguenti congruenze. α R... δ... γ

α β γ... δ Figure e dimostrazioni Sulla semiretta Oa disegna tre punti A, B, C, in modo da OA BC. Dimostra che vale la seguente relazione: OB AC. Disegna due segmenti OA e AB adiacenti e congruenti. Indica con M il punto medio di OA e con N OM ON il punto medio di AB. Dimostra che: OA. Disegna un angolo retto avb e, internamente a esso, traccia una semiretta Vd. Indica con α l angolo bvd e con β l angolo avd. Traccia la retta r passante per V che forma con Vd un angolo retto. Indica con γ l angolo acuto che r forma con la semiretta Va e con δ l angolo acuto fra r e Vb. Dimostra la seguente relazione: α γ. I TRIANGOLI. Considerazioni generali sui triangoli Osserva la figura e poi completa le frasi Il punto C è il vertice. al lato AB, mentre il punto... è il vertice opposto al lato AC. Gli angoli α, β, γ si dicono.. di vertice, rispettivamente..,.., Anche.. è angolo esterno di vertice C. Gli angoli al lato AC sono α e γ. L angolo β è. tra AB e BC, mentre l angolo α è compreso tra.. e... Il segmento AK è la. del lato CB. Il segmento CH è la. del triangolo relativa al lato AB. Il segmento BL è la. dell angolo ABC. Enuncia il teorema espresso dalla figura e dalla relativa ipotesi e tesi. Ipotesi. ABC triangolo. C AM M AB. AM AB. AN AC Tesi BN CM Ipotesi. ABC triangolo. ABE CBE. BC BF

. AB BE Tesi CE AF Rappresenta la figura e scrivi l ipotesi e la tesi del seguente teorema. È dato un triangolo isoscele ABC di base AB. Tracciata l altezza CH, prolungala di un segmento CD, esternamente al triangolo, in modo che CD CH. Congiungi D con A e B. Dimostra che il triangolo ABD è isoscele. È dato un triangolo isoscele ABC di base BC. Tracciata l altezza AH, prolungala di un segmento AD, esternamente al triangolo, dalla parte di BC, in modo che AD AH. Congiungi D con B e C. Dimostra che il triangolo BCD è isoscele.. La congruenza dei triangoli e il primo criterio di congruenza Disegna un triangolo ABC. Dalla parte di A prolunga il lato AC di un segmento AD AC e il lato AB di un segmento AE AB. Dimostra che i triangoli ABD e ACE sono congruenti. Disegna due triangoli congruenti ABC e A B C. Traccia le mediane AM e A M relative rispettivamente ai lati congruenti BC e B C. Dimostra che AM A M Disegna un triangolo isoscele ABC di base AB. Prolunga il lato AC di un segmento CE e il lato BC di un segmento CF CE. Congiungi A con F e B. Dimostra che AF BE. Disegna un triangolo isoscele ABC di base AB. Prolunga la base di due segmenti congruenti AD e BE. Congiungi D con C e E con C. Dimostra che CD CE. Disegna un segmento AB e, nei due semipiani di origine AB, considera due punti C e D in modo che AC AD e CAB DAB. Dimostra che i triangoli ABC e ABD sono congruenti. Considera poi un punto qualunque P del segmento AB. Dimostra che i triangoli PCB e PDB sono congruenti. Disegna un angolo di vertice P e la sua bisettrice. Considera sui lati dell angolo due punti A e B tali che PA PB e un punto qualsiasi Q della bisettrice. Dimostra che i triangoli PBQ e PAQ sono congruenti. Sulla bisettrice ed esternamente al segmento PQ considera un punto C qualunque. Dimostra che i triangoli AQC e QBC sono congruenti.. Il secondo criterio di congruenza dei triangoli Disegna la bisettrice di un angolo di vertice A e congiungi un suo punto P qualunque con due punti B e C dei lati dell angolo, scelti in modo che APB APC. Dimostra che AC AB. Disegna un segmento AB e il suo punto medio M. Su una qualunque retta passante per M considera, da parti opposte rispetto a M, due punti P e Q tali che PAB QBA. Dimostra che AP QB. Due triangoli ABC e A B C sono costruiti da parti opposte rispetto al lato AB che giace sulla bisettrice degli angoli C AC e CBC. Preso un punto D appartenente al segmento AB, congiungi D con C e C. Dimostra che CD è congruente a C D. Due triangoli ABC e A BC sono situati da parti opposte rispetto al lato BC che giace bisettrice degli angoli ABA e ACA. Prolunga il segmento BC dalla parte di B di un DB. Congiunti A e A con D dimostra che AD è congruente a A D.. Le proprietà del triangolo isoscele sulla segmento Dato un triangolo isoscele ABC di base AB, traccia le bisettrici relative ai vertici A e B che incontrano i lati BC e AC rispettivamente nei punti E e D. Prolunga le bisettrici di due segmenti congruenti DF ed EG. Congiungi F con A e G con B. Dimostra che AF BG. Nel triangolo isoscele ABC di base AB disegna le media AM e BN. Dimostra che esse sono congruenti. Nel triangolo isoscele ABC, di vertice C, disegna le bisettrici AE e BF degli angoli alla base. Dimostra che AE BF. Dimostra che in un triangolo equilatero le altezze sono fra lo congruenti. Dimostra che in un triangolo equilatero le bisettrici sono fra lo congruenti.

Disegna un triangolo isoscele ABC e prolunga la base AB da ambo le parti con segmenti congruenti AE e BF. Prolunga i lati AC e BC dalla parte di C di due segmenti congruenti, rispettivamente CG e CH. Dimostra che i triangoli EBH e FAG sono congruenti. Disegna un triangolo isoscele ABC e prolunga la base BC da ambo le parti con segmenti congruenti BE e CF. Prolunga i lati AB e AC dalla parte di A di due segmenti congruenti, rispettivamente AG e AH. Dimostra che i segmenti EG e FH sono congruenti. 5. Il terzo criterio di congruenza dei triangoli Disegna il triangolo isoscele ABC di base AB. Esternamente al triangolo prendi un punto D in modo che DA DB. Unisci D con A, con B e con C e dimostra che i triangoli DAC e DBC sono congruenti. Disegna il triangolo isoscele ABC di base BC. Internamente al triangolo prendi un punto D in modo che DC DB. Unisci D con A, con B e con C e dimostra che i triangoli DAC e DAB sono congruenti. Dimostra che due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti due lati e una mediana relativa a uno di essi. Dato il triangolo ABC sia D un punto di AB. Si costruisca dalla parte opposta di AB un triangolo ABC tale che AC AC e CD DC. Dimostra che i triangoli ABC e ABC sono congruenti. Dimostra che due triangoli equilateri che hanno lo stesso perimetro sono congruenti. Dimostra che due triangoli isosceli che hanno lo stesso perimetro e la base congruente sono congruenti. 6. Le disuguaglianze nei triangoli VERO O FALSO? a) Un triangolo può avere tre angoli ottusi. V F b) Un triangolo può avere tre angoli esterni ottusi. V F c) Un triangolo rettangolo può avere un angolo ottuso. V F d) Un triangolo non può avere più di un angolo esterno ottuso. V F VERO O FALSO? a) Un triangolo può avere tre angoli acuti. V F b) Un triangolo può avere tre angoli esterni acuti. V F c) Un triangolo isoscele può avere un angolo ottuso. V F d) Un triangolo può avere più di un angolo esterno acuto. V F In un triangolo ABC si congiungano i vertici B e C con un punto interno O al triangolo. Dimostra che l angolo B AC è minore dell angolo BOC. In un triangolo ABC si congiungano i vertici A e B con un punto P interno al triangolo. Dimostra che l angolo APB è maggiore dell angolo ACB. Nel triangolo ABC traccia la mediana CM. Dimostra che, se AC CM o AC CM, allora risulta AC CM BC CM. AB AC Nel triangolo ABC traccia la mediana AM. Dimostra che BM. Due lati di un triangolo sono lunghi 5 cm e cm. Qual è la lunghezza minima e massima che può avere il terzo lato? Due lati di un triangolo sono lunghi 9 cm e cm. Qual è la lunghezza minima e massima che può avere il terzo lato? Torino, 0/06/06 L Insegnante